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考點01 方程與不等式的解法
一．一元二次方程
1.概念：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)項的最高次數(shù)為2的整式方程
其中ax 是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項；b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項
2.解一元二次方程的方法
（1）直接開方：
（2）提公因式：
（3）求根公式：
（4）十字相乘：
二、一元二次不等式的解集
1.一元二次不等式的解法
（1）根據(jù)解一元二次方程方法選擇方法求根
（2）看二次項系數(shù)大于0或小于0，選擇圖像
（3）根據(jù)圖像選擇取中間還是取兩邊
2.一元二次不等式（a>0）的圖像
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象
方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根 有兩相異實根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1絕對值不等式
分式不等式
考向一 一元二次方程
【例1】解方程
（1）（y－1）2－9=0 （2）x2－4x－45=0
（3）x(x－4)=－3(x－4) （4）3x2＋6x－5=0
（5）(x＋3)2=2x＋5 （6）(2x＋1）（x－3）=－6
【舉一反三】
1．用適當(dāng)方法解下列方程．
（1）x2-6x+9=(5-2x)2 （2）2x2-3x-6=0 （3）(x-3)(x-4)=5x
（4）2(5x-1)2=3(1-5x) (5)3(x＋1)2＝27；　　　　 (6)2x2＋6＝7x；
(7)3x(x－2)＝2(2－x)；　 (8)y2－4y－3＝0.
考向二 一元二次不等式
【例2】解下列不等式
（1） （2）. （3）
（4） （5） （6）
【舉一反三】
解下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
（4）； （5）； （6）.
（7）. （8）. （9）.
（10）.
考向三 絕對值不等式
【例3】（1）（2）；（3）；
【舉一反三】解下列不等式
； （2）. （3）；
（4）. （5）
考向四 分式不等式
【例4】解下列不等式：
（1）； （2） （3）.
（4）； （5）； （6）．
【舉一反三】解下列不等式
（2） （3）
（4） (5)； (6).
解下列方程
（1） （2） （3）；
（4） （5） （6）
（7） （8）； （9）．
（10） （11） （12）
解下列一元二次不等式
（1） （2） （3）；
（4）. （5） （6）
（7） （8） （9）
（11）； （12）；
解絕對值不等式
（2） （3）
（4） （5） （6）
解分式不等式
（2）. （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
11 / 11考點01 方程與不等式的解法
知識回顧
一．一元二次方程
1.概念：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)項的最高次數(shù)為2的整式方程
其中ax 是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項；b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項
2.解一元二次方程的方法
（1）直接開方：
（2）提公因式：
（3）求根公式：
（4）十字相乘：
二、一元二次不等式的解集
1.一元二次不等式的解法
（1）根據(jù)解一元二次方程方法選擇方法求根
（2）看二次項系數(shù)大于0或小于0，選擇圖像
（3）根據(jù)圖像選擇取中間還是取兩邊
2.一元二次不等式（a>0）的圖像
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象
方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根 有兩相異實根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1絕對值不等式
分式不等式
考向分析
考向一 一元二次方程
【例1】解方程
（1）（y－1）2－9=0 （2）x2－4x－45=0
（3）x(x－4)=－3(x－4) （4）3x2＋6x－5=0
（5）(x＋3)2=2x＋5 （6）(2x＋1）（x－3）=－6
【答案】（1）；（2）；（3） ；
（4）；（5）；（6）
【解析】（1）（y－1）2－9=0 移項得（y－1）2＝9，開平方得y－1＝±3，
∴y－1＝3或y－1＝－3，解得y1＝4，y2＝－2；
（2）x2－4x－45＝0因式分解得（x 9）（x＋5）＝0，∴x 9＝0，x＋5＝0， 解得x1＝ 5，x2＝9；
（3）x（x－4）＝ 3（x－4）移項得x（x－4）＋3（x－4）＝0，因式分解得（x－4）（x＋3）＝0，
∴x－4＝0，x＋3＝0，解得x1＝4，x2＝ 3；
（4）3x2+6x-5=0∵a＝3，b＝6，c＝-5，∴△＝b2 4ac＝36＋60＝96，∴，
解得，；
（5）（x＋3）2＝2x＋5方程可化為x2＋6x＋9 2x 5＝0，即x2＋4x＋4＝0，
分解因式得（x＋2）2＝0，解得x1＝x2＝ 2；
（6）（2x＋1）（x 3）＝ 6方程可化為2x2 5x＋3＝0，分解因式得（2x 3）（x 1）＝0，∴2x 3＝0，x 1＝0，解得x1＝1，x2＝．
【舉一反三】
1．用適當(dāng)方法解下列方程．
（1）x2-6x+9=(5-2x)2 （2）2x2-3x-6=0 （3）(x-3)(x-4)=5x
（4）2(5x-1)2=3(1-5x) (5)3(x＋1)2＝27；　　　　 (6)2x2＋6＝7x；
(7)3x(x－2)＝2(2－x)；　 (8)y2－4y－3＝0.
【答案】（1）x1=，x2=2；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=，x2=
（5）x1＝2，x2＝－4.（6）x1＝2，x2＝；（7）x1＝－，x2＝2；（8）y1＝2＋，y2＝2－.
【解析】（1）x2-6x+9=(5-2x)2∴（x-3）2=（5-2x）2，∴x-3=5-2x或x-3=2x-5，解得x1=，x2=2；
（2）2x2-3x-6=0∴a=2，b=-3，c=-6，∴△=（-3）2-4×2×（-6）=57＞0，則x=，
即x1=，x2=；
（3）(x-3)(x-4)=5x ∴a=1，b=-12，c=12，
∴△=（-12）2-4×1×12=96＞0，則x=，即x1=，x2=；
（4）2(5x-1)2=3(1-5x) ，，
解得，x1=，x2=．
(5)原方程可化為(x＋1)2＝9，∴x＋1＝±3，∴x1＝2，x2＝－4.
(6)原方程可化2x2－7x＋6＝0，a＝2，b＝－7，c＝6，b2－4ac＝(－7)2－4×2×6＝1>0，
∴x＝=，∴x1＝2，x2＝；
原方程可化為3x(x－2)－2(2－x)＝0，∴3x(x－2)＋2(x－2)＝0，即(3x＋2)(x－2)＝0，
∴x1＝－，x2＝2；
(8)原方程可化為y2－4y＝3，∴y2－4y＋4＝7，∴(y－2)2＝7，∴y－2＝±，∴y1＝2＋，y2＝2－.
考向二 一元二次不等式
【例2】（2020·黑龍江）解下列不等式
（1） （2）. （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1）（2）（3）
（4）或；（5）；（6）不等式無解
【解析】（1），所以不等式的解集為.
故答案為：
原不等式可化為，由于，
方程的兩根為，，∴不等式的解集為.
（3）所以不等式的解集為.
（4）不等式可化為，∴不等式的解是或.
（5）不等式可化為，∴不等式的解是.
（6）不等式可化為．∴不等式無解.
【舉一反三】
解下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
（4）； （5）； （6）.
（7）. （8）. （9）.
（10）.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
（4）或；（5）；（6）或.
（7）或；（8）；（9）或；（10）；
【解析】（1）由題意，不等式，可化為，
所以不不等式的解集為；
（2）由題意，可得，所以不等式的解集為；
（3）由不等式，可化為，即，
所以不等式的解集為或.
（4）不等式即為，解得或，
因此，不等式的解集為或；
（5）不等式即為，解得，
因此，不等式的解集為；
不等式即為，即，解得或.因此，不等式的解集為或.
原不等式等價于，解得不等式的解集為：或；
（8）由于，并且開口向上，故原不等式的解集為空集；
（9）原不等式等價于，即，解得不等式的解集為：或；
（10）由，解得不等式的解集為：；
考向三 絕對值不等式
【例3】（1）（2）；（3）；
【答案】（1）(2)（3）
【解析】（1）因為所以或，或，所以不等式的解集為
（2）或，解得或，所以不等式的解集為；
（3），解得，所以不等式的解集為；
【舉一反三】解下列不等式
（1）； （2）.（3）； （4）.（5）
【答案】（1）（2）（3）；（4）（5）
【解析】（1），，即，
不等式的解集是.
（2），或，
或.原不等式的解集為.
（3）原不等式可化為.解不等式，得.
（4）原不等式可化為.兩邊平方，得.
解不等式組，得.
（5）∵，∴，即，解得：或，
即不等式的解為.
考向四 分式不等式
【例4】解下列不等式：
（1）； （2） （3）.
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）；（2）（3）或.
（4）（5）（6）
【解析】（1）等價于，解得，
∴原不等式的解集為.
（2）由題意，不等式可轉(zhuǎn)化為或，解得或，所以不等式的解集為.
（3）∵，∴，∴，即.
此不等式等價于且x－≠0，解得或，
∴原不等式的解集為或.
（4）移項、通分，，此不等式與不等式組的解集相同．解不等式組，得．
（5）將原不等式轉(zhuǎn)化為同解的整式不等式，即，所以原不等式解集為．
（6）移項、通分，得．轉(zhuǎn)化為整式不等式組或．解不等式組，得或．∴不等式的解集為．
【舉一反三】解下列不等式
（1） （2） （3） （4）(5)； (6).
【答案】（1） （2）{x|x≤－1或x>3} （3）（4）
(5) 或； (6) 或.
【解析】（1）由題意，原不等式可化為，解得，
所以不等式的解集為.
（2）不等式可轉(zhuǎn)化成不等式組，解得x≤－1或x>3，原不等式的解集為{x|x≤－1或x>3}．
（3）解得或
故不等式的解集為
（4） ，即 ，
解得： ，不等式的解集是.
(5)即所以不等式的解集為：或；
(6)即等價于且所以不等式的解集為：
或.
鞏固練習(xí)
解下列方程
（1） （2） （3）；
（4） （5） （6）
（7） （8）； （9）．
（10） （11） （12）
【答案】（1）或；（2）或（3）；（4）．
；（6）（7），（8），；
（9），（10）（11）， （12），
【解析】（1）由可知：∴即或．
（2）由可知：從而可得：∴，．
（3），，∴，；
（4），，，，∴，．
（5）解得：
（6）或解得：．
（7）
（8）．．．．
，；
（9）∵，，，∴，
∴．即，．
，解得：．
（1） ∴x+2=0或x-4=0∴，
（12）
∴x-2=0或2x-6=0，．
解下列一元二次不等式
（1） （2） （3）；
（4）. （5） （6）
（7） （8） （9）
（10）（11）； （12）；
【答案】（1）；（2）（3）；（4）.（5）或（6）或
{或}；（8）；（9）；（10）.
（11）；（12）或
【解析】（1）不等式可化為，解得，所以不等式的解集為；
（2）不等式中，，所以不等式的解集為．
（3）原不等式可化為，∵，
∴方程無實根，又二次函數(shù)的圖象開口向上，∴原不等式的解集為.
（4）原不等式可化為，∵，
∴方程無實根，又二次函數(shù)的圖象開口向上，∴原不等式的解集為.
（5）由得，即，解得或，
所以不等式的解集為或；
（6），∴不等式的解集為或.
（7）不等式可化為，解得或，
所以該不等式的解集為或；
（8）不等式，因式分解得，可得不等式的解集為.
（9）不等式，即，對應(yīng)的方程的根為，
可得不等式的解集為.
（10）不等式，化簡得，可得不等式的解集為.
（11）由得，則，即不等式的解集為；
（12）由得，解得或，即原不等式的解集為或
解絕對值不等式
（2） （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1）（2）（3）或.（4）
（5）或（6）
【解析】（1）由得，所以，則，
所以原不等式的解集為；
（2）或，
解得或，所以不等式的解集為.
（3）當(dāng)時，原不等式恒成立；
當(dāng)時，原不等式兩邊平方，得，
令，則，解得或，
又，有或.
綜上，原不等式的解集為或.
（4）由得，解得，故原不等式的解集為.
（5）由，可得或，
解得或，解集為或；
（6）因為，所以或，解得；解得，即原不等式的解集為
解分式不等式
（2）. （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
（6）（7）或（8）（9）
【解析】（1）由，得，即，或，
得或，得或，即不等式的解集為．
（2）因為.所以. 所以. 所以.
經(jīng)檢驗，是原方程的解.∴原方程的解是.
（3）由得，即，即，
解得，即不等式的解集為；
（4）（1），即，解得：，
不等式的解集是；
（5），解得或，所以不等式的解集為.
（6），即，，即且，∴不等式的解集為.
（7），，，或，
即原不等式的解集為或；
∵，∴，即，所以且
解得：或，故不等式的解集是.
（9）由整理可得：，等價于，解得：，
解集為：.
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