資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
22.2 二次函數(shù)與一元二次方程 學案
（一）學習目標：
通過對生活中實際問題的研究，體會建立數(shù)學建模的思想
通過對生活實際問題的研究，體會數(shù)學知識的現(xiàn)實意義，進一步認識如何利用二次函數(shù)的知識解決實際問題
3、通過解決實際問題，體會數(shù)學加持，從而提高學生學習數(shù)學知識興趣
（二）學習重難點：
學習重點：運用函數(shù)知識解決實際問題
學習難點：把實際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)關系
閱讀課本，識記知識：
1. 如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個根。
2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。
【例1】 關于x的一元二次方程在范圍內(nèi)有且只有一個根，則m的取值范圍為（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解和二次函數(shù)的關系，根的判別式的意義；
分兩種情況：①方程有兩個相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，可得，求出和，再根據(jù)確定m的范圍，得到此時m的值；②方程有兩個不相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，根據(jù)一元二次方程的解和二次函數(shù)的關系得出不等式組，求解即可．
【詳解】解：①當一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，
則，
解得：，
此時，
∴，
解得：，
∴；
②當一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，
∴或，
解不等式組得該不等式組無解；
解不等式組得：，
綜上，m的取值范圍為：或，
故選：D．
【例2】 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸正半軸相交于兩點，與軸相交于點，對稱軸為直線，且，則下列結論：①；②；③；④關于的方程有一個根為．其中說法正確的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③
【答案】A
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系．根據(jù)圖象判斷①，點的位置，判斷②，對稱軸判斷③，根與系數(shù)的關系判斷④．利用數(shù)形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．
【詳解】解：拋物線的開口向下，對稱軸為，與軸交于負半軸，
∴，，；
∴，故①正確；
當時，，
∴，
∵，
∴
由圖象可知，
∴，故②正確；
∵，
∴；故③錯誤；
∵有一個根為，設另一個根為，
則：，
∴，故④正確；
綜上：正確的是①②④．
故選A．
選擇題
1．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，B，C．現(xiàn)有以下結論：①拋物線開口向下；②當時，y取最大值；③當時，關于x的一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根；④直線經(jīng)過點A，B，當時，x的取值范圍是．正確的結論是（ ）

A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的對稱性，以及二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與不等式的關系，屬于較復雜的二次函數(shù)綜合選擇題；
結合函數(shù)圖象，利用二次函數(shù)的對稱性，以及根據(jù)函數(shù)圖象與不等式的關系可以得出正確答案．
【詳解】二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，B，C，由此可知，拋物線開口向下，所以①正確；
若當時，取最大值，則由于點和點C到的距離相等，這兩點的縱坐標應該相等，圖中點A和點C的縱坐標相等，所以②正確；
當時，二次函數(shù)的圖象與有兩個交點，則關于x的一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根；所以③是正確的；
直線經(jīng)過點A，B，當時，的取值范圍是或，從而④錯誤；
故選：B．
2．拋物線與軸的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點坐標．熟練掌握二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標的橫坐標為0是解題的關鍵．當時，，然后作答即可．
【詳解】解：當時，，
∴拋物線與軸的交點坐標為，
故選：B．
3．已知二次函數(shù)的圖象與x軸最多有一個公共點，現(xiàn)有三個結論：①該拋物線的對稱軸在y軸的左側；②關于x的方程無實數(shù)根；③．其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子的符號，根據(jù)的符號判斷①；根據(jù)拋物線與x軸交點情況及開口方向判斷②；根據(jù)時對應的函數(shù)值判斷③．
【詳解】解：，
，
拋物線的對稱軸：直線在y軸的左側，故①正確；
的圖象與x軸最多有一個公共點，
對于任意的x，都有，
，
關于x的方程無實數(shù)根，故②正確；
的圖象與x軸最多有一個公共點，，
對于任意的x，，
令，得，故③正確；
綜上可知，正確的有①②③．
故選D．
4．將7個分別標有數(shù)字，，，0，1，2，3的小球放到一個不透明的袋子里，它們大小相同，隨機摸取一個小球?qū)⑵錁擞浀臄?shù)字記為m，則使得二次函數(shù)與x軸有交點，且關于x的分式方程有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸交點的問題、分式方程、簡單的概率計算，根據(jù)拋物線與x軸有交點，計算出，根據(jù)分式方程有解，計算出，再在中找出滿足的數(shù)，利用概率公式求解即可．
【詳解】解：與x軸有交點，
∴，
解得：，
去分母得：
∴，
∵關于x的分式方程有解，
∴且
∴且，
在，，，0，1，2，3中，滿足且有：，
共5個，
∴隨機摸取一個小球?qū)⑵錁擞浀臄?shù)字記為m，則使得二次函數(shù)與x軸有交點，且關于x的分式方程有解的概率為，
故選：B．
5．拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點位于第二象限，其部分圖像如圖所示，給出以下判斷：
①；②；③；④；⑤
其中正確的個數(shù)有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上的點的特征，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一一判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線對稱軸，經(jīng)過點，
∴，
，
，
，
∴，故①正確，
∵拋物線對稱軸，經(jīng)過點，
∴和關于對稱軸對稱，
時，，
∴，故②正確，
∵拋物線與x軸交于，拋物線對稱軸，
拋物線與x軸的另外一個交點為，
時，，
，
，
，即，故③錯誤，
拋物線與x軸有兩個交點，
方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，故④正確，
，
，故⑤正確，
故正確的有4個，
故選：C．
6．關于拋物線的判斷，下列說法正確的是（　　）
A．拋物線的開口方向向上；
B．拋物線的對稱軸是直線；
C．當時，y隨x的增大而減小；
D．拋物線與y軸的交點坐標為．
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關鍵是將二次函數(shù)化為頂點式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．
【詳解】解：∵拋物線，
∴該拋物線的開口向下，拋物線的對稱軸是直線，當時，y隨x的增大而增大，故選項A、B、C不符合題意；
∵當時，，
∴拋物線與y軸的交點坐標為，故選項D符合題意．
故選：D．
7．根據(jù)下列表格對應值：判斷關于的方程的一個解的范圍是（ ）
3.24 3.25 3.26
0.01 0.03
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解．根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到時，；時，，于是可判斷在和之間取某一值時，，由此得到方程的一個解的范圍．
【詳解】解：時，；
時，，
∴當時，的值可以等于0，
∴方程的一個解的范圍是．
故選：B．
8．如圖所示，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，且，與y軸相交于點E，過點E的直線平行于x軸，與拋物線相交于P，Q兩點，則線段的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出三點的坐標，進一步可得點的坐標；再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，可得點的坐標，從而可得點的坐標，即可求解．
【詳解】解：令，則，
令，則，解得：，
∴，
∵，
令，則，解得：，
∴，
設直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
令，則，
∴，
∵過點E的直線平行于x軸，
令，則，
解得：，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點問題以及拋物線上點的坐標，解一元二次方程，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用數(shù)形結合的思想解決問題是解題關鍵．
9．已知拋物線，與x軸的一個交點為，則代數(shù)式的值為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是二次函數(shù)與軸的交點坐標的含義，求解代數(shù)式的值，熟練掌握拋物線與軸的交點特征是解決問題的關鍵．把點代入拋物線的解析式可得，再整體代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】解∶拋物線與軸的一個交點為，
，
故選D．
10．下表是一組二次函數(shù) 的自變量x與函數(shù)值y的對應值：那么下列選項中可能是方程 的近似根的是（ ）
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】B
【分析】本題考查了拋物線法求方程的近似根，采用零距離比較法，與零的距離越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．
【詳解】觀察圖表的，得與零的距離最小，
方程 的近似根的是：
故選B．
填空題
11．拋物線與軸交于點、．若點的坐標為，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查拋物線與x軸的交點，求出拋物線的對稱軸為直線，根據(jù)對稱性即可求解.
【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，
根據(jù)對稱性，則點，
故答案為：.
12．小王同學在探究函數(shù)的性質(zhì)時，作出了如圖所示的圖像，請根據(jù)圖像判斷，當方程有兩個實數(shù)根時，常數(shù)k滿足的條件是 ．
【答案】或
【分析】本題考查了二次函數(shù)與方程的關系，求得函數(shù)的頂點坐標，然后結合圖像即可求解．
【詳解】解：∵
∴頂點坐標為
∴與直線有3個交點，
觀察圖像，當方程有兩個實數(shù)根時，常數(shù)k滿足的條件是為或，
故答案為：或．
13．如圖，拋物線與x軸交于點A，B（點B在點A的左側），與y軸交于點C，連接，．
（1）的度數(shù)是 ；
（2）若點P是上一動點，則的最小值為 ．
【答案】 90 /
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，拋物線與坐標軸的交點，二次函數(shù)求最值：
（1）分別求出點A、B、C的坐標，判斷是直角三角形即可得到答案；
（2）依據(jù)垂線段最短，利用等積法求解即可．
【詳解】（1）解：當時，，
解得或，
點B在點A的左側，
點B的坐標為，點A的坐標為，
，
當時，，
點C的坐標為，
由勾股定理得，，
，
是直角三角形，且，
故答案為：90；
（2）當時，取最小值，
則，
，
解得：，即的最小值為，
故答案為：．
14．已知二次函數(shù)，小明利用計算器列出了下表：
x
那么方程的一個近似根是 （精確到）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，解答此題的關鍵是求出對稱軸，然后由圖象解答，注意數(shù)形結合的思想方法．
【詳解】解∶由可得：
，
當時，，
當時，，
故的一個近似根，
距離x軸更近，
的一個近似根是，
的另一個近似根是
故答案為：或
15．二次函數(shù)的頂點坐標是 ，與軸的交點坐標是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的頂點坐標與y軸的交點坐標，把解析式化為頂點式即可得到頂點坐標，再求出當時y的值即可求出與y軸的交點坐標．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析式為，
∴該二次函數(shù)的頂點坐標為，
在中，當時，，
∴該二次函數(shù)與軸的交點坐標是，
故答案為：，．
三、解答題
16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象經(jīng)過點，．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)結合函數(shù)圖象，直接寫出時，x的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系.
（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）令求出x的值，即可求解.
【詳解】（1）解：將點代入得：
，
解得：
.
（2）令即，
解得：，
拋物線開口向上，
時，。
17．如圖，拋物線與直線交于點和．
(1)求a、b的值；
(2)觀察圖象，直接寫出當時x的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)當時，x的取值范圍是
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：
（1）把點和代入，解出，；再把點A和點B代入，即可作答；
（2）結合圖象以及點和，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意，把點和代入，
得，；
∴點和．
（2）解：結合圖象，
當時，x的取值范圍是．
18．在平面直角坐標系中，點，在拋物線上．
(1)當時，求拋物線的對稱軸；
(2)若拋物線經(jīng)過點，當自變量x的值滿足時，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；
(3)當時，點，在拋物線上．若，請直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)a的取值范圍是或
(3)或
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，關鍵是利用數(shù)形結合和分類討論的思想進行解答．
（1）當時，，為拋物線上的對稱點，根據(jù)對稱性求出對稱軸；
（2）把，代入拋物線解析式得出a，b的關系，然后求出對稱軸，再分和，由函數(shù)的增減性求出a的取值范圍；
（3）先畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)確定m的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵，為拋物線上的對稱點，
∴，
拋物線的對稱軸；
（2）解：∵過，，
∴，，，
∴對稱軸．
①當時，
∵時，y隨x的增大而增大，
∴，，
∴．
②當時，
∵時，y隨x的增大而增大，
∴，，
∴，
綜上：a的取值范圍是或；
（3）解：∵點在拋物線上，
，
∵點，在拋物線上，
∴對稱軸為直線，
①如圖所示：

，
且，
；
②如圖所示：

，
，
，
綜上所述，m的取值范圍為或．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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22.2 二次函數(shù)與一元二次方程 學案
（一）學習目標：
通過對生活中實際問題的研究，體會建立數(shù)學建模的思想
通過對生活實際問題的研究，體會數(shù)學知識的現(xiàn)實意義，進一步認識如何利用二次函數(shù)的知識解決實際問題
3、通過解決實際問題，體會數(shù)學加持，從而提高學生學習數(shù)學知識興趣
（二）學習重難點：
學習重點：運用函數(shù)知識解決實際問題
學習難點：把實際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)關系
閱讀課本，識記知識：
1. 如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個根。
2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。
【例1】 關于x的一元二次方程在范圍內(nèi)有且只有一個根，則m的取值范圍為（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解和二次函數(shù)的關系，根的判別式的意義；
分兩種情況：①方程有兩個相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，可得，求出和，再根據(jù)確定m的范圍，得到此時m的值；②方程有兩個不相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，根據(jù)一元二次方程的解和二次函數(shù)的關系得出不等式組，求解即可．
【詳解】解：①當一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，
則，
解得：，
此時，
∴，
解得：，
∴；
②當一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且在的范圍內(nèi)時，
∴或，
解不等式組得該不等式組無解；
解不等式組得：，
綜上，m的取值范圍為：或，
故選：D．
【例2】 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸正半軸相交于兩點，與軸相交于點，對稱軸為直線，且，則下列結論：①；②；③；④關于的方程有一個根為．其中說法正確的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③
【答案】A
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系．根據(jù)圖象判斷①，點的位置，判斷②，對稱軸判斷③，根與系數(shù)的關系判斷④．利用數(shù)形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．
【詳解】解：拋物線的開口向下，對稱軸為，與軸交于負半軸，
∴，，；
∴，故①正確；
當時，，
∴，
∵，
∴
由圖象可知，
∴，故②正確；
∵，
∴；故③錯誤；
∵有一個根為，設另一個根為，
則：，
∴，故④正確；
綜上：正確的是①②④．
故選A．
選擇題
1．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，B，C．現(xiàn)有以下結論：①拋物線開口向下；②當時，y取最大值；③當時，關于x的一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根；④直線經(jīng)過點A，B，當時，x的取值范圍是．正確的結論是（ ）

A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
2．拋物線與軸的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函數(shù)的圖象與x軸最多有一個公共點，現(xiàn)有三個結論：①該拋物線的對稱軸在y軸的左側；②關于x的方程無實數(shù)根；③．其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．將7個分別標有數(shù)字，，，0，1，2，3的小球放到一個不透明的袋子里，它們大小相同，隨機摸取一個小球?qū)⑵錁擞浀臄?shù)字記為m，則使得二次函數(shù)與x軸有交點，且關于x的分式方程有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點位于第二象限，其部分圖像如圖所示，給出以下判斷：
①；②；③；④；⑤
其中正確的個數(shù)有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
6．關于拋物線的判斷，下列說法正確的是（　　）
A．拋物線的開口方向向上；
B．拋物線的對稱軸是直線；
C．當時，y隨x的增大而減小；
D．拋物線與y軸的交點坐標為．
7．根據(jù)下列表格對應值：判斷關于的方程的一個解的范圍是（ ）
3.24 3.25 3.26
0.01 0.03
A． B．
C． D．
8．如圖所示，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，且，與y軸相交于點E，過點E的直線平行于x軸，與拋物線相交于P，Q兩點，則線段的長為（ ）

A． B． C． D．
9．已知拋物線，與x軸的一個交點為，則代數(shù)式的值為（）
A． B． C． D．
10．下表是一組二次函數(shù) 的自變量x與函數(shù)值y的對應值：那么下列選項中可能是方程 的近似根的是（ ）
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
填空題
11．拋物線與軸交于點、．若點的坐標為，則點的坐標為 ．
12．小王同學在探究函數(shù)的性質(zhì)時，作出了如圖所示的圖像，請根據(jù)圖像判斷，當方程有兩個實數(shù)根時，常數(shù)k滿足的條件是 ．
13．如圖，拋物線與x軸交于點A，B（點B在點A的左側），與y軸交于點C，連接，．
（1）的度數(shù)是 ；
（2）若點P是上一動點，則的最小值為 ．
14．已知二次函數(shù)，小明利用計算器列出了下表：
x
那么方程的一個近似根是 （精確到）
15．二次函數(shù)的頂點坐標是 ，與軸的交點坐標是 ．
三、解答題
16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象經(jīng)過點，．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)結合函數(shù)圖象，直接寫出時，x的取值范圍．
17．如圖，拋物線與直線交于點和．
(1)求a、b的值；
(2)觀察圖象，直接寫出當時x的取值范圍．
18．在平面直角坐標系中，點，在拋物線上．
(1)當時，求拋物線的對稱軸；
(2)若拋物線經(jīng)過點，當自變量x的值滿足時，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；
(3)當時，點，在拋物線上．若，請直接寫出m的取值范圍．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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