資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關系 學案
（一）學習目標：
1．掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系(即韋達定理)，并學會其運用．
　　2．培養(yǎng)分析、觀察以及利用求根公式進行推理論證的能力．
（二）學習重難點：
學習重點：一元二次方程根的判別式的內(nèi)容及應用
學習難點：一元二次方程根的判別式的推導及應用
閱讀課本，識記知識：
一、一元二次方程的根的判別式
1.一元二次方程的根的情況由來確定，因此叫作一元二次方程的根的判別式，一般用表示，即=。
2.一元二次方程根的情況與根的判別式的關系：
一般地方程
（1）當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）當時，方程無實數(shù)根；
二、根與系數(shù)的關系
1.如果方程的兩個根為，那么，，這個關系也稱為韋達定理。
2.根與系數(shù)的關系在運用時必須要注意：
（1）方程必須是一元二次方程；
（2）方程有實數(shù)根，即；
3.如果方程的兩個根是，則，。
4.一元二次方程根與系數(shù)的關系的應用
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
例．已知、是關于x的方程的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判別式可判斷A，利用一元二次方程的解的含義可判斷B，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可判斷C，D，從而可得答案．
【詳解】解：∵、是關于x的方程的兩個實數(shù)根，
∴，
∴，故A不符合題意；
∵、是關于x的方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴，，
∴，故B符合題意；
∵、是關于x的方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
故C，D不符合題意；
故選B
【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的含義，一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．
選擇題
1．已知，分別是方程的兩個根，則代數(shù)式的值為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【分析】此題考查了根與系數(shù)的關系，掌握根與系數(shù)的關系和完全平方式是解答此題的關鍵．
由根與系數(shù)的關系得到，，再把式子變形代入求值即可．
【詳解】解：∵，分別是方程的兩個根，
∴，，
∴，
故選B．
2．下列一元二次方程中，兩根之和是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關系，根據(jù)根和系數(shù)的關系：兩根之和等于，兩根之積等于，即可求解，掌握一元二次方程根和系數(shù)的關系是解題的關鍵．
【詳解】、兩根之和等于，不合題意；
、兩根之和等于，符合題意；
、兩根之和等于，不合題意；
、兩根之和等于，不合題意；
故選：．
3．若是關于x的一元二次方程的兩根，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的根以及根與系數(shù)的關系．若一元二次方程的兩個根為，則．由題意得，，根據(jù)即可求解．
【詳解】解：由題意得：，，
∴，
，
故選：A
4．已知方程 的兩根分別為 和 ，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查根于系數(shù)的關系．根據(jù)根與系數(shù)的關系，得到，整體代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴；
故選D．
5．若是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，即可求解．
【詳解】解：∵是方程的兩個實數(shù)根，
∴，
故選：C．
6．已知 是一元二次方程的兩個根，則的值是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關系的應用，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵．通分：，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系：，可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，
則＝＝．
故選：D．
7．設，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系，通過得到的關系，將代數(shù)式變形成已知式子的形式，是解答本題的關鍵．
根據(jù)一元二次二次方程的解的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到，，又，由此得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
，是方程的兩個實數(shù)根，
，，
，
故選：．
8．若方程的一個根為3，則方程的另一個根是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，正確使用是關鍵．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系直接計算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵方程的一個根是3，
∴，
故選：C．
9．是關于的一元二次方程的一個根，則此方程的另一個根是（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程的兩個根滿足，是解答本題的關鍵．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根滿足，是關于的一元二次方程的一個根，設另一根為，
∴，
解得：，
故選：B．
10．對于一元二次方程，下列說法錯誤的是( )
A．若，則方程必有一根為；
B．若是一元二次方程的根，則
C．若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實根
D．若方程有兩個不相等的實根，則方程無實根；
【答案】D
【分析】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關系、等式的性質(zhì)以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根為，即可判斷A；利用求根公式得出，變形即可判斷B；由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，，變形即可判斷C；根據(jù)一元二次方程根的判別式即可判斷D；熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：，
當時，，
若，方程必有一根為，故A說法正確，不符合題意；
是一元二次方程的根，
，
，
，故B說法正確，不符合題意；
方程兩根為，且滿足，
，，
，，
方程，必有實根，故C說法正確，不符合題意；
方程有兩個不相等的實根，
，
，
方程有兩個不相等的實根，故D說法錯誤，符合題意；
故選：D．
填空題
11．若是方程的兩個根，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)題意可得，即可求解．
【詳解】解：∵是方程的兩個根，
∴，
故答案為：．
12．若關于x的一元二次方程有一個根是，則此方程的另一個根是 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解，首先設關于x的一元二次方程的另一個實數(shù)根是，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系，即可得，繼而求得答案．
【詳解】解：設方程的另一個根是α，
則，
解得．
故答案為：4．
13．若一元二次方程兩根分別為，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，，再通分即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得到，，
故．
故答案為：．
14．設，是方程的兩根，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，利用根與系數(shù)的關系求解即可，解題的關鍵是熟記：一元二次方程的兩個根為，，則，．
【詳解】解：∵，是關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
15．關于x的一元二次方程的兩個根是，若，則m的值是 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系為：是解題的關鍵．
直接運用一元二次方程根與系數(shù)的關系即可解答．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的兩個根是，若，
∴，即．
故答案為4．
三、解答題
16．完成下面解答．已知a，b是方程的兩根，求的值．
解∶∵a，b是方程的兩根，∴________，________．
又∵______，∴_____．
因此， ______．
【答案】，，3，，，
【分析】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系得到，．再求出．代入求值即可，此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關系的應用，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)關系的內(nèi)容是解題的關鍵．
【詳解】解∶∵a，b是方程的兩根，
∴，．
又∵，
∴．
因此，．
故答案為：，，3，，，
17．已知關于的一元二次方程．
(1)求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程有兩個實數(shù)根為，，且，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②，方程有兩個相等的實數(shù)根，③，方程沒有實數(shù)根．關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關系：，．
（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可得，由此即可得出答案；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，，代入得出關于的方程，解之即可．
【詳解】（1）證明：∵
，
∴無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：由根與系數(shù)的關系，得，，
由，得，
解得．
18．已知關于x的一元二次方程．
(1)當 時，求出方程的解．
(2)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
(3)若方程有兩個實數(shù)根 ，且 求m的值．
【答案】(1)；
(2)證明見詳解；
(3)8．
【分析】本題主要考查一元二次方程的解法、根與系數(shù)的關系、根的判別式，解題的關鍵是掌握是方程的兩根時，．
（1）將代入方程，再解一元二次方程即可；
（2）根據(jù)根的判別式得出，據(jù)此可得答案；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關系得出，，代入得出關于m的方程，解之可得答案．
【詳解】（1）解：當 時，得方程，
解得：；
（2）證明：
，
∴無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（3）解：由根與系數(shù)的關系得出
由得，
解得．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關系 學案
（一）學習目標：
1．掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系(即韋達定理)，并學會其運用．
　　2．培養(yǎng)分析、觀察以及利用求根公式進行推理論證的能力．
（二）學習重難點：
學習重點：一元二次方程根的判別式的內(nèi)容及應用
學習難點：一元二次方程根的判別式的推導及應用
閱讀課本，識記知識：
一、一元二次方程的根的判別式
1.一元二次方程的根的情況由來確定，因此叫作一元二次方程的根的判別式，一般用表示，即=。
2.一元二次方程根的情況與根的判別式的關系：
一般地方程
（1）當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）當時，方程無實數(shù)根；
二、根與系數(shù)的關系
1.如果方程的兩個根為，那么，，這個關系也稱為韋達定理。
2.根與系數(shù)的關系在運用時必須要注意：
（1）方程必須是一元二次方程；
（2）方程有實數(shù)根，即；
3.如果方程的兩個根是，則，。
4.一元二次方程根與系數(shù)的關系的應用
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
例．已知、是關于x的方程的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判別式可判斷A，利用一元二次方程的解的含義可判斷B，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可判斷C，D，從而可得答案．
【詳解】解：∵、是關于x的方程的兩個實數(shù)根，
∴，
∴，故A不符合題意；
∵、是關于x的方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴，，
∴，故B符合題意；
∵、是關于x的方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
故C，D不符合題意；
故選B
【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的含義，一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．
選擇題
1．已知，分別是方程的兩個根，則代數(shù)式的值為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
2．下列一元二次方程中，兩根之和是的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若是關于x的一元二次方程的兩根，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知方程 的兩根分別為 和 ，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．若是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知 是一元二次方程的兩個根，則的值是（　　）
A．1 B． C． D．
7．設，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．若方程的一個根為3，則方程的另一個根是（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．是關于的一元二次方程的一個根，則此方程的另一個根是（ ）
A．5 B． C．4 D．
10．對于一元二次方程，下列說法錯誤的是( )
A．若，則方程必有一根為；
B．若是一元二次方程的根，則
C．若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實根
D．若方程有兩個不相等的實根，則方程無實根；
填空題
11．若是方程的兩個根，則的值是 ．
12．若關于x的一元二次方程有一個根是，則此方程的另一個根是 ．
13．若一元二次方程兩根分別為，，則 ．
14．設，是方程的兩根，則 ．
15．關于x的一元二次方程的兩個根是，若，則m的值是 ．
三、解答題
16．完成下面解答．已知a，b是方程的兩根，求的值．
解∶∵a，b是方程的兩根，∴________，________．
又∵______，∴_____．
因此， ______．
17．已知關于的一元二次方程．
(1)求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程有兩個實數(shù)根為，，且，求的值．
18．已知關于x的一元二次方程．
(1)當 時，求出方程的解．
(2)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
(3)若方程有兩個實數(shù)根 ，且 求m的值．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
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