資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
23.1 圖形的旋轉 學案
（一）學習目標：
通過觀察具體實例認識旋轉，探索它的基本性質
在探索中發(fā)展學生直觀想象能力，分析、歸納、抽象、概括的思維能力
3、體驗數學的具體、生動、靈活、調動學生學習數學的主動性
（二）學習重難點：
學習重點：歸納圖形旋轉的特征，能根據特征繪制旋轉后的圖形
學習難點：對圖形進行旋轉變換
閱讀課本，識記知識：
1.旋轉的概念
在平面內，將一個圖形上的所有點繞一個定點按照某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉．
這個定點叫做旋轉中心（如點O），轉動的角度叫做旋轉角(如∠AO A′)．
如圖：三角形A′B′C′是三角形ABC繞點O旋轉所得，則點Ａ和點A′，點B和B′，點C和點C′是對應點，線段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是對應線段，,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋轉角．
2.旋轉的性質
(1)對應點到旋轉中心的距離相等；　　
(2)對應線段的長度相等；
(3)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角
3.旋轉作圖
（1）“找”：根據題目要求，找出旋轉中心、旋轉方向和旋轉角.
（2）“定”：分析所作的圖形，確定構成圖形的關鍵點.
（3）“作”：沿一定的方向，按一定的角度，通過截取線段的方法，得到各個關鍵點旋轉后的對應點.
（4）“連”：按原圖中的順序連接所作的各個關鍵點的對應點，并標上相應字母.
（5）“寫”：寫出作圖結論
4.旋轉對稱圖形
如果一個圖形繞著某一點旋轉一定角度（小于周角）后能與原圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形
【例1】下列現象屬于旋轉的是（ ）
A．電梯的上下移動 B．飛機起飛后沖向空中的過程
C．幸運大轉盤轉動的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車
【答案】C
【分析】本題主要考查旋轉，熟練掌握旋轉的定義是解題的關鍵；因此此題可根據旋轉的定義“把一個平面圖形繞著平面內某一點轉動一個角度”進行求解即可．
【詳解】解：A、B、D選項都不符合旋轉的定義，而C選項符合旋轉的定義，故C選項屬于旋轉現象；
故選C．
【例2】已知，三角形．

(1)請畫出三角形繞點A逆時針旋轉得到的三角形，其中B點與點是對應頂點；
(2)在（1）的條件下，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查圖形的變換，掌握圖形的旋轉，及性質是解題的關鍵．
（1）三角形繞點A逆時針旋轉，則對應線段相互垂直，由此即可作圖；
（2）根據旋轉的性質可得，，根據，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，

∴即為所求圖形．
（2）解：∵三角形繞點A逆時針旋轉到三角形的位置，
∴，
∵，
∴，則．
選擇題
1．如圖，將直角三角板繞頂點A順時針旋轉到，點恰好落在的延長線上，若，，則旋轉角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查旋轉的性質．根據題意，易得，利用平角的定義求出，即可．掌握旋轉角是對應點與旋轉中心所形成的夾角，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵點恰好落在的延長線上，
∴，
即：旋轉角為；
故選：D．
2．圖中的宸宸是杭州第19屆亞運會的吉祥物，將它逆時針旋轉后的圖形是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查旋轉，找到旋轉中心，旋轉方向以及旋轉角度即可得到答案．
【詳解】解：逆時針旋轉后的圖形是 ，
故選A．
3．如圖，已知是正三角形，Q是邊上一點，連接，將繞點C按順時針方向旋轉，得到，連接，若，，則下面四個結論中，錯誤的是（ ）
A．是等邊三角形 B．
C．的周長是9 D．
【答案】D
【分析】本題考查了等邊三角形的性質和判定，平行線的判定，旋轉的性質，結合已知逐一判斷即可．
【詳解】∵是正三角形，
∴，
∵繞點C按順時針方向旋轉，得到，
∴，
∴是等邊三角形，，
∴，
故A正確，不符合題意；
故B正確，不符合題意；
∵繞點C按順時針方向旋轉，得到，是等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴的周長是，
故C正確，不符合題意；
無法證明，
故D錯誤，符合題意，
故選D．
4．如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉到的位置，其中點是點的對應點，點是點的對應點，并且點恰好落在線段的延長線上，則的長為（　　）
A．12 B．20 C．8 D．16
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質、旋轉的性質，過點作于點，求出，，由勾股定理求出的長，由旋轉的性質以及等腰三角形的性質可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．
【詳解】解：過點作于點，
，，
設，
，
，
，，
，
，
，
∵將繞點逆時針旋轉到的位置，
，
，
，
故選：D．
5．如圖，點P是等邊的邊上的一點，連接．將繞點A逆時針旋轉得到，連接．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，旋轉的性質，三角形內角和定理，先由等邊三角形的性質得到，再由旋轉的性質得到，由此可證明是等邊三角形，，再求出，即可利用三角形內角和定理求出答案．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，
由旋轉的性質可得，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
故選B．
6．如圖，繞點O順時針旋轉得到，若，當點C恰好在上時，則的度數是（　　）
A．30° B．40° C．45° D．55°
【答案】B
【分析】本題考查旋轉的性質，等腰三角形判定和性質．旋轉，得到，根據，求出的度數，等邊對等角，求出的度數，進而得到的度數，利用平角的定義，求出的度數即可．掌握旋轉的性質，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵繞點O順時針旋轉得到，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
7．如圖，菱形紙片ABCD的一內角為60°，邊長為2，將它繞對角線的交點O順時針旋轉90°后到的位置，則旋轉前后兩菱形重疊部分多邊形的周長為( )
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查菱形的性質和直角三角形的性質．根據已知可得重疊部分是個八邊形，從而求得其一邊長即可得到其周長．
【詳解】解：
根據旋轉的性質可得陰影部分為各邊長相等的八邊形，
旋轉前后兩菱形里魯部分多邊形的周長是．
故選：C．
8．如圖，將繞頂點順時針旋轉得到，且點剛好落在線段上，若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵，由旋轉的性質可得，，，由等腰三角形的性質與三角形內角和定理可求出答案．
【詳解】解：∵將繞頂點順時針旋轉得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
9．正方形繞著它的中心旋轉，要想與原來的圖形重合，至少要旋轉（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了旋轉角的定義及求法，對應點與旋轉中心所連線段的夾角叫做旋轉角．正方形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點，然后根據旋轉角及旋轉對稱圖形的定義作答．
【詳解】解：，
正方形繞中心至少旋轉90度后能和原來的圖案互相重合．
故選：D．
10．如圖，將正方形繞點D順時針旋轉后，點B的坐標變?yōu)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了旋轉的性質和網格當中的旋轉作圖．
作，將繞點D順時針旋轉至，即可得出B點的坐標．
旋轉的三要素為旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度，正確的作出旋轉以后的圖形是解題的關鍵．
如圖，作，將繞點D順時針旋轉至
則，，
，
，
∴正方形繞點D順時針旋轉后，點B的坐標變?yōu)椋?br/>故選：A
【詳解】詳解片段
填空題
11．如圖，邊長4的等邊中，點為上一點，且，點為邊上的一個動點，點繞點順時針旋轉得到點，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理等知識．由“”可證，可得，可證，即點在過點平行于的直線上運動，則當時，有最小值，由直角三角形的性質可求解．
【詳解】解：如圖，在上截取，連接，，
是等邊三角形，
，，
，
是等邊三角形，
，，
，
點繞點順時針旋轉得到點，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
點在過點平行于的直線上運動，
當時，有最小值，
此時，
，
，，
，
故答案為：．
12．如圖，將繞點順時針旋轉得到，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，主要利用了旋轉前后對應邊相等以及旋轉角的定義．證等邊三角形是本題的關鍵．
由旋轉的性質可得，，可證是等邊三角形，即可求出答案．
【詳解】繞點A順時針旋轉得到，
，，
，
即，
是等邊三角形
故答案為：
13．如圖，已知，如果將繞點O順時針旋轉到的位置時，恰好點A、O、D在同一直線上，那么旋轉角的度數為 度．
【答案】/145度
【分析】本題考查本題考查了旋轉的性質，熟練掌握運用旋轉的性質求出的度數是解題關鍵．
【詳解】解：繞點O順時針旋轉到的位置，
∴，
∴旋轉角的度數為，
故答案為：．
14．如圖，在矩形中，，，在邊上取一點E，使得，點F為直線上一動點，將沿翻折得，連接，將繞點C順時針旋轉得，連接，，則的最大值為 ．
【答案】12
【分析】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，勾股定理．在射線的延長線上取點O，使，證明，推出，得到點在以點O為圓心，2為半徑的圓上，當經過點O時，有最大值，據此求解即可．
【詳解】解：∵四邊形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵將沿翻折得，
∴，
在射線的延長線上取點O，使，
此時，
∵將繞點C順時針旋轉得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴點在以點O為圓心，2為半徑的圓上，當經過點O時，有最大值，
∴的最大值為，
故答案為：12．
15.平面直角坐標系中，，，A為x軸上一動點，連接，將繞A點順時針旋轉得到，當點A在x軸上運動，取最小值時，點B的坐標為 ．
【答案】
【分析】分三種情況：當點在軸正半軸時；當點在原點時；當點在軸負半軸時，利用三角形全等的判定與性質、旋轉的性質、兩點間的距離公式，分別進行求解即可得到答案．
【詳解】解：當點在軸正半軸時，如圖，作軸于，設，則，，

，，
，，
將繞點順時針旋轉得到，，
，，
，
，
，
，
在和，
，
，
，，
，
，
，
，
，
當點在原點時，如圖所示，

，，
，，
將繞點順時針旋轉得到，
，
；
當點在軸負半軸時，如圖，作軸于，設，則，，

，，
，，
將繞點順時針旋轉得到，，
，，
，，
，
在和，
，
，
，，
，
點在第四象限，
，
，
，
，
綜上所述：當時，取到最小值，為，此時，
故答案為：．
【點睛】本題考查坐標與圖形的變化—旋轉，勾股定理，全等三角形的判定和性質，兩點間的距離等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質，采用分類討論的思想解題．
三、解答題
16．在如圖的方格紙上，按要求完成下列各題，每個方格邊長1厘米．
(1)若點O的位置用數對表示，則點A的位置用數對可以表示為_________；
(2)將圓O向左平移2個單位，畫出平移后的圖形；
(3)將梯形繞點A順時針旋轉，畫出旋轉后的圖形．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題主要考查作圖，平移變換，旋轉變化，熟練掌握平移、旋轉的性質是解題的關鍵．
（1）由圖可得出答案；
（2）根據平移的性質作圖即可；
（3）根據旋轉的性質作圖即可．
【詳解】（1）解：由圖可知，點O的位置用數對表示，
則點A的位置用數對可以表示為；
（2）解：如圖，圓即為平移后的圖形；
（3）如圖，四邊形即為所求．
17．如圖，將直角三角形經過平移、旋轉、翻折三種運動中的一種或多于一種運動后，得到三角形，其中點點點分別是點、點、點的對應點，且三點在同一直線上．連接，得到梯形．已知，．
(1)直角三角形如何經過一種或幾種運動后得到三角形？請寫出具體的運動過程．（可能有多種方法，只要寫出一種方法即可）
(2)三角形是個什么形狀的三角形？請簡單說明理由．
(3)已知，梯形的面積為98，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)等腰直角三角形，理由見解析
(3)10
【分析】（1）根據旋轉的性質即可得到結論；
（2）根據旋轉的性質和等腰直角三角形的性質即可得到結論；
（3）根據平移的性質和勾股定理即可得到結論．
【詳解】（1）直角三角形繞著點順時針旋轉，然后繞著的中點旋轉得到三角形；
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：，
，
經過運動后得到，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）經過運動后得到，
，，
，
梯形的面積為98，
，
，
（舍去負值），
，
．
【點睛】本題考查了幾何變換的類型，勾股定理，等腰直角三角形的性質和判定，三角形內角和定理，熟練掌握平移、旋轉、軸對稱的性質是解題的關鍵．
18．如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉一定角度得到，當點的對應點恰好落在邊上時，求的長．
【答案】
【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質與判定；由旋轉的性質可得，進而可得是等邊三角形，得出，進而根據，即可求解．
【詳解】解：由旋轉的性質可得，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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23.1 圖形的旋轉 學案
（一）學習目標：
通過觀察具體實例認識旋轉，探索它的基本性質
在探索中發(fā)展學生直觀想象能力，分析、歸納、抽象、概括的思維能力
3、體驗數學的具體、生動、靈活、調動學生學習數學的主動性
（二）學習重難點：
學習重點：歸納圖形旋轉的特征，能根據特征繪制旋轉后的圖形
學習難點：對圖形進行旋轉變換
閱讀課本，識記知識：
1.旋轉的概念
在平面內，將一個圖形上的所有點繞一個定點按照某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉．
這個定點叫做旋轉中心（如點O），轉動的角度叫做旋轉角(如∠AO A′)．
如圖：三角形A′B′C′是三角形ABC繞點O旋轉所得，則點Ａ和點A′，點B和B′，點C和點C′是對應點，線段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是對應線段，,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋轉角．
2.旋轉的性質
(1)對應點到旋轉中心的距離相等；　　
(2)對應線段的長度相等；
(3)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角
3.旋轉作圖
（1）“找”：根據題目要求，找出旋轉中心、旋轉方向和旋轉角.
（2）“定”：分析所作的圖形，確定構成圖形的關鍵點.
（3）“作”：沿一定的方向，按一定的角度，通過截取線段的方法，得到各個關鍵點旋轉后的對應點.
（4）“連”：按原圖中的順序連接所作的各個關鍵點的對應點，并標上相應字母.
（5）“寫”：寫出作圖結論
4.旋轉對稱圖形
如果一個圖形繞著某一點旋轉一定角度（小于周角）后能與原圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形
【例1】下列現象屬于旋轉的是（ ）
A．電梯的上下移動 B．飛機起飛后沖向空中的過程
C．幸運大轉盤轉動的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車
【答案】C
【分析】本題主要考查旋轉，熟練掌握旋轉的定義是解題的關鍵；因此此題可根據旋轉的定義“把一個平面圖形繞著平面內某一點轉動一個角度”進行求解即可．
【詳解】解：A、B、D選項都不符合旋轉的定義，而C選項符合旋轉的定義，故C選項屬于旋轉現象；
故選C．
【例2】已知，三角形．

(1)請畫出三角形繞點A逆時針旋轉得到的三角形，其中B點與點是對應頂點；
(2)在（1）的條件下，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查圖形的變換，掌握圖形的旋轉，及性質是解題的關鍵．
（1）三角形繞點A逆時針旋轉，則對應線段相互垂直，由此即可作圖；
（2）根據旋轉的性質可得，，根據，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，

∴即為所求圖形．
（2）解：∵三角形繞點A逆時針旋轉到三角形的位置，
∴，
∵，
∴，則．
選擇題
1．如圖，將直角三角板繞頂點A順時針旋轉到，點恰好落在的延長線上，若，，則旋轉角是（ ）
A． B． C． D．
2．圖中的宸宸是杭州第19屆亞運會的吉祥物，將它逆時針旋轉后的圖形是（ ）

A． B．
C． D．
3．如圖，已知是正三角形，Q是邊上一點，連接，將繞點C按順時針方向旋轉，得到，連接，若，，則下面四個結論中，錯誤的是（ ）
A．是等邊三角形 B．
C．的周長是9 D．
4．如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉到的位置，其中點是點的對應點，點是點的對應點，并且點恰好落在線段的延長線上，則的長為（　　）
A．12 B．20 C．8 D．16
5．如圖，點P是等邊的邊上的一點，連接．將繞點A逆時針旋轉得到，連接．若，則（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，繞點O順時針旋轉得到，若，當點C恰好在上時，則的度數是（　　）
A．30° B．40° C．45° D．55°
7．如圖，菱形紙片ABCD的一內角為60°，邊長為2，將它繞對角線的交點O順時針旋轉90°后到的位置，則旋轉前后兩菱形重疊部分多邊形的周長為( )
A．8 B． C． D．
8．如圖，將繞頂點順時針旋轉得到，且點剛好落在線段上，若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
9．正方形繞著它的中心旋轉，要想與原來的圖形重合，至少要旋轉（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，將正方形繞點D順時針旋轉后，點B的坐標變?yōu)椋? ）
A． B． C． D．
填空題
11．如圖，邊長4的等邊中，點為上一點，且，點為邊上的一個動點，點繞點順時針旋轉得到點，則的最小值為 ．
12．如圖，將繞點順時針旋轉得到，則的度數為 ．
13．如圖，已知，如果將繞點O順時針旋轉到的位置時，恰好點A、O、D在同一直線上，那么旋轉角的度數為 度．
14．如圖，在矩形中，，，在邊上取一點E，使得，點F為直線上一動點，將沿翻折得，連接，將繞點C順時針旋轉得，連接，，則的最大值為 ．
15.平面直角坐標系中，，，A為x軸上一動點，連接，將繞A點順時針旋轉得到，當點A在x軸上運動，取最小值時，點B的坐標為 ．
三、解答題
16．在如圖的方格紙上，按要求完成下列各題，每個方格邊長1厘米．
(1)若點O的位置用數對表示，則點A的位置用數對可以表示為_________；
(2)將圓O向左平移2個單位，畫出平移后的圖形；
(3)將梯形繞點A順時針旋轉，畫出旋轉后的圖形．
17．如圖，將直角三角形經過平移、旋轉、翻折三種運動中的一種或多于一種運動后，得到三角形，其中點點點分別是點、點、點的對應點，且三點在同一直線上．連接，得到梯形．已知，．
(1)直角三角形如何經過一種或幾種運動后得到三角形？請寫出具體的運動過程．（可能有多種方法，只要寫出一種方法即可）
(2)三角形是個什么形狀的三角形？請簡單說明理由．
(3)已知，梯形的面積為98，求的長．
18．如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉一定角度得到，當點的對應點恰好落在邊上時，求的長．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
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