資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.2 常用邏輯用語
思維導圖
知識點總結
知識點一 充分條件、必要條件與充要條件
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且qp
p是q的必要不充分條件 pq且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 pq且qp
知識拓展
1．(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．
(2)若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件．
2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則
(1)若A B，則p是q的充分條件；
(2)若A B，則p是q的必要條件；
(3)若A＝B，則p是q的充要條件；
知識點二 ．全稱量詞和存在量詞
(1)全稱量詞有：所有的、任意一個、任給一個，用符號“ ”表示；存在量詞有：存在一個、至少有一個、有些，用符號“ ”表示．
(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．“對M中任意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為 x∈M，p(x).
(3)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符號簡記為 x∈M，p(x).
2．含有一個量詞的命題的否定
命題 命題的否定
x∈M，p(x) x∈M，否p(x)
x∈M，p(x) x∈M，否p(x)
知識拓展
1．含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞，否結論”．
2．常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面 詞語 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定 詞語 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面 詞語 都是 任意的 所有的 至多 有一個 至少 有一個
否定 詞語 不都是 某個 某些 至少 有兩個 一個 也沒有
典型例題分析
考向一　充分、必要條件的判斷
例1
“x2>4”是“3x>9”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　B
解析　因為x2>4 x>2或x<－2,3x>9 x>2，記A＝{x|x>2或x<－2}，B＝{x|x>2}，則B?A，所以x2>4不能推出3x>9,3x>9能推出x2>4，所以“x2>4”是“3x>9”的必要不充分條件．故選B.
若l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，l⊥α，則“l⊥m”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　B
解析　由l⊥α，l⊥m，得m∥α或m α，不滿足充分性，由l⊥α，m∥α，得l⊥m，滿足必要性，故“l⊥m”是“m∥α”的必要不充分條件．故選B.
　充分、必要條件的兩種判斷方法
(1)定義法：根據p q，q p進行判斷．
(2)集合法：根據p，q成立時對應的集合之間的包含關系進行判斷．
考向二　根據充分、必要條件求參數的范圍
例2　已知關于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一個充分不必要條件是－1A．(－∞，－1] B．(－∞，0)
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　D
解析　由題可知(－1,1)是不等式(x－a)(x－3)>0的解集的一個真子集．當a＝3時，不等式(x－a)(x－3)>0的解集為{x|x≠3}，此時(－1,1)?{x|x≠3}；當a>3時，不等式(x－a)(x－3)>0的解集為(－∞，3)∪(a，＋∞)，此時(－1,1)?(－∞，3)，符合題意；當a<3時，不等式(x－a)(x－3)>0的解集為(－∞，a)∪(3，＋∞)，由題意可得(－1,1)?(－∞，a)，此時1≤a<3.綜上所述，a≥1.
1．條件、結論的相對性
充分條件、必要條件是相對的概念，在進行判斷時一定要注意哪個是“條件”，哪個是“結論”．要注意條件與結論間的推出方向．如“A是B的充分不必要條件”是指A B但BA；“A的充分不必要條件是B”是指B A但AB.以上兩種說法在充要條件的推理判斷中經常出現且容易混淆．
2．根據充分、必要條件求解參數范圍的方法
(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(組)求解．
(2)求解參數的取值范圍時，一定要注意區間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象．
考向三　充要條件的證明與探求
例3　已知a，b，c均為實數，求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
證明　(1)充分性：如果ac<0，則b2－4ac>0且<0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程有一正根和一負根．
(2)必要性：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根，
則Δ＝b2－4ac>0，<0，所以ac<0.
由(1)(2)知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
考向四　全稱量詞命題、存在量詞命題真假的判斷
例4
下列命題中的假命題是(　　)
A． x∈R，x2≥0
B． x∈R,2x－1>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，sinx＋cosx＝2
答案　D
解析　A顯然是真命題；由指數函數的性質知2x－1>0恒成立，所以B是真命題；當0(多選)下列命題為假命題的是(　　)
A． x∈R，ln (x2＋1)<0
B． x>2,2x>x2
C． α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ
D． x∈(0，π)，sinx>cosx
答案　ABD
解析　∵x2＋1≥1，∴ln (x2＋1)≥0，故A是假命題；當x＝3時，23<32，故B是假命題；當α＝β＝0時，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命題；當x＝∈(0，π)時，sinx＝，cosx＝，sinx判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路
考向五　含有量詞的命題的否定
例5
設命題p：任意常數數列都是等比數列，則綈p是(　　)
A．所有常數數列都不是等比數列
B．有的常數數列不是等比數列
C．有的等比數列不是常數數列
D．不是常數數列的數列不是等比數列
答案　B
解析　全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．故綈p是有的常數數列不是等比數列．
命題“ x∈R,1A． x∈R,1B． x∈R,1C． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
D． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
答案　D
解析　存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，原命題的否定形式為“ x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故選D.
　寫出全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的步驟
(1)準確審題：明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到其量詞的位置及相應結論．
(2)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，若命題中無量詞，則要結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫．
(3)否定結論：對原命題的結論進行否定．
基礎題型訓練
一、單選題
1．命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據全稱命題的否定判斷，即可得到結果.
【詳解】命題“”，
則其否定為
故選:C.
2．命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由含量詞命題否定的定義，寫出命題的否定即可．
【詳解】命題“，”的否定是：，，
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：該題考查的是有關含有一個量詞的命題的否定問題，正確解題的關鍵是要明確全稱命題的否定是特稱命題，注意表達形式即可.
3．已知命題，（且），則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題得到答案.
【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，故.
故選：.
【點睛】本題考查了全稱命題的否定，意在考查學生的推斷能力.
4．“”是“的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】根據指數函數與對數函數的性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由，可得，又由函數為單調遞增函數，可得成立，即充分性是成立的；
反之：由，可得，例如：，此時不成立，即必要性是不成立的，
所以“”是“的充分而不必要條件.
故選：A.
【點睛】本題主要考查了指數函數與對數的性質，以及充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記指數函數與對數的性質，結合充分條件、必要條件的判定方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力.
5．已知命題：，是真命題，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得對于恒成立，討論和即可求解.
【詳解】若命題：，是真命題，
則對于恒成立，
當時，可得：不滿足對于恒成立，所以不符合題意；
當時，需滿足解得，
所以實數的取值范圍是，
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：對于對于恒成立，需討論和，當時，結合二次函數圖象即可得等價條件.
6．下列說法中，正確的是
A．命題“若，則”的否命題是假命題
B．設為兩不同平面，直線，則“”是 “” 成立的充分不必要條件
C．命題“存在”的否定是“對任意”
D．已知，則“”是“”的充分不必要條件
【答案】B
【詳解】試題分析：（1）命題“若，則”的逆命題為“若，則”，為真命題，所以原命題的否命題也為真命題，所以A不正確；
（2）根據面面垂直的判定定理由可得；但，不一定可得，所以“”是 “” 成立的充分不必要條件，所以B正確；
（3）命題“存在”的否定是“對任意，”．所以C不正確；
（4）因為是的真子集，所以“”是“”必要不充分條件．所以D不正確．
綜上可得B正確．
考點：1命題的真假；2充分必要條件．
二、多選題
7．下列敘述正確的是（ ）
A．
B．，使得
C．已知，則“”是“”的必要不充分條件
D．；q：對不等式恒成立，p是q的充分不必要條件
【答案】AC
【分析】取，可判斷A；取可判斷B；由 可判斷C；由 可判斷D.
【詳解】對于選項A：當，時，不等式成立，故A正確；
對于選項B：當時，不存在實數使得不等式成立，故B錯誤；
對于選項C：，因為 ，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確；
對于選項D：，因為 ，所以是的必要不充分條件，故D錯誤.
故選：AC.
8．下列說法是正確的是（　　）
A．命題“，都有”的否定是“，都有”
B．中，角、、成等差數列的充分條件是
C．若函數滿足，則函數是周期函數
D．若，則實數的取值范圍是
【答案】ABC
【解析】由全稱命題的否定可判斷A選項的正誤；利用等差中項的性質以及三角形的內角和定理可判斷B選項的正誤；推導出，可判斷C選項的正誤；取可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A選項，命題“，都有”為全稱命題，
該命題的否定為“，都有”，A選項正確；
對于B選項，在中，若角、、成等差數列，則，
由三角形的內角和定理可得，，
所以，在中，角、、成等差數列的充分條件是，B選項正確；
對于C選項，由于函數滿足，
則，
所以，函數為周期函數，C選項正確；
對于D選項，取，則無意義，D選項錯誤.
故選：ABC.
【點睛】本題考查命題正誤的判斷，考查了全稱命題的否定、充分條件的判斷、周期函數的判斷以及不等式的求解，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.
三、填空題
9．“”是“”的___________條件.（用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空）
【答案】充分不必要
【分析】由“充分不必要條件”的定義即可求得答案.
【詳解】由“”可得“”或“”，所以“”是“”充分不必要條件．
故答案為：充分不必要.
10．若命題“”是假命題，則實數的取值范圍是______.
【答案】
【分析】原命題為假，則其否定為真，轉化為二次不等式的恒成立問題求解.
【詳解】命題“”的否定為：“，”.
因為原命題為假命題，則其否定為真.當時顯然不成立；當時，恒成立；當時，只需，解得：.
綜上有
故答案為：.
11．已知命題：“或”，：“”，則P是Q成立的______
【答案】必要非充分條件
【分析】可以考慮逆否命題的充分必要性，即得解.
【詳解】先考慮充分性，即考慮是否成立，
其逆否命題為：,“”，：“且”，
顯然不成立，所以P是Q成立的非充分條件；
再考慮必要性，即考慮是否成立，
其逆否命題為：,“”，：“且”，
顯然成立，所以P是Q成立的必要條件.
所以P是Q成立必要非充分條件.
故答案為必要非充分條件
【點睛】本題主要考查充分必要條件的判斷，考查逆否命題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
12．方程至少有一個正實數根的充要條件是________；
【答案】
【分析】討論，和三種情況，計算得到答案.
【詳解】當時，方程為滿足條件.
當時，方程恒有兩個解，且，兩根一正一負，滿足條件
當時，，即，此時，，
，兩根均為正數，滿足條件
綜上所述：
故答案為
【點睛】本題考查了充要條件，分類討論是一個常用的方法，需要同學們熟練掌握.
四、解答題
13．設 ，求證：成立的充要條件是xy≥0．
【答案】證明見解析．
【詳解】證明：
（充分性）若xy=0，成立;
若,；
若,
(必要性)
14．已知集合，或．
（1）當時，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由，得到，再利用交集的運算求解.
（2）根據或，得到，然后根據“”是“”的充分不必要條件,由A是的真子集，且求解.
【詳解】（1）∵當時，，或，
∴；
（2）∵或，
∴，
因為“”是“”的充分不必要條件,
所以A是的真子集，且，
又，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及邏輯條件的應用，屬于基礎題.
15．設是實數，命題：函數的最小值小于0，命題：函數在上是減函數，命題：.
（1）若“”和“”都為假命題，求實數的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】分別求解出命題為真時和命題為真時的取值范圍；（1）由已知可知真假，從而可得不等式組，解不等式組求得結果；（2）根據充分不必要條件的判定方法可得不等式組，解不等式求得結果.
【詳解】當命題為真時：
則函數的最小值為，解得：
當命題為真時：
，則不等式在上恒成立
，解得：
（1）因為“”和“”都為假命題
為真命題，為假命題

實數的取值范圍是
（2）若是的充分不必要條件
則，解得：
故實數的取值范圍是
【點睛】本題考查根據命題、含邏輯連接詞的命題的真假性求解參數范圍、利用充分條件和必要條件的判斷方法求解參數范圍問題，屬于基礎題.
16．已知全集為，集合，.
(1)求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分別求出集合，然后再求交集即可；
（2）可分析出是的真子集，列出不等式求解即可.
【詳解】（1）解：解得所以，
由解得，所以，
所以
（2）解：因為“”是“”的充分不必要條件，
所以且，
所以 （等號不同時成立）得，
所以實數的取值范圍是.
提升題型訓練
一、單選題
1．設命題，則為 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根據特稱命題的否定是全稱命題得答案.
【詳解】根據特稱命題的否定是全稱命題,
為
故選：C.
2．設，則“”是“直線：與直線：平行”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】結合直線平行的等價條件，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
【詳解】∵當時，直線與直線重合，充分性不具備，
當與平行時，顯然a≠0，
需，此時無解，必要性不具備，
故選D.
【點睛】本題考查了直線平行、簡易邏輯的判定方法分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
3．“”是“”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用或，結合充分條件與必要條件的定義可得結果.
【詳解】根據題意，由于或，
因此可以推出，反之，不成立，
因此“”是“”的充分而不必要條件，故選A.
【點睛】判斷充分條件與必要條件應注意：首先弄清條件和結論分別是什么，然后直接依據定義、定理、性質嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉化為包含關系來處理.
4．已知命題使；命題當時，的最小值為4．下列命題是真命題的是
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：因為命題使為真命題，而命題當時，的最小值為4為假命題（因為等號取不到）故為真命題，則為真，選A
考點：簡易邏輯
5．在中，“”是“”的
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】B
【詳解】試題分析：中，若，則或，反之，若，則一定有，所以在中，“”是“”的必要非充分條件，故選B．
考點：1、已知三角函數求角；2、充分條件與必要條件.
6．給出下列四個說法：
①命題“，都有”的否定是“，使得”；
②已知、，命題“若，則”的逆否命題是真命題；
③是的必要不充分條件；
④若為函數的零點，則.
其中正確的個數為
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據全稱命題的否定可判斷出命題①的真假；根據原命題的真假可判斷出命題②的真假；解出不等式，利用充分必要性判斷出命題③的真假；構造函數，得出，根據零點的定義和函數的單調性來判斷命題④的正誤.
【詳解】對于命題①，由全稱命題的否定可知，命題①為假命題；
對于命題②，原命題為真命題，則其逆否命題也為真命題，命題②為真命題；
對于命題③，解不等式，得或，所以，是的充分不必要條件，命題③為假命題；
對于命題④，函數的定義域為，
構造函數，則函數為增函數，
又，
為函數的零點，則，
，，則，命題④為真命題.
故選C.
【點睛】本題考查命題真假的判斷，涉及命題的否定，四種命題的關系，充分必要的判斷以及函數的零點，考查推理能力，屬于中等題.
二、多選題
7．下列能成為充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】分別解出選項中的集合，再根據充分條件與集合的包含關系，求參數的取值范圍.
【詳解】，即，
分別解出選項中的集合：
A.或，得或，即或；
B.，即；
C.，得或，即或；
D.，即，
要能成為充分條件，選項中的解集需是集合的子集，其中只有BD符號題意.
故選：BD
【點睛】本題考查充分條件與集合的包含關系，重點考查計算能力，以及理解充分條件，屬于基礎題型.
8．下列說法正確的是
A．命題“若且，則”為真命題
B．“若直線與直線平行，則”的逆命題是真命題
C．若：，使得，則：，使得
D．“”是“”的充要條件
【答案】AB
【解析】依次判斷每個選項：判斷知正確；根據平行的性質知正確；選項應為，使得；應為充分不必要條件，得到答案.
【詳解】A. 命題“若且，則”為真命題，正確；
B.逆命題是：若，則直線與直線平行，即和平行，正確；
C. 若：，使得，則：，使得，錯誤；
D. “”是“”的充分不必要條件，錯誤；
故選：.
【點睛】本題考查了命題的真假判斷，逆命題，特稱命題的否定，充要條件，意在考查學生的綜合應用能力.
三、填空題
9．命題：，的否定________.
【答案】，
【分析】根據全稱量詞命題的否定的知識填寫正確結果.
【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結論，所以，.
故答案為：，
【點睛】本小題主要考查全稱量詞命題的否定，屬于基礎題.
10．已知集合，若是的充分不必要條件，則的取值范圍為______________
【答案】
【分析】根據集合之間的包含關系，列出不等關系，即可求得結果.
【詳解】根據題意，集合是集合的真子集；
故，，且不能同時取得等號，
解得，故的取值范圍為：.
故答案為：.
11．已知直線和，則∥的充要條件是=______．
【答案】3
【分析】根據直線平行關系求出的取值即為其充要條件.
【詳解】直線和，
則∥，即，，
解得：或，
當時：和平行；
當時：和重合，不滿足平行，
所以.
故答案為：3
【點睛】此題考查根據兩條直線平行求參數的值，根據平行關系求參數，注意考慮直線重合的情況.
12．設函數的定義域為D，若命題p：“，”為假命題，則a的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】根據特稱命題為假命題轉化為全稱命題是真命題，進而轉化為恒成立問題，
利用恒成立問題即可求解.
【詳解】命題p：“，”為假命題，則“，”為真命題.
則函數的圖象要恒在圖象的上方（兩個式需都有意義）.
作圖可知.
所以a的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題
13．下列各題中，是的什么條件（“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”，下同）？
（1）；（2）有意義；（3）.
【答案】（1）是的必要不充分條件；（2）是的充要條件；（3）是的充分不必要條件.
【解析】（1）根據充分條件與必要條件的概念，直接判斷，即可得出結果；
（2）根據有意義，得到，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結果；
（3）根據，得到，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結果.
【詳解】（1）因為由不能推出；由能推出；所以是的必要不充分條件；
（2）因為有意義，所以，所以，即是的充要條件；
（3）由得，所以由能推出；由不能推出；所以是的充分不必要條件.
【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判定，熟記概念即可，屬于常考題型.
14．命題：“，”，命題：“，”，若和中至少有一個是假命題，求實數的取值范圍．
【答案】．
【分析】先求出和均為真命題時的實數的取值范圍，再利用補集求出符合題意的實數的取值范圍．
【詳解】若是真命題，則對于恒成立，所以，
若是真命題，則關于的方程有實數根，
所以，即，
若和同時為真命題，則，所以，
所以當和中至少有一個是假命題時，有．
15．已知全集，集合，集合，其中.
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的充分條件，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）確定，，再計算補集得到答案.
（2）根據充分條件得到，得到，解得答案.
【詳解】（1），故，，
（2）“”是“”的充分條件，故，故，
解得，故a的取值范圍是
16．已知全集，集合，集合．條件①；②是的充分條件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B滿足條件__________（三個條件任選一個作答），求實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）可將帶入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根據題意中三個不同的條件，列出集合與集合之間的關系，即可完成求解.
【詳解】（1）當時，集合，集合，所以；
（2）i.當選擇條件①時，集合，
當時，，舍；
當集合時，即集合，時，，
此時要滿足，則，解得，
結合，所以實數m的取值范圍為或；
ii.當選擇條件②時，要滿足是的充分條件，則需滿足在集合時，
集合是集合的子集，即，解得，
所以實數m的取值范圍為或；
iii.當選擇條件③時，要使得，使得，那么需滿足在集合時，集合是集合的子集，即，解得，
所以實數m的取值范圍為或；
故，實數m的取值范圍為或.
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專題1.2 常用邏輯用語
思維導圖
知識點總結
知識點一 充分條件、必要條件與充要條件
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的 要條件 p q且qp
p是q的 條件 pq且q p
p是q的 條件 p q
p是q的 條件 pq且qp
知識拓展
1．(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．
(2)若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件．
2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則
(1)若A B，則p是q的充分條件；
(2)若A B，則p是q的必要條件；
(3)若A＝B，則p是q的充要條件；
知識點二 ．全稱量詞和存在量詞
(1)全稱量詞有：所有的、任意一個、任給一個，用符號“ ”表示；存在量詞有：存在一個、至少有一個、有些，用符號“ ”表示．
(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．“對M中任意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為 .
(3)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符號簡記為 .
2．含有一個量詞的命題的否定
命題 命題的否定
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
知識拓展
1．含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞，否結論”．
2．常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面 詞語 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定 詞語 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面 詞語 都是 任意的 所有的 至多 有一個 至少 有一個
否定 詞語 不都是 某個 某些 至少 有兩個 一個 也沒有
典型例題分析
考向一　充分、必要條件的判斷
例1
“x2>4”是“3x>9”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
若l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，l⊥α，則“l⊥m”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
　充分、必要條件的兩種判斷方法
(1)定義法：根據p q，q p進行判斷．
(2)集合法：根據p，q成立時對應的集合之間的包含關系進行判斷．
考向二　根據充分、必要條件求參數的范圍
例2　已知關于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一個充分不必要條件是－1A．(－∞，－1] B．(－∞，0)
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
1．條件、結論的相對性
充分條件、必要條件是相對的概念，在進行判斷時一定要注意哪個是“條件”，哪個是“結論”．要注意條件與結論間的推出方向．如“A是B的充分不必要條件”是指A B但BA；“A的充分不必要條件是B”是指B A但AB.以上兩種說法在充要條件的推理判斷中經常出現且容易混淆．
2．根據充分、必要條件求解參數范圍的方法
(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(組)求解．
(2)求解參數的取值范圍時，一定要注意區間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象．
考向三　充要條件的證明與探求
已知a，b，c均為實數，求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正
考向四　全稱量詞命題、存在量詞命題真假的判斷
例4
下列命題中的假命題是(　　)
A． x∈R，x2≥0
B． x∈R,2x－1>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，sinx＋cosx＝2
(多選)下列命題為假命題的是(　　)
A． x∈R，ln (x2＋1)<0
B． x>2,2x>x2
C． α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ
D． x∈(0，π)，sinx>cosx
判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路
考向五　含有量詞的命題的否定
例5
設命題p：任意常數數列都是等比數列，則綈p是(　　)
A．所有常數數列都不是等比數列
B．有的常數數列不是等比數列
C．有的等比數列不是常數數列
D．不是常數數列的數列不是等比數列
命題“ x∈R,1A． x∈R,1B． x∈R,1C． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
D． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
　寫出全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的步驟
(1)準確審題：明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到其量詞的位置及相應結論．
(2)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，若命題中無量詞，則要結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫．
(3)否定結論：對原命題的結論進行否定．
基礎題型訓練
一、單選題
1．命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
2．命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知命題，（且），則（ ）
A． B．
C． D．
4．“”是“的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知命題：，是真命題，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列說法中，正確的是
A．命題“若，則”的否命題是假命題
B．設為兩不同平面，直線，則“”是 “” 成立的充分不必要條件
C．命題“存在”的否定是“對任意”
D．已知，則“”是“”的充分不必要條件
二、多選題
7．下列敘述正確的是（ ）
A．
B．，使得
C．已知，則“”是“”的必要不充分條件
D．；q：對不等式恒成立，p是q的充分不必要條件
8．下列說法是正確的是（　　）
A．命題“，都有”的否定是“，都有”
B．中，角、、成等差數列的充分條件是
C．若函數滿足，則函數是周期函數
D．若，則實數的取值范圍是
三、填空題
9．“”是“”的___________條件.（用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空）
10．若命題“”是假命題，則實數的取值范圍是______.
11．已知命題：“或”，：“”，則P是Q成立的______
12．方程至少有一個正實數根的充要條件是________；
四、解答題
13．設 ，求證：成立的充要條件是xy≥0．
14．已知集合，或．
（1）當時，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
15．設是實數，命題：函數的最小值小于0，命題：函數在上是減函數，命題：.
（1）若“”和“”都為假命題，求實數的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
16．已知全集為，集合，.
(1)求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
提升題型訓練
一、單選題
1．設命題，則為 （ ）
A． B．
C． D．
2．設，則“”是“直線：與直線：平行”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．“”是“”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知命題使；命題當時，的最小值為4．下列命題是真命題的是
A． B． C． D．
5．在中，“”是“”的
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
6．給出下列四個說法：
①命題“，都有”的否定是“，使得”；
②已知、，命題“若，則”的逆否命題是真命題；
③是的必要不充分條件；
④若為函數的零點，則.
其中正確的個數為
A． B． C． D．
二、多選題
7．下列能成為充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列說法正確的是
A．命題“若且，則”為真命題
B．“若直線與直線平行，則”的逆命題是真命題
C．若：，使得，則：，使得
D．“”是“”的充要條件
三、填空題
9．命題：，的否定________.
10．已知集合，若是的充分不必要條件，則的取值范圍為______________
11．已知直線和，則∥的充要條件是=______．
12．設函數的定義域為D，若命題p：“，”為假命題，則a的取值范圍是___________.
四、解答題
13．下列各題中，是的什么條件（“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”，下同）？
（1）；（2）有意義；（3）.
14．命題：“，”，命題：“，”，若和中至少有一個是假命題，求實數的取值范圍．
15．已知全集，集合，集合，其中.
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的充分條件，求a的取值范圍.
16．已知全集，集合，集合．條件①；②是的充分條件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B滿足條件__________（三個條件任選一個作答），求實數m的取值范圍．
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