資源簡介

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人教版數學九年級上暑假預習課
第八講 二次函數二次函數與一元二次方程
一、知識點導航
知識點1 拋物線與坐標軸的交點
已知二次函數
（1）軸與二次函數得交點為(0, ).
（2）二次函數與軸的交點
二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.
名師點撥
典例剖析1
例1-1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點A的坐標為（-，m），與x軸的一個交點位于0和1之間，則以下結論：①abc＞0；②2b+c＞0；③若圖象經過點（-3，y1），（3，y2），則y1＞y2；④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0無實數根，則m＜3．其中正確結論的個數是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例1-2．經過A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）兩點的拋物線y=-x2+bx-b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，則線段AB長為（　　）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
例1-3．若函數y=x2-2x-m與x軸沒有交點，則一次函數y=（m+1）x+m-1的圖象不經過第（　　）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
針對訓練1
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點（-1，0），對稱軸為x=1，則下列結論中正確的是（　　）
A. a＞0
B. c＜0
C. 當x＞1時，y隨x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根
2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，點P，點Q是拋物線與x軸的兩個交點，若點P的坐標為（-1，0），則點Q的坐標為_____．
3．對于拋物線y=x2-4x+3．
（1）它與x軸交點的坐標為 _____，與y軸交點的坐標為 _____，頂點坐標為 _____；
（2）在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；
x … …
y … …
（3）利用以上信息解答下列問題：若關于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t為實數）在-1＜x＜的范圍內有解，則t的取值范圍是 _____．
能力提升1
1．已知二次函數的表達式為y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）試判斷該二次函數的圖象與x軸交點的個數？并說明理由．
（2）此二次函數的圖象與函數y=2x+m+4的圖象的一個交點在y軸上，求m的值．
2．已知拋物線y=-x2-6x+7與x軸交于點A，B（點A在點B的左側）與y軸交于點C．
（1）求點A，B的坐標；
（2）求△ABC的面積．
3．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2-x+2（a≠0）．
（1）若a=-1，求拋物線與x軸的交點坐標；
（2）若頂點縱坐標為3，求a的值；
（3）已知點M，N的坐標分別為（-1，2），（2，1）．
①若拋物線與直線MN有兩個不同的交點，求a的取值范圍；
②若拋物線與直線MN的兩個交點都在線段MN上，求a的取值范圍．
知識點2 圖像法求一元二次方程的解
利用拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具體過程如下：
①在平面直角坐標系中畫出拋物線y=ax2+bx+c；
②觀察圖象，確定拋物線與x軸的交點的橫坐標；
③交點的橫坐標為一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
名師點撥
用兩點夾逼法估計一元二次方程的根，具體方法如下：在交點（拋物線與x軸的交點）的兩側各取一點，
則一元二次方程的根在這兩個點的橫坐標之間．
3．通過取平均數求根的近似值，具體的操作過程如下：
①取使函數值異號且絕對值較小的兩個自變量的值m，n；
②分別將，n（或，m）作為自變量的值代入函數解析式，判斷其函數值是否異號；
③重復執行步驟①②，以提高根的估計值的精確度。
典例剖析2
例2-1．如表是二次函數y=ax2+bx+c的幾組對應值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
根據表中數據判斷，方程ax2+bx+c=0的一個解x的范圍是（　?。?br/>A. 6.16＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18
C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
例2-2．二次函數y=-x2+mx的圖象如圖，對稱軸為直線x=2，若關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t為實數）在1＜x＜5的范圍內有解，則t的取值范圍是（　?。?br/>A. t＞-5 B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤4
例2-3．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A，B兩點，與y軸正半軸交于點C，它的對稱軸為直線x=2，則下列說法中正確的有（　?。?br/>①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c=0（a≠0）其中一個解的取值范圍為-2＜x＜-1．
A. 1個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
針對訓練2
1．我們把一元二次方程x2-2x-3=0的解看成是拋物線y=x2-2x-3與x軸的交點的橫坐標，如果把方程x2-2x-3=0適當地變形，那么方程的解還可以看成是函數 _____與函數 _____的圖象交點的橫坐標（寫出其中的一對）．
2．在初中階段的函數學習中，我們經歷的“確定函數的表達式--畫函數圖象--利用函數圖象研究其性質--運用函數圖象解決問題“的學習過程．九年級數學共同體的同學根據學習函數的經驗．通過列表、描點、連線的方法研究了函數y=-3的相關性質和應用．以下是研究的部分過程，請你按要求完成下列問題．
（1）列表：下表列出x、y的部分對應值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … - - - -1 3 b - - - …
根據表格中的數據計算出：a=_____，b=_____；
（2）根據上表中的數據在如圖所示的平面直角坐標系中已經描出部分點的位置，請繼續通過描點、連線的方法．畫出該函數圖象，并寫出該函數的一條性質：_____；
（2）已知函數y=x+的圖象如圖所示，結合你畫的圖象．直接寫出方程 =x+的解．（保留1位小數，誤差不超過0.2）
3．閱讀下列材料
我們通過下列步驟估計方程2x2+x-2=0的根的所在的范圍．
第一步：畫出函數y=2x2+x-2的圖象，發現圖象是一條連續不斷的曲線，且與x軸的一個交點的橫坐標
在0，1之間．
第二步：因為當x=0時，y=-2＜0；當x=1時，y=1＞0．
所以可確定方程2x2+x-2=0的一個根x1所在的范圍是0＜x1＜1．
第三步：通過取0和1的平均數縮小x1所在的范圍；
取x==，因為當x=時，y＜0，
又因為當x=1時，y＞0，
所以＜x1＜1．
（1）請仿照第二步，通過運算，驗證2x2+x-2=0的另一個根x2所在范圍是-2＜x2＜-1；
（2）在-2＜x2＜-1的基礎上，重復應用第三步中取平均數的方法，將x2所在范圍縮小至m＜x2＜n,使得n-m≤．
能力提升2
1．小明在復習數學知識時，針對“求一元二次方程的解”整理了以下幾種方法，請你將有關內容補充完整：
例題：求一元二次方程x2-x-1=0的兩個解．
（1）解法一：選擇合適的一種方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函數圖象與兩坐標軸的交點求解．
如圖，把方程x2-x-1=0的解看成是二次函數y=_____的圖象與x軸交點的橫坐標即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用兩個函數圖象的交點求解①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函數y=_____的圖象與一個一次函數y=_____的圖象交點的橫坐標②畫出這兩個函數的圖象，用x1，x2在x軸上標出方程的解．
2．二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -1 - -2 - …
根據表格中的信息，完成下列各題
（1）當x=3時，y=_____；
（2）當x=_____時，y有最_____值為_____；
（3）若點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該二次函數圖象上的兩點，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2，試比較兩函數值的大?。簓1_____y2
（4）若自變量x的取值范圍是0≤x≤5，則函數值y的取值范圍是_____．
3．利用圖象解一元二次方程x2-2x-1=0時，我們采用的一種方法是：在直角坐標系中畫出拋物線y=x2和直線y=2x+1，兩圖象交點的橫坐標就是該方程的解．
（1）請再給出一種利用圖象求方程x2-2x-1=0的解的方法；
（2）已知函數y=x3的圖象（如圖），求方程x3-x-2=0的解．（結果保留2個有效數字）
知識點3 圖像法求一元二次不等式的解集
拋物線與不等式的關系
二次函數(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關系如下：
名師點撥
利用函數圖像解不等式
典例剖析3
例3-1 .函數的圖象如圖，那么：
方程的根是 　　??；
不等式的解集是 　　　；
不等式的解集是 　　?。?br/>針對訓練3
1.已知，二次函數的圖象如圖所示，二次函數與x軸交于，，
(1)求二次函數的解析式；
(2)當時，x的取值范圍是 ．
2.如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點，則關于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　?。?br/>A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
能力提升3
1.在平面直角坐標系中，拋物線經過點、．
(1)求這條拋物線所對應的函數表達式；
(2)求這條拋物線與x軸的交點坐標．
(3)當時，y的取值范圍為_____________．
2.已知拋物線的圖像過點，頂點橫坐標為，如圖
(1)求、的值；
(2)求的最大值；
(3)直接寫出當時，的取值范圍．
知識點4 拋物線與x軸交點問題
1.二次函數與軸的交點
二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.
2.二次函數與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點二次函數與軸相交；
②有一個交點（頂點在軸上）二次函數與軸相切 此時二次函數為；
總結完全平方形式的二次函數與x軸只有一個交點
③沒有交點二次函數與軸相離.注意這種情況 當a＞0,y值恒＞0，當a＜0,y值恒＜0，
3.平行于軸的直線與二次函數的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根.
名師點撥
求直線與拋物線的交點坐標,只需聯立直線與拋物線的解析式,解關于x,y的方程組,即可求得交點坐標;
(2)利用一次函數y=kx+t和二次函數y=ax2+bx+c的圖象比較兩函數值的大小及確定不等式kx+t>ax+bx+c或んx+t典例剖析4
例4-1．已知二次函數的表達式為y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）試判斷該二次函數的圖象與x軸交點的個數？并說明理由．
（2）此二次函數的圖象與函數y=2x+m+4的圖象的一個交點在y軸上，求m的值．
例4-2．已知拋物線y=-2x2+4x+6與x軸交于A、B兩點．
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）求線段AB的長．
針對訓練4
1．已知二次函數y=x2-kx+k-5
（1）求證：無論k取何實數，此二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）若此二次函數圖象的對稱軸為x=1，求它的解析式．
2．已知：二次函數y=-x2+x+c與X軸交于點M（x1，0）N（x2，0）兩點，與Y軸交于點H．
（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°時，求：函數解析式；
（2）若|x1|2+|x2|2=1，當點Q（b,c）在直線上時，求二次函數y=-x2+x+c的解析式．
3．已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的兩實根為x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函數的解析式，并寫出頂點坐標．
4．已知關于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實數，此方程總有實數根；
（2）若拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數點，且m為正整數，試確定此拋物線的解析式．
能力提升4
1．已知關于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k為常數．
（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；
（2）已知函數y=x2+（k-5）x+1-k的圖象不經過第三象限，求k的取值范圍；
（3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數值．
2．某班“數學興趣小組”對函數y=x2-2|x|的圖象和性質進行了探究，探究過程如下，請補充完整．
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 -1 0 3 …
（1）根據上表數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數圖象的一部分，請畫出該函數圖象的另一部分；
（2）觀察函數圖象，寫出2條函數的性質_____；
（3）進一步探究函數圖象發現：
①方程x2-2|x|=0的實數根為_____；
②方程x2-2|x|=2有_____個實數根．
③關于x的方程x2-2|x|=a有4個實數根時，a的取值范圍_____．
知識點5 求拋物線與x軸的截線長
二次函數y=ax +bx+c與x軸的交點有三種情況:有兩個交點,一個交點和沒有交點.與此相對應,一元二次方程ax +bx+c=0根也有三種情況:有兩個不相等的實數根,有兩個相等的實數根,沒有實數根.二次函數y=ax +bx+c的圖象與x軸的交點橫坐標就是一元二次方程ax +bx+c=0的根.如果要求拋物線與x軸截得的線段長,只需要求出對應一元二次方程ax +bx+c=0的兩根x1,x2則∣x1-x2∣即是。
名師點撥
拋物線與x軸的兩個交點橫坐標x1,x2，∣x1-x2∣=
典例剖析5
例5-1 .用描點法畫出的圖象并回答下列問題．
(1)列表：（列表時一般以對稱軸為中心，對稱取值．）
x … …
… …
(2)描點，并連線；
(3)①頂點坐標是 ，當x＝ 時，y有最 值是 ．
②當x 時，y隨x的增大而增大．
③該拋物線與y軸交于點 ．
(4)該拋物線與x軸交于點A、B，則AB＝ ．
例5-2 .已知拋物線經過點和點，
(1)求這個拋物線的解析式及頂點坐標．
(2)求拋物線與x軸兩個交點之間的距離．
針對訓練5
1．若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點在一次函數y=kx+t（k≠0）的圖象上，則稱y=ax2+bx+c（a≠0）為y=kx+t（k≠0）的伴隨函數，如：y=x2+1是y=x+1的伴隨函數．
（1）若y=x2-4是y=-x+p的伴隨函數，求直線y=-x+p與兩坐標軸圍成的三角形的面積；
（2）若函數y=mx-3（m≠0）的伴隨函數y=x2+2x+n與x軸兩個交點間的距離為4，求m,n的值．
2．如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）.
(1)若為二次函數的圖象上一點，求m的值；
(2)求的長.
3．已知關于x的一元二次方程：.
（1）試判斷原方程根的情況；
（2）若拋物線與x軸交于，兩點，則A，B兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由.
（友情提示：）
能力提升5
1．已知關于x的方程有兩個不相等的實數根.
（1）求k的取值范圍；
（2）試說明；
（3）若拋物線與x軸交于A，B兩點，點A，B到原點的距離分別為OA，OB，且，求k的值.
2．已知關于x的一元二次方程.
(1)求證:對于任意實數t，方程都有實數根；
(2)當t為何值時，二次函數的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標互為相反數？請說明理由
人教版數學九年級上暑假預習課
第八講 二次函數二次函數與一元二次方程
一、知識點導航
知識點1 拋物線與坐標軸的交點
已知二次函數
（1）軸與二次函數得交點為(0, ).
（2）二次函數與軸的交點
二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.
名師點撥
典例剖析1
例1-1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點A的坐標為（-，m），與x軸的一個交點位于0和1之間，則以下結論：①abc＞0；②2b+c＞0；③若圖象經過點（-3，y1），（3，y2），則y1＞y2；④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0無實數根，則m＜3．其中正確結論的個數是（　?。?br/>A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】①利用拋物線的頂點坐標和開口方向即可判斷；
②當x=2時，y=4a+2b+c＜0，根據開口方向即可判斷；
③利用拋物線的對稱軸，設（-3，y1），（3，y2）兩點橫坐標與對稱軸的距離為d1、d2，求出距離，根據圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數值越大，即可判斷；
④根據根的判別式即可判斷．
解：①∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點A的坐標為（-，m），
∴-，
∴，即ab＞0，
由圖可知，拋物線開口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
當x=0時，y=c＞0，
∴abc＞0，
故①正確，符合題意；
②∵直線x=-是拋物線的對稱軸，
∴-，
∴，
∴a=b,
由圖象可得：x=1時，y=a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②錯誤，不符合題意；
③∵直線x=-是拋物線的對稱軸，
設（-3，y1），（3，y2）兩點橫坐標與對稱軸的距離為d1、d2，
則，
，
∴d2＞d1，
根據圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數值越大，
∴y1＞y2，
故③正確，符合題意；
④∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0無實數根，
∴Δ=b2-4a（c-3）＜0，
∴b2-4ac+12a＜0，
∴b2-4ac＜-12a,
∴4ac-b2＞12a,
∵，
∴m＜3，
故④正確，符合題意．
故選：C．
例1-2．經過A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）兩點的拋物線y=-x2+bx-b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，則線段AB長為（　?。?br/>A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
【答案】B
【解析】根據二次函數的性質可知=-，再根據經過A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）兩點的拋物線y=-x2+bx-b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，可知Δ=b2-4×（-）×（-b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的關系，求出b和c的值，再根據點A和點B的坐標，即可計算出線段AB長．
解：∵經過A（2-3b,m），B（4b+c-1，m）兩點的拋物線y=-x2+bx-b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，
∴=-，Δ=b2-4×（-）×（-b2+2c）≥0，
∴b=c+1，b2≤4c,
∴（c+1）2≤4c,
∴（c-1）2≤0，
∴c-1=0，
解得c=1，
∴b=c+1=2，
∴AB=|（4b+c-1）-（2-3b）|
=|4b+c-1-2+3b|
=|7b+c-3|
=|7×2+1-3|
|14+1-3|
=12，
故選：B．
例1-3．若函數y=x2-2x-m與x軸沒有交點，則一次函數y=（m+1）x+m-1的圖象不經過第（　?。┫笙蓿?br/>A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】由二次函數y=x2-2x-m與x軸沒有交點，可知Δ＜0，得出m＜-1，然后根據m的取值判定m+1，m-1的取值即可．
解：∵二次函數y=x2-2x-m與x軸沒有交點，
∴Δ＜0，即4+4m＜0，
∴m＜-1，
∴m+1＜0，m-1＜0，
一次函數經過二、三、四象限，不經過第一象限．
故選：A．
針對訓練1
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點（-1，0），對稱軸為x=1，則下列結論中正確的是（　?。?br/>A. a＞0
B. c＜0
C. 當x＞1時，y隨x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根
【答案】D
【解析】根據拋物線開口方向可判斷A；根據圖象與y軸交點的位置即可判斷B；根據圖象從左往右的趨勢即可判斷C，根據拋物線的對稱性即可判斷D．
解：A、∵拋物線拋物線開口方向向下，
∴a＜0，故本選項結論錯誤；
B、∵二次函數圖象與y軸交于y軸正半軸，
∴c＞0，故本選項結論錯誤；
C、∵拋物線對稱軸為直線x=1，開口向下，
∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，
故本選項結論錯誤；
D、∵拋物線與x軸的一個交點坐標是（-1，0），對稱軸是直線x=1，則另一交點坐標是（3，0），
∴x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，
故本選項結論正確．
故選：D．
2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，點P，點Q是拋物線與x軸的兩個交點，若點P的坐標為（-1，0），則點Q的坐標為_____．
【答案】（3，0）
【解析】點P的坐標為（-1，0），對稱軸為x=1，則：PQ之間的距離為2×（1+1）=4，即可求解．
解：點P的坐標為（-1，0），對稱軸為x=1，
則：PQ之間的距離為2×（1+1）=4，
則：點Q的橫坐標為-1+4=3，
故答案為：（3，0）．
3．對于拋物線y=x2-4x+3．
（1）它與x軸交點的坐標為 _____，與y軸交點的坐標為 _____，頂點坐標為 _____；
（2）在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；
x … …
y … …
（3）利用以上信息解答下列問題：若關于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t為實數）在-1＜x＜的范圍內有解，則t的取值范圍是 _____．
【答案】(1)（3，0）（1，0）;(2)（0，3）;(3)（2，-1）;(4)-1≤t＜8;
【解析】運用二次函數與x軸相交時，y=0，與y軸相交時，x=0，即可求出，用公式法可求出頂點坐標，利用列表，描點，連線可畫出圖象．
解：（1）它與x軸交點的坐標為：（1，0）（3，0），與y軸交點的坐標為（0，3），頂點坐標為（2，-1）；
故答案為：（1，0）（3，0），（0，3）（2，-1）
（2）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
圖象如圖所示．
（3）∵關于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t為實數）在-1＜x＜的范圍內有解，
∵y=x2-4x+3的頂點坐標為（2，-1），
若x2-4x+3-t=0有解，方程有兩個根，則：b2-4ac=16-4（3-t）≥0，解得：-1≤t
當x=-1，代入x2-4x+3-t=0，t=8，
當x=，代入x2-4x+3-t=0，t=，
∵x＞-1，∴t＜8，
∴t的取值范圍是：-1≤t＜8，
故填：-1≤t＜8
能力提升1
1．已知二次函數的表達式為y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）試判斷該二次函數的圖象與x軸交點的個數？并說明理由．
（2）此二次函數的圖象與函數y=2x+m+4的圖象的一個交點在y軸上，求m的值．
【解析】（1）首先求出Δ=b2-4ac的值，進而得出答案；
（2）利用二次函數的圖象與函數y=2x+m+4的圖象的一個交點在y軸上，則常數項相等，進而得出答案．
解：（1）∵Δ=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4（m2-m）=1＞0，
∴方程x2-（2m-1）x+m2-m=0有兩個不相等的實數根．
∴二次函數y=x2-（2m-1）x+m2-m與x軸有兩個交點．
（2）令x=0，則m2-m=m+4，
解得：m1=1+，m2=1-．
2．已知拋物線y=-x2-6x+7與x軸交于點A，B（點A在點B的左側）與y軸交于點C．
（1）求點A，B的坐標；
（2）求△ABC的面積．
【解析】（1）通過解方程-x2-6x+7=0得點A、B的坐標；
（2）先確定C點坐標，然后根據三角形面積公式求解．
解：（1）當y=0時，-x2-6x+7=0，解得x1=-7，x2=1，
∴點A的坐標為（-7，0），點B的坐標為（1，0）；
（2）當x=0時，y=-x2-6x+7=7，
∴C點坐標為（0，7），
∴△ABC的面積=×（1+7）×7=28．
3．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2-x+2（a≠0）．
（1）若a=-1，求拋物線與x軸的交點坐標；
（2）若頂點縱坐標為3，求a的值；
（3）已知點M，N的坐標分別為（-1，2），（2，1）．
①若拋物線與直線MN有兩個不同的交點，求a的取值范圍；
②若拋物線與直線MN的兩個交點都在線段MN上，求a的取值范圍．
【解析】（1）把a=-1代入拋物線，令y=0，得一元二次方程，解出方程即得拋物線與x軸的交點坐標；
（2）把縱坐標3代入頂點的縱坐標公式即可求得a的值；
（3）①先求出直線MN的解析式，聯立拋物線解析式與直線解析式得一元二次方程，再利用Δ＞0，即可求出a的取值范圍；
②分a＜0和a＞0兩種情況討論，分別得到兩個關于a的不等式，再結合①中a的條件，即可得到a的取值范圍．
解：（1）把a=-1代入得：y=-x2-x+2，
當y=0時，-x2-x+2=0，
解得：x1=1，x2=-2，
∴拋物線與x軸的交點坐標為（1，0）和（-2，0）；
（2）∵頂點縱坐標為3，
∴，
解得：a=，
∴a的值為；
（3）①設直線MN的解析式為：y=kx+b,
把M（-1，2），N（2，1）分別代入得：，
解得，
∴y=x+，
令ax2-x+2=x+，
化簡得：3ax2-2x+1=0，
∵拋物線與直線MN有兩個不同的交點，
∴Δ=4-4×3a×1＞0，
解得：a＜，
∴a的取值范圍為a＜且a≠0；
②∵拋物線與直線MN的兩個交點都在線段MN上，
∴當a＜0時，x=-1，y≤2，當x=2時，y≤1，且，滿足條件，
即，
解得：a≤-1，
當a＞0時，x=-1，y≥2，當x=2時，y≥1，且，滿足條件，
即，
解得：a≥，
∵a＜，
∴，
綜上所述，a的取值范圍為：．
知識點2 圖像法求一元二次方程的解
利用拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具體過程如下：
①在平面直角坐標系中畫出拋物線y=ax2+bx+c；
②觀察圖象，確定拋物線與x軸的交點的橫坐標；
③交點的橫坐標為一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
名師點撥
用兩點夾逼法估計一元二次方程的根，具體方法如下：在交點（拋物線與x軸的交點）的兩側各取一點，
則一元二次方程的根在這兩個點的橫坐標之間．
3．通過取平均數求根的近似值，具體的操作過程如下：
①取使函數值異號且絕對值較小的兩個自變量的值m，n；
②分別將，n（或，m）作為自變量的值代入函數解析式，判斷其函數值是否異號；
③重復執行步驟①②，以提高根的估計值的精確度。
典例剖析2
例2-1．如表是二次函數y=ax2+bx+c的幾組對應值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
根據表中數據判斷，方程ax2+bx+c=0的一個解x的范圍是（　　）
A. 6.16＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18
C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
【答案】C
【解析】利用二次函數和一元二次方程的性質進行解答即可．
解：由表可以看出，當x取6.18與6.19之間的某個數時，y=0，即這個數是ax2+bx+c=0的一個根．
ax2+bx+c=0的一個解x的取值范圍為6.18＜x＜6.19．
故選：C．
例2-2．二次函數y=-x2+mx的圖象如圖，對稱軸為直線x=2，若關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t為實數）在1＜x＜5的范圍內有解，則t的取值范圍是（　　）
A. t＞-5 B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤4
【答案】D
【解析】如圖，關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是拋物線y=-x2+mx與直線y=t的交點的橫坐標，利用圖象法即可解決問題．
解：如圖，關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是拋物線y=-x2+mx與直線y=t的交點的橫坐標，由題意可知：m=4，
當x=1時，y=3，
當x=5時，y=-5，
由圖象可知關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t為實數）在1＜x＜5的范圍內有解，
直線y=t在直線y=-5和直線y=4之間包括直線y=4，
∴-5＜t≤4．
故選：D．
例2-3．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A，B兩點，與y軸正半軸交于點C，它的對稱軸為直線x=2，則下列說法中正確的有（　　）
①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c=0（a≠0）其中一個解的取值范圍為-2＜x＜-1．
A. 1個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【答案】B
【解析】由拋物線開口方向、對稱軸以及與y軸的交點即可判斷①；根據拋物線與x軸的交點情況以及a的符號即可判斷②；由16a+4b+c=c即可判斷③；由x=5時，y＜0，即可判斷④；由拋物線與x軸的交點即可判斷⑤．
解：由圖象開口向下，可知a＜0，
與y軸的交點在x軸的上方，可知c＞0，
又-=2，所以b=-4a＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點，
∴b2-4ac＞0，
∵a＜0，
∴＞0，故②正確；
∵16a+4b+c=16a-16a+c=c＞0，
∴16a+4b+c＞0，故③正確；
當x=5時，y=25a+5b+c＜0，
∴25a-20a+c＜0，
∴5a+c＜0，故④錯誤；
∵拋物線對稱軸為直線x=2，其中一個交點的橫坐標在4＜x＜5，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）其中一個解的取值范圍為-1＜x＜0，故⑤錯誤．
故選：B．
針對訓練2
1．我們把一元二次方程x2-2x-3=0的解看成是拋物線y=x2-2x-3與x軸的交點的橫坐標，如果把方程x2-2x-3=0適當地變形，那么方程的解還可以看成是函數 _____與函數 _____的圖象交點的橫坐標（寫出其中的一對）．
【答案】(1)y=x2;(2)y=2x+3;
【解析】由于一個方程組的解即是組成方程組的兩個函數的圖象的交點坐標，所以拋物線x2-2x-3=0可看作兩個函數組合而成，而將y=x2和y=2x+3相減即可得到x2-2x-3=0，所以方程的解還可以看成是函數y=x2與函數y=2x+3的圖象交點的橫坐標．
解：∵x2-2x-3=0可以變為x2=2x+3，
∴x2-2x-3=0的解還可以看成是函數y=x2與函數y=2x+3的圖象交點的橫坐標．
2．在初中階段的函數學習中，我們經歷的“確定函數的表達式--畫函數圖象--利用函數圖象研究其性質--運用函數圖象解決問題“的學習過程．九年級數學共同體的同學根據學習函數的經驗．通過列表、描點、連線的方法研究了函數y=-3的相關性質和應用．以下是研究的部分過程，請你按要求完成下列問題．
（1）列表：下表列出x、y的部分對應值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … - - - -1 3 b - - - …
根據表格中的數據計算出：a=_____，b=_____；
（2）根據上表中的數據在如圖所示的平面直角坐標系中已經描出部分點的位置，請繼續通過描點、連線的方法．畫出該函數圖象，并寫出該函數的一條性質：_____；
（2）已知函數y=x+的圖象如圖所示，結合你畫的圖象．直接寫出方程 =x+的解．（保留1位小數，誤差不超過0.2）
【答案】(1)1;(2)-1;(3)當x＞1時，y隨x的增大而減小;
【解析】（1）根據待定系數法即可求得；
（2）描點，連線即可得到函數圖象，性質可以觀察增減性、最值等得到；
（3）畫出圖象，y2＞y1是指y2的圖象在y1圖象上方的部分，找出對應橫坐標滿足的條件即是的解集．
解：（1）x=0，y=-1代入y=-3得：-1=-3，
∴a=1，
∴函數為y=-3，
把（2，b）代入得，b=-3=-1，
故答案為：1，-1；
（2）描點、連線，畫出函數圖象如圖：
觀察圖象，當x＞1時，y隨x的增大而減??；
故答案為當x＞1時，y隨x的增大而減小；
（3）觀察圖象，方程 =x+的解為x=-3.4或x=0.8或x=1.2．
3．閱讀下列材料
我們通過下列步驟估計方程2x2+x-2=0的根的所在的范圍．
第一步：畫出函數y=2x2+x-2的圖象，發現圖象是一條連續不斷的曲線，且與x軸的一個交點的橫坐標
在0，1之間．
第二步：因為當x=0時，y=-2＜0；當x=1時，y=1＞0．
所以可確定方程2x2+x-2=0的一個根x1所在的范圍是0＜x1＜1．
第三步：通過取0和1的平均數縮小x1所在的范圍；
取x==，因為當x=時，y＜0，
又因為當x=1時，y＞0，
所以＜x1＜1．
（1）請仿照第二步，通過運算，驗證2x2+x-2=0的另一個根x2所在范圍是-2＜x2＜-1；
（2）在-2＜x2＜-1的基礎上，重復應用第三步中取平均數的方法，將x2所在范圍縮小至m＜x2＜n,使得n-m≤．
【解析】（1）計算x=-2和x=-1時，y的值，確定其x2所在范圍是-2＜x2＜-1；
（2）先根據第三步-2和-1的平均數確定x=-，計算x=-時y的值，得-＜x2＜-1，同理再求-1和-的平均數為-，計算x=-時y的值，從而得結論．
（1）解：因為當x=-2時，y＞0；當x=-1時，y＜0，
所以方程2x2+x-2=0的另一個根x2所在的范圍是-2＜x2＜-1．
（2）解：取x==-，因為當x=-時，y=2×--2=1＞0，
又因為當x=-1時，y=-1＜0，
所以-＜x2＜-1．
取x==-，因為當x=-時，y=2×--2=-＜0，
又因為當x=-時，y＞0，
所以-＜x2＜-．
又因為--（-）=，
取x==-，因為當x=-時，y=2×--2＞0，
又因為當x=-時，y＜0，
所以-＜x2＜-．
--（-）=＜，
綜上，-＜x2＜-即為所求x2 的范圍．
能力提升2
1．小明在復習數學知識時，針對“求一元二次方程的解”整理了以下幾種方法，請你將有關內容補充完整：
例題：求一元二次方程x2-x-1=0的兩個解．
（1）解法一：選擇合適的一種方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函數圖象與兩坐標軸的交點求解．
如圖，把方程x2-x-1=0的解看成是二次函數y=_____的圖象與x軸交點的橫坐標即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用兩個函數圖象的交點求解①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函數y=_____的圖象與一個一次函數y=_____的圖象交點的橫坐標②畫出這兩個函數的圖象，用x1，x2在x軸上標出方程的解．
【答案】(1)x2-x-1;(2)x2-1;(3)x;
【解析】（1）用配方法解答一元二次方程；
（2）二次函數方程為y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標就是方程x2-x-1=0的解，所以，只要求出方程x2-x-1=0的根，就可以求出二次函數方程為y=ax2+bx+c與x軸交點；
（3）由（1）（2）解得x1、x2，再根據題意畫出圖象．
解：（1）由原方程，得：
=0，即=；
解得x1=，x2=．
（2）設二次函數方程為y=ax2+bx+c（a,b,c均為實數，且a≠0）．
由圖象得知，該函數過點（0，-1），所以該點滿足方程y=ax2+bx+c,
∴把（0，-1）代入方程y=ax2+bx+c,得c=-1，①
二次函數方程為y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標就是方程x2-x-1=0的解；
∴x1 x2==-1，即c=-a；②
x1+x2==1；③
由①②③，得：
；
∴二次函數方程為y=x2-x-1．
（3）
2．二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -1 - -2 - …
根據表格中的信息，完成下列各題
（1）當x=3時，y=_____；
（2）當x=_____時，y有最_____值為_____；
（3）若點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該二次函數圖象上的兩點，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2，試比較兩函數值的大?。簓1_____y2
（4）若自變量x的取值范圍是0≤x≤5，則函數值y的取值范圍是_____．
【答案】(1)-1;(2)1;(3)小;(4)-2;(5)＞;(6)-2≤y≤2;
【解析】（1）由表中給出的三組數據，列方程組求得二次函數的解析式，再求出x=3時，y的值；
（2）實際上是求二次函數的頂點坐標；
（3）求得拋物線與x軸的兩個交點坐標，在對稱軸的左側，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；再進行判斷即可；
（4）根據拋物線的頂點，當x=5時，y最大，當x=1時，y最?。?br/>解：（1）由表得，解得，∴二次函數的解析式為y=x2-x-，
當x=3時，y==-1；
（2）將y=x2-x-配方得，y=（x-1）2-2，
∵a=＞0，∴函數有最小值，當x=1時，最小值為-2；
（3）令y=0，則x=±2+1，拋物線與x軸的兩個交點坐標為（2+1，0）（-2+1，0）
∵-1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距離大于x2到1的距離，∴y1＞y2
（4）∵拋物線的頂點為（1，-2），∴當x=5時，y最大，即y=2；當x=1時，y最小，即y=-2，
∴函數值y的取值范圍是-2≤y≤2；
故答案為-1；1、小、-2；＞；-2≤y≤2．
3．利用圖象解一元二次方程x2-2x-1=0時，我們采用的一種方法是：在直角坐標系中畫出拋物線y=x2和直線y=2x+1，兩圖象交點的橫坐標就是該方程的解．
（1）請再給出一種利用圖象求方程x2-2x-1=0的解的方法；
（2）已知函數y=x3的圖象（如圖），求方程x3-x-2=0的解．（結果保留2個有效數字）
【解析】（1）由范例可得應把x2-2x-1=0進行整理，也可得到x2-1=2x,那么可得y=x2-1和y=2x兩圖象交點的橫坐標就是該方程的解．
（2）把方程x3-x-2=0整理得x3=x+2，那么可得y=x3和y=x+2兩圖象交點的橫坐標就是該方程的解．
解：（1）方法：在直角坐標系中畫出拋物線y=x2-1和直線y=2x,其交點的橫坐標就是方程的解．
（2）在圖中畫出直線y=x+2與函數y=x3的圖象交于點B，得點B的橫坐標x≈1.5，
∴方程的近似解為x≈1.5．
知識點3 圖像法求一元二次不等式的解集
拋物線與不等式的關系
二次函數(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關系如下：
名師點撥
利用函數圖像解不等式
典例剖析3
例3-1 .函數的圖象如圖，那么：
方程的根是 　　??；
不等式的解集是 　　　；
不等式的解集是 　　?。?br/>【分析】（1）根據函數與x軸的交點寫出即可；
（2）根據函數圖象寫出x軸上方的x的取值范圍即可；
（3）根據函數圖象寫出x軸下方的x的取值范圍即可．
【詳解】解：（1）∵二次函數與x軸的交點坐標為，
∴方程的的根是；
（2）∵拋物線在x軸上方時，或，
∴不等式的解集是或，
（3）∵拋物線在x軸下方時，，
∴不等式的解集是，．
故答案為：（1）；（2）或；（3）．
【點評】本題考查了二次函數與不等式，拋物線與x軸的交點，此類題目，利用數形結合的思想求解更簡便．
針對訓練3
1.已知，二次函數的圖象如圖所示，二次函數與x軸交于，，
(1)求二次函數的解析式；
(2)當時，x的取值范圍是 ．
【分析】（1）利用待定系數法求出解析式即可；
（2）根據二次函數的圖象即可得到x的取值范圍．
【詳解】（1）解：把，，分別代入得，
，
解得，
∴二次函數的解析式為；
（2）由二次函數圖象可知當，即函數圖象在x軸下方時，x的取值范圍是，
故答案為：
【點評】此題考查了待定系數法求二次函數解析式，利用圖象求自變量的取值范圍，熟練掌握待定系數法和數形結合是解題的關鍵．
2.如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點，則關于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　?。?br/>A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【答案】D
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點，
圖象如圖所示，
當﹣1≤x≤3時，ax2+c≥﹣kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3，
故選：D．
【點評】本題考查了圖象法求一元二次不等式，從直線與拋物線交點坐標確定不等式的解集.
能力提升3
1.在平面直角坐標系中，拋物線經過點、．
(1)求這條拋物線所對應的函數表達式；
(2)求這條拋物線與x軸的交點坐標．
(3)當時，y的取值范圍為_____________．
【分析】（1）將點、代入拋物線解析式，待定系數法求解析式即可求解；
（2）根據題意，令，解方程即可求解；
（3）根據解析式配方成頂點式，求得最大值，進而根據0與與拋物線對稱軸的距離判斷出最小值，即可求得的取值范圍，即可求解．
【詳解】（1）解：將點、代入拋物線解析式，得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
（2）解：令中，，
即，
解得：或，
∴這條拋物線與x軸的交點坐標為或；
（3）∵，
∴頂點坐標為，對稱軸為直線，拋物線開口向下，
∴當時，最大值為，
∵，
∴當時，取得最小值為，
∴當時，y的取值范圍為，
故答案為：．
【點評】本題考查了待定系數法求解析式，求拋物線與軸的交點坐標，二次函數的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
2.已知拋物線的圖像過點，頂點橫坐標為，如圖
(1)求、的值；
(2)求的最大值；
(3)直接寫出當時，的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)y的最大值是9；
(3)當時，．
【分析】（1）根據二次函數圖像上點的坐標特征，將點代入二次函數的解析式，再由對稱軸方程得到；聯立，解方程組即可；
（2）利用（1）的結果求出拋物線的解析式，并將其轉化為頂點式，然后根據二次函數的性質來求二次函數的最值；
（3）根據圖示，直接寫出當時，x的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵圖像過點，且頂點橫坐標為，
∴，
解得：；
（2）解：根據（1）知，拋物線的解析式是：
，
∴y的最大值是9；
（3）解：令，則，
解得，，
∴當時，．
【點評】本題綜合考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的圖像及二次函數的最值．本題側重于二次函數的解析式的求法和幾何圖形結合的綜合能力的培養，解題時要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來．
知識點4 拋物線與x軸交點問題
1.二次函數與軸的交點
二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.
2.二次函數與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點二次函數與軸相交；
②有一個交點（頂點在軸上）二次函數與軸相切 此時二次函數為；
總結完全平方形式的二次函數與x軸只有一個交點
③沒有交點二次函數與軸相離.注意這種情況 當a＞0,y值恒＞0，當a＜0,y值恒＜0，
3.平行于軸的直線與二次函數的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根.
名師點撥
求直線與拋物線的交點坐標,只需聯立直線與拋物線的解析式,解關于x,y的方程組,即可求得交點坐標;
(2)利用一次函數y=kx+t和二次函數y=ax2+bx+c的圖象比較兩函數值的大小及確定不等式kx+t>ax+bx+c或んx+t典例剖析4
例4-1．已知二次函數的表達式為y=x2-（2m-1）x+m2-m.
（1）試判斷該二次函數的圖象與x軸交點的個數？并說明理由．
（2）此二次函數的圖象與函數y=2x+m+4的圖象的一個交點在y軸上，求m的值．
【解析】（1）首先求出Δ=b2-4ac的值，進而得出答案；
（2）利用二次函數的圖象與函數y=2x+m+4的圖象的一個交點在y軸上，則常數項相等，進而得出答案．
解：（1）∵Δ=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4（m2-m）=1＞0，
∴方程x2-（2m-1）x+m2-m=0有兩個不相等的實數根．
∴二次函數y=x2-（2m-1）x+m2-m與x軸有兩個交點．
（2）令x=0，則m2-m=m+4，
解得：m1=1+，m2=1-．
例4-2．已知拋物線y=-2x2+4x+6與x軸交于A、B兩點．
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）求線段AB的長．
【解析】（1）將拋物線解析式化為頂點式即可得到拋物線對稱軸；
（2）令y=0，求出A、B兩點坐標即可求出AB的長．
解：（1）將拋物線y=-2x2+4x+6化為頂點式，
則y=-2（x-1）2+8，
∴拋物線對稱軸為直線x=1；
（2）令y=0，
則-2x2+4x+6=0，
整理得：x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0
解得：x1=3，x2=-1，
∴A、B兩點的坐標為（3，0）和（-1，0），
∴AB=|-1-3|=4．
針對訓練4
1．已知二次函數y=x2-kx+k-5
（1）求證：無論k取何實數，此二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）若此二次函數圖象的對稱軸為x=1，求它的解析式．
【解析】（1）令y=0，得到方程x2-kx+k-5=0，求出此方程的判別式為=（k-2）2+16，無論k取何實數，（k-2）2+16＞0，即可得到答案；
（2）根據拋物線的對稱軸x=1，能求出k的值，代入拋物線的解析式即可．
（1）證明：令y=0，則x2-kx+k-5=0，
∵Δ=k2-4（k-5）=k2-4k+20=（k-2）2+16，
∵（k-2）2≥0，
∴（k-2）2+16＞0
∴無論k取何實數，此二次函數的圖象與x軸都有兩個交點．
（2）解：∵對稱軸為x=，
∴k=2，
∴解析式為y=x2-2x-3，
答：它的解析式是y=x2-2x-3．
2．已知：二次函數y=-x2+x+c與X軸交于點M（x1，0）N（x2，0）兩點，與Y軸交于點H．
（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°時，求：函數解析式；
（2）若|x1|2+|x2|2=1，當點Q（b,c）在直線上時，求二次函數y=-x2+x+c的解析式．
【解析】（1）由已知可得兩個特殊的直角三角形，其公共直角邊OH=c,解直角三角形得OM，ON的長度，用長度表示點M、N的橫坐標，用兩根關系求待定系數，確定二次函數關系式；
（2）由（1）可知x1=-c,x2=c,代入已知條件，用待定系數法解題．
解：（1）依題意得OH=c,∠OHN=60°，解直角三角形得，OM=OH=c,ON=c,
即M（-c,0），N（c,0），
∴-c+c=，-c c=-c,解得b=3-，c=，
故函數解析式y=-x2+（1-）x+；
（2）由|x1|2+|x2|2=1得，（x1+x2）2-2x1x2=1，
∴+2c=1…①，
又∵點Q（b,c）在直線上，
∴c=+…②，
由①②得或（不合題意舍去），
∴二次函數y=-x2+x+c的解析式y=-x2+x+．
3．已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的兩實根為x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函數的解析式，并寫出頂點坐標．
【解析】先將x2-x3=x1-x4=3化簡為兩根之和的形式，再代入數值進行計算．
解：∵x2-x3=x1-x4=3
∴x2-x3=3，x1-x4=3
∴x2-x3+x1-x4=6即（x1+x2）-（x3+x4）=6
∴（x1+x2）-（x3+x4）=-b+b2=6，即b2-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x2-x3=x1-x4
∴|x1-x2|=|x3-x4|
即=
∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x2+b2x+20=0有兩實根
∴△=b4-80≥0，
當b=-2，c=2時，有y=x2-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
與x軸無交點，
∴b=-2不合題意舍去
則解析式為y=x2+3x+2，
根據頂點坐標公式可得頂點坐標：．
4．已知關于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實數，此方程總有實數根；
（2）若拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數點，且m為正整數，試確定此拋物線的解析式．
【解析】（1）分類討論：當m=0時，方程變形為一元一次方程，有一個解；當m≠0時，先計算判別式的值得到Δ=（3m-1）2，根據非負數的性質得△≥0，則根據判別式的意義得到方程總有兩個實數解，然后綜合兩種情況得到不論m為任何實數，此方程總有實數根；
（2）先解方程得到x1=-，x2=-3，根據拋物線與x軸的兩交點問題得到交點坐標為（-，0），（-3，0），再根據正數的整除性易得m=1，從而得到拋物線解析式．
（1）證明：當m=0時，方程變形為x+3=0，解得x=-3；
當m≠0時，Δ=（3m+1）2-4m 3=（3m-1）2，
∵（3m-1）2≥0，即△≥0，
∴m≠0時，方程總有兩個實數解，
∴不論m為任何實數，此方程總有實數根；
（2）解：根據題意得m≠0，
mx2+（3m+1）x+3=0．
（mx+1）（x+3）=0，
解得x1=-，x2=-3，
則拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸的兩交點坐標為（-，0），（-3，0），
而m為正整數，-也為整數，所以m=1，
所以拋物線解析式為y=x2+4x+3．
能力提升4
1．已知關于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k為常數．
（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；
（2）已知函數y=x2+（k-5）x+1-k的圖象不經過第三象限，求k的取值范圍；
（3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數值．
【解析】（1）求出方程的判別式△的值，利用配方法得出Δ＞0，根據判別式的意義即可證明；
（2）由于二次函數y=x2+（k-5）x+1-k的圖象不經過第三象限，又Δ=（k-5）2-4（1-k）=（k-3）2+12＞0，所以拋物線的頂點在x軸的下方經過一、二、四象限，根據二次項系數知道拋物線開口向上，由此可以得出關于k的不等式組，解不等式組即可求解；
（3）設方程的兩個根分別是x1，x2，根據題意得（x1-3）（x2-3）＜0，根據一元二次方程根與系數的關系求得k的取值范圍，再進一步求出k的最大整數值．
（1）證明：∵Δ=（k-5）2-4（1-k）=k2-6k+21=（k-3）2+12＞0，
∴無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；
（2）解：∵二次函數y=x2+（k-5）x+1-k的圖象不經過第三象限，二次項系數a=1，
∴拋物線開口方向向上，
∵Δ=（k-3）2+12＞0，
∴拋物線與x軸有兩個交點，
設拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1，x2，
∴x1+x2=5-k＞0，x1 x2=1-k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范圍是k≤1；
（3）解：設方程的兩個根分別是x1，x2，
根據題意，得（x1-3）（x2-3）＜0，
即x1 x2-3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5-k,x1 x2=1-k,
代入得，1-k-3（5-k）+9＜0，
解得k＜．
則k的最大整數值為2．
2．某班“數學興趣小組”對函數y=x2-2|x|的圖象和性質進行了探究，探究過程如下，請補充完整．
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 -1 0 3 …
（1）根據上表數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數圖象的一部分，請畫出該函數圖象的另一部分；
（2）觀察函數圖象，寫出2條函數的性質_____；
（3）進一步探究函數圖象發現：
①方程x2-2|x|=0的實數根為_____；
②方程x2-2|x|=2有_____個實數根．
③關于x的方程x2-2|x|=a有4個實數根時，a的取值范圍_____．
【答案】(1)函數的最小值為-1；x＞1時，y隨x的增大而增大（答案不唯一）;(2)-2或2或0;(3)2;(4)-1＜a＜0;
【解析】（1）描點畫出如下函數圖象即可；
（2）函數的性質有：函數的最小值為-1；x＞1時，y隨x的增大而增大，（答案不唯一）；
（3）①從圖象上看函數與x軸有3個交點，故對應方程x2-2|x|=0有3個根，即可求解；
②設y=x2-2|x|，從圖象看y=2與y=x2-2|x|有兩個交點，即可求解；
③函數y=x2-2|x|的圖象與y=a有4個交點時，a的取值范圍是-1＜a＜0，即可求解．
解：（1）描點畫出如下函數圖象：
（2）函數的性質有：函數的最小值為-1；x＞1時，y隨x的增大而增大，
故答案為：函數的最小值為-1；x＞1時，y隨x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）①從圖象上看函數與x軸有3個交點，故對應方程x2-2|x|=0有3個根，即x=-2或2或0，
故答案為：-2或2或0；
②設y=x2-2|x|，從圖象看y=2與y=x2-2|x|有兩個交點；
故答案為：2；
③函數y=x2-2|x|的圖象與y=a有4個交點時，a的取值范圍是-1＜a＜0，
故答案為：-1＜a＜0．
知識點5 求拋物線與x軸的截線長
二次函數y=ax +bx+c與x軸的交點有三種情況:有兩個交點,一個交點和沒有交點.與此相對應,一元二次方程ax +bx+c=0根也有三種情況:有兩個不相等的實數根,有兩個相等的實數根,沒有實數根.二次函數y=ax +bx+c的圖象與x軸的交點橫坐標就是一元二次方程ax +bx+c=0的根.如果要求拋物線與x軸截得的線段長,只需要求出對應一元二次方程ax +bx+c=0的兩根x1,x2則∣x1-x2∣即是。
名師點撥
拋物線與x軸的兩個交點橫坐標x1,x2，∣x1-x2∣=
典例剖析5
例5-1 .用描點法畫出的圖象并回答下列問題．
(1)列表：（列表時一般以對稱軸為中心，對稱取值．）
x … …
… …
(2)描點，并連線；
(3)①頂點坐標是 ，當x＝ 時，y有最 值是 ．
②當x 時，y隨x的增大而增大．
③該拋物線與y軸交于點 ．
(4)該拋物線與x軸交于點A、B，則AB＝ ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)①（1，3），1，大，3；②＜1；③（0，2）
(4)2
【分析】（1）分別取x＝﹣1，0，1，2，3時y的值．
（2）通過描點，連線作圖．
（3）將二次函數化為頂點式，根據拋物線開口方向，對稱軸及頂點坐標求解．
（4）令＝0，根據A，B的橫坐標求解．
（1）
解：列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 …
（2）
畫函數圖象如下：
（3）
①∵，
∴拋物線頂點坐標為（1，3），即x＝1時，y取最大值3，
故答案為：（1，3），1，大，3．
②∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1，
∴當x＜1時，y隨x增大而增大，
故答案為：＜1．
③將x＝0代入y＝﹣＋2x＋2得y＝2，
∴拋物線與y軸交點坐標為（0，2），
故答案為：（0，2）．
（4）
令﹣＋2x＋2＝0，
解得＝1﹣，＝1＋，
∴AB＝1＋﹣（1﹣）＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程及不等式的關系．
例5-2 .已知拋物線經過點和點，
(1)求這個拋物線的解析式及頂點坐標．
(2)求拋物線與x軸兩個交點之間的距離．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，再把解析式化為頂點式，即可求解；
（2）令，可得，即可求解．
【詳解】（1）解：把點和點代入得：
，
解得：，
∴這個拋物線的解析式為，
∵，
∴這個拋物線的頂點坐標為；
（2）解：當時，，
解得：，
∴拋物線與x軸兩個交點坐標為，
∴拋物線與x軸兩個交點之間的距離為．
【點評】本題主要考查了求二次函數的解析式，拋物線與x軸的交點問題，利用待定系數法求出拋物線的解析式是解題的關鍵．
針對訓練5
1．若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點在一次函數y=kx+t（k≠0）的圖象上，則稱y=ax2+bx+c（a≠0）為y=kx+t（k≠0）的伴隨函數，如：y=x2+1是y=x+1的伴隨函數．
（1）若y=x2-4是y=-x+p的伴隨函數，求直線y=-x+p與兩坐標軸圍成的三角形的面積；
（2）若函數y=mx-3（m≠0）的伴隨函數y=x2+2x+n與x軸兩個交點間的距離為4，求m,n的值．
【解析】（1）先求出二次函數的頂點坐標，再把求得的頂點坐標代入一次函數解析式求得p,進而求得一次函數與坐標軸的交點坐標，再根據三角形面積公式進行計算得結果；
（2）根據函數y=x2+2x+n與x軸兩個交點間的距離為4，列出n的方程求得n,再求出二次函數的頂點坐標，再將其頂點坐標代入一次函數解析式中求得m.
解：（1）∵y=x2-4，
∴其頂點坐標為（0，-4），
∵y=x2-4是y=-x+p的伴隨函數，
∴（0，-4）在一次函數y=-x+p的圖象上，
∴-4=0+p.
∴p=-4，
∴一次函數為：y=-x-4，
∴一次函數與坐標軸的交點分別為（0，-4），（-4，0），
∴直線y=-x+p與兩坐標軸圍成的三角形的兩直角邊都為|-4|=4，
∴直線y=-x+p與兩坐標軸圍成的三角形的面積為：．
（2）設函數y=x2+2x+n與x軸兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，則x1+x2=-2，x1x2=n,
∴，
∵函數y=x2+2x+n與x軸兩個交點間的距離為4，
∴，
解得，n=-3，
∴函數y=x2+2x+n為：y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴其頂點坐標為（-1，-4），
∵y=x2+2x+n是y=mx-3（m≠0）的伴隨函數，
∴-4=-m-3，
∴m=1．
2．如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）.
(1)若為二次函數的圖象上一點，求m的值；
(2)求的長.
答案：(1)4
(2)3
解析：（1）當時，
；
（2）當時，
，
解得：，，
，，
.
3．已知關于x的一元二次方程：.
（1）試判斷原方程根的情況；
（2）若拋物線與x軸交于，兩點，則A，B兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由.
（友情提示：）
答案：解：（1），
，
，
原方程有兩個不等實數根；
（2）存在，
由題意知，是原方程的兩根，
，.
，
，
當時，有最小值8，
AB有最小值，即
能力提升5
1．已知關于x的方程有兩個不相等的實數根.
（1）求k的取值范圍；
（2）試說明；
（3）若拋物線與x軸交于A，B兩點，點A，B到原點的距離分別為OA，OB，且，求k的值.
答案：解：（1）由題意可知，
即，.
（2）
.
（3）依題意，不妨設，
，
.
，
，
解得.
.
解析：
2．已知關于x的一元二次方程.
(1)求證:對于任意實數t，方程都有實數根；
(2)當t為何值時，二次函數的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標互為相反數？請說明理由
答案：(1)證明:在方程中，，
對于任意實數t，方程都有實數根.
(2)當時，交點的橫坐標互為相反數.理由如下:
令，得到，
設方程的兩根分別為，由題意可知，
方程的兩個根互為相反數，，解得.
當時，交點的橫坐標互為相反數.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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