資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
24.1.1 圓 學案
（一）學習目標：
1.了解圓的有關概念，理解垂徑定理
2.在作圖過程中感受數學結合、轉化、類比的數學方法。
3.體會自主學習帶來的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：圓的有關概念
學習難點：感受數學結合、轉化、類比的數學方法
閱讀課本，識記知識：
1. 圓的定義
(1)動態：如圖，在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.要點詮釋：
　 ①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
　②圓是一條封閉曲線.
(2)靜態：圓心為O，半徑為r的圓是平面內到定點O的距離等于定長r的點的集合.
3.要點詮釋：
　 ①定點為圓心，定長為半徑；
　　②圓指的是圓周，而不是圓面；
　　③強調“在一個平面內”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.
【例1】 如圖，在矩形中，，動點分別從點同時出發，以相同的速度分別沿向終點移動，當點到達點時，運動停止，過點作直線的垂線，垂足為點，在這個移動過程中點經過的路徑長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，交于點，取中點，連接，根據直角三角形斜邊中線的性質，可以得出的軌跡，從而求出經過的路程長．
【詳解】解：連接，交于點，取中點，連接，如圖所示：
，
，
在與中，
，
，
，，共線，
，是中點，
在中，，則，
的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓弧，則
當與重合時，；當與重合時，與重合；
走過的路程為，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了軌跡長度的求解，涉及矩形的性質、動點軌跡、與圓有關的位置關系等知識，根據矩形的性質以及直角三角形斜邊中線的性質確定的軌跡是本題解題的關鍵．
【例2】 給出下列說法：①經過平面內的任意三點都可以確定一個圓；②等弧所對的弦相等；③長度相等的弧是等弧；④相等的弦所對的圓心角相等．其中正確的是（ ）
A．①③④ B．② C．②④ D．①④
【答案】B
【分析】本題考查圓的認識，確定圓的條件，圓心角、弧、弦的關系，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：①經過平面內不共線的三點確定一個圓，故①不符合題意；
②等弧所對的弦相等，正確，故②符合題意；
③長度相等的弧不一定是等弧，故③不符合題意；
④在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，故④不符合題意，
∴其中正確的是②．
故選：B．
選擇題
1．如圖，在中，，D 是內部的一個動點，滿足，則線段長的最小值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查圓外一點到圓上一點距離的最值問題．根據，推出，得到點在以為直徑的圓上，取的中點，連接，，根據，求出最小值即可．解題的關鍵是確定點的運動軌跡．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點在以為直徑的圓上，
取的中點，連接，，則：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為2．
故選A．
2．已知點A，B，且，畫經過A，B兩點且半徑為2的圓有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數個
【答案】C
【分析】本題考查了圓的定義，掌握圓是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合成為解題的關鍵．
根據圓的定義可知：經過A、B兩點的圓的圓心都在線段的垂直平分線上，結合的長可判斷垂直平分線上點到點A和B的距離等于2的點有2個即可解答．
【詳解】解：經過A、B兩點的圓的圓心都在線段的垂直平分線上，而，
∴垂直平分線上點到點A和B的距離的點有2個，
∴經過A、B兩點且半徑為2的圓有2個．
故選：C．
3．下列說法正確的是（ ）
A．弦是直徑 B．半圓是弧
C．等弧就是長度相等的兩條弧 D．圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條直徑
【答案】B
【分析】此題考查了圓的相關性質，根據圓的弦、弧、直徑等相關知識進行判斷即可．熟練掌握圓的相關知識是解題的關鍵．
【詳解】直徑是經過圓心的弦，不是所有的弦都是直徑，故A錯誤；
圓上任意兩點間的部分是弧，所以半圓是弧，故B正確；
只有在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧才是等弧，故C錯誤；
圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條直徑所在的直線，故D錯誤．
故選：B．
4．如圖，矩形中，，，P是直線上的一個動點，，沿翻折形成，連接，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質、翻折的性質、勾股定理等知識點，利用定點定長構造輔助圓是解題的關鍵．
由翻折的性質可得，得點F在以E為圓心，為半徑的圓上運動，連接，作于G，然后運用勾股定理求出，最后根據線段的和差即可解答．
【詳解】解：連接，作于G，
∵P是直線上的一個動點，，
∴，
∴點F在以E為圓心，為半徑的圓上運動，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值為．
故選D．
5．如圖，在平面直角坐標系中，的半徑為2，與x軸，y軸的正半軸分別交于點A，B，點，，，均為弧上的點（點P不與點A，B重合），若，則點P的位置為（　　）
A．在弧上 B．在弧上 C．在弧上 D．在弧上
【答案】B
【分析】本題考查了圓的性質，坐標與圖形性質，勾股定理，運用勾股定理求出、、的坐標是解題關鍵．
如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點，利用勾股定理求出、、的值，觀察點的坐標變化規律即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，，，
由圖可知：隨著角度逐漸變小，點、、的橫坐標逐漸增大，縱坐標逐漸減小，
，
點在弧上．
故選：B．
6．如圖，在中，，點D是半徑為4的上一動點，點M是的中點，則的最大值是（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查直角三角形斜邊的中線的性質，三角形的中位線定理，三角形的三邊關系等知識，如圖，取的中點，連接，．利用直角三角形斜邊中線的性質，三角形的中位線定理求出，，再利用三角形的三邊關系即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取的中點，連接，．
，，，
，
點是的中點，
，
點是的中點，點是的中點，
，
，
，
即的最大值是7．
故選：A．
7．如圖，的半徑為2，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則的最大值為（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質，圓外一點到圓上一點距離的最大值，連接，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得，當點P為線段的延長線與的交點時，取最大值，由此即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
點A、點B關于原點O對稱，
，
為斜邊上的中線，
，
點P是上的任意一點，
當點P為線段的延長線與的交點時，取最大值，如圖：
的半徑為2，圓心M的坐標為，
的最大值,
的最大值為，
故選D．
8．圓的半徑是一條（　　）
A．直線 B．射線 C．線段
【答案】C
【分析】本題考查了圓的半徑的定義“連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做半徑”，據此選擇答案即可．
【詳解】解：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做半徑，
故選：C．
9．已知的半徑是，則中最長的弦長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了圓的基本性質．根據圓中最長的弦為直徑，即可求解．
【詳解】解：∵的半徑是，
∴中最長的弦長直徑是．
故選：D
10．下列說法中，正確的是（ ）
A．半圓是弧，弧也是半圓 B．長度相等的弧是等弧
C．弦是直徑 D．在一個圓中，直徑是最長的弦
【答案】D
【分析】本題考查圓的基本概念辨析．根據弧：圓上兩點及其所夾的部分；弦：連接圓上兩點形成的線段，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故選項錯誤；
B、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故選項錯誤；
C、弦不一定是直徑，故選項錯誤；
D、在一個圓中，直徑是最長的弦，故選項正確；
故選D．
填空題
11．如圖，半徑為5的內有一點A，，點P在上，當最大時，的長等于 ．
【答案】
【分析】本題考查與圓有關的計算，勾股定理．當時，取得最大值，然后在直角三角形中利用勾股定理求的值即可．
【詳解】解：如圖所示：
是定值，
∴時，最大，
在直角三角形中，，，
．
故答案為：．
12．關于“圓的定義”，在我國古代就有記載，戰國時期數學家墨子撰寫的《墨經》一書中，就有“圓，一中同長也”的記載，這句話里的“中”字的意思可以理解為 ．
【答案】中心（圓心）
【分析】此題考查了圓的認識，根據半徑的含義：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑；在同圓或等圓中，所有的半徑都相等；由此判斷即可．
【詳解】解：戰國時期的《墨經》一書中記載：“圓，一中同長也”．表示圓心到圓上各點的距離都相等，即半徑都相等；
故答案為：中心（圓心）
13．如圖，是的直徑，是延長線上一點，點在上，且，的延長線交于點，若，那么 ．
【答案】/20度
【分析】本題主要考查了圓的知識、等腰三角形的性質、三角形外角的性質等知識，熟練掌握等腰三角形的性質和三角形外角性質是關鍵．連接，利用半徑相等和等腰三角形的性質以及三角形的外角的性質證明，即可獲得答案．
【詳解】解：連接，如下圖，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
14．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，P是以點為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連結OQ．則線段OQ的最小值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了拋物線與坐標軸的交點，三角形中位線定理，勾股定理，圓的基本性質等知識；
連接，根據函數解析式，求坐標，然后求出，是線段的中點，是線段的中點，故是的中位線，當、、三點共線，且點在之間時，最小，即可求解．
【詳解】連接，
因為拋物線與軸交于、兩點，
令即，
解得或，
，
，
，
，
，
是線段的中點，是線段的中點，
故是的中位線，
，
最小，即最小，
即、、三點共線，且點在之間時，最小，
，
，
故答案為：．
15．在矩形中，，點M是平面內一動點，且滿足，N為的中點，點M運動過程中線段長度的取值范圍是 ．

【答案】
【分析】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理，圓外一點到圓上點的距離的最值，把求的最值轉化為求的最值是關鍵；確定點M的運動路徑；延長到E，使，連接，交于點F、G；利用三角形中位線定理及圓的基本性質即可求得線段長度的取值范圍．
【詳解】解：∵，
∴在以B為圓心4為半徑的圓上運動；
∵四邊形為矩形，
∴；
延長到E，使，連接，交于點F、G；
∵N為的中點，
∴；
當M與F重合時，最小，且最小值為長；當M與G重合時，最大，且最大值為長；
∵，，
∴；
∴，，
∴的最小值為，的最大值為，
則線段長度的取值范圍是．

故答案為：．
三、解答題
16．如圖,一個運動場是由兩個半圓形和一個長為米,寬為米的長方形構成（取）．

(1)求這個運動場的周長是多少米
(2)已知整個運動場由草坪和塑膠跑道組成,塑膠跑道和草坪的面積比為,每平方米塑膠的價格為元,比每平方米草坪的價格高,則購買鋪滿該運動場所需要的塑膠和草坪的總費用是多少元
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意利用圓周長公式及矩形周長公式解答即可;
（2）根據題意利用圓面積公式及矩形面積公式解答即可．
【詳解】（1）解:∵一個運動場是由兩個半圓形和一個長為米,寬為米的長方形構成,
∴運動場的周長為:（米）,
故答案為:．
（2）解:根據題意,運動場是由兩個半圓形和一個長為米,寬為米的長方形構成,
∴運動場的面積為:（平方米）,
∵塑膠跑道和草坪的面積比為,
∴塑膠跑道面積為：（平方米）,
∴草坪面積為：（平方米）,
∵每平方米塑膠的價格為元,比每平方米草坪的價格高,
∴每平方米草坪的價格為:（元）,
∴總費用為:（元）,
故答案為:．
【點睛】本題考查圓周長計算,矩形周長計算,圓面積計算,矩形面積計算．
17．如圖，是的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于E，若，求的度數．
【答案】
【分析】本題考查了圓的認識、等腰三角形的性質及三角形外角的定義和性質等知識，熟練掌握等腰三角形的性質和三角形外角性質是關鍵．連接，利用半徑相等和等腰三角形的性質求得，進而根據“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和”可得的度數，從而利用三角形的外角的性質，由求解即可．
【詳解】解：連接，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．給出如下定義：在平面內，把一個圖形上任意一點與另一個圖形 上任意一點之間的距離的最小值，稱為這兩個圖形，之間的距離． 已知，在平面直角坐標系中，點

(1)若點
①點到線段 的距離為 ，點 到以線段為直徑的圓的距離為 ；
②當線段繞中點旋轉時，則點到線段距離的取值范圍為 ；
③以為邊，在軸下方做矩形，其中平行軸，，當矩形繞著點旋轉時，則點到矩形 的距離 的取值范圍為 ；
(2)當點在圓心，半徑為的圓上運動時，求點到線段的距離的取值范圍？
【答案】(1)①，；②；③；
(2)．
【分析】（）利用點到直線距離和兩點之間距離即可求解；
（）根據圓心，則點在直線上，再由勾股定理及圓上動點即可求解；
此題考查了點和圓的關系，直線和圓的位置關系，解題的關鍵是理解題意，學會利用特殊位置解決問題．
【詳解】（1）如圖，根據點到直線的距離可知，點到線段的距離為，

∵，，
∴，
∴的半徑為，
在中，由勾股定理得：，
∴點到以線段為直徑的圓的距離為，
故答案為：，；
如圖，由（）得，

∵，
∴，
∴點在以為直徑的圓上運動，
∴點到線段距離的取值范圍為，
故答案為：；
如圖，同理，可得：圓心，

∴，圓半徑為，
∴，
故答案為：；
（2）由圓心，
∴點在直線上，
如圖，

同理．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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24.1.1 圓 學案
（一）學習目標：
1.了解圓的有關概念，理解垂徑定理
2.在作圖過程中感受數學結合、轉化、類比的數學方法。
3.體會自主學習帶來的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：圓的有關概念
學習難點：感受數學結合、轉化、類比的數學方法
閱讀課本，識記知識：
1. 圓的定義
(1)動態：如圖，在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.要點詮釋：
　 ①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
　②圓是一條封閉曲線.
(2)靜態：圓心為O，半徑為r的圓是平面內到定點O的距離等于定長r的點的集合.
3.要點詮釋：
　 ①定點為圓心，定長為半徑；
　　②圓指的是圓周，而不是圓面；
　　③強調“在一個平面內”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.
【例1】 如圖，在矩形中，，動點分別從點同時出發，以相同的速度分別沿向終點移動，當點到達點時，運動停止，過點作直線的垂線，垂足為點，在這個移動過程中點經過的路徑長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，交于點，取中點，連接，根據直角三角形斜邊中線的性質，可以得出的軌跡，從而求出經過的路程長．
【詳解】解：連接，交于點，取中點，連接，如圖所示：
，
，
在與中，
，
，
，，共線，
，是中點，
在中，，則，
的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓弧，則
當與重合時，；當與重合時，與重合；
走過的路程為，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了軌跡長度的求解，涉及矩形的性質、動點軌跡、與圓有關的位置關系等知識，根據矩形的性質以及直角三角形斜邊中線的性質確定的軌跡是本題解題的關鍵．
【例2】 給出下列說法：①經過平面內的任意三點都可以確定一個圓；②等弧所對的弦相等；③長度相等的弧是等弧；④相等的弦所對的圓心角相等．其中正確的是（ ）
A．①③④ B．② C．②④ D．①④
【答案】B
【分析】本題考查圓的認識，確定圓的條件，圓心角、弧、弦的關系，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：①經過平面內不共線的三點確定一個圓，故①不符合題意；
②等弧所對的弦相等，正確，故②符合題意；
③長度相等的弧不一定是等弧，故③不符合題意；
④在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，故④不符合題意，
∴其中正確的是②．
故選：B．
選擇題
1．如圖，在中，，D 是內部的一個動點，滿足，則線段長的最小值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．已知點A，B，且，畫經過A，B兩點且半徑為2的圓有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數個
3．下列說法正確的是（ ）
A．弦是直徑 B．半圓是弧
C．等弧就是長度相等的兩條弧 D．圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條直徑
4．如圖，矩形中，，，P是直線上的一個動點，，沿翻折形成，連接，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在平面直角坐標系中，的半徑為2，與x軸，y軸的正半軸分別交于點A，B，點，，，均為弧上的點（點P不與點A，B重合），若，則點P的位置為（　　）
A．在弧上 B．在弧上 C．在弧上 D．在弧上
6．如圖，在中，，點D是半徑為4的上一動點，點M是的中點，則的最大值是（ ）
A．7 B．6 C． D．
7．如圖，的半徑為2，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則的最大值為（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
8．圓的半徑是一條（　　）
A．直線 B．射線 C．線段
9．已知的半徑是，則中最長的弦長是（ ）
A． B． C． D．
10．下列說法中，正確的是（ ）
A．半圓是弧，弧也是半圓 B．長度相等的弧是等弧
C．弦是直徑 D．在一個圓中，直徑是最長的弦
填空題
11．如圖，半徑為5的內有一點A，，點P在上，當最大時，的長等于 ．
12．關于“圓的定義”，在我國古代就有記載，戰國時期數學家墨子撰寫的《墨經》一書中，就有“圓，一中同長也”的記載，這句話里的“中”字的意思可以理解為 ．
13．如圖，是的直徑，是延長線上一點，點在上，且，的延長線交于點，若，那么 ．
14．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，P是以點為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連結OQ．則線段OQ的最小值是 ．
15．在矩形中，，點M是平面內一動點，且滿足，N為的中點，點M運動過程中線段長度的取值范圍是 ．

三、解答題
16．如圖,一個運動場是由兩個半圓形和一個長為米,寬為米的長方形構成（取）．

(1)求這個運動場的周長是多少米
(2)已知整個運動場由草坪和塑膠跑道組成,塑膠跑道和草坪的面積比為,每平方米塑膠的價格為元,比每平方米草坪的價格高,則購買鋪滿該運動場所需要的塑膠和草坪的總費用是多少元
17．如圖，是的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于E，若，求的度數．
18．給出如下定義：在平面內，把一個圖形上任意一點與另一個圖形 上任意一點之間的距離的最小值，稱為這兩個圖形，之間的距離． 已知，在平面直角坐標系中，點

(1)若點
①點到線段 的距離為 ，點 到以線段為直徑的圓的距離為 ；
②當線段繞中點旋轉時，則點到線段距離的取值范圍為 ；
③以為邊，在軸下方做矩形，其中平行軸，，當矩形繞著點旋轉時，則點到矩形 的距離 的取值范圍為 ；
(2)當點在圓心，半徑為的圓上運動時，求點到線段的距離的取值范圍？
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
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