資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
8.10 與球有關(guān)的切、接問題
思維導(dǎo)圖
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
研究與球有關(guān)的切、接問題，既要運(yùn)用多面體、旋轉(zhuǎn)體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的幾何性質(zhì)，要特別注意多面體、旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，解決此類問題的關(guān)鍵是確定球心.
知識(shí)點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．
2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．
3、補(bǔ)成長(zhǎng)方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
知識(shí)點(diǎn)二：正四面體外接球
如圖，設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為.
知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長(zhǎng)方體來解決這類問題.
如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以.
知識(shí)點(diǎn)四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識(shí)點(diǎn)五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑.
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②.
知識(shí)點(diǎn)六：正棱錐外接球
正棱錐外接球半徑： .
由此推廣：側(cè)棱相等的錐體外接球半徑：
知識(shí)點(diǎn)七：垂面模型外接球
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
知識(shí)點(diǎn)八：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
典型例題分析
考向一 　外接球
角度1　補(bǔ)形法——存在側(cè)棱與底面垂直
例1 已知三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為(　　)
A.π B.14π
C.56π D.π
答案　B
解析　以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長(zhǎng)方體PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱錐P－ABC符合要求，如圖，長(zhǎng)方體PAB′B－CA′P′C′與三棱錐P－ABC有相同的外接球，其外接球直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線PP′，
設(shè)外接球的半徑為R，
則(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，
則所求球的表面積S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.
角度2　補(bǔ)形法——對(duì)棱相等
例2 已知棱長(zhǎng)為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為(　　)
A.π B.π
C.π D.π
答案　A
解析　如圖將棱長(zhǎng)為1的正四面體B1－ACD1放入正方體ABCD－A1B1C1D1中，且正方體的棱長(zhǎng)為1×cos 45°＝，
所以正方體的體對(duì)角線AC1＝＝，
所以正方體外接球的半徑R＝＝，
所以正方體外接球的體積為πR3＝π×＝π，
因?yàn)檎拿骟w的外接球即為正方體的外接球，
所以正四面體的外接球的體積為π.
感悟提升　補(bǔ)形法的解題策略
(1)側(cè)面為直角三角形或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ停梢苑诺秸襟w或長(zhǎng)方體中去求解；
(2)直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解.
角度3　截面法
例3 (2021·全國(guó)甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O－ABC的體積為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　如圖所示，因?yàn)锳C⊥BC，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB＝.連接OO1，
則OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，
所以三棱錐O－ABC的體積V＝S△ABC·OO1＝××1×1×＝.
感悟提升　與球截面有關(guān)的解題策略
(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問題平面化的目的.
角度4　定義法
例4 (2023·德州質(zhì)檢)已知四棱錐P－ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，其各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝2，CD＝2，三棱錐P－ABC的體積為，則球O的表面積為(　　)
A.25π B.
C.32π D.
答案　A
解析　如圖，設(shè)點(diǎn)P在底面的射影為H，
∵四棱錐P－ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，
∴HA＝HB＝HC＝HD，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓.
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ADC＝90°.
∵AD＝2，CD＝2，
∴AC＝4，∴AB＝BC＝2.
∵三棱錐P－ABC的體積為，
∴S△ABC·PH＝，∴PH＝4，
設(shè)球O的半徑為R，∴(4－R)2＋22＝R2，
解得R＝，則球O的表面積S＝4πR2＝25π.故選A.
感悟提升　到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.
訓(xùn)練1 (1)(2023·河南頂級(jí)名校聯(lián)考)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R1的球O1上，該四面體各棱長(zhǎng)都相等，如圖①.正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R2的球O2上，如圖②.八面體的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R3的球O3上，該八面體各棱長(zhǎng)都相等，四邊形ABCD是正方形，如圖③.設(shè)四面體、正方體、八面體的表面積分別為S4，S6，S8.若R1∶R2∶R3＝∶∶，則(　　)
A.S8＞S4＞S6 B.S4＝S8＞S6
C.S4＝S6＜S8 D.S4＝S6＝S8
答案　D
解析　設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a4，如圖正四面體A′B′C′D′內(nèi)接于棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)，
則易求R1＝a4，
∴a4＝，∴S4＝4×a＝R；
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a6，則2R2＝a6，
∴a6＝，∴S6＝6a＝8R；
設(shè)八面體的棱長(zhǎng)為a8，其外接球球心為AC的中點(diǎn)，則a8＝R3，
∴S8＝8×a＝4R.
∵R1∶R2∶R3＝∶∶，
∴設(shè)R1＝R，R2＝R，R3＝R，
∴S4＝S6＝S8＝8R2.故選D.
(2)(2023·天津模擬)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則外接球的表面積為________.
答案　8π
解析　由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°及余弦定理可得
BC＝＝＝，
所以AC2＋BC2＝AB2，∠ACB＝90°，
所以底面外接圓的圓心為斜邊AB的中點(diǎn).
設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，
則r＝＝1.
又S△ABC＝BC·AC＝××1＝，
所以V柱＝S△ABC·AA1＝，所以AA1＝2，
因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，
設(shè)其外接球的半徑為R，則R2＝r2＋＝12＋12＝2，
所以外接球的表面積S＝4πR2＝4π×2＝8π.
考向二 內(nèi)切球
例5 (2023·江西大聯(lián)考)已知四面體SABC的所有棱長(zhǎng)為2，球O1是其內(nèi)切球.若在該四面體中再放入一個(gè)球O2，使其與平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，則球O2與球O1的半徑比值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　如圖，設(shè)S在平面ABC內(nèi)的射影為O，R1為球O1的半徑，R2為球O2的半徑，F(xiàn)，H分別為球O1，球O2與側(cè)面SBC的切點(diǎn).
在Rt△SAO中，該四面體的高
h＝SO＝＝＝＝＝2.
又四面體的表面積S＝4××(2)2＝12，
則·S·R1＝×3h，解得R1＝，
由＝，得＝，
即＝，
解得R2＝，故＝.故選D.
感悟提升　“切”的問題處理規(guī)律
(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決.
(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的常用方法.
訓(xùn)練2 (2023·南京調(diào)研)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則三棱錐P－DEF的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為(　　)
A.6 B.12
C.24 D.30
答案　C
解析　如圖①，依題意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，
所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如圖②.
所以在三棱錐P－DEF中，PD，PE，PF兩兩垂直，且PE＝PF＝1，PD＝2，
所以三棱錐P－DEF的外接球即為以PD，PE，PF為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，
所以三棱錐P－DEF的外接球半徑R滿足
2R＝＝，所以R＝，
則其外接球的表面積為4πR2＝6π.
因?yàn)槿忮FP－DEF的表面積為正方形ABCD的面積，
所以S表＝2×2＝4，VP－DEF＝××1×1×2＝.
設(shè)三棱錐P－DEF的內(nèi)切球的半徑為r，
所以由S表·r＝VP－DEF，解得r＝，
所以內(nèi)切球的表面積為4πr2＝，
所以三棱錐P－DEF的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為＝24.故選C.
考向三 雙半徑單交線公式
若相互垂直的兩凸多邊形的外接圓半徑分別為R1，R2，兩外接圓公共弦長(zhǎng)為l，則由兩凸多邊形頂點(diǎn)連接而成的幾何體的外接球半徑：R＝.
例6 (2023·河南適應(yīng)性測(cè)試)已知三棱錐P－ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝a，且平面PAB⊥平面ABC，若三棱錐P－ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，則a＝________.
答案　或
解析　法一　如圖，取AB的中點(diǎn)為D，連接PD，CD，
因?yàn)镻A＝PB＝a，
所以PD⊥AB.
因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD 平面PAB，
所以PD⊥平面ABC，
同理得CD⊥平面PAB.
設(shè)點(diǎn)O1為等邊△ABC的外心，過點(diǎn)O1作O1E∥PD，
則O1E⊥平面ABC，
易得直線O1E上任意一點(diǎn)到A，B，C三點(diǎn)的距離相等.
設(shè)O2為△PAB的外心，則O2在直線PD上，
過點(diǎn)O2作O2O∥CD，交O1E于點(diǎn)O，
則點(diǎn)O為三棱錐P－ABC外接球的球心，
因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
所以AB＝2，
又PA＝PB＝a，
所以a＞，PD＝，
sin∠PBD＝＝.
設(shè)△PAB的外接圓的半徑為r，
則由正弦定理，得2r＝＝，
則r＝，即O2P＝，
所以O(shè)2D＝＝.
易知四邊形OO1DO2為矩形，
所以O(shè)O1＝O2D＝.
由題意可知三棱錐P－ABC外接球的表面積為，
設(shè)該外接球的半徑為R，則4πR2＝，
所以R＝.
連接OC，則OC＝，
易得O1C＝2××＝2.
在Rt△OO1C中，OO＋O1C2＝OC2，
即＋4＝，
整理得4a4－49a2＋147＝0，
解得a2＝或a2＝7，
所以a＝或a＝.
(注：仿照此解法，可推導(dǎo)出雙半徑單交線公式)
法二　如圖，取AB的中點(diǎn)為D，連接PD，CD，
因?yàn)镻A＝PB＝a，
所以PD⊥AB.
因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，
平面PAB∩平面ABC＝AB，PD 平面PAB，
所以PD⊥平面ABC.
同理得CD⊥平面PAB.
設(shè)點(diǎn)O1為等邊△ABC的外心，過點(diǎn)O1作
O1E∥PD，
則O1E⊥平面ABC，易得直線O1E上任意一點(diǎn)到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，
即三棱錐P－ABC外接球的球心O在直線O1E上.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
所以CD＝2×＝3，O1C＝CD＝2，O1D＝CD＝1，
又PA＝PB＝a，
所以a＞，PD＝，
則P(0，0，)，C(0，3，0).
由題意可知三棱錐P－ABC外接球的表面積為，
設(shè)該外接球的半徑為R，則4πR2＝，
所以R＝.
設(shè)O(0，1，z)，連接OP，OC，則OP＝OC＝R，
即＝＝，
解得a＝或a＝.
法三(雙半徑單交線公式)　設(shè)△ABC的外接圓半徑為R1，
由正弦定理得2R1＝＝4，故R1＝2.
如圖，在△PAB中，D是AB的中點(diǎn)，
易知sin∠PAB＝(a＞)，
設(shè)△PAB外接圓的半徑為R2，
由正弦定理，得2R2＝＝，
即R2＝.
設(shè)三棱錐P－ABC外接球的半徑為R，
則4πR2＝，故R2＝，
且平面PAB∩平面ABC＝AB，
由雙半徑單交線公式得R2＝R＋R－，
即＝4＋－3，
化簡(jiǎn)得4a4－49a2＋147＝0，
解得a＝或a＝.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征確定正三棱柱的高，再計(jì)算出其外接球的半徑，進(jìn)而由體積公式求解即可.
【詳解】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，則正三棱柱的內(nèi)切球半徑等于正三角形的內(nèi)切圓半
徑，則內(nèi)切球的半徑，正三棱柱的高．
設(shè)正三角形的外接圓半徑為R，易得，
所以外接球的半徑．
所以它的外接球與內(nèi)切球體積之比為．
故選：C
2．三棱錐中，平面，，．過點(diǎn)分別作，交于點(diǎn)，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，，證明是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑；是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑，設(shè)，求出，根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.
【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>在直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，所以，
在直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，所以，
所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.
因?yàn)椋切边叺闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)椋?是斜邊的中點(diǎn)，所以，
所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.
設(shè)，則，
則，，
所以.
故選：B.
3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接球與內(nèi)切球的研究．其中的一些研究思想啟發(fā)著后來者的研究方向．已知正四棱錐的外接球半烴為R，內(nèi)切球半徑為r，且兩球球心重合，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】正四棱錐的外接球和內(nèi)接球球心重合，說明其結(jié)構(gòu)特殊，找出結(jié)構(gòu)的特殊性，再計(jì)算.
【詳解】如圖：
設(shè)底面正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2a，高為h，，正方形的中心為O，外接球的球心為，
則有即，在 中， ① ，②，
以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如上圖，
則有 ， ，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為 ，則有 ， ，
令 ，則 ，
設(shè)向量 與平面PCD的夾角為 ，則 ，
球心 到平面PCD的距離 ，
，由①得即③，
故設(shè)，則③可整理成 ，兩邊平方得 ， ，
由①②得 ；
故選：B.
4．若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】正六棱柱有內(nèi)切球，則到每個(gè)面的距離相等，即，可求內(nèi)切球的半徑，根據(jù)可求外接球的半徑，代入球的面積公式計(jì)算．
【詳解】如圖：分別為底面中心，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)
設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為
若正六棱柱有內(nèi)切球，則，即內(nèi)切球的半徑
，即外接球的半徑
則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為
故選：C．
二、多選題
5．用一個(gè)平面去截棱長(zhǎng)為1的正方體，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若該平面過點(diǎn)，則截面的周長(zhǎng)為6
B．若該平面過點(diǎn)，則截得的兩個(gè)幾何體的外接球體積相等
C．若該平面過點(diǎn)，則截得的兩個(gè)幾何體的表面積均為
D．若該平面過點(diǎn)，則其截正方體的外接球所得的截面面積不是定值
【答案】BC
【分析】作出過點(diǎn)的截面直接計(jì)算可判斷A；分析兩個(gè)幾何體的外接球和正方體的外接球的關(guān)系可判斷B；直接計(jì)算兩個(gè)幾何體的表面積可判斷C；由過的截面過正方體外接球的球心可判斷D.
【詳解】若該平面過點(diǎn)，則截面為正三角形，其邊長(zhǎng)為，則截面的周長(zhǎng)為錯(cuò)誤；
若該平面過點(diǎn)，則截得的兩個(gè)幾何體的外接球均為正方體的外接球，
故外接球體積相等，B正確；
當(dāng)該平面過點(diǎn)時(shí)，截面為，則截得的兩個(gè)幾何體為相同的三棱柱，
且三棱柱的表面積均為正確；
若該平面過點(diǎn)，則其過正方體的外接球球心，
所以截面面積是定值，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
6．下列關(guān)于三棱柱的命題，正確的是（ ）
A．任意直三棱柱均有外接球
B．任意直三棱柱均有內(nèi)切球
C．若正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則該三棱柱的體積為
D．若直三棱柱的外接球球心在一個(gè)側(cè)面上，則該三棱柱的底面是直角三角形
【答案】ACD
【分析】根據(jù)外接球的特征可知，連接直三棱柱上、下底面三角形外心的線段的中點(diǎn)到直三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即為外接球球心，從而判斷A；根據(jù)內(nèi)切球的特征可知，直三棱柱底面內(nèi)切圓半徑需為直三棱柱高的一半，即可判斷B；根據(jù)正三棱柱內(nèi)切球半徑可求得正三棱柱的高和底面正三角形邊長(zhǎng)，代入棱柱體積公式，即可判斷C；由球心在底面的射影為底面三角形一條邊的中點(diǎn)，且到三角形各個(gè)頂點(diǎn)距離相等，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，取連接直三棱柱上、下底面三角形外心的線段的中點(diǎn)，
則點(diǎn)到直三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)的距離均為，其中為底面三角形外接圓半徑，為直三棱柱的高，
點(diǎn)即為直三棱柱的外接球球心，A正確；
對(duì)于B，若直三棱柱有內(nèi)切球，則其高等于直徑，底面內(nèi)切圓半徑等于內(nèi)切球半徑，
即底面內(nèi)切圓半徑需為直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若正三棱柱的內(nèi)切球半徑為，則正三棱柱的高為，底面正三角形的高為，
設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為，則，解得：，
該正三棱柱的體積，C正確；
對(duì)于D，若外接球球心在直三棱柱的側(cè)面上,則球心為該側(cè)面的中心，其到底面三角形各頂點(diǎn)的距離相等，
球心在底面上的射影到底面三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離也相等，
又側(cè)面中心在底面的投影在底面三角形的一條邊上，
該投影為底面三角形一條邊的中點(diǎn)，且到另一頂點(diǎn)的距離為該邊長(zhǎng)的一半，
該底面三角形為直角三角形，D正確.
故選：ACD.
7．如圖是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，圓錐的底面和圓柱的上底面完全重合且圓錐的高度是圓柱高度的一半，若該組合體外接球的半徑為2，則（ ）
A．圓錐的底面半徑為1
B．圓柱的體積是外接球體積的四分之三
C．該組合體的外接球表面積與圓柱底面面積的比值為
D．圓錐的側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的一半
【答案】CD
【分析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，圓柱上下底面的圓心分別為，，的中點(diǎn)為，設(shè)圓錐的高為，圓柱的高為，圓柱的上下底面圓半徑為，由題意可得，解出和的值，進(jìn)而結(jié)合圓柱、圓錐和球體的面積和體積公式求解各選項(xiàng)即可.
【詳解】如圖，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，圓柱上下底面的圓心分別為，，的中點(diǎn)為，
由題意，設(shè)圓錐的高為，圓柱的高為，圓柱的上下底面圓半徑為，
則，解得，，故A錯(cuò)誤；
圓柱的體積為，
外接球體積為，
則，故B錯(cuò)誤；
圓柱底面面積為，
外接球表面積，
則，故C正確；
圓錐的母線長(zhǎng)為，
所以圓錐的側(cè)面積為，
圓柱側(cè)面積為，
所以圓錐的側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的一半，故D正確.
故選：CD.
8．如圖，在正方體中，E、F分別是、的中點(diǎn)，G為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)G使得直線⊥平面EFG
B．存在點(diǎn)G使得直線AB與EG所成角為45°
C．G為BC的中點(diǎn)時(shí)和G、C重合時(shí)的三棱錐的外接球體積相等
D．當(dāng)G與B重合時(shí)三棱錐的外接球體積最大
【答案】BCD
【分析】AB選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，表達(dá)出，，利用空間向量驗(yàn)證是否存在點(diǎn)G使得線面垂直和異面直線夾角；CD選項(xiàng)，找到球心的位置，設(shè)出球心的坐標(biāo)，利用半徑相等，得到，由得到，從而得到時(shí)，取最大值，即外接球半徑最大，此時(shí)，即G與B重合，故D正確；當(dāng)G為BC中點(diǎn)和當(dāng)G與C重合時(shí)，相等，故外接球半徑相等，體積相等.
【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為，如圖，以底面中心，為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，，．
，，
A選項(xiàng)；顯然，，故，
若⊥平面EFG，EG在面EFG內(nèi)，則，
而，A錯(cuò)誤．
B選項(xiàng)；當(dāng)G為BC中點(diǎn)時(shí)，，
故，
故直線AB與EG所成角為45°，結(jié)論成立，B正確．
對(duì)于C、D選項(xiàng)；球心O必在過EF中點(diǎn)，且與平面垂直的直線上，
設(shè)，G在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
，
故，，
由可得，，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為0，
故，∴，
，
∴時(shí)，取最大值，即外接球半徑最大，此時(shí)，即G與B重合，故D正確；
當(dāng)G為BC中點(diǎn)時(shí)，，；當(dāng)G與C重合時(shí)，，．
故外接球是同一個(gè)外接球，C正確．
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑或建立空間直角坐標(biāo)系，利用半徑相等，利用空間向量列出方程，求出半徑.
9．正方體的棱長(zhǎng)為2，O為底面ABCD的中心．P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），則（ ）
A．不存在點(diǎn)P，使得平面
B．正方體的外接球表面積為
C．存在P點(diǎn)，使得
D．當(dāng)P為線段中點(diǎn)時(shí)，過A，P，O三點(diǎn)的平面截此正方體外接球所得的截面的面積為
【答案】ABD
【分析】利用反證法，由此判斷A；求正方體的外接球的半徑，結(jié)合球的體積公式判斷B；根據(jù)勾股定理判斷C；根據(jù)球的截面性質(zhì)判斷D.
【詳解】假設(shè)存在點(diǎn)P，使得平面，
在上取點(diǎn)，使得，又，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又
所以四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面，
所以平面，又平面，,平面，
所以平面平面，與已知矛盾，
所以不存在點(diǎn)P，使得平面，A正確；
正方體的外接球的球心為的中點(diǎn)，外接球的半徑，
所以正方體的外接球表面積，B正確；
假設(shè)存在P點(diǎn)，使得，在線段上取點(diǎn)使得,
設(shè)，則，，，
因?yàn)椋裕?br/>所以，解得，與已知矛盾；C錯(cuò)誤；
取的中點(diǎn)，因?yàn)镻為線段中點(diǎn)時(shí)，連接交與點(diǎn)，
所以，又，
所以，故過A，P，O三點(diǎn)的平面為平面，
取的中點(diǎn)，過作，垂足為，
又平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
過球心作，則平面，
所以正方體的外接球的球心到截面的距離為的長(zhǎng)，
又，
所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
故截面圓的半徑為，
所以截面圓的面積，D正確；
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】本題為立體幾何綜合問題，考查面面平行的證明，正方體的外接球，求得截面問題，解決球的截面問題的關(guān)鍵在于合理使用球的截面的性質(zhì).
10．七面體中，為正方形且邊長(zhǎng)為都與平面垂直，且，則對(duì)這個(gè)多面體描述正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，它有外接球，且其半徑為
B．當(dāng)時(shí)，它有外接球，且其半徑為
C．當(dāng)它有內(nèi)切球時(shí)，
D．當(dāng)它有內(nèi)切球時(shí)，
【答案】ABD
【分析】以為底面作長(zhǎng)方體，計(jì)算，時(shí)外接球半徑，得到AB正確；設(shè)垂足為，根據(jù)相似得到，計(jì)算得到C假D真，得到答案.
【詳解】以為底面作長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球即為多面體的外接球，
當(dāng)時(shí)，外接球半徑為，
當(dāng)時(shí)外接球半徑為，故AB均為真命題；
設(shè)分別為中點(diǎn)，若這個(gè)多面體有內(nèi)切球，則其球心必在上，且半徑為.
設(shè)垂足為，則由，可得，可得，故C假D真.
綜上，本題答案為ABD.
故選：ABD
11．已知圓錐的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說法正確的是（ ）
A．外接球的表面積為
B．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則
C．過點(diǎn)作平面截圓錐OP的截面面積的最大值為2
D．設(shè)母線中點(diǎn)為，從點(diǎn)沿圓錐表面到的最近路線長(zhǎng)為
【答案】ABD
【分析】易知，圓錐軸截面為等邊三角形，該三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓的半徑即為圓錐的內(nèi)切球半徑和外接球半徑，求出即可判斷A、B項(xiàng)；由為等邊三角形，可知過點(diǎn)作平面截圓錐OP的截面中，面積最大的截面即為，即可判斷C項(xiàng)；將圓錐側(cè)面沿A處剪開，連結(jié)即為最小值，可得到D項(xiàng).
【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為，側(cè)面積為，所以.
所以，為等邊三角形.
則圓錐的軸截面的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球的半徑，其外接圓的半徑為圓錐外接球的半徑，如圖1
圖1
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，
則，
又，
所以，.
由正弦定理可得，在中，，即，則.
所以，外接球的表面積為，A正確.
因?yàn)椋裕珺項(xiàng)正確.
顯然，過點(diǎn)作平面截圓錐OP的截面均為腰長(zhǎng)為等腰三角形，如圖2，在底面圓上任取一點(diǎn)，易知.
所以，，即最大面積為，C項(xiàng)錯(cuò)誤.
圖2
將圓錐側(cè)面沿剪開，得到的扇形的半徑，弧長(zhǎng)，
則扇形的圓心角，如圖3所示.
圖3
連結(jié)，即為最近路線，在中，有，，
所以，，D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
12．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，E是棱的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C．平面截四棱錐的外接球所得截面的面積為 D．平面截四棱錐的外接球所得截面的面積為
【答案】BC
【分析】取、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，即可得到是平面與平面所成的銳二面角，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，即可判斷A、B，將四棱錐補(bǔ)形為三棱柱，求出外接球的半徑，作出截面，計(jì)算即可判斷C、D；
【詳解】解：取、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，
依題意，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
設(shè)平面平面，與平面，所以，
所以，則，由三垂線定理可得，
所以是平面與平面所成的銳二面角.
由，
解得，故A錯(cuò)誤，B正確.
將四棱錐補(bǔ)成直三棱柱，如圖1所示.顯然直三棱柱的外接球就是四棱錐的外接球，
取兩個(gè)底面的外心分別為，則的中點(diǎn)O為球心，可解得球的半徑.
設(shè)平面截四棱錐的外接球所得截面圓的半徑為r.過O作的垂線，垂足為Q，則平面，所以.
在矩形中，過R作的垂線，垂足為S，如圖2所示.
由，解得.由，解得，
所以.故截面圓的面積為，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC
13．如圖，AB為圓柱的母線，BD為圓柱底面圓的直徑且，O為AD中點(diǎn)，C在底面圓周上滑動(dòng)（不與B，D重合）.則下列結(jié)論中正確的為（ ）
A．BO有可能垂直平面ACD
B．三棱錐的外接球表面積為定值
C．二面角正弦值的最小值為
D．過CD作三棱錐的外接球截面，截面面積的最大值為8π
【答案】BD
【分析】選項(xiàng)A，借助線面垂直的定義判斷；選項(xiàng)B、D，利用外接球的性質(zhì)進(jìn)行判斷；選項(xiàng)C，利用二面角的定義求解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋云矫鍭BC，所以CD與BO不垂直，故BO不可能與平面ACD垂直，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，三棱錐的外接球的球心在O處，半徑，表面積為定值，所以B正確；
對(duì)于C，因?yàn)槠矫鍭BC，所以為二面角的平面角，所以，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)截面經(jīng)過球心O的時(shí)候，截面面積最大，此時(shí)截面的半徑即為球的半徑，所以截面半徑最大為，所以D正確；
故選：BD.
【點(diǎn)睛】此題借助圓柱考查了直線與平面的垂直、二面角的求解和外接球的表面積與截面面積，解題時(shí)，注意以下幾點(diǎn)：
(1)直徑所對(duì)的圓周角為直角，所以無論C在何位置，始終有平面ABC；
(2)圓柱的外接球的球心位于上下底面的圓心的連線的中點(diǎn)處；
(3)球的所有截面中，當(dāng)截面圓經(jīng)過圓心的時(shí)候，截面圓的面積最大；
三、雙空題
14．在長(zhǎng)方體中，已知，，分別為，的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的外接球表面積為________，平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積為________．
【答案】
【分析】第一空，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即可得長(zhǎng)方體外接球的半徑，即可求得外接球表面積；第二空，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，即可證明，從而確定三棱錐外接球的球心位置，求出外接球半徑，繼而求得截面圓半徑，即可求得答案.
【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體外接圓半徑為R， ，，
所以長(zhǎng)方體外接球表面積為；
以點(diǎn)為原點(diǎn),以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
依題意得：，，，
則，，
所以，則即；
設(shè)為中點(diǎn)，連接,
因?yàn)椋瑒t，
所以點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，
則三棱錐外接球的半徑為，
設(shè)球心到平面的距離為，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
根據(jù)長(zhǎng)方體特征可知平面平面,
所以,又，而平面，
故平面，設(shè)交于H，則平面,
故到平面的距離為,
因?yàn)镕為的中點(diǎn)，故，所以，
故截面圓的半徑為，
所以截面圓面積為，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要求得平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積，關(guān)鍵點(diǎn)在于首先要確定外接球的球心位置，從而可得其半徑，繼而求出截面圓的半徑，即可求得答案.
四、填空題
15．我們知道一個(gè)多面體的外接球可以定義為：若一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)都在某個(gè)球的球面上，則該球叫這個(gè)多面體的外接球.現(xiàn)新定義多面體的“外球”為：若一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)都在某個(gè)球的球面上或在球內(nèi)，則稱該球?yàn)檫@個(gè)多面體的外球.即外球能將多面體包圍起來.如圖是一個(gè)由六個(gè)全等的正三角形構(gòu)成的六面體，若該六面體有一外球A，且該六面體內(nèi)有一球.則外球A的半徑最小值與球的半徑最大值的比值為_________.
【答案】
【分析】分別求得外球A的半徑最小值與球的半徑最大值，即可求得該比值
【詳解】如圖六面體的頂點(diǎn)A，在球面上時(shí)，此時(shí)外球A的半徑（直徑）最小，
球直徑的長(zhǎng)為上下頂點(diǎn)的距離.
六面體可以看成兩個(gè)全等的正四面體組合而成，
一個(gè)棱長(zhǎng)為1正四面體的高為，所以外球最小半徑為.
當(dāng)球?yàn)榱骟w的內(nèi)切球時(shí)，半徑最大.
六面體的體積，
設(shè)內(nèi)切球的半徑，的中心為，連接，，，，，
六面體可分割成6個(gè)相同的三棱錐，
，所以.
所以外球A的半徑最小值與球的半徑最大值的比值為.
故答案為：
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8.10 與球有關(guān)的切、接問題
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
研究與球有關(guān)的切、接問題，既要運(yùn)用多面體、旋轉(zhuǎn)體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的幾何性質(zhì)，要特別注意多面體、旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，解決此類問題的關(guān)鍵是確定球心.
知識(shí)點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．
2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．
3、補(bǔ)成長(zhǎng)方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
知識(shí)點(diǎn)二：正四面體外接球
如圖，設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為.
知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長(zhǎng)方體來解決這類問題.
如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以.
知識(shí)點(diǎn)四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識(shí)點(diǎn)五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑.
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②.
知識(shí)點(diǎn)六：正棱錐外接球
正棱錐外接球半徑： .
由此推廣：側(cè)棱相等的錐體外接球半徑：
知識(shí)點(diǎn)七：垂面模型外接球
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
知識(shí)點(diǎn)八：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
典型例題分析
考向一 　外接球
角度1　補(bǔ)形法——存在側(cè)棱與底面垂直
例1 已知三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為(　　)
A.π B.14π
C.56π D.π
角度2　補(bǔ)形法——對(duì)棱相等
例2 已知棱長(zhǎng)為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為(　　)
A.π B.π
C.π D.π
感悟提升　補(bǔ)形法的解題策略
(1)側(cè)面為直角三角形或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ停梢苑诺秸襟w或長(zhǎng)方體中去求解；
(2)直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解.
角度3　截面法
例3 (2021·全國(guó)甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O－ABC的體積為(　　)
A. B.
C. D.
感悟提升　與球截面有關(guān)的解題策略
(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問題平面化的目的.
角度4　定義法
例4 (2023·德州質(zhì)檢)已知四棱錐P－ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，其各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝2，CD＝2，三棱錐P－ABC的體積為，則球O的表面積為(　　)
A.25π B.
C.32π D.
感悟提升　到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.
訓(xùn)練1 (1)(2023·河南頂級(jí)名校聯(lián)考)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R1的球O1上，該四面體各棱長(zhǎng)都相等，如圖①.正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R2的球O2上，如圖②.八面體的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R3的球O3上，該八面體各棱長(zhǎng)都相等，四邊形ABCD是正方形，如圖③.設(shè)四面體、正方體、八面體的表面積分別為S4，S6，S8.若R1∶R2∶R3＝∶∶，則(　　)
A.S8＞S4＞S6 B.S4＝S8＞S6
C.S4＝S6＜S8 D.S4＝S6＝S8
(2)(2023·天津模擬)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則外接球的表面積為________.
考向二 內(nèi)切球
例5 (2023·江西大聯(lián)考)已知四面體SABC的所有棱長(zhǎng)為2，球O1是其內(nèi)切球.若在該四面體中再放入一個(gè)球O2，使其與平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，則球O2與球O1的半徑比值為(　　)
A. B.
C. D.
感悟提升　“切”的問題處理規(guī)律
(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決.
(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的常用方法.
訓(xùn)練2 (2023·南京調(diào)研)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則三棱錐P－DEF的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為(　　)
A.6 B.12
C.24 D.30
考向三 雙半徑單交線公式
若相互垂直的兩凸多邊形的外接圓半徑分別為R1，R2，兩外接圓公共弦長(zhǎng)為l，則由兩凸多邊形頂點(diǎn)連接而成的幾何體的外接球半徑：R＝.
例6 (2023·河南適應(yīng)性測(cè)試)已知三棱錐P－ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝a，且平面PAB⊥平面ABC，若三棱錐P－ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，則a＝________.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（ ）
A． B． C． D．
2．三棱錐中，平面，，．過點(diǎn)分別作，交于點(diǎn)，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接球與內(nèi)切球的研究．其中的一些研究思想啟發(fā)著后來者的研究方向．已知正四棱錐的外接球半烴為R，內(nèi)切球半徑為r，且兩球球心重合，則（ ）
A．2 B． C． D．
4．若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．用一個(gè)平面去截棱長(zhǎng)為1的正方體，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若該平面過點(diǎn)，則截面的周長(zhǎng)為6
B．若該平面過點(diǎn)，則截得的兩個(gè)幾何體的外接球體積相等
C．若該平面過點(diǎn)，則截得的兩個(gè)幾何體的表面積均為
D．若該平面過點(diǎn)，則其截正方體的外接球所得的截面面積不是定值
6．下列關(guān)于三棱柱的命題，正確的是（ ）
A．任意直三棱柱均有外接球
B．任意直三棱柱均有內(nèi)切球
C．若正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則該三棱柱的體積為
D．若直三棱柱的外接球球心在一個(gè)側(cè)面上，則該三棱柱的底面是直角三角形
7．如圖是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，圓錐的底面和圓柱的上底面完全重合且圓錐的高度是圓柱高度的一半，若該組合體外接球的半徑為2，則（ ）
A．圓錐的底面半徑為1
B．圓柱的體積是外接球體積的四分之三
C．該組合體的外接球表面積與圓柱底面面積的比值為
D．圓錐的側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的一半
8．如圖，在正方體中，E、F分別是、的中點(diǎn)，G為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)G使得直線⊥平面EFG
B．存在點(diǎn)G使得直線AB與EG所成角為45°
C．G為BC的中點(diǎn)時(shí)和G、C重合時(shí)的三棱錐的外接球體積相等
D．當(dāng)G與B重合時(shí)三棱錐的外接球體積最大
9．正方體的棱長(zhǎng)為2，O為底面ABCD的中心．P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），則（ ）
A．不存在點(diǎn)P，使得平面
B．正方體的外接球表面積為
C．存在P點(diǎn)，使得
D．當(dāng)P為線段中點(diǎn)時(shí)，過A，P，O三點(diǎn)的平面截此正方體外接球所得的截面的面積為
10．七面體中，為正方形且邊長(zhǎng)為都與平面垂直，且，則對(duì)這個(gè)多面體描述正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，它有外接球，且其半徑為
B．當(dāng)時(shí)，它有外接球，且其半徑為
C．當(dāng)它有內(nèi)切球時(shí)，
D．當(dāng)它有內(nèi)切球時(shí)，
11．已知圓錐的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說法正確的是（ ）
A．外接球的表面積為
B．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則
C．過點(diǎn)作平面截圓錐OP的截面面積的最大值為2
D．設(shè)母線中點(diǎn)為，從點(diǎn)沿圓錐表面到的最近路線長(zhǎng)為
12．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，E是棱的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C．平面截四棱錐的外接球所得截面的面積為 D．平面截四棱錐的外接球所得截面的面積為
13．如圖，AB為圓柱的母線，BD為圓柱底面圓的直徑且，O為AD中點(diǎn)，C在底面圓周上滑動(dòng)（不與B，D重合）.則下列結(jié)論中正確的為（ ）
A．BO有可能垂直平面ACD
B．三棱錐的外接球表面積為定值
C．二面角正弦值的最小值為
D．過CD作三棱錐的外接球截面，截面面積的最大值為8π
三、雙空題
14．在長(zhǎng)方體中，已知，，分別為，的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的外接球表面積為________，平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積為________．
四、填空題
15．我們知道一個(gè)多面體的外接球可以定義為：若一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)都在某個(gè)球的球面上，則該球叫這個(gè)多面體的外接球.現(xiàn)新定義多面體的“外球”為：若一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)都在某個(gè)球的球面上或在球內(nèi)，則稱該球?yàn)檫@個(gè)多面體的外球.即外球能將多面體包圍起來.如圖是一個(gè)由六個(gè)全等的正三角形構(gòu)成的六面體，若該六面體有一外球A，且該六面體內(nèi)有一球.則外球A的半徑最小值與球的半徑最大值的比值為_________.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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