資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
15.2.2 分式的加減 學案
（一）學習目標：
1.理解和掌握分式加減法法則，并會運用法則進行同分母分式及簡單的異分母分式的加減法運算。
2.經(jīng)歷探索分式加減運算法則的過程，通過類比分數(shù)的加減法法則，發(fā)展學生的發(fā)散思維。
3.培養(yǎng)學生的類比，轉(zhuǎn)化思想，學會知識的遷移。
（二）學習重難點：
學習重點：運用分式的加減法法則進行計算
學習難點：簡單異分母分式的加減運算
閱讀課本，識記知識：
1.同分母分式相加減：
（1）法則：分母不變，把分式相加減；
（2）式子表示：；
2.異分母分式相加減：
（1）法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。
（2）式子表示：
3.同分母分式的加減運算的關(guān)鍵是分子的加減運算，分子加減時要將其作為一個整體進行加減，當分子是多項式時，要添括號；異分母分式加減運算的關(guān)鍵是先通分，轉(zhuǎn)化為同分母的分式相加減，再根據(jù)同分母分式加減法進行運算；分式加減運算的結(jié)果要化為最簡分式或整式。
【例1】 對于分式，我們把分式叫做的伴隨分式．若分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，以此類推…，則分式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式的運算，數(shù)字的規(guī)律性．通過求出前面幾個伴隨分式，然后找出規(guī)律，利用規(guī)律進行求解．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
個為一個循環(huán)，
，
，
故選：C．
【例2】 已知b>a>0,下列選項正確的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】A．由b>a>0,得b-a>0,b-1不能確定符號．由不能確定符號,A錯誤,故A不符合題意;
B．由b>a>0,得a-b<0,b+1>0．由<0,得,B錯誤,故B不符合題意;
C．由b>a>0,得a+1>0．
由<0,得,故C符合題意．
D．由b>a>0,得a-b<0．由無法確定符號,D錯誤,故D不符合題意
選擇題
1．某種商品，原來每盒售價為p元，現(xiàn)在每盒的售價降低了2元，同樣用500元錢購買這種商品，現(xiàn)在比原來可多買（ ）盒
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了分式的運算的應(yīng)用，根據(jù)“現(xiàn)在購買的數(shù)量原來購買的數(shù)量”和“購買數(shù)量總價單價”列出代數(shù)式．
【詳解】解：依題意，
故選：A．
2．計算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了異分母分式加法計算，先把兩個分式通分，再把分子去括號，合并同類項，最后約分即可得到答案．
【詳解】解：
，
故選C．
3．甲、乙兩位采購員同去一家飼料公司購買兩次飼料．兩次飼料的價格有變化，兩位采購員的購貨方式也不同，其中，甲每次購買1000千克，乙每次用去800元，兩次購買的飼料單價分別為m元/千克和n元/千克，而不管購買多少飼料．誰的購貨方式更合算（ ）
A．甲 B．乙 C．一樣 D．不能確定
【答案】B
【分析】本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．
根據(jù)平均單價總錢數(shù)兩次購買的斤數(shù)和求出甲、乙所購飼料的平均單價，然后作差法比較兩單價的大小即可．
【詳解】∵兩次購買的飼料單價分別為m元/千克和n元/千克（m，n是正數(shù)，且），
∴甲兩次購買飼料的平均單價為（元/千克），
乙兩次購買飼料的平均單價為（元/千克）；
甲、乙兩種飼料的平均單價的差是：
∵m、n是正數(shù)，
∴時，也是正數(shù)，
∴
∴乙的購貨方式更合算．
故選：B．
4．從甲地到乙地依次需經(jīng)過的上坡路和的下坡路．已知小明騎車在上坡路上的速度為，在下坡路上的速度為，則他騎車從甲地到乙地需多長時間？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式加減的計算，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系．分別求出小剛上坡路走的時間和下坡路走的時間，然后相加求解即可．
【詳解】上坡路走的時間：，
下坡路走的時間：，
總時間為：．
故選：D．
5．中國首列商用磁浮列車平均速度為，計劃提速，已知從A地到B地路程為，那么提速后從A地到B地節(jié)約的時間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了列代數(shù)式，分式的減法運算．直接根據(jù)題意表示出提速前和提速后所用時間，進而得出答案．
【詳解】解：由題意可得，
故選：C．
6．如圖，設(shè)，則有（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了分式的乘除法的應(yīng)用，不等式的運算．分別計算出甲圖中陰影部分面積及乙圖中陰影部分面積，然后計算比值即可．
【詳解】解：甲圖中陰影部分面積為，
乙圖中陰影部分面積為，
則，
∵，
∴，
∴，
∴,
故選：B．
7．已知，則分式的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先將去分母得，代入分式，約分后即可．
本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式計算的步驟，把作為一個整體代入分式是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：C．
8．下列式子運算結(jié)果為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查分式的約分以及計算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．分別將式子進行約分計算即可得到答案．
【詳解】解：，故選項A不符合題意；
，故選項B不符合題意；
，故選項C不符合題意；
，故選項D不符合題意．
故選D．
9．在復(fù)習分式的化簡運算時，老師把甲、乙兩位同學的解答過程分別展示如下．則（ ）
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A．甲、乙都錯 B．甲、乙都對 C．甲對，乙錯 D．甲錯，乙對
【答案】A
【分析】本題主要考查分式的混合運算，熟練掌握分式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．
根據(jù)分式的運算法則，分析甲、乙兩位同學的解答過程即可判斷．
【詳解】解：甲同學的計算錯誤，
錯誤原因：第一步計算中，沒有通分；
乙同學計算錯誤，
錯誤原因：第三步計算中，同分母分式相加，分母應(yīng)保持不變；
正確的解答如下：
，
∴甲、乙都錯，
故選：A．
10．已知一個分式（m為正整數(shù)），對該分式的分母與分子分別加1，成為一次操作，記為，對的分母與分子分別加1，成為二次操作，記為，……通過實際操作，下列說法正確的有（ ）個．
①；
②；
③已知第三次操作后得到的分式可以化為整數(shù)，則m的正整數(shù)值共有6個；
④若，則滿足這個條件的m有無數(shù)個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題主要考查了分式的化簡．
①按照定義代入即可，②本題可以通過拆分分子得到分式除法，也可以把已知的分式進行通分，得出與定義一致的答案．③根據(jù)定義得出第三次操作后的分式，再根據(jù)②的化簡方式得出是整數(shù)，即可得出答案．④根據(jù)定義得出，根據(jù)已知條件得出，從而表示出k的值，因為k，m都是整數(shù)，所以得出m是39得倍數(shù)，所以有無數(shù)個．
【詳解】解：①根據(jù)定義可得：，故①正確．
②根據(jù)定義可得：，故②正確．
③根據(jù)定義可得：，
∵第三次操作后得到的分式可以化為整數(shù)，
∴是整數(shù)，
∵m為正整數(shù)，
∴可以取4，6，12，
∴m可以取1，3，9．三個正整數(shù)，故③不正確．
④根據(jù)定義可得：，
∴，
∴，
∵k，m都是整數(shù)，
∴是39的倍數(shù)，
即是39的倍數(shù)，
∴m的值可以是39，78，117……無數(shù)個，故④正確．
綜上，①②④正確，
故選：C．
填空題
11．化簡： ．
【答案】
【分析】本題主要考查分式的混合運算，先計算括號內(nèi)分式的減法、同時將除式分子、分母因式分解，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，繼而約分可得．
【詳解】解：原式
，
故答案為：．
12．已知，那么 ．
【答案】
【分析】此題考查分式的化簡求值，完全平方公式，根據(jù)已知等式變形為，將所求代數(shù)式的分母變形為形式，再代入計算是解題的關(guān)鍵．將變形為，根據(jù)完全平方公式將原式的分母變形后代入，即可得到答案．
【詳解】∵，
∴，
∴
故答案為：．
13．已知，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，分式的加減．
由可得，即，代入，約分即可求解．
【詳解】∵，
∴
∴，
∴．
故答案為：
14．已知：，，，．請計算： ．（用含x的代數(shù)式表示）
【答案】
【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律與分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．首先把代入，利用x表示出，進而表示出、，即可得到循環(huán)關(guān)系，進而即可解答．
【詳解】解：由題意可知，
，
，
，
∴y的值每3次一個循環(huán)．
∵，
∴．
故答案為：．
15．現(xiàn)有一列數(shù)：，，，，，，（為正整數(shù)），規(guī)定，，，，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意依次求出，，，，，及熟知（為正整數(shù)）．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：由題意得：
，
，
，
∴，
∴（為正整數(shù)），
∴
．
故答案為：．
三、解答題
16．“■”覆蓋了兩個分式之間的運算符號：．
（1）若“■”表示的是“＋”，求其運算結(jié)果為；
（2）若“■”表示的是“÷”，并且其運算結(jié)果為1，求x的值．
【答案】
【分析】本題考查的是分式的加法與除法運算，利用平方根的含義解方程，掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵；
（1）按照同分母分式的加法運算法則計算即可；
（2）先計算分式的除法運算，再建立方程，利用平方根的含義解方程即可．
【詳解】解：（1）；
（2），
而，
∴，
解得：，經(jīng)檢驗符合題意；
故答案為：（1）；（2）；
17.已知，請計算的值．（用含x的代數(shù)式表示）
【答案】
【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律與分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．首先把代入，利用x表示出，進而表示出、，即可得到循環(huán)關(guān)系，進而即可解答．
【詳解】解：由題意可知，
，
，
，
∴y的值每3次一個循環(huán)．
∵，
∴．
故答案為：．
18．已知 ，求的值．
【答案】7
【分析】本題考查分式的化簡求值，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．對已知變形為，再對進行變形求值即可．
【詳解】 ，
兩邊同時除以 得， ，


故答案為：7
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導(dǎo)圖
目標解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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15.2.2 分式的加減 學案
（一）學習目標：
1.理解和掌握分式加減法法則，并會運用法則進行同分母分式及簡單的異分母分式的加減法運算。
2.經(jīng)歷探索分式加減運算法則的過程，通過類比分數(shù)的加減法法則，發(fā)展學生的發(fā)散思維。
3.培養(yǎng)學生的類比，轉(zhuǎn)化思想，學會知識的遷移。
（二）學習重難點：
學習重點：運用分式的加減法法則進行計算
學習難點：簡單異分母分式的加減運算
閱讀課本，識記知識：
1.同分母分式相加減：
（1）法則：分母不變，把分式相加減；
（2）式子表示：；
2.異分母分式相加減：
（1）法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。
（2）式子表示：
3.同分母分式的加減運算的關(guān)鍵是分子的加減運算，分子加減時要將其作為一個整體進行加減，當分子是多項式時，要添括號；異分母分式加減運算的關(guān)鍵是先通分，轉(zhuǎn)化為同分母的分式相加減，再根據(jù)同分母分式加減法進行運算；分式加減運算的結(jié)果要化為最簡分式或整式。
【例1】 對于分式，我們把分式叫做的伴隨分式．若分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，以此類推…，則分式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式的運算，數(shù)字的規(guī)律性．通過求出前面幾個伴隨分式，然后找出規(guī)律，利用規(guī)律進行求解．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
個為一個循環(huán)，
，
，
故選：C．
【例2】 已知b>a>0,下列選項正確的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】A．由b>a>0,得b-a>0,b-1不能確定符號．由不能確定符號,A錯誤,故A不符合題意;
B．由b>a>0,得a-b<0,b+1>0．由<0,得,B錯誤,故B不符合題意;
C．由b>a>0,得a+1>0．
由<0,得,故C符合題意．
D．由b>a>0,得a-b<0．由無法確定符號,D錯誤,故D不符合題意
選擇題
1．某種商品，原來每盒售價為p元，現(xiàn)在每盒的售價降低了2元，同樣用500元錢購買這種商品，現(xiàn)在比原來可多買（ ）盒
A． B． C． D．
2．計算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙兩位采購員同去一家飼料公司購買兩次飼料．兩次飼料的價格有變化，兩位采購員的購貨方式也不同，其中，甲每次購買1000千克，乙每次用去800元，兩次購買的飼料單價分別為m元/千克和n元/千克，而不管購買多少飼料．誰的購貨方式更合算（ ）
A．甲 B．乙 C．一樣 D．不能確定
4．從甲地到乙地依次需經(jīng)過的上坡路和的下坡路．已知小明騎車在上坡路上的速度為，在下坡路上的速度為，則他騎車從甲地到乙地需多長時間？（ ）
A． B． C． D．
5．中國首列商用磁浮列車平均速度為，計劃提速，已知從A地到B地路程為，那么提速后從A地到B地節(jié)約的時間為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，設(shè)，則有（　?。?br/>
A． B． C． D．
7．已知，則分式的值為（ ）
A． B． C． D．
8．下列式子運算結(jié)果為的是（ ）
A． B． C． D．
9．在復(fù)習分式的化簡運算時，老師把甲、乙兩位同學的解答過程分別展示如下．則（ ）
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A．甲、乙都錯 B．甲、乙都對 C．甲對，乙錯 D．甲錯，乙對
10．已知一個分式（m為正整數(shù)），對該分式的分母與分子分別加1，成為一次操作，記為，對的分母與分子分別加1，成為二次操作，記為，……通過實際操作，下列說法正確的有（ ）個．
①；
②；
③已知第三次操作后得到的分式可以化為整數(shù)，則m的正整數(shù)值共有6個；
④若，則滿足這個條件的m有無數(shù)個．
A．1 B．2 C．3 D．4
填空題
11．化簡： ．
12．已知，那么 ．
13．已知，則的值為 ．
14．已知：，，，．請計算： ．（用含x的代數(shù)式表示）
15．現(xiàn)有一列數(shù)：，，，，，，（為正整數(shù)），規(guī)定，，，，，則的值為 ．
三、解答題
16．“■”覆蓋了兩個分式之間的運算符號：．
（1）若“■”表示的是“＋”，求其運算結(jié)果為；
（2）若“■”表示的是“÷”，并且其運算結(jié)果為1，求x的值．
17.已知，請計算的值．（用含x的代數(shù)式表示）
18．已知 ，求的值．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導(dǎo)圖
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