資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
22.1.2 二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì) 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
經(jīng)歷描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像的過程；
2、學(xué)會(huì)觀察、歸納、概括函數(shù)圖像的特征；
3、經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程，學(xué)會(huì)合情推理。
（二）學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)
閱讀課本，識(shí)記知識(shí)：
1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。
2. 的性質(zhì)：上加下減。
例1.[直觀想象]定義運(yùn)算“※”:a※b=如:1※(-2)=-1×(-2)2=-4,則函數(shù)y=2※x的圖象大致是(　　)
A B
C D
【答案】C　y=2※x=當(dāng)x>0時(shí),圖象是函數(shù)y=2x2圖象的對(duì)稱軸右側(cè)的部分;當(dāng)x≤0時(shí),圖象是y=-2x2圖象的對(duì)稱軸上及其左側(cè)的部分,故選C.
例2.[邏輯推理]如圖,在拋物線y=ax2上有點(diǎn)A(-2,4),過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B,點(diǎn)C為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),連接CA,BC,取線段AC,BC的中點(diǎn)D,E,連接DE.當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論正確的為　　　.(填寫序號(hào)即可)
①AB=4;②DE=2;③S△CAB=8;④S△CDE=2;⑤△ACB的周長(zhǎng)為4+4.
【答案】①②
解析　∵拋物線y=ax2關(guān)于y軸對(duì)稱,AB∥x軸,∴點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,4),∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4),∴AB=4,故①正確;∵D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),∴DE為△ABC的中位線,∴DE=AB=2,故②正確;∵點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn),∴點(diǎn)C到AB、DE的距離不確定,∴△CAB和△CDE的面積不確定,故③④錯(cuò)誤;∵點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn),∴AC+BC不確定,∴△ACB的周長(zhǎng)不確定,故⑤錯(cuò)誤(當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí),△ACB的周長(zhǎng)為4+4).
選擇題
1.(2022河北石家莊趙縣月考)下列拋物線中,開口向下的有(　　)
①y=-x2;②y=x2;③y=10x2;④y=-x2.
A.1個(gè)　　B.2個(gè)　　C.3個(gè)　　D.4個(gè)
【答案】B　∵-<0,-<0,∴①y=-x2和④y=-x2的圖象開口向下.
2.(2022四川南充蓬安期中)下列拋物線中,開口最窄的是(　　)
A.y=-x2　　　　B.y=-2x2
C.y=3x2　　　　D.y=5x2
【答案】D　∵|-1|<|-2|<|3|<|5|,∴函數(shù)y=5x2的圖象的開口最窄.
3.下表是二次函數(shù)y=ax2的部分x,y的對(duì)應(yīng)值:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
則下列說法不正確的是(　　)
A.圖象開口向上　　　　
B.圖象對(duì)稱軸是y軸
C.圖象頂點(diǎn)是原點(diǎn)　　　　
D.圖象經(jīng)過點(diǎn)(-3,6)
【答案】D　形如y=ax2(a≠0)的函數(shù)圖象的對(duì)稱軸都是y軸,頂點(diǎn)都是原點(diǎn),從表格中數(shù)值的變化趨勢(shì)可知,圖象開口向上,∴選項(xiàng)A,B,C中說法都正確.把(1,1)代入y=ax2,得a=1,則函數(shù)為y=x2,把x=-3代入y=x2,得y=(-3)2=9,∴圖象不經(jīng)過點(diǎn)(-3,6).故選D.
4.(2021安徽六安金安期中)拋物線y=x2,y=-3x2,y=x2的共同性質(zhì)是(　　)
A.開口都向上　　　　B.都有最大值
C.對(duì)稱軸都是x軸　　　　D.頂點(diǎn)都是原點(diǎn)
【答案】D　拋物線y=x2的開口向上,有最小值,對(duì)稱軸是y軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0);拋物線y=
-3x2的開口向下,有最大值,對(duì)稱軸是y軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0);拋物線y=x2的開口向上,有最小值,對(duì)稱軸是y軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),∴三條拋物線的共同性質(zhì)是頂點(diǎn)都是原點(diǎn).故選D.
5.在同一坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù)y=kx2和y=kx+2(k≠0)的圖象大致為(　　)
A B
C D
【答案】D　一次函數(shù)y=kx+2的圖象與y軸正半軸相交,故A、B錯(cuò)誤;函數(shù)y=kx2的圖象開口向上時(shí),k>0,一次函數(shù)y=kx+2的圖象經(jīng)過第一、二、三象限,故C錯(cuò)誤,D符合.故選D.
6.已知二次函數(shù)y=(a-1)x2,當(dāng)x>0時(shí),y隨x增大而增大,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.a>0　　　　B.a>1 C.a≠1　　　　D.a<1
【答案】B　∵二次函數(shù)y=(a-1)x2,當(dāng)x>0時(shí),y隨x增大而增大,∴a-1>0,∴a>1.
7.已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在二次函數(shù)y=ax2(a<0)的圖象上,且x1A.y1【答案】A　∵二次函數(shù)y=ax2圖象的對(duì)稱軸為y軸,開口向下,∴當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小.∵x18.二次函數(shù)y=x2,當(dāng)1≤y≤9時(shí),自變量x的取值范圍是(　　)
A.1≤x≤3 B.-3≤x≤3
C.-3≤x≤-1或1≤x≤3 D.-3≤x<0或0【答案】 C　∵y=x2,∴該函數(shù)圖象開口向上,對(duì)稱軸為y軸,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小.∵當(dāng)y=1時(shí),x=±1;當(dāng)y=9時(shí),x=±3,∴當(dāng)1≤y≤9時(shí),自變量x的取值范圍是-3≤x≤-1或1≤x≤3.
9.如圖,正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若拋物線y=ax2與正方形有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.≤a≤3　　　　B.≤a≤1 C.≤a≤3　　　　D.≤a≤1
【答案】A　當(dāng)拋物線經(jīng)過(1,3)時(shí),a=3;當(dāng)拋物線經(jīng)過(3,1)時(shí),a=.若拋物線y=ax2與正方形有公共點(diǎn),則≤a≤3,故選A.
填空題
10.函數(shù)y=2x2的圖象的開口 , 對(duì)稱軸 ,頂點(diǎn)是 ;
在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而 ,
在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨x的增大而 .
【答案】向上；y軸；(0,0)；減小；增大
11.函數(shù)y=-3x2的圖象的開口 , 對(duì)稱軸 ,頂點(diǎn)是 ;
在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而 ,
在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨x的增大而 .
【答案】向下；y軸；(0,0)；增大；減小
12.如圖，觀察函數(shù)y=（k-1）x2的圖象,則k的取值范圍是 .
【答案】k>1
三、解答題
13.已知二次函數(shù)y=x2，若x≥m時(shí)，y最小值為0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：在二次函數(shù)y=x2中，a=1＞0
因此當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值.
∵當(dāng)x≥m時(shí)，y最小值=0，
∴m≤0．
14.已知：如圖，直線y＝3x＋4與拋物線y＝x2交于A、B兩點(diǎn)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出兩交點(diǎn)與原點(diǎn)所圍成的三角形的面積．
【答案】解：由題意得
解得
因此兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，16)和B(－1，1)．
∵直線y＝3x＋4與y軸相交于點(diǎn)C(0，4)，即CO＝4.兩交點(diǎn)與原點(diǎn)所圍成的三角形面積S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC邊上的高就是B點(diǎn)的橫坐標(biāo)值的絕對(duì)值1；在△ACO中，OC邊上的高就是A點(diǎn)的橫坐標(biāo)值的絕對(duì)值4.
因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10.
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會(huì)了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識(shí)畫出思維導(dǎo)圖
目標(biāo)解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達(dá)標(biāo)測(cè)試
自學(xué)反思
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22.1.2 二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì) 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
經(jīng)歷描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像的過程；
2、學(xué)會(huì)觀察、歸納、概括函數(shù)圖像的特征；
3、經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程，學(xué)會(huì)合情推理。
（二）學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)
閱讀課本，識(shí)記知識(shí)：
1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。
2. 的性質(zhì)：上加下減。
例1.[直觀想象]定義運(yùn)算“※”:a※b=如:1※(-2)=-1×(-2)2=-4,則函數(shù)y=2※x的圖象大致是(　　)
A B
C D
【答案】C　y=2※x=當(dāng)x>0時(shí),圖象是函數(shù)y=2x2圖象的對(duì)稱軸右側(cè)的部分;當(dāng)x≤0時(shí),圖象是y=-2x2圖象的對(duì)稱軸上及其左側(cè)的部分,故選C.
例2.[邏輯推理]如圖,在拋物線y=ax2上有點(diǎn)A(-2,4),過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B,點(diǎn)C為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),連接CA,BC,取線段AC,BC的中點(diǎn)D,E,連接DE.當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論正確的為　　　.(填寫序號(hào)即可)
①AB=4;②DE=2;③S△CAB=8;④S△CDE=2;⑤△ACB的周長(zhǎng)為4+4.
【答案】①②
解析　∵拋物線y=ax2關(guān)于y軸對(duì)稱,AB∥x軸,∴點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,4),∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4),∴AB=4,故①正確;∵D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),∴DE為△ABC的中位線,∴DE=AB=2,故②正確;∵點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn),∴點(diǎn)C到AB、DE的距離不確定,∴△CAB和△CDE的面積不確定,故③④錯(cuò)誤;∵點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn),∴AC+BC不確定,∴△ACB的周長(zhǎng)不確定,故⑤錯(cuò)誤(當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí),△ACB的周長(zhǎng)為4+4).
選擇題
1.下列拋物線中,開口向下的有(　　)
①y=-x2;②y=x2;③y=10x2;④y=-x2.
A.1個(gè)　　B.2個(gè)　　C.3個(gè)　　D.4個(gè)
2.下列拋物線中,開口最窄的是(　　)
A.y=-x2　　　　B.y=-2x2
C.y=3x2　　　　D.y=5x2
3.下表是二次函數(shù)y=ax2的部分x,y的對(duì)應(yīng)值:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
則下列說法不正確的是(　　)
A.圖象開口向上　　　 B.圖象對(duì)稱軸是y軸
C.圖象頂點(diǎn)是原點(diǎn)　　　 D.圖象經(jīng)過點(diǎn)(-3,6)
4.拋物線y=x2,y=-3x2,y=x2的共同性質(zhì)是(　　)
A.開口都向上　　　　B.都有最大值
C.對(duì)稱軸都是x軸　　　　D.頂點(diǎn)都是原點(diǎn)
5.在同一坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù)y=kx2和y=kx+2(k≠0)的圖象大致為(　　)
A B
C D
6.已知二次函數(shù)y=(a-1)x2,當(dāng)x>0時(shí),y隨x增大而增大,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.a>0　　　　B.a>1 C.a≠1　　　　D.a<1
7.已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在二次函數(shù)y=ax2(a<0)的圖象上,且x1A.y18.二次函數(shù)y=x2,當(dāng)1≤y≤9時(shí),自變量x的取值范圍是(　　)
A.1≤x≤3 B.-3≤x≤3
C.-3≤x≤-1或1≤x≤3 D.-3≤x<0或09.如圖,正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若拋物線y=ax2與正方形有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.≤a≤3　　　　B.≤a≤1 C.≤a≤3　　　　D.≤a≤1
填空題
10.函數(shù)y=2x2的圖象的開口 , 對(duì)稱軸 ,頂點(diǎn)是 ;
在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而 ,
在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨x的增大而 .
11.函數(shù)y=-3x2的圖象的開口 , 對(duì)稱軸 ,頂點(diǎn)是 ;
在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而 ,
在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨x的增大而 .
12.如圖，觀察函數(shù)y=（k-1）x2的圖象,則k的取值范圍是 .
三、解答題
13.已知二次函數(shù)y=x2，若x≥m時(shí)，y最小值為0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
14.已知：如圖，直線y＝3x＋4與拋物線y＝x2交于A、B兩點(diǎn)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出兩交點(diǎn)與原點(diǎn)所圍成的三角形的面積．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會(huì)了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識(shí)畫出思維導(dǎo)圖
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