資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
22.1.1 二次函數 學案
（一）學習目標：
了解二次函數的概念
通過探究二次函數的概念的過程，學會歸納總結
激發求知欲望，同時培養化歸的思想
（二）學習重難點：
學習重點：二次函數的概念
學習難點：歸納總結二次函數的概念
閱讀課本，識記知識：
1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。
這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零．二次函數的定義域是全體實數．
2. 二次函數的結構特征：
⑴ 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2．
⑵ 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．
例1．下列函數中，常量3表示二次項系數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判斷函數是否為二次函數，若不是則直接排除，若是，再看二次項系數是否為3．
【詳解】解：A．不是二次函數，故不符合題意；
B．是二次函數，且二次項系數是3，故符合題意；
C．不是二次函數，故不符合題意；
D．是二次函數，但二次項系數是1，故不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的定義以及相關概念，掌握形如（a、b、c為常數，且）的函數是二次函數是解題的關鍵．
例2．若方程是關于x的二次函數，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二次函數的定義進行求解即可．
【詳解】解：∵是關于x的二次函數，
∴，
故選B．
【點睛】本題主要考查了二次函數的定義，熟知二次函數的定義是解題的關鍵：一般地，形如且是常數的函數叫做二次函數．
選擇題
1．下列函數中，是二次函數的是( )
A． B． C．y=2x2+1 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數的識別，一般地，形如（其中a、b、c是常數，且）的函數叫做二次函數，據此逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，未知數的最高次不是2，不是二次函數，不符合題意；
B、，未知數的最高次不是2，不是二次函數，不符合題意；
C、y=2x2+1，是二次函數，符合題意；
D、，不是二次函數，不符合題意；
故選C．
2．下列函數屬于二次函數的是（ ）
A． B． C．y=-x2+1 D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的識別，形如的函數為二次函數，據此即可求解．
【詳解】解：由二次函數的定義可知，C為二次函數，
故選：C
3．若 是二次函數，則 m 的值為（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數的定義以及直接開平方法解一元二次方程，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵．根據二次函數的定義求解即可．
【詳解】解：由于 是二次函數，
且，
且，
．
故選B．
4．下列關于的函數解析式中，一定為二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】形如，這樣的函數叫做二次函數，據此進行判斷即可．
【詳解】解：A、是正比例函數，不是二次函數；
B、當時，不是二次函數；
C、整理后不含項，是一次函數，不是二次函數；
D、是二次函數；
故選：D．
5．下列各式中，y是x的二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的定義：一般地，如果（a，b，c是常數，），那么y叫做x的二次函數．此題將式子整理成一般形式后，根據二次函數的定義判定即可．
【詳解】解：A、分母中含自變量，不是二次函數，故本選項錯誤；
B、該函數的右邊不是整式，不是二次函數，故本選項錯誤；
C、該函數不符合二次函數的定義，屬于一次函數，故本選項錯誤；
D、該函數符合二次函數的定義，故本選項正確．
故選：D．
6．下列函數中屬于二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的定義條件：二次函數的定義條件是：a、b、c為常數，且，自變量最高次數為2．依此定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A. 是一次函數，不合題意；
B. 是二次函數，符合題意；
C. 是一次函數，不合題意；
D. 不是整式函數，不合題意；
故選：B．
7．下列各式中，是的二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數的識別，一般地，形如（其中a、b、c是常數，且）的函數叫做二次函數，據此逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，不是二次函數，不符合題意；
B、，是二次函數，符合題意；
C、，未知數的最高次不是2，不是二次函數，不符合題意；
D、，未知數的最高次不是2，不是二次函數，不符合題意；
故選B．
8．下列函數是二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的識別．掌握相關定義即可．二次函數的基本表示形式為．二次函數最高次必須為二次．
【詳解】解：A：最高次項為一次，不符合題意；
B：當時，不是二次函數，不符合題意；
C：不是整式，不符合題意；
D：滿足二次函數的定義，符合題意；
故選：D．
9．當函數是二次函數時，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的定義，二次函數的定義：形如、、是常數的函數叫做二次函數．
根據二次函數的定義解答即可；
【詳解】解：由題意得：，即，
故選：B．
10．下列函數中， 是二次函數的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數的識別，一般地，形如（其中a、b、c為常數且）的函數叫做二次函數，據此逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，未知數的最高次不是2，不是二次函數，不符合題意；
B、，未知數的最高次不是2，不是二次函數，不符合題意；
C、，是二次函數，符合題意；
D、，未知數的最高次不是2，不是二次函數，不符合題意；
故選C．
填空題
11．如果函數（是常數）是二次函數，那么的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據：“形如，這樣的函數叫做二次函數”，得到，即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴；
故答案為：．
12．如果是二次函數，那么 ．
【答案】
【分析】本題考查二次函數的定義，掌握形如的函數是二次函數是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是二次函數，
∴，解得，
故答案為：．
13．頂點在函數的圖象上，請寫出一個滿足條件的二次函數表達式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查二次函數的性質，一次函數圖象上點的坐標特征，寫出一個頂點在原點的二次函數表達式即可．
【詳解】解：∵函數的圖象過原點，
∴當頂點為原點時，二次函數表達式為（答案不唯一）．
故答案為：（答案不唯一）．
14．飛機從1200米的高空開始下降，每秒下降150米，則飛機離地面高度（米）與時間（秒）之間的函數關系式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了函數關系式和函數自變量的取值范圍．根據題意，找到所求量的等量關系是解決問題的關鍵．根據離地面的高度總高度下降的距離列出代數式．時間是非負數．
【詳解】解：依題意，得
，即．
，
，解得，．
則的取值范圍是：．
故答案為：．
15．正方形邊長，若邊長增加，增加后正方形的面積為，與的函數關系式為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了列二次函數關系式，根據正方形面積等于邊長的平方，即可求解．
【詳解】解：依題意，，
故答案為：．
三、解答題
16．已知函數．
(1)當函數是二次函數時，求的值：
(2)當函數是一次函數時，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數的定義，一次函數的定義．熟練掌握二次函數的定義，一次函數的定義是解題的關鍵．
（1）由題意知，，計算求出滿足要求的解即可；
（2）由題意知，，計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】（1）解：∵函數是二次函數，
∴，
解得，，，，，
∴；
（2）解：∵函數是一次函數，
∴，
解得，，，，
∴．
17．已知方程（m為常數）．
(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根．
(2)，是原方程的兩根，且，求m的值．
(3)若函數（m為常數）不論m為何值，該函數的圖像都會經過一個定點，求定點的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)的值為1
(3)該函數圖像始終過定點
【分析】本題主要考查了一元二次方程方程與二次函數的關系、一元二次方程根與系數關系、一元二次方程根的判別式等知識點，掌握一元二次方程根與系數關系及根的判別式是解答本題的關鍵．
（1）用根的判別式即可解答．
（2）根據根與系數關系得到，整體代入解方程求出即可；
（3）分離出m，令m的系數為0，先求出x，再求出y，即可確定與m的值無關的定點．
【詳解】（1）證明：因為，
所以，
所以不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根．
（2）解：，是原方程的兩根，
，
，
，
，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，
的值為1；
（3）解：．
因為該函數的圖像都會經過一個定點，
所以，
解得，
當時，，
所以該函數圖像始終過定點．
18．如圖，利用一面墻（墻的長度為），用長的籬笆圍成兩個雞場，中間用一道籬笆隔開，每個雞場均留一道寬的門，設的長為．
(1)若兩個雞場的面積和為，求關于的關系式；
(2)兩個雞場面積和可以等于（）嗎？如果可以，求出此時的值．
【答案】(1)
(2)不能
【分析】本題考查了列二次函數關系，解一元二次方程的應用；
（1）根據題意和圖形可以求得關于的關系式；
（2）令，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可得，
，
即關于的關系式是；
（2）解：依題意，
即
∵，
原方程無實數解，
∴兩個雞場面積和不能等于（）
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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22.1.1 二次函數 學案
（一）學習目標：
了解二次函數的概念
通過探究二次函數的概念的過程，學會歸納總結
激發求知欲望，同時培養化歸的思想
（二）學習重難點：
學習重點：二次函數的概念
學習難點：歸納總結二次函數的概念
閱讀課本，識記知識：
1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。
這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零．二次函數的定義域是全體實數．
2. 二次函數的結構特征：
⑴ 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2．
⑵ 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．
例1．下列函數中，常量3表示二次項系數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判斷函數是否為二次函數，若不是則直接排除，若是，再看二次項系數是否為3．
【詳解】解：A．不是二次函數，故不符合題意；
B．是二次函數，且二次項系數是3，故符合題意；
C．不是二次函數，故不符合題意；
D．是二次函數，但二次項系數是1，故不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的定義以及相關概念，掌握形如（a、b、c為常數，且）的函數是二次函數是解題的關鍵．
例2．若方程是關于x的二次函數，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二次函數的定義進行求解即可．
【詳解】解：∵是關于x的二次函數，
∴，
故選B．
【點睛】本題主要考查了二次函數的定義，熟知二次函數的定義是解題的關鍵：一般地，形如且是常數的函數叫做二次函數．
選擇題
1．下列函數中，是二次函數的是( )
A． B． C．y=2x2+1 D．
2．下列函數屬于二次函數的是（ ）
A． B． C．y=-x2+1 D．
3．若 是二次函數，則 m 的值為（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
4．下列關于的函數解析式中，一定為二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，y是x的二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函數中屬于二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式中，是的二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函數是二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
9．當函數是二次函數時，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
10．下列函數中， 是二次函數的是( )
A． B． C． D．
填空題
11．如果函數（是常數）是二次函數，那么的取值范圍是 ．
12．如果是二次函數，那么 ．
13．頂點在函數的圖象上，請寫出一個滿足條件的二次函數表達式 ．
14．飛機從1200米的高空開始下降，每秒下降150米，則飛機離地面高度（米）與時間（秒）之間的函數關系式為 ．
15．正方形邊長，若邊長增加，增加后正方形的面積為，與的函數關系式為 ．
三、解答題
16．已知函數．
(1)當函數是二次函數時，求的值：
(2)當函數是一次函數時，求的值．
17．已知方程（m為常數）．
(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根．
(2)，是原方程的兩根，且，求m的值．
(3)若函數（m為常數）不論m為何值，該函數的圖像都會經過一個定點，求定點的坐標．
18．如圖，利用一面墻（墻的長度為），用長的籬笆圍成兩個雞場，中間用一道籬笆隔開，每個雞場均留一道寬的門，設的長為．
(1)若兩個雞場的面積和為，求關于的關系式；
(2)兩個雞場面積和可以等于（）嗎？如果可以，求出此時的值．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
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