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第一講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)—曲線的交點和函數(shù)的零點
第三課時
用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象的交點或方程的根的個數(shù)
曲線的交點和函數(shù)的零點的個數(shù)常常與函數(shù)的單調(diào)性與極值有關(guān)，解題時，還需要用圖象幫助思考，而求函數(shù)的單調(diào)性與極值以及畫函數(shù)的圖象的有力工具就是導(dǎo)數(shù).
【例1】（2008江西卷， 文）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個交點，求的取值范圍．
【分析及解】（Ⅰ）令，
得．
在的已知條件下，及隨的變化情況列表如下：

減
極小值
增
極大值
增
極小值
減
所以的遞增區(qū)間為與，的遞減區(qū)間為與．
（Ⅱ）要研究函數(shù)的圖象與直線的交點的情況,就要考慮函數(shù)的極大值和極小值相對于的位置.
由（Ⅰ）得到，，，
由圖可知，要使的圖象與直線恰有兩個交點，只需
(1) 兩個極小值一個大于且另一個小于,即;
(2) 極大值小于,即，即或．
【例2】（2008四川 卷,理）已知是函數(shù)的一個極值點．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若直線與函數(shù)的圖像有3個交點，求的取值范圍．
【分析及解】（Ⅰ）因為，
所以．因此．
當(dāng)時, ,
由此可知,當(dāng)時, 單調(diào)遞減,當(dāng)時, 單調(diào)遞增,所以, 當(dāng)時, 是函數(shù)的一個極值點．
于是, .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，，
．
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是．
（Ⅲ）與的圖象有個交點；等價于有個實數(shù)根；即有個實數(shù)根；此時,函數(shù)的圖象與軸有個不同交點，
令，
則，
令，解得或，，隨的變化情況列表如下：
0
0
↗
極大值
↘
極小值
↗
為極大值,為極小值.
由表可得的示意圖：
為使圖象與軸有3個不同交點,必須的極大值大于零,極小值小于零.即可化為 解得
∴．
【例3】（2008陜西卷文）設(shè)函數(shù)其中實數(shù)．
（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個公共點且存在最小值時，記的最小值為，求的值域；
（Ⅲ）若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，求的取值范圍．
【分析及解】（Ⅰ） ，又，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅱ）由題意知 ，
即恰有一根（含重根）．
因為,一定有一根,所以,沒有實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根,因此有，即.又， ．
當(dāng)時，才存在最小值，． ，
所以, ． 于是的值域為．
（Ⅲ）當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．由題意得，解得；
當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．由題意得，解得；
綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．
【例4】(2006四川卷,文）已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).
（Ⅰ）對滿足的一切的值，都有，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點
【分析及解】（Ⅰ）由題意.
令，,
對，恒有，即.
∴ 即 解得.
故時，對滿足的一切的值，都有
（Ⅱ）
①當(dāng)時，的圖象與直線只有一個公共點
②當(dāng)時，令
則 .
列表：
增
極大
減
極小
增
所以,.
又因為的值域是，且在上單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時函數(shù)的圖象與軸只有一個公共點.
當(dāng)時，恒有, 此時, 的圖象與軸不能再有公共點,必須得極大值小于零,即, ,
解得.
綜上，的取值范圍是
【例5】（2006福建卷，文）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。
（I）求的解析式；
（II）是否存在自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.
【分析及解】（I）因為是二次函數(shù)，且的解集是
所以可設(shè)
由,
因為在區(qū)間上,函數(shù)是減函數(shù),在區(qū)間上, 函數(shù)是增函數(shù).
所以,在區(qū)間上的最大值是
由已知，得
所以, 的解析式為
（II）方程等價于方程
設(shè)則
當(dāng)時，是減函數(shù)；
當(dāng)時，是增函數(shù)。
因為
所以方程在區(qū)間內(nèi)分別有唯一的實數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實數(shù)根，
所以存在唯一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不同的實數(shù)根。
【例6】(2006福建卷，理）已知函數(shù)
（I）求在區(qū)間上的最大值
（II）是否存在實數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。
【分析及解】（I）
當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)即時，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
綜上，
（II）函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有三個不同的交點.
因為
所以,
當(dāng)時，是增函數(shù)；
當(dāng)時，是減函數(shù)；
當(dāng)時，是增函數(shù)；
當(dāng)或時，
于是,
當(dāng)充分接近0時，當(dāng)充分大時，
因此,要使的圖象與軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須
　　即
所以存在實數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有且只有三個不同的交點，的取值范圍為
【練習(xí)題】
1.（2005全國Ⅱ,文）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．
（Ⅰ）求的極值；
（Ⅱ）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時，曲線與軸僅有一個交點．
2.研究三次方程有且只有一個實數(shù)根的條件.
3、(2007年全國Ⅱ卷,理) 已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)，如果過點可作曲線的三條切線，證明：．
【分析及解】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；．
曲線在點處的切線方程為：
，
即 ．
（Ⅱ）如果有一條切線過點，則存在，使
．
于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程

有三個相異的實數(shù)根．
記 ，
則
．
當(dāng)變化時，變化情況如下表：
0
0
0
增
極大值
減
極小值
增
由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；
當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；
當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根．
綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則
即 ．
【練習(xí)題參考答案】
1.(I),若，則.
當(dāng)變化時，，變化情況如下表：
1
+
0
－
0
+
極大值
極小值
∴的極大值是，極小值是
(II)函數(shù)
由此可知，取足夠大的正數(shù)時，有>0，取足夠小的負(fù)數(shù)時有<0，所以曲線=與軸至少有一個交點
結(jié)合的單調(diào)性可知：
解得.
或解得.
∴當(dāng)時，曲線與軸僅有一個交點。
2. 三次方程有且只有一個實數(shù)根,有下列兩種情況:
(1) 函數(shù)在上是單調(diào)的，這相當(dāng)于恒大于零，或恒小于零，即，即.
(2) 函數(shù)在上不是單調(diào)的，設(shè)有兩個根為(此時)，這時，它們對應(yīng)的函數(shù)值是極大或極小值,需滿足或即.
因此,三次方程有且只有一個實數(shù)根的條件是: 或.

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