資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
22.1.4 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質 學案
（一）學習目標：
1、描點法畫出二次函數y =ax2+bx+c的圖象并掌握其性質。
2、在作圖過程中感受數學結合、轉化、類比的數學方法。
3、體會合作學習帶來的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：觀察圖象，得出圖象特征和性質
學習難點：函數的性質
閱讀課本，識記知識：
1.二次函數圖象的畫法：
五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）。
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
2.二次函數的性質
（1） 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
（2） 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
3.二次函數解析式的表示方法
（1）一般式：（，，為常數，）；
（2）頂點式：（，，為常數，）；
（3）兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.
【例1】 拋物線的對稱軸是直線，那么下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二次函數的性質．根據二次函數的對稱軸為，進行求解后，判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，
∴．
故選：C．
【例2】 如圖，拋物線的對稱軸是，則下列五個結論：①；②；③ ；④；⑤其中正確結論的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系，理解圖象的特征是解決問題的關鍵．根據圖像的對稱軸、與軸交點個數、與軸交點位置進行判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴，故①正確；
∵圖象開口向下，
∴，
∵圖象交軸于正半軸，
∴，
∵對稱軸是直線，
，
∴，
∴，
∴，故②錯誤；
∵，
∴，故③正確；
根據圖像可知關于對稱的點為，
故圖象與軸交點在和之間，且開口向下，
∴時， ，故④正確；
由圖象知:時， ，
∵，
∴，即，故⑤正確；
∴共個正確，
故選:.
選擇題
1．二次函數的圖像如圖所示，對稱軸是直線，下列結論：
①；
②；
③；
④（為實數）．
其中結論正確的為（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本題主要考查二次函數圖像與系數的關系、平方差公式等知識，解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函數與方程及不等式的關系．由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與軸交點位置判斷①；由與的關系及時可判斷②；利用，根據時，時可判斷③；由時取最小值可判斷④．
【詳解】解：∵拋物線開口向上，
∴，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴，
∵拋物線與軸交點在軸下方，
∴，
∴，故①正確；
∵時，，故②不正確；
∵，
且，，
∴，故③不正確；
∵時，為最小值，
∴，故④正確．
綜上所述，結論正確的有①④．
故選：A．
2．在同一直角坐標系中，一次函數和二次函數的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的圖象、一次函數的圖象，根據各個選項中的圖象，可以判斷出一次函數和二次函數中a、c的正負情況，即可判斷哪個選項是正確的，解答本題的關鍵是明確一次函數和二次函數的性質，利用數形結合的思想解答．
【詳解】解：A、一次函數中，，二次函數中，，故選項不符合題意；
B、一次函數中，，二次函數中，，故選項符合題意；
C、一次函數中，，二次函數中，，故選項不符合題意；
D、一次函數中，，二次函數中，，故選項不符合題意；
故選：B．
3．已知直線經過第一、三、四象限，則拋物線可能是下列中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數圖像和一次函數圖像的關系，根據一次函數經過的象限判斷字母的范圍再根據字母的范圍得到二次函數的圖像．
【詳解】解：直線經過第一、三、四象限，
故二次函數開口向上，對稱軸在正半軸，且經過原點．
故選B．
4．若二次函數的圖象經過三點，則 的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可知圖象開口向下，求出對稱軸，圖象上的點到對稱軸的距離越遠，縱坐標越小．
【詳解】解：二次函數的解析式為，
函數圖象開口向下，對稱軸為，
，，到對稱軸的距離分別為：，，．
函數圖象開口向下，
圖象上的點到對稱軸的距離越遠，縱坐標越小，
．
故選B．
5．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的邊在軸上，頂點在軸上，，，拋物線經過點，且頂點在直線上，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了二次函數幾何綜合，菱形的性質及勾股定理．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．由在平面直角坐標系中，菱形的邊在軸上，，，利用勾股定理即可求得的長然后求得點坐標，繼而求得直線的解析式，最后由拋物線經過點C，且頂點在直線上，求得答案
【詳解】
四邊形是菱形，
設直線的解析式為∶，
，
解得：，
直線的解析式為∶，
拋物線經過點，
，
頂點為∶，
頂點在直線上，
．
故選：B．
6．已知二次函數（a，b，c是常數，），該函數y與x的部分對應值如上表：下列各選項中，正確的是（ ）
x … 0 1 3 …
y … 3 …
A．這個函數的圖象開口向下 B．這個函數的最小值為
C．當時， D．當時，y的值隨x值的增大而減小
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．
通過待定系數法求出函數解析式，從而可得拋物線開口方向及對稱軸，進而求解．
【詳解】將代入得：
解得：
∴拋物線開口向上，選項A錯誤，
將代入得
∴C錯誤，
∵拋物線經過，
∴拋物線對稱軸為直線，
將代入得
∴函數最小值為，選項B錯誤，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴時，隨增大而減小，選項D正確．
故選：D．
7．把拋物線先向上平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到的拋物線為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二次函數圖像與幾何變換，根據函數圖象平移的法則“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可．
【詳解】解：把拋物線先向上平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到的拋物線為，
故選：C．
8．二次函數的圖象上有兩點， ，則a，b的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的性質，根據函數解析判斷出二次函數的增減性是解題的關鍵．
【詳解】解：對于二次函數，
∵，
∴當時，y隨x的增大而減小，
∴當時，，
故選:B．
9．拋物線的頂點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．x軸上 D．y軸上
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數的性質，根據頂點式求出函數頂點坐標即可判斷出定點所在位置．
【詳解】解：拋物線的頂點為，在y軸上，
故選D．
10．判斷下列哪一組的a、b、c，可使二次函數在坐標平面上的圖形有最高點（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的最值，理解二次函數系數與圖象的關系是解題的關鍵．將二次函數化為一般形式，使其二次項系數為負數即可．
【詳解】解：，
若使此二次函數圖形有最高點，則圖形的開口向下，即項系數為負數，
∴，
∴，
故選：A．
填空題
11．將拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到的拋物線的解析式是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象的平移．熟練掌握二次函數圖象的平移規(guī)律為：上加下減，左加右減是解題的關鍵．
根據上加下減，左加右減進行求解作答即可．
【詳解】解：由題意知，平移后拋物線的解析式是，
故答案為：．
12．二次函數的圖象如圖所示，對稱軸為，則下列結論：①，②，③，④，⑤（m為任意實數）．其中正確的是 （填序號）．
【答案】①③
【分析】本題考查了圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數的圖象與性質，根據圖象先判斷的取值，然后再根據對稱軸與圖象的交點情況進行等量代換和推理即可．
【詳解】解： 由圖象可知，圖象開口向下，
∴，
拋物線與y軸交于正半軸，
∴，
又對稱軸為，
∴，，
∴，
∴，故①符合題意；
拋物線與x軸交于，
∴，
∴，故②不符合題意；
由二次函數的對稱性可知，當時，，
則有，故③符合題意；
∵，，
∴，
又，
∴，故④不符合題意；
當時，函數值最大，，
而當時，，
∴
，故⑤不符合題意．
故答案為：①③．
13．如果拋物線經過兩點和，那么的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查待定系數法求函數解析式．將點A的坐標代入解析式求出的值，再把點B的坐標代入，求出的值即可．
【詳解】解：把，代入，得：，
∴，
把，代入，得：；
故答案為：．
14．將拋物線向下平移2個單位，那么平移后拋物線的表達式是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的平移，根據“上下移動，縱坐標相加減，左右移動橫坐標相加減”進行求解即可．
【詳解】解：將拋物線向下平移2個單位，那么平移后拋物線的表達式是，
故答案為：．
15．已知函數，有下列結論：①圖象具有對稱性，對稱軸是直線；②當時，函數有最大值是4；③點，點在該函數圖象上，則當時，；④函數圖象與直線有4個交點，其中正確結論的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質，根據題意畫出對應的函數圖象，再利用函數圖象進行求解即可．
【詳解】解：如圖所示，在x軸上方（包含x軸上）的函數圖象即為，
∴的圖象具有對稱性，對稱軸為直線，故①正確；
由函數圖象可知，沒有最大值，故②錯誤；
由函數圖象可知，當，y隨x增大而增大，
∴當時，，故③正確；
由函數圖象可知，函數圖象與直線有4個交點，故④正確；
故答案為：①③④．
三、解答題
16．如圖，在中，，．動點P，Q同時從點C出發(fā)，動點P以的速度沿向終點A勻速運動；動點Q以的速度沿向終點B勻速運動．連接，設點P的運動時間為，的面積為．
(1)當時，______．
(2)求s與t之間的函數解析式，并寫出自變量t的取值范圍．
(3)當直線把分成面積比為兩部分時，直接寫出此時t的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)2或
【分析】本題考查了二次函數與面積綜合，一次函數的應用，幾何中的動點問題．熟練掌握二次函數與面積綜合，一次函數的應用，幾何中的動點問題是解題的關鍵．
（1）由題意知，當時，，，根據，計算求解即可；
（2）由題意知，當時，停止運動，當時，停止運動；分當時，當時，兩種情況求解，然后作答即可；
（3）由題意得，由直線把分成面積比為兩部分，可知分當時，當時，兩種情況求解：由當時，；可知該面積解析式不滿足要求；分①當時，；②當時，；計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】（1）解：由題意知，當時，，，
∴，
故答案為：2；
（2）解：由題意知，當時，停止運動，當時，停止運動；
當時，，，；
當時，，，；
∴；
（3）解：由題意得，
∵直線把分成面積比為兩部分，
∴分當時，當時，兩種情況求解：
當時，不滿足要求，舍去；
①當時，，
解得，或（舍去）；
②當時，，
解得，或（舍去）；
綜上所述，t的值為2或．
17．在平面直角坐標系中，拋物線（、為常數）與軸交于A、兩點（點A在點的左側），頂點坐標為，點在此拋物線上，且橫坐標為．
(1)求、的值；
(2)當時，，則的取值范圍是____________________；
(3)當點在軸下方時，若拋物線在點A和點之間的部分（包含A、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差是，求的值；
(4)點，以為對角線構造矩形，且矩形的邊與坐標軸平行．當拋物線在矩形內部的點縱坐標隨的增大而增大或隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)或2
(4)當時，拋物線在矩形內部的點的縱坐標y隨x的增大而減小；當時，拋物線在矩形內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大．
【分析】（1）根據二次函數的頂點列式即可解答；
（2）根據二次函數圖像的性質即可解答；
（3）由題意可得點P的坐標為，再確定時x的值，然后分和兩種情況解答即可；
（4）設矩形為，然后確定，；假設點M在拋物線上，求得m的值，然后結合函數圖像即可解答．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點的坐標為為，
∴，，解得：．
（2）解：∵，
∴，
令，解得：或，，
∴的解集為：，
∵拋物線的頂點坐標為，
∴當時，拋物線有最小值，
∵當時，，
∴．
（3）解：∵點的橫坐標為，
∴,
令，解得：或，
當時，當時取最低點，當P在A時有最高點0，
∴，解得：或（不合題意舍去）
當時，當時取最小值，當P在B時有最大值0，
∴，解得：
綜上，的值為或2．
（4）解：設矩形為，
∵，，
∴，，

如圖：當M點在拋物線上時，
，解得：或2，
所以當時，拋物線在矩形內部的點的縱坐標y隨x的增大而減小；
當時，拋物線在矩形內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大．
【點睛】本題主要考查了求函數解析式、二次函數圖像的性質、二次函數的最值等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．
18．在平面直角坐標系中，已知拋物線（為常數），經過點．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若隨的增大而減小，則的取值范圍為__________；
(3)若該函數圖象上的點，，當時，直接寫出的取值范圍為__________．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，待定系數法求解析式，解題關鍵是熟練掌握二次函數的相關概念和性質．注意數形結合思想．
（1）把點代入即可求解；
（2）將拋物線由一般式化為頂點式即可知頂點坐標和對稱軸，結合拋物線開口方向即可求解；
（3）將點代入即可得，可得，令求得結合由拋物線開口方向即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線經過點
解得∶，
故拋物線的解析式為；
（2）
頂點坐標為，對稱軸為直線．
拋物線開口方向向上，
當時，函數值隨的增大而減小，
（3）在拋物線上，
，
，
，
令即，
解得：，
拋物線開口方向向上，
時，或．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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22.1.4 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質 學案
（一）學習目標：
1、描點法畫出二次函數y =ax2+bx+c的圖象并掌握其性質。
2、在作圖過程中感受數學結合、轉化、類比的數學方法。
3、體會合作學習帶來的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：觀察圖象，得出圖象特征和性質
學習難點：函數的性質
閱讀課本，識記知識：
1.二次函數圖象的畫法：
五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）。
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
2.二次函數的性質
（1） 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
（2） 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
3.二次函數解析式的表示方法
（1）一般式：（，，為常數，）；
（2）頂點式：（，，為常數，）；
（3）兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.
【例1】 拋物線的對稱軸是直線，那么下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二次函數的性質．根據二次函數的對稱軸為，進行求解后，判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，
∴．
故選：C．
【例2】 如圖，拋物線的對稱軸是，則下列五個結論：①；②；③ ；④；⑤其中正確結論的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系，理解圖象的特征是解決問題的關鍵．根據圖像的對稱軸、與軸交點個數、與軸交點位置進行判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴，故①正確；
∵圖象開口向下，
∴，
∵圖象交軸于正半軸，
∴，
∵對稱軸是直線，
，
∴，
∴，
∴，故②錯誤；
∵，
∴，故③正確；
根據圖像可知關于對稱的點為，
故圖象與軸交點在和之間，且開口向下，
∴時， ，故④正確；
由圖象知:時， ，
∵，
∴，即，故⑤正確；
∴共個正確，
故選:.
選擇題
1．二次函數的圖像如圖所示，對稱軸是直線，下列結論：
①；
②；
③；
④（為實數）．
其中結論正確的為（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
2．在同一直角坐標系中，一次函數和二次函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直線經過第一、三、四象限，則拋物線可能是下列中的（　　）
A． B．
C． D．
4．若二次函數的圖象經過三點，則 的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的邊在軸上，頂點在軸上，，，拋物線經過點，且頂點在直線上，則的值為（ ）

A． B． C． D．
6．已知二次函數（a，b，c是常數，），該函數y與x的部分對應值如上表：下列各選項中，正確的是（ ）
x … 0 1 3 …
y … 3 …
A．這個函數的圖象開口向下 B．這個函數的最小值為
C．當時， D．當時，y的值隨x值的增大而減小
7．把拋物線先向上平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到的拋物線為（ ）
A． B．
C． D．
8．二次函數的圖象上有兩點， ，則a，b的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
9．拋物線的頂點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．x軸上 D．y軸上
10．判斷下列哪一組的a、b、c，可使二次函數在坐標平面上的圖形有最高點（　 　）
A． B．
C． D．
填空題
11．將拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到的拋物線的解析式是 ．
12．二次函數的圖象如圖所示，對稱軸為，則下列結論：①，②，③，④，⑤（m為任意實數）．其中正確的是 （填序號）．
13．如果拋物線經過兩點和，那么的值是 ．
14．將拋物線向下平移2個單位，那么平移后拋物線的表達式是 ．
15．已知函數，有下列結論：①圖象具有對稱性，對稱軸是直線；②當時，函數有最大值是4；③點，點在該函數圖象上，則當時，；④函數圖象與直線有4個交點，其中正確結論的序號是 ．
三、解答題
16．如圖，在中，，．動點P，Q同時從點C出發(fā)，動點P以的速度沿向終點A勻速運動；動點Q以的速度沿向終點B勻速運動．連接，設點P的運動時間為，的面積為．
(1)當時，______．
(2)求s與t之間的函數解析式，并寫出自變量t的取值范圍．
(3)當直線把分成面積比為兩部分時，直接寫出此時t的值．
17．在平面直角坐標系中，拋物線（、為常數）與軸交于A、兩點（點A在點的左側），頂點坐標為，點在此拋物線上，且橫坐標為．
(1)求、的值；
(2)當時，，則的取值范圍是____________________；
(3)當點在軸下方時，若拋物線在點A和點之間的部分（包含A、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差是，求的值；
(4)點，以為對角線構造矩形，且矩形的邊與坐標軸平行．當拋物線在矩形內部的點縱坐標隨的增大而增大或隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．
18．在平面直角坐標系中，已知拋物線（為常數），經過點．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若隨的增大而減小，則的取值范圍為__________；
(3)若該函數圖象上的點，，當時，直接寫出的取值范圍為__________．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
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