資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
15.3 分式方程 學案
（一）學習目標：
1.了解分式方程的概念和增根產(chǎn)生的原因。
2.掌握分式方程的解法，會解分式方程，會檢驗一個數(shù)是不是原分式方程的解。
3.體驗和學會含字母的分式方程的求解過程。
（二）學習重難點：
學習重點：會解可化為整式方程的分式方程，會檢驗會檢驗一個數(shù)是不是原分式方程的解
學習難點：會解可化為整式方程 的分式方程，會檢驗會檢驗一個數(shù)是不是原分式方程的解，并理解產(chǎn)生增根的原因
閱讀課本，識記知識：
1.分式方程的概念：分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程。
2.分式方程的特征：一是方程；二是分母中含有未知數(shù)。
3.分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是去分母，將分式方程化為整式方程；
（2）解分式方程的一般步驟：
①去分母：在方程兩邊同乘以最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；
②解方程：解這個整式方程；
③檢驗：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的根是原方程的根；使最簡公分母等于0的根不是原方程的根，必須舍去。
4.分式方程的增根
（1）增根的定義：在方程兩邊都乘以一個含未知數(shù)的最簡公分母時，擴大了未知數(shù)的取值范圍；有時可能產(chǎn)生不合適原方程的根，這種根叫方程的增根。
（2）分式方程產(chǎn)生增根的原因：解方程時，總是將方程兩邊同乘以含有未知數(shù)的整式（即最簡公分母），將分式方程化為整式方程，當所乘的這個整式不為0時，所得的整式方程與原方程同解，當所乘的整式為0時，原方程中的分式無意義，求出來的根就是增根。
（3）增根的特點：增根是原分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程后所產(chǎn)生的根，增根必定使各分式的最簡公分母的值等于0.
考點04 分式方程的應用
1.解分式方程的步驟：
（1）審清題意；
（2）找出等量關系；
（3）設未知數(shù)；
（4）列出分式方程；
（5）解這個分式方程；
（6）既要檢驗所得未知數(shù)的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗其是否符合題意；
（7）寫出答案；
2.用分式方程解應用題的常見題型
（1）行程問題：有路程、時間和速度3個量，其關系式是“路程=速度×時間”，一般是以時間為等量關系。
（2）工程問題：有工作效率、工作時間和工作總量3個量，其關系式是“工作總量=工作效率×工作時間”，一般以工作總量為等量關系。
（3）增長率問題：其等量關系式是“原量×（1+增長率）=增長后的量，原量×（1-減少率）=減少后的量”。
【例1】 要把分式方程化為整式方程，方程兩邊要同時乘以（　　）
A． B． C． D．x
【答案】A
【分析】本題考查了解分式方程．根據(jù)最簡公分母的確定方法確定分式的最簡公分母即可解答．
【詳解】解：∵分式的最簡公分母，
∴把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程時，方程兩邊同乘．
故選：A．
【例2】 A、B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式方程的應用；
設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則順流航行的速度為千米/時，逆流航行的速度為千米/時，根據(jù)共用去9小時列方程即可．
【詳解】解：設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則順流航行的速度為千米/時，逆流航行的速度為千米/時，
由題意得：，
故選：C．
選擇題
1．下列是關于x的分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．
【詳解】解：A、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；
B、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；
C、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；
D、分母中含未知數(shù)，是分式方程，符合題意；
故選：D．
2．解分式方程時，將方程兩邊都乘同一個整式，得到一個一元一次方程，這個整式是（　　）
A．x B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查解分式方程中的去分母，直接去分母即可得到答案，掌握等式的基本性質(zhì)是解決問題的關鍵．
【詳解】解：分式方程的最簡公分母是，
方程兩邊都乘同一個整式去分母是，
故選：C．
3．如果關于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】此題主要考查了分式方程的解，解答此題的關鍵是要明確：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【詳解】解：∵有正數(shù)解，
∴，則，
，
去分母，得，，
移項合并，得，，
∵方程的解是正數(shù)，
∴，
解得：且，
故選：B．
4．《九章算術》中有一道關于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間少2天，已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時間．設規(guī)定時間為天，則下列列出的分式方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出分式方程，設規(guī)定時間為天，則慢馬的速度為里/天，快馬的速度為里/天，再根據(jù)快馬的速度是慢馬的倍，列出方程即可．
【詳解】解：設規(guī)定時間為天，
由題意得，，
故選B．
5．甲做360個零件與乙做480個零件所出的時間相同，已知兩人每天共做140個零件，若設甲每天做個零件，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了列分式方程，找準等量關系是解題關鍵．先求出乙每天做個零件，再根據(jù)甲做360個零件與乙做480個零件所出的時間相同列出方程即可得．
【詳解】解：由題意可知，乙每天做個零件，
則可列方程為，
故選：A．
6．若關于的分式方程無解，則（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式方程無解問題，解分式方程得；根據(jù)分式方程無解得，故即可求解．
【詳解】解：解分式方程得，
解得：
∵分式方程無解，
∴
∴
解得：
故選：D．
7．已知電動汽車平均每千米的行駛費用比燃油車平均每千米的行駛費用少0.4元，當兩種汽車的行駛費用均為300元時，電動汽車可行駛的總路程是燃油汽車的3倍，求電動汽車平均每千米的行駛費用，設電動汽車平均每千米的行駛費用x元，則根據(jù)題意可列出方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查分式方程的應用．
設電動汽車平均每千米的行駛費用x元，則燃油車平均每千米的行駛費用為元，當行駛費用為300元時，電動汽車可行駛的總里程為千米，燃油車可行駛的總里程為，根據(jù)“電動汽車可行駛的總路程是燃油汽車的3倍”即可列出方程．
【詳解】設電動汽車平均每千米的行駛費用x元，則燃油車平均每千米的行駛費用為元，根據(jù)題意，得
．
故選：D
8．某書店分別用元和900元兩次購進該小說，第二次數(shù)量比第一次多50套，且兩次進價相同．若設該書店第一次該小說購進x套，由題意列方程正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．根據(jù)第一次購進該小說的總錢數(shù)÷第一次購進套數(shù)=第二次購進該小說的總錢數(shù)÷第二次購進套數(shù)列方程可得．
【詳解】解：由題意列出方程：
故選：C．
9.已知方程 ，計算 ( )
A．8 B．14 C．16 D．32
【答案】C
【分析】本題考查分式的化簡、代數(shù)式求值，靈活運用平方差公式，將分式分步通分求解是解答的關鍵．利用平方差公式，將方程左邊分步通分，進而得到，再求解，進而求解即可．
【詳解】解：
，
∴，即，
∴，
∵
，
∴
，
故選：C．
10．現(xiàn)有一列數(shù)：，，，，，（為正整數(shù)），規(guī)定， ，， 若．則的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，通過計算，，，，并觀察規(guī)律得到是解題的關鍵．
根據(jù)條件， ，， ，求出，，， 由此得出，根據(jù)，化簡在解方程即可求出n的值．
【詳解】， ，， ，
，
，
，
∴
，
，
，
；
，
故選：C．
填空題
11．對于實數(shù)，定義一種新運算“”：．例如，，則方程的解是 ．
【答案】
【分析】本題考查了新定義的運算法則的計算、分式方程的解法，根據(jù)題中的新運算法則列出分式方程，再根據(jù)分式方程的解法解答即可．
【詳解】解：
∴方程為：
去分母得，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
故答案為：．
12．有下列方程：①，②，③（為不等于2的常數(shù)），其中，屬于分式方程的有 （填序號）．
【答案】②
【分析】此題主要考查了分式方程的定義，利用分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，進而判斷即可．
【詳解】解：①是一元一次方程，
②是分式方程，
③（為不等于2的常數(shù)），是一元一次方程，
故答案為：②．
13．如果關于的方程會產(chǎn)生增根，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式方程的增根，解此類題的基本步驟：①化分式方程為整式方程求出增根；②把增根代入整式方程求出相關字母的值．
【詳解】解：∵方程會產(chǎn)生增根，
∴，
解得：，
原方程去分母得：，
把代入得：，
解得，
故答案為：．
14．已知關于x的分式方程的解為非負數(shù)，則a的取值范圍 ．
【答案】且
【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，先解方程方程求出分式方程的解為，再根據(jù)分式方程的解為非負數(shù)以及方程不能有增根列出不等式組求解即可．
【詳解】解：
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：，
∵關于x的分式方程的解為非負數(shù)，
∴，
∴且，
故答案為：且．
若關于x的不等式組有且只有3個奇數(shù)解，且關于y的分式方程的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為 ．
【答案】
【分析】本題考查解不等式組，解分式方程，根據(jù)解的情況確定參數(shù)．
先解不等式組，結合不等式組有且只有3個奇數(shù)解得到不等式組的解為，奇數(shù)解為，從而確定a的取值范圍．解分式方程，結合該分式方程的解為整數(shù)，得到a是偶數(shù)．另分式方程有解得到．綜上可得a應滿足的條件，從而求出整數(shù)a的值，從而解答即可．
【詳解】由不等式得，
∵不等式組有且只有3個奇數(shù)解，
∴不等式組的解為，奇數(shù)解為，
∴
∴．
解分式方程得，
∵該分式方程的解為整數(shù)，
∴是2的倍數(shù)，即a是偶數(shù)．
又當時，，即，
∴，
綜上所述， a應滿足且a是偶數(shù)且，
∴整數(shù)，它們的和為．
故答案為：
三、解答題
16．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解題的關鍵．注意檢驗．
（1）按照解分式方程的一般步驟求解即可；
（2）按照解分式方程的一般步驟求解即可．
【詳解】（1）解：
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
檢驗，當時，，
∴是原方程的解；
（2）解：
去分母得∶：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：，
檢驗，當時，，
∴是原方程的解．
17．列方程解應用題
某商店老板第一次用1000元購進了一批口罩，很快銷售完畢；第二次購進時發(fā)現(xiàn)每個口罩的進價比第一次上漲了元．老板用2500元購進了第二批口罩，所購進口罩的數(shù)量是第一批購進口罩數(shù)量的2倍，同樣很快銷售完畢，兩批口罩的售價均為15元．
(1)求第二次購進了多少個口罩？
(2)商店老板第一次購進的口罩有30元的損耗，第二次購進的口罩有125元的損耗，問商店老板在這兩筆生意中共盈利多少元？
【答案】(1)第二次購進200個口罩
(2)盈利845元
【分析】本題考查了分式方程的應用；
（1）設第一次購進個口罩，第二次就購進個口罩，根據(jù)題意列出分式方程，解方程，即可求解．
（2）根據(jù)題意分別求出兩次的利潤，相加即可求解．
【詳解】（1）解：設第一次購進個口罩，第二次就購進個口罩，
由題意得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
則．
答：第二次購進個口罩；
（2）第一次購進100個口罩，利潤為：（元）；
第二次購進200個口罩，利潤為：（元），
兩筆生意是盈利：利潤為元．
18．某服裝廠需購進一批面料和里料來加工一批秋冬季外套，己知每米面料的進價比每米里料進價的倍還多元，花元購進的面料長度與花元購進的里料長度相等．
(1)求購進面料和里料每米各多少元？
(2)一件秋冬季外套需面料米，里料米，該款外套月份投放市場的銷售價為元件，出現(xiàn)購銷兩旺態(tài)勢，月份進入批發(fā)淡季，廠方?jīng)Q定采取打八折促銷．已知生產(chǎn)一件外套需人工等固定費用元，
①求月份每件外套的利潤．(利潤銷售價布料進價固定費用
②進入月份以后，銷售情況出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，廠方?jīng)Q定對客戶在月份促銷價的基礎上實施更大的優(yōu)惠，對普通客戶在月份促銷價的基礎上實施價格上浮．已知對客戶的降價率和對普通客戶的提價率相等，結果一個客戶用元批發(fā)外套的件數(shù)和一個普通客戶用元批發(fā)外套的件數(shù)相同，則客戶享受的降價率為 ．
【答案】(1)每米面料的進價是元，每米里料的進價是元
(2)①10月份每件外套的利潤為元；②
【分析】本題考查了分式方程的應用；
（1）設每米里料的進價是元，則每米面料的進價是元，利用數(shù)量總價單價，結合花元購進的面料長度與花元購進的里料長度相等，可得出關于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出每米里料的進價，再將其代入中，即可求出每米面料的進價；
（2）①利用利潤銷售價布料進價固定費用，即可求出結論；
②設客戶享受的降價率為則普通客戶的提價率為利用數(shù)量總價單價，結合一個客戶用元批發(fā)外套的件數(shù)和一個普通客戶用元批發(fā)外套的件數(shù)相同，可得出關于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結論．
【詳解】（1）解：設每米里料的進價是元，則每米面料的進價是元，
根據(jù)題意得：
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
．
答：每米面料的進價是元，每米里料的進價是元．
（2）①
元．
答：月份每件外套的利潤為元．
②設客戶享受的降價率為則普通客戶的提價率為，
根據(jù)題意得：
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
客戶享受的降價率為．
故答案為：．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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15.3 分式方程 學案
（一）學習目標：
1.了解分式方程的概念和增根產(chǎn)生的原因。
2.掌握分式方程的解法，會解分式方程，會檢驗一個數(shù)是不是原分式方程的解。
3.體驗和學會含字母的分式方程的求解過程。
（二）學習重難點：
學習重點：會解可化為整式方程的分式方程，會檢驗會檢驗一個數(shù)是不是原分式方程的解
學習難點：會解可化為整式方程 的分式方程，會檢驗會檢驗一個數(shù)是不是原分式方程的解，并理解產(chǎn)生增根的原因
閱讀課本，識記知識：
1.分式方程的概念：分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程。
2.分式方程的特征：一是方程；二是分母中含有未知數(shù)。
3.分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是去分母，將分式方程化為整式方程；
（2）解分式方程的一般步驟：
①去分母：在方程兩邊同乘以最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；
②解方程：解這個整式方程；
③檢驗：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的根是原方程的根；使最簡公分母等于0的根不是原方程的根，必須舍去。
4.分式方程的增根
（1）增根的定義：在方程兩邊都乘以一個含未知數(shù)的最簡公分母時，擴大了未知數(shù)的取值范圍；有時可能產(chǎn)生不合適原方程的根，這種根叫方程的增根。
（2）分式方程產(chǎn)生增根的原因：解方程時，總是將方程兩邊同乘以含有未知數(shù)的整式（即最簡公分母），將分式方程化為整式方程，當所乘的這個整式不為0時，所得的整式方程與原方程同解，當所乘的整式為0時，原方程中的分式無意義，求出來的根就是增根。
（3）增根的特點：增根是原分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程后所產(chǎn)生的根，增根必定使各分式的最簡公分母的值等于0.
考點04 分式方程的應用
1.解分式方程的步驟：
（1）審清題意；
（2）找出等量關系；
（3）設未知數(shù)；
（4）列出分式方程；
（5）解這個分式方程；
（6）既要檢驗所得未知數(shù)的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗其是否符合題意；
（7）寫出答案；
2.用分式方程解應用題的常見題型
（1）行程問題：有路程、時間和速度3個量，其關系式是“路程=速度×時間”，一般是以時間為等量關系。
（2）工程問題：有工作效率、工作時間和工作總量3個量，其關系式是“工作總量=工作效率×工作時間”，一般以工作總量為等量關系。
（3）增長率問題：其等量關系式是“原量×（1+增長率）=增長后的量，原量×（1-減少率）=減少后的量”。
【例1】 要把分式方程化為整式方程，方程兩邊要同時乘以（　　）
A． B． C． D．x
【答案】A
【分析】本題考查了解分式方程．根據(jù)最簡公分母的確定方法確定分式的最簡公分母即可解答．
【詳解】解：∵分式的最簡公分母，
∴把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程時，方程兩邊同乘．
故選：A．
【例2】 A、B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式方程的應用；
設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則順流航行的速度為千米/時，逆流航行的速度為千米/時，根據(jù)共用去9小時列方程即可．
【詳解】解：設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則順流航行的速度為千米/時，逆流航行的速度為千米/時，
由題意得：，
故選：C．
選擇題
1．下列是關于x的分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．解分式方程時，將方程兩邊都乘同一個整式，得到一個一元一次方程，這個整式是（　　）
A．x B． C． D．
3．如果關于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．《九章算術》中有一道關于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間少2天，已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時間．設規(guī)定時間為天，則下列列出的分式方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．甲做360個零件與乙做480個零件所出的時間相同，已知兩人每天共做140個零件，若設甲每天做個零件，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
6．若關于的分式方程無解，則（ ）
A．1 B．0 C． D．
7．已知電動汽車平均每千米的行駛費用比燃油車平均每千米的行駛費用少0.4元，當兩種汽車的行駛費用均為300元時，電動汽車可行駛的總路程是燃油汽車的3倍，求電動汽車平均每千米的行駛費用，設電動汽車平均每千米的行駛費用x元，則根據(jù)題意可列出方程為（ ）
A． B．
C． D．
8．某書店分別用元和900元兩次購進該小說，第二次數(shù)量比第一次多50套，且兩次進價相同．若設該書店第一次該小說購進x套，由題意列方程正確的是（　　）
A． B． C． D．
9.已知方程 ，計算 ( )
A．8 B．14 C．16 D．32
10．現(xiàn)有一列數(shù)：，，，，，（為正整數(shù)），規(guī)定， ，， 若．則的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
填空題
11．對于實數(shù)，定義一種新運算“”：．例如，，則方程的解是 ．
12．有下列方程：①，②，③（為不等于2的常數(shù)），其中，屬于分式方程的有 （填序號）．
13．如果關于的方程會產(chǎn)生增根，則 ．
14．已知關于x的分式方程的解為非負數(shù)，則a的取值范圍 ．
若關于x的不等式組有且只有3個奇數(shù)解，且關于y的分式方程的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為 ．
三、解答題
16．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
17．列方程解應用題
某商店老板第一次用1000元購進了一批口罩，很快銷售完畢；第二次購進時發(fā)現(xiàn)每個口罩的進價比第一次上漲了元．老板用2500元購進了第二批口罩，所購進口罩的數(shù)量是第一批購進口罩數(shù)量的2倍，同樣很快銷售完畢，兩批口罩的售價均為15元．
(1)求第二次購進了多少個口罩？
(2)商店老板第一次購進的口罩有30元的損耗，第二次購進的口罩有125元的損耗，問商店老板在這兩筆生意中共盈利多少元？
18．某服裝廠需購進一批面料和里料來加工一批秋冬季外套，己知每米面料的進價比每米里料進價的倍還多元，花元購進的面料長度與花元購進的里料長度相等．
(1)求購進面料和里料每米各多少元？
(2)一件秋冬季外套需面料米，里料米，該款外套月份投放市場的銷售價為元件，出現(xiàn)購銷兩旺態(tài)勢，月份進入批發(fā)淡季，廠方?jīng)Q定采取打八折促銷．已知生產(chǎn)一件外套需人工等固定費用元，
①求月份每件外套的利潤．(利潤銷售價布料進價固定費用
②進入月份以后，銷售情況出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，廠方?jīng)Q定對客戶在月份促銷價的基礎上實施更大的優(yōu)惠，對普通客戶在月份促銷價的基礎上實施價格上浮．已知對客戶的降價率和對普通客戶的提價率相等，結果一個客戶用元批發(fā)外套的件數(shù)和一個普通客戶用元批發(fā)外套的件數(shù)相同，則客戶享受的降價率為 ．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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