資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
21.1 一元二次方程 學案
（一）學習目標：
通過設置問題，建立數學模型，定義一元二次方程。
一元二次方程的一般形式及其有關概念；
3．通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情。
（二）學習重難點：
學習重點：一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有關概念解決問題
學習難點：建立一元二次方程的數學模型
閱讀課本，識記知識：
1. 一元二次方程的概念：
　　通過化簡后，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
細節剖析
判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數；②未知數的最高次數為2.
對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數不為0．
例1．一元二次方程二次項系數、一次項系數、常數項分別為（ ）
A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6，
【答案】C
【分析】一元二次方程中，a、b、c分別叫做二次項系數、一次項系數、常數項，據此即可解答.
【詳解】解：一元二次方程即為
二次項系數、一次項系數、常數項分別為2，，；
故選：C.
【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程的基本知識是解題的關鍵.
例2．在關于x的方程（）中，a，b，c滿足和，則方程的根是（　　）
A．1，0 B．1， C．1， D．無法確定
【答案】B
【分析】能使方程等號成立的未知數的值叫做方程的解，據此分別令，，可求此一元二次方程的根，即可求解．
【詳解】解：當時，，
當時，，
所以方程的根分別為1或．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了方程的解的定義，一元二次方程的根，理解定義，找出滿足等式的未知數的值是解題的關鍵．
選擇題
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程；形如叫做一元二次方程的一般式．
【詳解】解：A、含有三個未知數，故該選項不合題意；
B、是一元二次方程，故該選項是符合題意；
C、未知數的最高次數是1，故該選項不合題意；
D、未知數的最高次數是2，但不是整式，故該選項不合題意；
故選：B．
2．下列方程是關于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的概念，根據一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數，由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
【詳解】解：A. ，是一元一次方程，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，含有2個未知數，不是一元二次方程，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，是一元二次方程，故該選項正確，符合題意；
故選：D．
3．如果方程是關于x的一元二次方程，則p的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根據一元二次方程的定義即形如的整式方程判斷．本題考查了一元二次方程的定義即形如的整式方程，熟練掌握定義是解題的關鍵．
【詳解】∵方程是關于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故，
故選B．
4．已知為一元二次方程的根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數式求值，根據一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值得到，進而得到．，再由，利用整體代入法求解即可．
【詳解】解：∵為一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故選D．
5．關于的方程有兩個實數根，，則下列選項正確的是（ ）．
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解和解一元一次不等式組，根據乘法的性質可得兩個數的乘積為正數，那么這兩個數同號，則或，解得或，再由關于的方程有兩個實數根，，即可得到且，據此可得答案．
【詳解】解：∵，
∴或，
∴或，
∵關于的方程有兩個實數根，，
∴且，
故選D．
6．以為根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查方程的解，掌握能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解是解題的關鍵．
【詳解】解：A、當時，，故不是方程的根；
B、當時，，故不是方程的根；
C、當時，，故不是方程的根；
D、當時，，故是方程的根；
故選D．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查一元二次方程的識別，一元二次方程的定義：“ 的形式，含有一個未知數，且未知數的最高次數為2次的整式方程即為一元二方程．”根據定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A、中含有2個未知數，不是一元二次方程；
B、中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程；
C、中根號下有未知數，不是一元二次方程；
D、是整式方程，含有一個未知數，且未知數的最高次數為2次，是一元二次方程；
故選：D．
8．若關于x的一元二次方程的一個解是，則的值是（ ）
A．2021 B．2024 C．2026 D．2027
【答案】D
【分析】本題主要考查一元二次方程的解，代數式求值．先將代入，求出關于a，b的式子的值，再整體代入計算即可．
【詳解】解：關于x的一元二次方程的一個解是，
，
，
故選：D．
9．把一元二次方程化為一般形式,二次項系數，一次項系數,常數項分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一元二次方程定義問題,完全平方公式．形如“”的形式是關于的一元二次方程的一般形式，根據定義即可選出答案．
【詳解】解:∵
∴，
∴一般形式為:，
∴二次項系數為，一次項系數常數項，
故選:C．
10．下列關于的方程中，一定是一元二次方程的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是熟練的掌握一元二次方程的定義，根據一元二次方程的定義：只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，進行判斷即可．
【詳解】解：A、方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
B、方程，是一元二次方程，故本選項符合題意；
C、方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
D、當時，方程不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
故選：B．
填空題
11．已知m是方程的一個根，則代數式的值是 ．
【答案】
【分析】根據方程根的定義，轉化為代數式的求值解答．本題考查了方程根的定義，代數式的整體思想求值，掌握定義，活用整體思想是解題的關鍵．
【詳解】∵m是方程的一個根，且，
∴，
∴，
∴
，
故答案為：．
12．當 時，關于x的一元二次方程(的一個根是．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的定義及一元二次方程的解，把方程的解代入方程求出a的值，再結合一元二次方程的定義即可求解．
【詳解】解：把代入方程有：，
∴；
又∵當時，方程不是一元二次方程，
∴，
故答案為．
13．若是關于的一元二次方程的一個根，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的解的意義，將代入原方程，得到關于的一元一次方程，解方程，即可求解．
【詳解】解：依題意，
解得：
故答案為：．
14．一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項之和為 ，m是的一個根，則的值為 ．
【答案】 6 2020
【分析】本題考查一元二次方程的概念，一元二次方程的根，整體代入求值；直接根據方程即可得到第一空的答案；根據m是的一個根可得，再對進行變形，最后代入求值即可得第二空的答案．
【詳解】解：，
，，，
；
是的一個根，
，
，
；
故答案為：6；2020．
15．若是方程的根，則 ．
【答案】4
【分析】此題考查了方程根的含義，將代入方程，求解即可．
【詳解】解：將代入方程可得：，
解得，
故答案為：．
三、解答題
16．已知m是方程的根，求代數式的值．
【答案】
【分析】本題主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代數式的值．由題意易得，然后把代數式進行化簡，最后整體代入求解即可．
【詳解】解：∵是方程的一個根，
∴，
∴，
∴
．
17．已知都是方程的根，求a、b的值和這個一元二次方程的一般形式．
【答案】，，
【分析】本題考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式．熟練掌握一元二次方程的根，一元二次方程的一般式是解題的關鍵．
將代入，計算求解可得的值，進而可求一元二次方程的一般式．
【詳解】解：將代入得，，
解得，，
∴，
∴a、b的值分別為1，2；這個一元二次方程的一般形式為．
18．先化簡，再求值：，其中a是方程的解．
【答案】，
【分析】本題主要考查分式的化簡求值，一元二次方程的解的概念，根據分式的性質，乘法公式，將代數式化簡，再根據一元二次方程的解可得，即可求解，掌握分式的性質，一元二次方程的解的運用是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
∵是方程的解，
∴
∴原式．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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21.1 一元二次方程 學案
（一）學習目標：
通過設置問題，建立數學模型，定義一元二次方程。
一元二次方程的一般形式及其有關概念；
3．通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情。
（二）學習重難點：
學習重點：一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有關概念解決問題
學習難點：建立一元二次方程的數學模型
閱讀課本，識記知識：
1. 一元二次方程的概念：
　　通過化簡后，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
細節剖析
判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數；②未知數的最高次數為2.
對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數不為0．
例1．一元二次方程二次項系數、一次項系數、常數項分別為（ ）
A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6，
【答案】C
【分析】一元二次方程中，a、b、c分別叫做二次項系數、一次項系數、常數項，據此即可解答.
【詳解】解：一元二次方程即為
二次項系數、一次項系數、常數項分別為2，，；
故選：C.
【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程的基本知識是解題的關鍵.
例2．在關于x的方程（）中，a，b，c滿足和，則方程的根是（　　）
A．1，0 B．1， C．1， D．無法確定
【答案】B
【分析】能使方程等號成立的未知數的值叫做方程的解，據此分別令，，可求此一元二次方程的根，即可求解．
【詳解】解：當時，，
當時，，
所以方程的根分別為1或．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了方程的解的定義，一元二次方程的根，理解定義，找出滿足等式的未知數的值是解題的關鍵．
選擇題
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是關于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果方程是關于x的一元二次方程，則p的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．已知為一元二次方程的根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
5．關于的方程有兩個實數根，，則下列選項正確的是（ ）．
A． B． C． D．且
6．以為根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若關于x的一元二次方程的一個解是，則的值是（ ）
A．2021 B．2024 C．2026 D．2027
9．把一元二次方程化為一般形式,二次項系數，一次項系數,常數項分別為（ ）
A． B． C． D．
10．下列關于的方程中，一定是一元二次方程的為（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．已知m是方程的一個根，則代數式的值是 ．
12．當 時，關于x的一元二次方程(的一個根是．
13．若是關于的一元二次方程的一個根，則 ．
14．一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項之和為 ，m是的一個根，則的值為 ．
15．若是方程的根，則 ．
三、解答題
16．已知m是方程的根，求代數式的值．
17．已知都是方程的根，求a、b的值和這個一元二次方程的一般形式．
18．先化簡，再求值：，其中a是方程的解．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
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