資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
24.1.3 弧、弧、圓心角 學案
（一）學習目標：
1.了解圓心角的概念，理解弦、弧、圓心角定理。
2.感受數學結合、轉化、類比的數學方法。
3.體會自主學習帶來的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：弦、弧、圓心角定理的應用
學習難點：弦、弧、圓心角定理的應用
閱讀課本，識記知識：
1.弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.
　　直徑：經過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.
要點詮釋：
　　直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.
2.?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
　　半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
　　優?。捍笥诎雸A的弧叫做優?。?br/>　　劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.
要點詮釋：
　?、侔雸A是弧，而弧不一定是半圓；
　?、跓o特殊說明時，弧指的是劣弧.
3.圓心角定義
　　如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.同心圓與等圓
　　圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.
　　圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
5.等弧
　　在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
要點詮釋：
　?、俚然〕闪⒌那疤釛l件是在同圓或等圓中，不能忽視；
②圓中兩平行弦所夾的弧相等.
【例1】（1）圖①中有 條弧，分別為 ；
（2）寫出圖②中的一個半圓 ；劣?。? ；優弧： ．
【答案】 2； , ； ； ； ．
【詳解】解：（1）圖①中有2條弧，分別為 , ；
故答案為：2， , ；
（2）寫出圖②中的一個半圓 ；
劣?。?；優弧：．
故答案為： ； ；．
【例2】下列說法中，結論錯誤的是（　?。?br/>A．直徑相等的兩個圓是等圓
B．長度相等的兩條弧是等弧
C．圓中最長的弦是直徑
D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧
【答案】B.
提示：A、直徑相等的兩個圓是等圓，正確，不符合題意；
B、長度相等的兩條弧圓周角不一定相等，它們不一定是等弧，原題的說法是錯誤的，符合題意；
C、圓中最長的弦是直徑，正確，不符合題意；
D、一條直徑把圓分成兩條弧，這兩條弧是等弧，正確，不符合題意，
故選：B．
選擇題
1．如圖，是⊙的直徑，若弧AC所對的圓心角的度數是，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了弧、弦、圓心角之間的關系、等邊對等角、三角形的內角和定理，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理．根據等邊對等角，得出，即，再根據三角形的內角和定理，即可得出的度數．
【詳解】解：∵所對的圓心角的度數是；
∴；
∵；
∴；
故選：C．
2．列說法正確的個數有（ ）
①半圓是?。虎诿娣e相等的兩個圓是等圓；③所對的弦長相等的兩條弧是等??；④等弧所對的圓心角相等；⑤如果圓心角相等，那么它們所對的弦一定相等．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了與圓有關的概念，圓心角、弧、弦的關系，根據半圓的定義判斷①；根據圓的面積公式和等圓的定義判斷②；根據圓心角、弧、弦的關系判斷③④⑤．
【詳解】解：①半圓是弧，原說法正確，符合題意；
②面積相等的兩個圓是等圓，原說法正確，符合題意；
③所對的弦長相等的兩條弧不一定是等弧，例如同一條弦所對的優弧和劣弧不是等弧，原說法錯誤，不符合題意；
④等弧所對的圓心角相等，原說法正確，符合題意；
⑤在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弦一定相等，原說法錯誤，不符合題意；
∴說法正確的有3個，
故選C．
3．如圖，經過五邊形的四個頂點，若弧等于，，，則弧的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，多邊形內角與外角，連接，由半徑相等得到，，都為等腰三角形，根據，，求出與的度數，根據的度數確定出度數，進而求出的度數，即可確定出的度數．
【詳解】解：連接，

∵，
∴，，，皆為等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
則度數為．
故選：B．
4．如圖所示，是的直徑，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了弧與圓心角的關系．由，可求得，繼而可求得的度數；然后再根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理來求的度數．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故選：A．
5．下列有關圓的一些結論，其中正確的是（　?。?br/>A．任意三點可以確定一個圓
B．相等的圓心角所對的弧相等
C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧
D．圓內接四邊形對角互補
【答案】D
【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系定理，垂徑定理的推論，半圓與弧的定義，圓內接四邊形的性質，熟練掌握定義與性質是解題的關鍵．根據確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關系定理、垂徑定理、圓內接四邊形的性質進行判斷即可得到正確結論．
【詳解】解：A、不共線的三點確定一個圓，故本選項不符合題意；
B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項不符合題意；
C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項不符合題意；
D、圓內接四邊形對角互補，故本選項符合題意．
故選：D．
6．如圖，已知的直徑，弦與弦交于點E．且，垂足為點F．若，求的長為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理，弧，弦，圓心角定理，以及勾股定理．連接，由垂徑定理、等弦得到等弧，根據同圓中弧與圓心角的關系可求出，，通過含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理即可求出．
【詳解】解：如圖，連接，
又，
即，
，
，
∴，，
∴，，，
∵，即，
解得，
∴，
故選：C．
7．如圖，是的直徑，點D是弧的中點，過點D作于點E，延長交于點F，若，的直徑為10，則長為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關系，勾股定理；根據垂徑定理求出，得到，證明，可得，利用勾股定理求出的長，再求出長，即可得到答案．
【詳解】解：連接，如圖：
，是的直徑，
，，
為的中點，
，
，
，
的直徑為10，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故選：C．
8．如圖所示，在中，，那么（ ）
A． B． C． D．無法比較
【答案】B
【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系和三角形的三邊關系，在圓上截取，再根據“根據三角形的三邊關系”可解，熟練掌握圓心角、弧、弦之間的關系和三角形的三邊關系是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
在圓上截取，
∵，
∴，
∴，
根據三角形的三邊關系知，，
∴，
故選：．
9．如圖，在中，是直徑，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系由在同圓中等弧對的圓心角相等得，即可求解．
【詳解】解：∵是直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故選：B
10．如圖所示，在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了同弧所對的弦相等，三角形內角和定理．先證明，然后根據三角形內角和計算的度數．
【詳解】解：∵，
∴
∴，
∴．
故選：B．
填空題
11．如圖，是直徑，點C是上一點，且，點D是的中點，點P是直徑上一動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了根據軸對稱求線段和最小，圓周角定理，等弧所對的圓周角相等，等腰直角三角形的性質和判定，勾股定理等，確定最小值是解題的關鍵．作點D關于的對稱點，則的最小值是，再根據的邊角關系求出解即可．
【詳解】解：作點D關于的對稱點，連接，，，，．
可知，根據“兩點之間線段最短”得當C，P，三點共線時，最小，即．
∵點C在上，，點D是的中點，
∴，
∵點D關于的對稱點，
∴
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
12．如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點是的中點，是直徑上一動點，的半徑是2，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了圓心角的性質，軸對稱的性質，勾股定理，解題的關鍵是作點A關于的對稱點，連接交于P，則點P即是所求作的點，根據勾股定理求出結果即可．
【詳解】解：如圖，作點A關于的對稱點，連接交于P，則點P即是所求作的點，

根據軸對稱的性質可知，，
∴，
∵兩點之間線段最短，
∴ 此時最小，即最小，
∴的最小值為的長，
∵A是半圓上一個三等分點，
∴，
又∵點B是的中點，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴的最小值是．
故答案為：．
13．如圖，已知是的兩條直徑，且，過點作交于點，則弧的度數為 ．

【答案】/80度
【分析】本題考查平行線的性質，圓心角，弧，弦之間的關系，圓周角定理等知識點，
連接，根據平行線的性質求出，根據圓周角定理求出，再求出的度數，即可求出本題答案．
【詳解】解：連接，

∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴的度數是，
∵是的兩條直徑，
∴的度數是，
∴的度數是，
故答案為：．
14．在圓中，與半徑長度相等的弦所對的弧的度數為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查了弧與圓心角之間的關系，等邊三角形的性質與判定，先證明是等邊三角形，得到，再根據弧與弦之間的關系求解即可．
【詳解】解：如圖所示，在圓O中，弦，
∴是等邊三角形，
∴，
∴劣弧所對的圓心角度數為，優弧所對的圓心角度數為，
故答案為：或．
15．如圖，在中，弦的長度是弦長度的兩倍，連接，，，，則 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本題考查垂徑定理，弧、弦、圓心角的關系等，過點作交于點，先根據垂徑定理證明，，根據等弧所對的圓心角相等可得，再證，可得，進而推出．
【詳解】解：過點作交于點，連接．
，，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
即，
故答案為：．
三、解答題
16．如圖，是的直徑，點C，D是上的兩點，且，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查的是圓心角、弧、弦的關系，掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等是解題的關鍵．
先根據得出，再由平行線的性質得出，故可得出，據此即可證明結論．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17．如圖，在⊙O中，，于點D，于點E．
求證：；
【答案】見解析
【分析】本題考查弧，弦，角之間的關系，角平分線的判定定理．根據題意，得到是的角平分線，進而得到，即可得到．掌握到角兩邊的距離相等的點在角平分線上，是解題的關鍵．
【詳解】證明：如圖，連接，
∵，，，
∴是的角平分線，
∴，
∴．
18．如圖，已知：是的兩條弦，且，求證：．

【答案】見解析
【分析】本題考查圓心角，弧，弦之間的關系等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．利用圓心角，弧，弦之間的關系解決問題即可．
【詳解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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24.1.3 弧、弧、圓心角 學案
（一）學習目標：
1.了解圓心角的概念，理解弦、弧、圓心角定理。
2.感受數學結合、轉化、類比的數學方法。
3.體會自主學習帶來的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：弦、弧、圓心角定理的應用
學習難點：弦、弧、圓心角定理的應用
閱讀課本，識記知識：
1.弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.
　　直徑：經過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.
要點詮釋：
　　直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.
2.?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
　　半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
　　優?。捍笥诎雸A的弧叫做優?。?br/>　　劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.
要點詮釋：
　　①半圓是弧，而弧不一定是半圓；
　　②無特殊說明時，弧指的是劣弧.
3.圓心角定義
　　如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.同心圓與等圓
　　圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.
　　圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
5.等弧
　　在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
要點詮釋：
　?、俚然〕闪⒌那疤釛l件是在同圓或等圓中，不能忽視；
②圓中兩平行弦所夾的弧相等.
【例1】（1）圖①中有 條弧，分別為 ；
（2）寫出圖②中的一個半圓 ；劣弧： ；優?。? ．
【答案】 2； , ； ； ； ．
【詳解】解：（1）圖①中有2條弧，分別為 , ；
故答案為：2， , ；
（2）寫出圖②中的一個半圓 ；
劣弧： ；優?。海?br/>故答案為： ； ；．
【例2】下列說法中，結論錯誤的是（　　）
A．直徑相等的兩個圓是等圓
B．長度相等的兩條弧是等弧
C．圓中最長的弦是直徑
D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧
【答案】B.
提示：A、直徑相等的兩個圓是等圓，正確，不符合題意；
B、長度相等的兩條弧圓周角不一定相等，它們不一定是等弧，原題的說法是錯誤的，符合題意；
C、圓中最長的弦是直徑，正確，不符合題意；
D、一條直徑把圓分成兩條弧，這兩條弧是等弧，正確，不符合題意，
故選：B．
選擇題
1．如圖，是⊙的直徑，若弧AC所對的圓心角的度數是，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
2．列說法正確的個數有（ ）
①半圓是??；②面積相等的兩個圓是等圓；③所對的弦長相等的兩條弧是等弧；④等弧所對的圓心角相等；⑤如果圓心角相等，那么它們所對的弦一定相等．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．如圖，經過五邊形的四個頂點，若弧等于，，，則弧的度數為（ ）

A． B． C． D．
4．如圖所示，是的直徑，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．下列有關圓的一些結論，其中正確的是（　?。?br/>A．任意三點可以確定一個圓
B．相等的圓心角所對的弧相等
C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧
D．圓內接四邊形對角互補
6．如圖，已知的直徑，弦與弦交于點E．且，垂足為點F．若，求的長為（ ）
A． B．1 C． D．
7．如圖，是的直徑，點D是弧的中點，過點D作于點E，延長交于點F，若，的直徑為10，則長為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如圖所示，在中，，那么（ ）
A． B． C． D．無法比較
9．如圖，在中，是直徑，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖所示，在中，，則（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．如圖，是直徑，點C是上一點，且，點D是的中點，點P是直徑上一動點，則的最小值為 ．
12．如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點是的中點，是直徑上一動點，的半徑是2，則的最小值為 ．
13．如圖，已知是的兩條直徑，且，過點作交于點，則弧的度數為 ．

14．在圓中，與半徑長度相等的弦所對的弧的度數為 ．
15．如圖，在中，弦的長度是弦長度的兩倍，連接，，，，則 ．（填“”“”或“”）
三、解答題
16．如圖，是的直徑，點C，D是上的兩點，且，求證：．
17．如圖，在⊙O中，，于點D，于點E．
求證：；
18．如圖，已知：是的兩條弦，且，求證：．

（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
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