資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
21.2.2 公式法 學案
（一）學習目標：
復習整理一元二次方程的相應的基礎知識
利用基礎知識解決一些實際問題
3.培養學生分析問題，解決問題的能力
（二）學習重難點：
學習重點：一元二次方程的概念及一般形式
學習難點：把方程化為一般形式
閱讀課本，識記知識：
1.求根公式的定義：一般地，對于一元二次方程，當時，一元二次方程的根是，這個式子稱作一元二次方程的求根公式。
2.求根公式的推導：
一元二次方程求根公式的推導過程實際就是用配方法解一元二次方程，
兩邊同除以，得：
移項得：；
方程兩邊同時加上；
得：；
化簡得：；
因為；
所以當時，
可得：
；
3.用公式法解一元二次方程的步驟：
（1）先將方程化為一般形式：，確定的值；
（2）計算：的值，從而確定原方程是否有實數根；
（3）若，則把以及的值代入求根公式，求出；若，則方程沒有實數根。
例1．關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．有兩個相等的實數根 D．無法確定
【答案】B
【分析】化成一般形式，計算方程根的判別式，根據計算屬性判斷即可．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴方程有兩個不相等的實數根，
故選B．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握，則方程有兩個不相等的實數根；，方程有兩個相等的實數根；，方程沒有實數根是解題的關鍵．
例2．配方法是解一元二次方程的一種基本方法，其本質是將一元二次方程由一般式化為的形式，然后利用開方求一元二次方程的解的過程，這個過程體現的數學思想是（ ）
A．數形結合思想 B．函數思想 C．轉化思想 D．公理化思想
【答案】C
【分析】先把一般式化為，然后兩邊開方，把一元二次方程轉化為一元一次方程，從而解一元一次方程得到一元二次方程的解．
【詳解】解：利用配方法把一般式化為，再利用開方求一元二次方程的解的過程，這個過程體現的轉化的數學思想．
故選：C．
【點睛】本題考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的過程實際上把一元二次方程轉化為一元一次方程的過程．
選擇題
1．若關于x的一元二次方程有實數根，則整數a的最大值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題關鍵是確定a、b、c的值，再求出判別式的結果.
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，
∴且，
且，
∴整數a的最大值為0．
故選：B．
2．下列方程中，有實數根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查方程有無實數根的判斷，熟練掌握二次根式和實數的偶次方的非負性、分式方程的求解與檢驗、一元二次方程判別式的求法及應用是解題關鍵 ．根據二次根式和偶次方的非負性可對A、D作出判斷，根據分式方程的求解可對D作出判斷，計算一元二次方程判別式的值可對B作出判斷．
【詳解】∵,
∴，
∵，矛盾，
故A沒有實數根；
∵,
∴，
∵，
故B沒有實數根；
∵，
∴，
解得，
經檢驗，時原方程的根，
故C有實數根；
∵,
∴，
∵，矛盾，
故D沒有實數根；
故選：C．
3．關于x的一元二次方程，則下列說法正確的是（ ）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．有一個實數根
【答案】B
【分析】本題主要考查一元二次方程的運用，根據一元二次方程根與系數的關系即可求解，掌握，方程有兩個不相等的實根；，方程有兩個相等的實根；，方程無實根，是解題的關鍵
【詳解】解：已知，
∴，即，
∴，
∴方程有兩個相等的實根，
∴選項不符合題意，
故選：
4．已知關于x的方程有實數根，則實數k的取值范圍是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】C
【分析】本題考查了根的判別式，根據條件分兩種情況討論：當時，當時，分別求解即可．
【詳解】解：當時，
解得：，且，
當時，即，方程為，解得：，
綜上：實數k的取值范圍是，
故選：C．
5．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．根據二次項系數非零結合根的判別式，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：且，
故選：C．
6．關于的方程的根的情況判斷正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．有一個實數根
【答案】A
【分析】本題考查根的判別式．根據題意利用與0比較即可得到本題答案．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∵，
∴方程有兩個不相等的實數根，
故選：A．
7．若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本題主要考查一元二次方程的定義及根的判別式，根據關于x的一元二次方程有兩個實數根知，據此得出的范圍，再結合一元二次方程的定義可得答案．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個實數根，
∴，
解得，，
又∵，
∴且
故選：B．
8．小馬在解關于x的一元二次方程時，他一馬虎把常數項c的值抄成了c的相反數，解出兩個相等的實數根，那么原方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．有一個根是
【答案】C
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，相反數的定義，根據題意得有兩個相等的實數根得出，進而求出c的值，代入原方程，再利用根的判別式即可求出答案．
【詳解】解：根據題意得：有兩個相等的實數根，
∴，
∴，
∴原方程為，
此時，
∴原方程有兩個不相等的實數根，
故選：C．
9．若一元二次方程有實數根，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式與根的關系，熟練掌握一元二次方程的定義、根的判別式與根的關系是解答本題的關鍵．
由一元二次方程，則；再根據方程有實數根，則根的判別式大于等于零，據此列不等式求解即可；
【詳解】解：∵一元二次方程有實數根，
∴且，解得：且．
故選C．
10．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，根據一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根，得到，然后解不等式即可．
【詳解】解：根據題意得，
解得，
，
m的取值范圍是且．
故選：D．
填空題
11．用公式法解關于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解題的關鍵．
根據公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各項系數的值，即可得出答案．
【詳解】解：根據題意及求根公式，
得，，，
該一元二次方程為，
故答案為：．
12．若方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查了一元二次方程為常數的根的判別式．當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．
【詳解】解：，即，
∵有兩個不相等的實數根，
∴，解得且，
故答案為：且．
13．若關于x的一元二次方程有兩個相等的實根，則m的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．根據根的判別式的意義得到，然后解關于的方程即可．
【詳解】解：有兩個相等的實數根，
，
解得．
故答案為：．
14．已知關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義．直接利用一元二次方程根的判別式、一元二次方程的定義求解即可得．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，
，
解得且．
故答案為：且．
15．如圖，已知等邊，，以為邊作正方形（點A、C、D、E按逆時針方向排列），和的延長線相交于F，點P從點B出發沿向點F運動，到達點F時停止，點Q在線段和上運動，且始終滿足垂直于正方形的邊長，連接，，，當時，的面積是 .

【答案】或
【分析】分類討論：①當點P在上運動，點Q在上運動時，②當點P在上運動，點Q在上運動時，根據等邊三角形和正方形的性質、直角三角形的性質及勾股定理分別表示出、的值，再根據，列方程求解，最后根據三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：①當點P在上運動，點Q在上運動時，如圖，延長交于點G，
∵是等邊三角形，，
∴，
設，則，
∴，
∵四邊形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
解得，
∴，，
∴，

②當點P在上運動，點Q在上運動時，延長交于點H，
∵是等邊三角形，四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
設，則，，
∵四邊形是正方形，
∴， ，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
解得，
∴，，
∴，
故答案為：或．

【點睛】本題考查等邊三角形的性質、正方形的性質、直角三角形的性質、勾股定理及矩形的判定與性質、解一元二次方程，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．
三、解答題
16．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．根據一元二次方程根的判別式大于0求解即可得．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴這個方程根的判別式，
整理得，
解得，
所以的取值范圍為．
17．已知關于x的方程
(1)若此方程的一根是1，求另一個根及m的值．
(2)求證：方程總有兩個不相等的實數根．
【答案】(1)另一個根為3，m的值為2
(2)見解析
【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程根的判別式等知識點：
（1）把代入方程，即可求出m的值，然后解方程即可；
（2）根據一元二次方程的判別式，判斷根的情況即可．
【詳解】（1）解：將代入，
得：，
解得，
原方程為，
即，
解得，，
另一個根為3，m的值為2．
（2）解：，
，
，
方程總有兩個不相等的實數根．
18．關于的一元二次方程有兩個不等實根．若方程的一個根是，求的值及另一個根．
【答案】的值為，另一根為
【分析】本題主要考查的是一元二次方程中根的判別式、方程的解，先根據方程根的情況確定，求出的取值范圍，然后把方程的根代入求出的值，代入求出另一根是解題的關鍵．
【詳解】解：∵一元二次方程有兩個不等實根，
∴，即，
解得：，
把代入方程得，
解得：，
當時，方程為，
解得，．
∴的值為，另一根為．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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21.2.2 公式法 學案
（一）學習目標：
復習整理一元二次方程的相應的基礎知識
利用基礎知識解決一些實際問題
3.培養學生分析問題，解決問題的能力
（二）學習重難點：
學習重點：一元二次方程的概念及一般形式
學習難點：把方程化為一般形式
閱讀課本，識記知識：
1.求根公式的定義：一般地，對于一元二次方程，當時，一元二次方程的根是，這個式子稱作一元二次方程的求根公式。
2.求根公式的推導：
一元二次方程求根公式的推導過程實際就是用配方法解一元二次方程，
兩邊同除以，得：
移項得：；
方程兩邊同時加上；
得：；
化簡得：；
因為；
所以當時，
可得：
；
3.用公式法解一元二次方程的步驟：
（1）先將方程化為一般形式：，確定的值；
（2）計算：的值，從而確定原方程是否有實數根；
（3）若，則把以及的值代入求根公式，求出；若，則方程沒有實數根。
例1．關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．有兩個相等的實數根 D．無法確定
【答案】B
【分析】化成一般形式，計算方程根的判別式，根據計算屬性判斷即可．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴方程有兩個不相等的實數根，
故選B．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握，則方程有兩個不相等的實數根；，方程有兩個相等的實數根；，方程沒有實數根是解題的關鍵．
例2．配方法是解一元二次方程的一種基本方法，其本質是將一元二次方程由一般式化為的形式，然后利用開方求一元二次方程的解的過程，這個過程體現的數學思想是（ ）
A．數形結合思想 B．函數思想 C．轉化思想 D．公理化思想
【答案】C
【分析】先把一般式化為，然后兩邊開方，把一元二次方程轉化為一元一次方程，從而解一元一次方程得到一元二次方程的解．
【詳解】解：利用配方法把一般式化為，再利用開方求一元二次方程的解的過程，這個過程體現的轉化的數學思想．
故選：C．
【點睛】本題考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的過程實際上把一元二次方程轉化為一元一次方程的過程．
選擇題
1．若關于x的一元二次方程有實數根，則整數a的最大值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．下列方程中，有實數根的是（ ）
A． B． C． D．
3．關于x的一元二次方程，則下列說法正確的是（ ）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．有一個實數根
4．已知關于x的方程有實數根，則實數k的取值范圍是（ ）
A．且 B． C． D．且
5．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．關于的方程的根的情況判斷正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．有一個實數根
7．若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
8．小馬在解關于x的一元二次方程時，他一馬虎把常數項c的值抄成了c的相反數，解出兩個相等的實數根，那么原方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．有一個根是
9．若一元二次方程有實數根，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
填空題
11．用公式法解關于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是 ．
12．若方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 ．
13．若關于x的一元二次方程有兩個相等的實根，則m的值為 ．
14．已知關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是 ．
15．如圖，已知等邊，，以為邊作正方形（點A、C、D、E按逆時針方向排列），和的延長線相交于F，點P從點B出發沿向點F運動，到達點F時停止，點Q在線段和上運動，且始終滿足垂直于正方形的邊長，連接，，，當時，的面積是 .

三、解答題
16．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍．
17．已知關于x的方程
(1)若此方程的一根是1，求另一個根及m的值．
(2)求證：方程總有兩個不相等的實數根．
18．關于的一元二次方程有兩個不等實根．若方程的一個根是，求的值及另一個根．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
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