資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.1 集合的概念與運算
思維導圖
知識點總結
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和 .
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數(shù)集及記法
名稱 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
記法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合間的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集.
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
(4)空集的性質： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
集合的并集 集合的交集 集合的補集
符號表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為 UA
圖形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的運算性質
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
常用結論
1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
典型例題分析
考向一 集合的基本概念
典例一
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案　C
解析　A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.
2.設集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，則集合B為________.
答案　{0，1，2}
解析　由題意知，∵0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，故B＝{0，1，2}.
3.設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則a2 023＋b2 024＝________.
答案　0
解析　由題意知a≠0，
因為{1，a＋b，a}＝.
所以a＋b＝0，則＝－1，
所以a＝－1，b＝1.
故a2 023＋b2 024＝－1＋1＝0.
感悟提升　1.研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義.
2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.
考點二 集合間的基本關系
典例二
1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，則集合A，B，C的關系為(　　)
A.B A B.A＝B
C.C B D.A C
答案　D
解析　因為x2－2x－3≤0，即(x－3)·(x＋1)≤0，所以－1≤x≤3，則A＝[－1，3]；
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，則B＝[－2，4]；
因為≤0，所以－5＜x≤4，則C＝(－5，4]，所以A B，A C，B C.故選D.
2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，則實數(shù)m的取值范圍為________.
答案　(－∞，3]
解析　∵B A，
∴若B＝ ，則2m－1＜m＋1，解得m＜2；
若B≠ ，則解得2≤m≤3.
故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3].
感悟提升　1.若B A，應分B＝ 和B≠ 兩種情況討論.
2.已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對參數(shù)進行討論.求得參數(shù)后，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.
考向三 集合間的基本運算
典例3
1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝(　　)
A. B.S C.T D.Z
答案　C
解析　法一　在集合T中，令n＝k(k∈Z)，則t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，所以S∩T＝T，故選C.
法二　S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，觀察可知，T S，所以S∩T＝T，故選C.
2.設全集為R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，則A∩( RB)＝(　　)
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C. D.{x|0＜x＜2}
答案　B
解析　由題意知A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x≤－1或x≥1}，所以 RB＝{x|－1＜x＜1}，所以A∩( RB)＝{x|0＜x＜1}，故選B.
3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩( UN)＝ ，則a的取值范圍是(　　)
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
答案　B
解析　易得M＝{x|2x2－x－1＜0}＝.
∵N＝{x|2x＋a＞0}＝，
∴ UN＝.
由M∩( UN)＝ ，則－≤－，得a≥1.
感悟提升　1.進行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算.
2.數(shù)形結合思想的應用：
(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；
(2)連續(xù)型數(shù)集的運算，常借助數(shù)軸求解，運用數(shù)軸時要特別注意端點是實心還是空心.
考向四 Venn圖的應用
在部分有限集中，我們經常遇到元素個數(shù)的問題，常用Venn圖表示兩個集合的交、并、補集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的個數(shù)，即Card(A)表示有限集A的元素個數(shù).
典例四
1.某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是(　　)
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案　C
解析　用Venn圖表示該中學喜歡足球和游泳的學生所占比例之間的關系如圖，設既喜歡足球又喜歡游泳的學生占該中學學生總數(shù)的比例為x，則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故選C.
2.某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數(shù)學和化學小組的有________人.
答案　8
解析　設參加數(shù)學、物理、化學小組的人構成的集合分別為A，B，C，同時參加數(shù)學和化學小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖.
由全班共36名同學可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋
基礎題型訓練
一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)交集的定義計算可得．
【詳解】解：，，
．
故選：A．
2．已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)定義域求出，由得到a的取值范圍.
【詳解】由題意得，解得，故，
因為，所以.
故選：A
3．設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用并集和交集的定義對選項求解判斷即可
【詳解】∵，集合表示小于等于1的所有整數(shù)，∴，.
故選D
【點睛】本題考查了并集和交集的定義與計算問題，屬于基礎題．
4．已知集合,,則
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解不等式求出集合B，然后再求出即可．
【詳解】由題意得，
所以=．
故選D．
【點睛】本題考查集合的交集運算，解題的關鍵是正確求出集合，屬于簡單題．
5．設關于x的不等式的解集為A，且，，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意結合元素與集合的關系可得、，解不等式即可得解.
【詳解】由，得，即，
解得或；
由，得，即，解得；
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】本題考查了通過元素與集合的關系求參數(shù)的取值范圍，考查了運算求解能力與轉化化歸思想，屬于基礎題.
6．對于集合A，B，“”不成立的含義是　　
A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一個元素不屬于B D．B中至少有一個元素不屬于A
【答案】C
【分析】根據(jù)子集的定義可知，“”不成立即A中至少有一個元素不在集合B中.
【詳解】“”成立的含義是集合A中的任何一個元素都是B的元素，
不成立的含義是A中至少有一個元素不屬于B，
故選C．
【點睛】本題考查集合的包含關系，考查命題的否定，屬于基礎題．
二、多選題
7．下列關系式正確的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合間的關系判斷.
【詳解】對于A.元素與集合間是屬于與不屬于的關系，故A錯誤；
對于B.含有一個元素0，不是空集，故B錯誤；
對于C.集合的元素具有無序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正確；
對于D.空集是任何集合的子集，故D正確.
故選：CD．
8．（多選）若集合，，則集合或（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)選項分別求解，再判斷.
【詳解】因為集合，，所以，，
或， 所以或，.
故選 ：BC
三、填空題
9．已知實數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則__________．
【答案】-3
【分析】根據(jù)題意求元素的關系．
【詳解】解：因為實數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，
所以（無解）或者，
解得：．
故答案為：-3．
【點睛】本題考查集合元素的關系，屬于基礎題．
10．設全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為___________.
【答案】
【分析】化簡集合N，并求出N的補集，寫出韋恩圖的陰影部分表示的集合并求解即得.
【詳解】依題意，，則，而，又韋恩圖表示的集合為，于是得，
所以圖中陰影部分表示的集合為.
故答案為：
11．滿足，且的集合的個數(shù)是_____________.
【答案】12
【分析】根據(jù)題設條件，利用交集的性質，由列舉法寫出滿足條件的集合所有，從而可得結果.
【詳解】集合，且，
滿足條件的集合為
共有12個，故答案為12.
【點睛】本題主要考查已知集合間的關系求集合的個數(shù)問題，考查學生對子集，交集概念的理解，是一道中檔題.
12．若集合有且僅有2個子集，則滿足條件的實數(shù)的最小值是____.
【答案】-2
【分析】根據(jù)題意可知，集合只有一個元素，從而時，滿足條件，而時，可得到，求出，找到最小的即可.
【詳解】只有2個子集；
只有一個元素；
時，，滿足條件；
②時，；
解得或2；
綜上，滿足條件的實數(shù)的最小值為﹣2.
故答案為﹣2.
【點睛】考查子集的概念，描述法和列舉法表示集合的定義，以及一元二次方程實根個數(shù)和判別式的關系.
四、解答題
13．已知集合，，若，求實數(shù)的值.
【答案】
【分析】由可知，從而可得關于的方程組，進而可求出的值.
【詳解】解：由，，所以.解方程組，得.
【點睛】本題考查了集合的運算，考查了復數(shù)的概念.
14．已知全集，,
(1)；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由集合的交并補運算直接求解.
(1)
（1），故；
(2)
（2），則.
15．若，且A∪B=A，求由實數(shù)a的值組成的集合．
【答案】
【詳解】試題分析：由，得到，所以討論和兩種情況求的取值．第一步，先求解集合，所以集合:，，．
試題解析：，，即
，
故B是單元素集合或
當，由得
當，由得
當，由得
所以由實數(shù)a形成的集合為
考點：1．集合與集合的關系；2．空集．
16．集合是由形如的數(shù)構成的，試分別判斷，，與集合的關系.
【答案】，，
【分析】考慮是否可以寫成的形式，若可以則是屬于關系，反之則是不屬于關系.
【詳解】∵，而0， ， ，∵∴；∵，而13，，∴.
【點睛】本題考查元素與集合關系的判定，難度一般.當集合是一個特殊的數(shù)集時，判斷元素是否屬于集合，則需要考慮是否能通過一定的化簡手段將元素能寫成特殊數(shù)集的形式.
提升題型訓練
一、單選題
1．滿足條件的集合的個數(shù)為
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意得，當集合中含有兩個元素時，；當集合中含有三個元素時，；當集合中含有四個元素時，；當集合中含有五個元素時，，綜上所述集合的個數(shù)為個，故選C.
考點：子集的概念及應用.
2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9}, UA={5,7},則a的值是(　　)
A．2 B．8 C．-2或8 D．2或8
【答案】D
【詳解】由由已知得；故選D.
3．已知集合，，全集，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的定義域的求法化簡集合A，利用根式函數(shù)的定義域的求法化簡集合B，然后再利用補集和交集運算求解.
【詳解】因為，
即或，
所以，
所以，
故選：D.
【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及函數(shù)定義域的求法，屬于基礎題.
4．設集合,,若,則（ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．0
【答案】A
【分析】由集合的包含關系得的方程組，求解即可
【詳解】，由集合元素互異性得 則 或
解得或
故選 A
【點睛】本題考查集合的包含關系，考查元素的互異性，是基礎題
5．已知集合，，則
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得，，再利用集合交集的運算，即可求解.
【詳解】由題意，集合，，
所以.
故選D.
【點睛】本題主要考查了集合交集的運算，其中解答中正確求解集合，再根據(jù)集合的交集的概念及運算求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
6．設集合，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解不等式確定集合中的元素，然后由交集定義求解．
【詳解】由已知可得，
，
所以.
故選：D．
【點睛】本題考查集合的交集運算，一元二次不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的性質，屬于基礎題．
7．集合A，B，C滿足，則成立的等式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)轉化為子集關系，可知集合B，C關系，根據(jù)補集概念可得集合A的補集與集合B,C無公共元素，即可求解.
【詳解】因為，
所以且，而集合不一定相等，
所以選項A,C,D錯誤；
又由可知，故B做正確.
故選：B
【點睛】本題主要考查了集合的交、并、補集的定義，子集的概念，考查了推理能力，屬于中檔題.
8．對于集合，，定義，，設，，則
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由根據(jù)定義先求出集合和集合，再求這兩個集合的并集可得，得解.
【詳解】因為，， ,,
所以
故選C．
【點睛】本題考查集合的交、并、補集的運算，解題時注意理解和的含義，屬于基礎題.
9．已知集合，若且集合中恰有2個元素，則滿足條件的集合的個數(shù)為（ ）．
A．1 B．3 C．6 D．10
【答案】B
【分析】將方程平方整理得，再根據(jù)判別式得，故，再依次檢驗得，最后根據(jù)集合關系即可得答案.
【詳解】解:根據(jù)題意將兩邊平方得，
繼續(xù)平方整理得：，故該方程有解.
所以，即，解得，
因為，故，
當時，,易得方程無解，當時，，有解，滿足條件；
當時，，方程有解，滿足條件；
當時，，方程有解，滿足條件；
故，因為且集合中恰有2個元素，
所以集合可以是，，.
故選：B.
【點睛】本題考查集合的元素，集合關系，解題的關鍵在于將方程平方轉化為，再結合判別式得，進而求出集合.考查運算求解能力，化歸轉化能力，是中檔題.
10．若是一個非空集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足:（1）；（2）對于的任意子集，當且時，有；（3）對于的任意子集當且時，有，則稱是集合的一個“——集合類”例如:是集合的一個“——集合類”.已知，則所有含的“——集合類”的個數(shù)為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根據(jù)題意知一定包含，對剩余分類討論得到答案.
【詳解】的子集有：.
根據(jù)題意：一定包含，剩余.
當5個都不取時，，1個；
當只取1個時，，，
滿足，3個；
當只取2個時，，，
滿足，3個；
當只取3個時，，
，，
滿足，4個；
當只取4個時，不滿足；
當取5個時，滿足，1個；共12個.
故選：.
【點睛】本題考查了集合的新定義問題，分類討論是解題的關鍵.
二、多選題
11．已知集合，．若，則實數(shù)m的值為（ ）
A．0 B．1 C．-3 D．3
【答案】AD
【分析】根據(jù)并集結果得到，從而討論得到或或，根據(jù)集合中元素的互異性排除不合要求的結果.
【詳解】因為，所以．
因為，，所以或，
解得或或；
當時，，，符合題意；
當時，集合不滿足集合元素的互異性，不符合題意；
當時，，，符合題意；
綜上，或.
故選：AD
12．已知是同時滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結論中正確的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)集合滿足的條件對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】（1）由①，則由②，，，由③得，故A正確；
（2）由（1）可知，故B錯誤；
（3）由①知，，，，，
即，故C正確；
（4），則，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知當，，，
當，可得，，
故D正確．
故答案為：ACD
13．給定集合，若對于任意，，有，且，則稱集合A為閉集合，以下結論正確的是（ ）
A．集合為閉集合；
B．集合為閉集合；
C．集合為閉集合；
D．若集合為閉集合，則為閉集合．
【答案】AC
【分析】根據(jù)閉集合的定義和集合知識綜合的問題,分別判斷,且是否滿足即可得到結論.
【詳解】對于A：按照閉集合的定義，故A正確;
對于B：當時,.故不是閉集合.故B錯誤;
對于C：由于任意兩個3的倍數(shù),它們的和、差仍是3的倍數(shù),故是閉集合.故C正確;
對于D：假設,.不妨取,但是, ,則不是閉集合.故D錯誤.
故選：AC
14．設非空集合滿足：當時，有，給出如下四個命題，其中真命題是（ ）
A．若，則； B．若，則；
C．若，則； D．若，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)各選項對應m、l參數(shù)值，討論另一個參數(shù)可能取值情況，根據(jù)非空集合的定義求出它們的范圍.
【詳解】當時，此時，
若，顯然，滿足；
若，則，而，不滿足；
綜上，有，A正確；
當時，此時，
若，則，此時，滿足；
若，則，而，不滿足；
綜上，時有，B正確；
當時，此時，
此時，需保證，則，
綜上，，C正確；
當時，此時或，
若，需保證，則；
若有，滿足；
綜上，，D錯誤.
故選：ABC
三、填空題
15．關于的方程的解集為______．
【答案】
【分析】直接解方程，再將結果表示成集合形式即可
【詳解】由，解得，故解集為：
故答案為：
16．已知集合，，若，則由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為______.
【答案】
【分析】由于集合B是集合A的子集，分別討論集合B為空集和不是空集的情況，當集合B不是空集時，集合B的元素必為或者，即可求解.
【詳解】因為集合，，，
若為空集，則方程無解，解得；
若不為空集，則；由解得，所以或，解得或，
綜上，由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為.
【點睛】本題主要考查了集合間的基本關系以及含參一元一次方程的解法，要注意集合B是集合A的子集時，集合B有可能是空集.
17．定義有限數(shù)集中的最大元素與最小元素之差為的“長度”，如：集合的“長度”為3，集合的“長度”為0.已知集合，則的所有非空子集的“長度”之和為_________.
【答案】201
【分析】根據(jù)集合“長度”的定義，可將集合的非空子集分六類，分別計算可求出答案.
【詳解】集合有6個元素,非空子集有個，
①集合“長度”為0的子集有：；
②集合“長度”為1的子集有：；
③集合“長度”為2的子集有：；
④集合“長度”為3的子集有：；
⑤集合“長度”為4的子集有：；
⑥集合“長度”為5的子集有：,,,,,,,,,,.
的所有非空子集的“長度”之和為.
故答案為：201.
【點睛】本題考查新定義，要求讀懂題意并結合已有知識、能力進行理解，根據(jù)新定義進行計算、推理、遷移，新定義問題要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情境的變化，通過思考，合理進行思想方法的遷移.
18．設集合是小于5的質數(shù)，則的真子集的個數(shù)為______，的非空真子集的個數(shù)為______.
【答案】 3 2
【分析】質數(shù)又稱素數(shù)，指在一個大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，沒法被其他自然數(shù)整除的數(shù)，可求出集合，再根據(jù)真子集的定義可求出所求．
【詳解】小于5的質數(shù)有2，3，即，故的真子集的個數(shù)為，非空真子集的個數(shù)為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.1 集合的概念與運算
思維導圖
知識點總結
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和 .
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數(shù)集及記法
名稱 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
記法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合間的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集.
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
(4)空集的性質： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
集合的并集 集合的交集 集合的補集
符號表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為 UA
圖形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的運算性質
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
常用結論
1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
典型例題分析
考向一 集合的基本概念
典例一
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
2.設集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，則集合B為________.
感悟提升　1.研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義.
2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.
考點二 集合間的基本關系
典例二
1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，則集合A，B，C的關系為(　　)
A.B A B.A＝B
C.C B D.A C
2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，則實數(shù)m的取值范圍為________.
感悟提升　1.若B A，應分B＝ 和B≠ 兩種情況討論.
2.已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對參數(shù)進行討論.求得參數(shù)后，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.
考向三 集合間的基本運算
典例3
1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝(　　)
A. B.S C.T D.Z
2.設全集為R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，則A∩( RB)＝(　　)
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C. D.{x|0＜x＜2}
3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩( UN)＝ ，則a的取值范圍是(　　)
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
感悟提升　1.進行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算.
2.數(shù)形結合思想的應用：
(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；
(2)連續(xù)型數(shù)集的運算，常借助數(shù)軸求解，運用數(shù)軸時要特別注意端點是實心還是空心.
考向四 Venn圖的應用
在部分有限集中，我們經常遇到元素個數(shù)的問題，常用Venn圖表示兩個集合的交、并、補集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的個數(shù)，即Card(A)表示有限集A的元素個數(shù).
典例四
1.某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是(　　)
A.62% B.56% C.46% D.42%
2.某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數(shù)學和化學小組的有________人.
基礎題型訓練
一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合,,則
A． B．
C． D．
5．設關于x的不等式的解集為A，且，，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．對于集合A，B，“”不成立的含義是　　
A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一個元素不屬于B D．B中至少有一個元素不屬于A
二、多選題
7．下列關系式正確的為（ ）
A． B．
C． D．
8．（多選）若集合，，則集合或（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．已知實數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則__________．
10．設全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為___________.
11．滿足，且的集合的個數(shù)是_____________.
12．若集合有且僅有2個子集，則滿足條件的實數(shù)的最小值是____.
四、解答題
13．已知集合，，若，求實數(shù)的值.
14．已知全集，,
(1)；
(2)求.
15．若，且A∪B=A，求由實數(shù)a的值組成的集合．
16．集合是由形如的數(shù)構成的，試分別判斷，，與集合的關系.
提升題型訓練
一、單選題
1．滿足條件的集合的個數(shù)為
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9}, UA={5,7},則a的值是(　　)
A．2 B．8 C．-2或8 D．2或8
3．已知集合，，全集，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．設集合,,若,則（ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．0
5．已知集合，，則
A． B． C． D．
6．設集合，，則（ ）．
A． B． C． D．
7．集合A，B，C滿足，則成立的等式是（ ）．
A． B．
C． D．
8．對于集合，，定義，，設，，則
A． B．
C． D．
9．已知集合，若且集合中恰有2個元素，則滿足條件的集合的個數(shù)為（ ）．
A．1 B．3 C．6 D．10
10．若是一個非空集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足:（1）；（2）對于的任意子集，當且時，有；（3）對于的任意子集當且時，有，則稱是集合的一個“——集合類”例如:是集合的一個“——集合類”.已知，則所有含的“——集合類”的個數(shù)為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、多選題
11．已知集合，．若，則實數(shù)m的值為（ ）
A．0 B．1 C．-3 D．3
12．已知是同時滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結論中正確的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
13．給定集合，若對于任意，，有，且，則稱集合A為閉集合，以下結論正確的是（ ）
A．集合為閉集合；
B．集合為閉集合；
C．集合為閉集合；
D．若集合為閉集合，則為閉集合．
14．設非空集合滿足：當時，有，給出如下四個命題，其中真命題是（ ）
A．若，則； B．若，則；
C．若，則； D．若，則
三、填空題
15．關于的方程的解集為______．
16．已知集合，，若，則由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為______.
17．定義有限數(shù)集中的最大元素與最小元素之差為的“長度”，如：集合的“長度”為3，集合的“長度”為0.已知集合，則的所有非空子集的“長度”之和為_________.
18．設集合是小于5的質數(shù)，則的真子集的個數(shù)為______，的非空真子集的個數(shù)為______.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑