資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
21.2.3 因式分解法 學案
（一）學習目標：
使學生掌握應用因式分解法解某些系數較為特殊的一元二次方程的方法.
在因式分解中滲透普遍聯系的思想
3.在探究中感受數學的嚴謹性和邏輯性
（二）學習重難點：
學習重點：用因式分解法解一元二次方程
學習難點：將方程化為一般形式后，對左側二次三項式的因式分解
閱讀課本，識記知識：
1.因式分解法的概念：將一個一元二次方程通過因式分解，轉化為兩個一元一次方程來求解的方法叫作因式分解法。
2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
（1）將方程的右邊化為0；
（2）將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；
（3）令每一個因式分別為0，得到兩個一元一次方程；
（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解；
3.用因式分解法解一元二次方程的關鍵：
（1）一定要將方程的右邊化為0；
（2）方程左邊要能分解為兩個含未知數的一次因式的積。
4.選擇原則：首先要看因式分解法或直接開平方法是否可行，其次考慮公式法，一般不用配方法。
5.配方法適用于任何一個一元二次方程，但過程比較麻煩。
6.公式法可利用其導出的求根公式直接求解，適用于有解的一元二次方程。
例1．方程的根是（　　）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】先把原方程化為，從而可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
故選D
【點睛】本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握解法步驟是解本題的關鍵．
例2．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】利用因式分解法即可求解．
【詳解】解：整理得，即：，
解得：，，
故選C．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解方程是解題的關鍵．
選擇題
方程的根是( )
A． B． C．或 D．無解
【答案】C
【分析】本題考查了解一元二次方程，根據已知即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：
∴
∴
∴或，
解得：，
故選：C．
2．方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．根據因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
，
解得，，
故選：B．
3．對于實數a， b， 定義運算“※” ∶ 例如： 若， 則x的值為（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或-1
【答案】A
【分析】此題主要考查了新定義下實數的運算，解方程，乘方等知識，熟悉相關性質是解題的關鍵．
【詳解】根據定義，得，整理得，
解方程，得，
故選A．
4．下列方程中沒有實數根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了解一元二次方程與一元二次方程根的判別式；分別解A、D兩個選項的方程，用判別式分別判斷B、D兩個選項的一元二次方程，即可完成解答．
【詳解】解：A、解方程得，方程有實數根；
B、，方程有兩個相等實數根；
C、，方程沒有實數根；
D、方程兩個解為，方程有實數根；
故選：C．
5．方程的解為（ ）
A．， B．， C． D．，
【答案】D
【分析】本題考查的是解一元二次方程，解題的關鍵是把一元二次方程進行因式分解，得到即可求解．
【詳解】解：移項得：，
即：，
或，
解得：，
故選：D．
6．一元二次方程的根為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本題主要考查了解一元二次方程．先移項，再用因式分解法求解即可．
【詳解】解：，
移項得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，，，
故選：C．
7．若菱形的一條對角線長為8，邊的長為方程的一個根，則菱形的周長為（ ）
A．24 B．12 C．20 D．12或20
【答案】C
【分析】本題考查了菱形的性質、一元二次方程的解法、三角形的三邊關系；熟練掌握菱形的性質，由三角形的三邊關系得出是解決問題的關鍵．解方程得出或，分兩種情況：①當時，，不能構成三角形；②當時，，即可得出菱形的周長．
【詳解】解：如圖所示：

∵四邊形是菱形，
∴，
∵
因式分解得：，
解得：或，
分兩種情況：
①當時，，不能構成三角形；
②當時，，
∴菱形的周長．
故選：C
8．若關于的方程的一個根是，則另一個根及的值分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的解，把代入方程先求出的值，從而確定出方程，再解方程即可求出，理解方程的解并準確計算是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是方程的一個根，
∴,
∴，
∴方程為，
解得，，
∴另一個根為，的值為，
故選：．
9．關于的一元二次方程的常數項是0，則的值　　
A．1 B．1或2 C．2 D．
【答案】C
【分析】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程的定義，根據題意得出，，解方程，即可求解．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程的常數項是0，
∴，，
解得：，
故選：C．
10．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的兩個根即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，
故選A．
填空題
11．方程 的根是 ．
【答案】，
【分析】本題考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程即可；解題的關鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【詳解】
∴或
解得，．
12.關于的分式方程無解，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了因式分解以及分式方程無解的條件，解題的關鍵在于識記分式方程無解的條件：去分母后所得整式方程無解，或者這個整式方程得到的解使得原方程的分母為零，根據無解條件即可作答．
【詳解】對分式方程化簡得：
解得：
由于分式方程無解．
故當時，分母為零，方程無意義．
即：
解得：
故答案為：．
13.（江蘇省南京市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本題考查解一元二次方程，分和兩種情況，去絕對值，再解方程即可．
【詳解】解：當時，變形為，
即，
解得（舍）；
當時，變形為，
即，
解得（舍）；
綜上可知，的解是．
故答案為：．
14.已知實數m，n滿足，若，則t的值是 ．
【答案】5
【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，利用得出關于t的一元二次方程是解題關鍵，注意平方都是非負數．
【詳解】解：設，原方程等價于,
解得或，
∴或（不符合題意舍去），
故答案為：5．
15．已知關于x的方程的解與的解相同，則 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查解一元二次方程以及一元二次方程的解，利用因式分解法求出方程的解，然后把代入方程可得即可．
【詳解】解：∵，
∴或，
解得，，，
把代入方程得，，
故答案為：1．
三、解答題
16．解下列方程：
；
．
【答案】(1)，；
，．
【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，
根據配方法即可求出答案；
根據因式分解法即可求出答案．
【詳解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
∵，
∴，
∴或，
∴．
17.解方程
【答案】(1)
【分析】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
（1）根據公式法求解即可；
（2）先去括號，再合并同類項，再由十字相乘法求解即可．
【詳解】（1）解：，
，
，
解得；
（2）解：，
，
，
，
或，
解得．
18.定義新運算“ ”：當時，；當時，．
(1)填空：______；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)x的值為或
【分析】（1）首先根據無理數的估算判斷出，然后根據新定義的運算規則，即可得到答案；
（2）根據題意分和兩種情況討論，然后據新定義的運算規則列出一元二次方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）當時，，
∴，
，
，
，
解得，（舍去）；
當時，，
∴，
，
，
解得，（舍去）．
∴x的值為或
【點睛】此題考查了解一元二次方程，實數的新定義運算解一元一次不等式，無理數的估算，解題的關鍵是正確分析新定義的運算法則．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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21.2.3 因式分解法 學案
（一）學習目標：
使學生掌握應用因式分解法解某些系數較為特殊的一元二次方程的方法.
在因式分解中滲透普遍聯系的思想
3.在探究中感受數學的嚴謹性和邏輯性
（二）學習重難點：
學習重點：用因式分解法解一元二次方程
學習難點：將方程化為一般形式后，對左側二次三項式的因式分解
閱讀課本，識記知識：
1.因式分解法的概念：將一個一元二次方程通過因式分解，轉化為兩個一元一次方程來求解的方法叫作因式分解法。
2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
（1）將方程的右邊化為0；
（2）將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；
（3）令每一個因式分別為0，得到兩個一元一次方程；
（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解；
3.用因式分解法解一元二次方程的關鍵：
（1）一定要將方程的右邊化為0；
（2）方程左邊要能分解為兩個含未知數的一次因式的積。
4.選擇原則：首先要看因式分解法或直接開平方法是否可行，其次考慮公式法，一般不用配方法。
5.配方法適用于任何一個一元二次方程，但過程比較麻煩。
6.公式法可利用其導出的求根公式直接求解，適用于有解的一元二次方程。
例1．方程的根是（　　）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】先把原方程化為，從而可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
故選D
【點睛】本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握解法步驟是解本題的關鍵．
例2．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】利用因式分解法即可求解．
【詳解】解：整理得，即：，
解得：，，
故選C．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解方程是解題的關鍵．
選擇題
方程的根是( )
A． B． C．或 D．無解
2．方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．對于實數a， b， 定義運算“※” ∶ 例如： 若， 則x的值為（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或-1
4．下列方程中沒有實數根的是（ ）
A． B． C． D．
5．方程的解為（ ）
A．， B．， C． D．，
6．一元二次方程的根為（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．若菱形的一條對角線長為8，邊的長為方程的一個根，則菱形的周長為（ ）
A．24 B．12 C．20 D．12或20
8．若關于的方程的一個根是，則另一個根及的值分別是（ ）
A． B． C． D．
9．關于的一元二次方程的常數項是0，則的值　　
A．1 B．1或2 C．2 D．
10．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．方程 的根是 ．
12.關于的分式方程無解，則 ．
13.（江蘇省南京市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）方程 的解是 ．
14.已知實數m，n滿足，若，則t的值是 ．
15．已知關于x的方程的解與的解相同，則 ．
三、解答題
16．解下列方程：
；
．
17.解方程
18.定義新運算“ ”：當時，；當時，．
(1)填空：______；
(2)若，求x的值．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
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