資源簡介

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2.1 函數及其表示
思維導圖
知識點總結
(1)集合A,B及其對應關系f:A→B構成的函數中,函數的值域C不是集合B,而是C B.
(2)兩個函數的值域和對應關系相同,但兩個函數不一定相同,例如,函數f(x)=2x2,x∈[0,2]與函數f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、列表法和圖象法.
3.分段函數
若函數在其定義域內,對于定義域內的不同取值區間,有著不同的對應關系,這樣的函數通常叫做分段函數.分段函數雖然由幾部分組成,但它表示的是一個函數.
分段函數是一個函數,而不是幾個函數,分段函數的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
與x軸垂直的直線與一個函數的圖象至多有一個公共點.
典型例題分析
考向一 函數的定義域
典例一
1.函數f(x)=+ln(2x-x2)的定義域為(　B　)
A.(2,+∞) B.(1,2)
C.(0,2) D.[1,2]
解析:要使函數有意義則解得12.已知函數f(x)=的定義域是R,則實數a的取值范圍是(　B　)
A.(-12,0) B.(-12,0]
C.(,+∞) D.(-∞,]
解析:因為f(x)=的定義域為R,所以只需分母不為0即可,
所以a=0或可得-123.已知函數f(x)=(1-x+(2x-1)0,則f(x)的定義域為　　　　　　.
解析:將(1-x化為,所以x<1,又因為2x-1≠0,所以x≠.
綜上,定義域為(-∞,)∪(,1).
答案:(-∞,)∪(,1)
解題分析與總結
(1)若函數的解析式是由多個基本初等函數通過四則運算構成,則函數的定義域是使構成解析式的各部分都有意義的集合的交集.
(2)求抽象函數的定義域
①若y=f(x)的定義域為(a,b),則解不等式a②若y=f(g(x))的定義域為(a,b),則求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定義域.
注意:1.求函數定義域時,對函數解析式先不要化簡.
2.求出定義域后,一定要將其寫成集合或區間的形式.若用區間表示,不能用“或”連接,而應該用并集符號“∪”連接.
考向二 求函數的解析式
典例二
1.已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x,則f(x)=　　　　.
解析:(解方程組法)因為2f(x)+f()=3x,①
把①中的x換成,得2f()+f(x)=.②
聯立①②可得
解此方程組可得f(x)=2x-(x≠0).
答案:2x-(x≠0)
2.已知在定義域內單調遞增的一次函數f(x)滿足f(f(x))=4x+6,則f(x)的解析式為　　　　.
解析:
設f(x)=ax+b(a>0),則f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+6,于是有解得或(舍去),所以f(x)=2x+2.
答案:f(x)=2x+2
解題分析與總結
1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用換元法或配湊法或兩種方法并用,換元法更具有一般性,在使用時一定要注意新元的取值范圍.
2.換元法的一般方法是:令t=g(x),從中求出x=(t),然后代入表達式求出f(t),再將t換成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值
范圍.
考向三 分段函數及其應用
微考點1　分段函數求值
已知f(x)=則f[f()]+f(-)的值等于　　　.
解析:由題意得f()=2×=,f[f()]=f()=2×=.
f(-)=f(-)=f()=2×=,
所以f[f()]+f(-)=+=.
答案:
解題分析與總結
求分段函數的函數值的策略
(1)求分段函數的函數值時,要先確定要求值的自變量屬于哪一區間,然后代入該區間對應的解析式求值.
(2)當出現f(f(a))的形式時,應從內到外依次求值.
微考點2　分段函數與方程
已知函數f(x)=若f(a)=2,則實數a=(　　)
A.-1或2 B.2或4
C.-2或4 D.-1或4
解析:法一　當a<0時,由a2-a=2解得a=-1或a=2(舍去);
當a≥0時,由=2可得a=4.故選D.
法二　結合選項可知a=2時≠2,因此排除A,B.對于a=-2時, (-2)2-(-2)=6≠2,排除C.故選D.
解題分析與總結
根據分段函數的函數值求自變量的值或解方程時,應根據分段函數各段的定義域分類討論,結合各段的函數解析式求解,要注意求出的自變量的值應滿足解析式對應的自變量的區域.
微考點3 分段函數與不等式
函數f(x)=則滿足f(x)+f(x-)>1的x的取值范圍是　　　　.
解析:當x>時,f(x)+f(x-)=2x+>2x>>1;
當02x>1;
當x≤0時,f(x)+f(x-)=x+1+(x-)+1=2x+,
所以f(x)+f(x-)>1 2x+>1 x>-,即-綜上,x∈(-,+∞).
答案:(-,+∞)
解題分析與總結
求解與分段函數有關的不等式問題,應在定義域的限制之下,結合函數解析式分別解不等式,最后取各不等式的并集.
微考點4　分段函數的值域
設函數f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,則F(x)的值域為(　　)
A.(-∞,1]
B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
解析:當x>0時,F(x)=+x≥2=2,當且僅當=x,即x=1時取等號;當x≤0時,F(x)=ex+x,根據指數函數與一次函數的單調性得F(x)是增函數,F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域為(-∞,1]∪[2,+∞).故選C.
解題分析與總結
分段函數的值域是各段函數值域的并集.
基礎題型訓練
一、單選題
1．下列各組函數中，是相等函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】D
【分析】依據各選項中兩個函數的定義域和對應法則是否相同逐項檢驗即可.
【詳解】對于A，，對應法則不一致，故兩個函數不是相等的函數，故A錯.
對于B，的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不一致，
故它們不是相同的函數，故B錯.
對于C，的定義域為，的定義域為，
故兩個函數不是同一函數，故C錯誤.
對于D，兩個函數的定義域均為，且，故D正確.
故選：D.
【點睛】本題考查函數相等的判斷，一般依據函數三要素來判斷，本題屬于基礎題.
2．下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A．與 B．與
C．， D．，
【答案】B
【分析】由相同函數有相同定義域及相同解析式判斷各選項即可.
【詳解】相同函數有相同定義域及相同解析式.
對于選項A：的定義域為R，的定義域為，定義域不同，不是同一函數，故A錯誤；
對于選項B：函數與函數 的定義域都是，
又，則兩函數解析式也相同，則為同一函數，故B正確.
對于選項C：的定義域為R，的定義域為，定義域不同，不是同一函數，故C錯誤；
對于選項D：的定義域為R，的定義域為，定義域不同，不是同一函數，故D錯誤．
故選：B
3．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學路上的運動特征，兩者對應即可選出正確選項.
【詳解】考查四個選項，橫坐標表示時間，縱坐標表示的是離開學校的距離，由此知，此函數圖象一定是下降的，由此排除A；
再由小明騎車上學，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數圖象與x軸平行，由此排除D，
之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內函數圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確．
故選C．
【點睛】本題考查函數的表示方法，關鍵是理解坐標系的度量與小明上學的運動特征，屬于基礎題.
4．函數的值域為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函數，可得，兩邊平方，即可求解．
【詳解】解：函數，可知函數的定義域為．
當時，可知函數是遞增函數，可得
當時，可得，
兩邊平方，
，
即；
，
可得：，
．得．
由，
．
可得：
綜上可得．
函數的值域為．
故選：．
【點睛】本題考查了函數值域的求法．高中函數值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數法，4、判別式法；5、換元法，6、數形結合法，7、不等式法，8、分離常數法，9、單調性法，10、利用導數求函數的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據題意選擇．
5．若函數在上的最大值為4，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出分段函數的圖象，并計算得出，，觀察圖象可得結果.
【詳解】可知在單調遞增，在單調遞增，且，，畫出函數圖象，
觀察圖象可知，要使在上的最大值為4，需滿足．
故選：C.
6．下列各函數中，表示相等函數的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與(且)
【答案】D
【解析】本題可依次判斷四個選項中函數的定義域、對應關系、值域是否相同，即可得出結果.
【詳解】A項：函數定義域為，函數定義域為，A錯誤；
B項：函數定義域為，函數定義域為，B錯誤；
C項：函數值域為，函數值域為，C錯誤；
D項：函數與函數(且)定義域相同，對應關系相同，D正確.
故選：D
【點睛】方法點睛：判斷兩個函數是否相同，首先可以判斷函數的定義域是否相同，然后判斷兩個函數的對應關系以及值域是否相同即可，考查函數定義域和值域的求法，是中檔題.
二、多選題
7．若一系列函數的解析式和值域相同，但定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”，例如函數，與函數，就是“同族函數”.下列可用來構造同族函數的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】函數與是偶函數可判斷出是同族函數，函數關于對稱，在的左右兩邊函數值相等，所以也可構成同族函數，函數是單調函數，所以不能構成同族函數.
【詳解】函數與是偶函數，所以可構造“同族函數”，函數在定義域上為增函數，所以不滿足“同族函數”，函數，與函數，的值域相同，所以是同族函數.
故選：ACD.
8．下列函數中，表示同一個函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】BD
【解析】判斷每個選項函數的定義域和對應關系是否都相同，都相同的為同一個函數，否則不是同一個函數.
【詳解】A中的定義域為，的定義域為R，定義域不同，不是同一個函數；
B中，的定義域都是R，定義域和對應關系都相同，表示同一個函數；
C中的定義域為R，的定義域為，定義域不同，不是同一個函數；
D中定義域為R，的定義域為R，定義域和對應關系都相同，表示同一個函數.
故選：BD
【點睛】方法點睛：判斷兩函數是否表示同一個函數的方法:看定義域和對應關系是否都相同，當二者都相同時，函數為同一個函數，否則不是同一個函數.
三、填空題
9．已知為一個確定的區間，則a的取值范圍是________.
【答案】.
【解析】利用區間的定義：右端點大于左端點即可求解.
【詳解】解析由為一個確定的區間知，解得，
因此a的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】本題考查區間的定義，需掌握區間的定義，屬于基礎題.
10．值域：與的值____的的值的集合.
【答案】相對應
【分析】值域的定義
【詳解】值域就是自變量經過對應法則計算之后所對應的的值的集合
故答案為：相對應
11．表示不超過的最大整數，如，，，若，則的值域為___________.
【答案】
【解析】利用分離常數法可求得的值域，根據新定義運算可化簡為，從而利用的值域求得結果.
【詳解】由題意得：，
，，，
，，，，
，又，，即的值域為.
故答案為：.
【點睛】本題考查函數值域的求解問題，涉及到分離常數法求解函數值域、函數新定義運算問題的求解等；解題關鍵是能夠準確理解新定義運算的含義，從而將所求函數解析式進行化簡.
12．函數的定義域為，則的定義域為________.
【答案】
【分析】根據抽象函數的定義域求的定義域即可.
【詳解】由于函數的定義域為，則，所以函數的定義域為，
則函數中，所以，即的定義域為.
故答案為：.
四、解答題
13．設函數
(1)求函數的定義域；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據函數的解析式，結合函數定義域的定義，即可求解；
（2）根據函數的解析式，分別代入，即可求解的值.
【詳解】（1）解：由函數，可得函數的定義域為.
（2）解：由，
所以.
14．（1）已知函數，求的解析式；
（2）已知為二次函數，且，，求的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用換元法可求得函數的解析式；
（2）設，由可求得的值，即可的函數的解析式.
【詳解】（1）設，可得，則，
故；
（2）因為，可設，
則，解得，因此，.
15．已知函數.
（1）求，的值；
（2）求證是定值；
（3）求：的值.
【答案】（1）1；1；（2）1；（3）.
【分析】（1）由，將代入計算求解.
（2）由，將代入計算求解.
（3）根據（2）的結論，由原式的規律和的個數計算求解.
【詳解】（1）因為，
所以，；
（2）；
（3）由，
所以，
，
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是論證的值.
16．已知函數.
（1）求的值；
（2）當時，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的取值范圍，再結合函數的解析式，可計算出；
（2）分別求出函數在、、時的值域，取并集即可得出函數在區間上的值域.
【詳解】（1），
當時，，所以；
（2）①當時，，所以；
②當時，；
③當時，，此時，所以.
綜上所述，當時，函數的值域是.
【點睛】本題考查分段函數值的計算，同時也考查了分段函數值域的計算，解題時要對自變量的取值進行分類討論，并選擇合適的解析式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.
提升題型訓練
一、單選題
1．已知，則的值為（ ）
A．4 B． C．16 D．
【答案】C
【分析】根據函數解析,先求得的值,再代入即可求解.
【詳解】根據題意令
解得
所以
故選:C
【點睛】本題考查了復合函數函數值的求法,屬于基礎題.
2．函數的最大值是
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【解析】利用換元法,可設,則,代回可得,由二次函數的性質解得最值即可
【詳解】設,則,
所以,
則當時,,
故選:D
【點睛】本題考查換元法求函數最值,使用換元法時要注意新元的取值范圍
3．二次函數的圖象如圖所示，則反比例函數與一次函數在同一坐標系下中的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由拋物線開口向下，可得，可排除A，C，根據拋物線過點得，可知過原點可排除B，進而可得正確選項.
【詳解】因為二次函數開口向下，所以，
所以的圖象必在二四象限，可排除選項A，C
因為過點，所以，所以，
所以即過點，故選項B不正確，選項D正確；
故選：D.
4．定義：若函數的圖象經過變換后所得的圖象對應的函數與的值域相同，則稱變換是的同值變換，下面給出了四個函數與對應的變換：
①將函數的圖象關于軸對稱；
②將函數的圖象關于軸對稱；
③將函數的圖象關于點對稱.
④將函數的圖象關于點對稱.
其中是的同值變換的有（ ）
A．①② B．①③④ C．①④② D．①③
【答案】B
【解析】根據同值變換的定義，先求出對應的函數解析式，求出相應的值域，結合值域關系進行判斷即可.
【詳解】解：①的值域為將函數的圖象關于軸對稱得到的值域為，值域相同是同值變換.
②，值域為，將函數的圖象關于軸對稱得到，即，兩個函數的值域不相同，不是同值變換.
③，函數關于對稱，函數值域為，將函數的圖象關于點對稱后函數是自身，滿足值域相同，是同值變換
④的值域為，則的圖象關于點對稱后的值域仍然為，則兩個函數的值域相同，是同值變換.
故是的同值變換的有①③④，
故選：B.
【點睛】本題主要考查函數圖象變換以及函數值域的求解判斷，結合新定義求出函數的解析式以及值域是解決本題的關鍵.
5．定義區間，，，的長度均為，用表示不超過的最大整數，例如，，記，設，，若用表示不等式解集區間的長度，則當時有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化簡，再化簡，再分類討論，當時，當時，當時，最后根據討論的結果求出區間長度即可.
【詳解】，
由得，即，
當時，，不等式為，即，則為；
當時，，不等式為，則為；
當時，，不等式為，則為，
此時區間的長度為.
故選：.
6．函數=，若方程有且只有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是
A．（－，1） B．（－，1]
C．（0，1） D．[0，+）
【答案】A
【解析】根據分段函數的表達，畫出函數的圖像，結合函數和的圖像有且只有兩個交點，來求得實數的取值范圍.
【詳解】當時，，故.當時，，故.以此類推，當時，.由此畫出函數和的圖像如下圖所示，由圖可知的取值范圍是時，和的圖像有且僅有兩個交點.即方程有且只有兩個不相等的實數根.故本小題選A.
【點睛】本小題主要考查分段函數解析式的求法，考查數形結合的數學思想方法，考查方程的根和函數的零點問題，綜合性較強，屬于中檔題.
二、多選題
7．具有性質：的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數，下列函數滿足“倒負”變換的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據“倒負”變換的函數的定義依次判斷即可得答案.
【詳解】解：對于A，，，滿足題意；
對于B，，則，不滿足；
對于C，，，不滿足；
對于D， ，即，則滿足“倒負”變換.
故選：AD.
8．設函數的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則的值可以是（ ）．
A． B．1 C． D．2
【答案】CD
【分析】根據得，進一步求出其他區間的函數表達式，再結合圖形和不等式即可求解.
【詳解】由得，則.
當時，在上遞增，在上遞減，所以.
當時，，其最大值為1，同理當時，,依此類推，可知當時，恒成立.
又時，，當時，得或，
結合圖象，知.
所以恒成立時，故選項C，D正確.
故選：CD.
【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是通過迭代求函數的最值，然后再結合圖形解不等式.
三、填空題
9．設函數，則__________．
【答案】-2
【分析】直接代入解析式求解即可.
【詳解】因為函數，且
所以，故答案為.
【點睛】本題主要考查分段函數的解析式，屬于基礎題.
10．函數在區間上的值域是______.
【答案】
【分析】根據函數單調性，從而求出函數的值域即可．
【詳解】在區間單調遞減，則當時， 當時，
故值域為
故答案為：
【點睛】本題考查了函數的單調性應用，考查求函數的值域問題，是一道基礎題．
11．定義，若，則使不等式成立的的取值范圍是____
【答案】
【分析】首先利用題中所給函數的條件，確定出函數的解析式，畫出函數的圖象，從圖象中判斷出自變量離1越近，函數值越大，得到等價的不等式，求解即可得結果.
【詳解】因為，，
所以，
畫出函數圖象如圖所示：
不等式等價于如下不等式：，
即，解得或，
所以不等式的解集為，
即答案是：.
【點睛】該題考查的是有關利用函數值的大小確定自變量大小的問題，涉及到的知識點有新函數的定義，在解題的過程中，注意應用函數的圖象，解決利用函數值的大小得自變量大小的問題，屬于簡單題目.
12．函數的定義域為，則實數a的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】由題意可得恒成立，分和兩種情況分別考慮，解不等式即可得到所求范圍．
【詳解】因為函數的定義域為 R，所以的解為R，
即函數的圖象與x軸沒有交點，
（1）當時，函數與x軸沒有交點，故成立；
（2）當時，要使函數的圖象與x軸沒有交點，則，解得.
綜上：實數的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數的定義域問題，注意運用分母不為，以及二次不等式恒成立問題解法，屬于中檔題．
四、解答題
13．若函數.
（1）求、；
（2）求函數的定義域.
【答案】（1）,；（2）.
【解析】（1）利用函數的解析式可求得、的值；
（2）根據函數解析式有意義可得出關于實數的不等式組，進而可求得函數的定義域.
【詳解】（1），，；
（2）對于函數，則有，解得且.
因此，函數的定義域為.
【點睛】本題考查函數值的計算，同時也考查了函數定義域的求解，考查計算能力，屬于基礎題.
14．給定函數，，.
(1)在所給坐標系（1）中畫出函數，的大致圖象；（不需列表，直接畫出.）
(2)，用表示，中的較小者，記為，請分別用解析法和圖象法表示函數.（的圖象畫在坐標系（2）中）
(3)直接寫出函數的值域.
【答案】(1)圖象見解析.
(2)，圖象見解析.
(3).
【分析】（1）根據函數的解析式，在坐標系中分別描出5個點，再將各點連接起來，即可得，的大致圖象；
（2）根據函數的定義，結合（1）所得圖象寫出解析式，進而畫出的圖象.
（3）由（2）所得圖象直接寫出的值域.
【詳解】（1）
-2 -1 0 1 2
-6 0 2 0 -6
-6 -3 0 3 6
∴函數，的大致圖象如下圖示：
（2）由，可得或，結合（1）的圖象知：
，則的圖象如下：
（3）由（2）所得圖象知：的值域為.
15．已知函數的定義域為集合，集合，.
(1)求集合和；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)，或
(2)或.
【分析】（1）求出函數的定義域 ，結合集合 ，進而結合集合交集，并集，補集的定義，可得答案．
（2）若 ，則 ，分 和 ，兩種情況討論滿足條件的實數的取值，最后綜合討論結果，可得答案．
（1）
由，得：，∴，
或 或，
（2）
由已知得：，
①若，則，∴，符合題意；
②若，則，解得：
綜上，實數的取值范圍為或.
16．設是定義在上的函數，滿足，當時，．
（）求的值，試證明是偶函數．
（）證明在上單調遞減．
（）若，，求的取值范圍．
【答案】(1) ；證明見解析.
(2) 證明見解析.
(3) .
【詳解】分析：（1）先求得，再求得，令，則，從而可得結論；（2）設，，，，∵，則，即，從而可得結果；(3)求得，
可得，化為，從而可得結果.
詳解：（）∵
令得
∴．
令，，，，
令，則．
即是定義在上的偶函數．
（）∵，
∴，
設，，，
，
∵，
則，
即，
即在上單調遞減．
（）∵，
∴，
∴，
∵為偶函數，且在上單調遞減，
∴，
綜上，的取值范圍為．
點睛：本題主要考查函數的奇偶性、函數的單調性，屬于難題. 利用定義法判斷函數的單調性的一般步驟是：（1）在已知區間上任取；（2）作差；（3）判斷的符號（往往先分解因式，再判斷各因式的符號）， 可得在已知區間上是增函數， 可得在已知區間上是減函數.
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2.1 函數及其表示
思維導圖
知識點總結
(1)集合A,B及其對應關系f:A→B構成的函數中,函數的值域C不是集合B,而是C B.
(2)兩個函數的值域和對應關系相同,但兩個函數不一定相同,例如,函數f(x)=2x2,x∈[0,2]與函數f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函數的表示法
表示函數的常用方法有 、 和 .
3.分段函數
若函數在其定義域內,對于定義域內的不同取值區間,有著不同的對應關系,這樣的函數通常叫做分段函數.分段函數雖然由幾部分組成,但它表示的是一個函數.
分段函數是一個函數,而不是幾個函數,分段函數的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
與x軸垂直的直線與一個函數的圖象至多有一個公共點.
典型例題分析
考向一 函數的定義域
典例一
1.函數f(x)=+ln(2x-x2)的定義域為(　B　)
A.(2,+∞) B.(1,2)
C.(0,2) D.[1,2]
2.已知函數f(x)=的定義域是R,則實數a的取值范圍是(　B　)
A.(-12,0) B.(-12,0]
C.(,+∞) D.(-∞,]
3.已知函數f(x)=(1-x+(2x-1)0,則f(x)的定義域為　　　　　　.
解題分析與總結
(1)若函數的解析式是由多個基本初等函數通過四則運算構成,則函數的定義域是使構成解析式的各部分都有意義的集合的交集.
(2)求抽象函數的定義域
①若y=f(x)的定義域為(a,b),則解不等式a②若y=f(g(x))的定義域為(a,b),則求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定義域.
注意:1.求函數定義域時,對函數解析式先不要化簡.
2.求出定義域后,一定要將其寫成集合或區間的形式.若用區間表示,不能用“或”連接,而應該用并集符號“∪”連接.
考向二 求函數的解析式
典例二
1.已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x,則f(x)=　　　　.
2.已知在定義域內單調遞增的一次函數f(x)滿足f(f(x))=4x+6,則f(x)的解析式為　　　　.
解題分析與總結
1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用換元法或配湊法或兩種方法并用,換元法更具有一般性,在使用時一定要注意新元的取值范圍.
2.換元法的一般方法是:令t=g(x),從中求出x=(t),然后代入表達式求出f(t),再將t換成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值
范圍.
考向三 分段函數及其應用
微考點1　分段函數求值
已知f(x)=則f[f()]+f(-)的值等于　　　.
解題分析與總結
求分段函數的函數值的策略
(1)求分段函數的函數值時,要先確定要求值的自變量屬于哪一區間,然后代入該區間對應的解析式求值.
(2)當出現f(f(a))的形式時,應從內到外依次求值.
微考點2　分段函數與方程
已知函數f(x)=若f(a)=2,則實數a=(　　)
A.-1或2 B.2或4
C.-2或4 D.-1或4
解題分析與總結
根據分段函數的函數值求自變量的值或解方程時,應根據分段函數各段的定義域分類討論,結合各段的函數解析式求解,要注意求出的自變量的值應滿足解析式對應的自變量的區域.
微考點3 分段函數與不等式
函數f(x)=則滿足f(x)+f(x-)>1的x的取值范圍是　　　　.
解題分析與總結
求解與分段函數有關的不等式問題,應在定義域的限制之下,結合函數解析式分別解不等式,最后取各不等式的并集.
微考點4　分段函數的值域
設函數f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,則F(x)的值域為(　　)
A.(-∞,1]
B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
解題分析與總結
分段函數的值域是各段函數值域的并集.
基礎題型訓練
一、單選題
1．下列各組函數中，是相等函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
2．下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A．與 B．與
C．， D．，
3．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（　　）
A． B．
C． D．
4．函數的值域為（ ）．
A． B． C． D．
5．若函數在上的最大值為4，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．下列各函數中，表示相等函數的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與(且)
二、多選題
7．若一系列函數的解析式和值域相同，但定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”，例如函數，與函數，就是“同族函數”.下列可用來構造同族函數的有（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函數中，表示同一個函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
三、填空題
9．已知為一個確定的區間，則a的取值范圍是________.
10．值域：與的值____的的值的集合.
11．表示不超過的最大整數，如，，，若，則的值域為___________.
12．函數的定義域為，則的定義域為________.
四、解答題
13．設函數
(1)求函數的定義域；
(2)求.
14．（1）已知函數，求的解析式；
（2）已知為二次函數，且，，求的解析式.
15．已知函數.
（1）求，的值；
（2）求證是定值；
（3）求：的值.
16．已知函數.
（1）求的值；
（2）當時，求的值域.
提升題型訓練
一、單選題
1．已知，則的值為（ ）
A．4 B． C．16 D．
2．函數的最大值是
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．二次函數的圖象如圖所示，則反比例函數與一次函數在同一坐標系下中的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
4．定義：若函數的圖象經過變換后所得的圖象對應的函數與的值域相同，則稱變換是的同值變換，下面給出了四個函數與對應的變換：
①將函數的圖象關于軸對稱；
②將函數的圖象關于軸對稱；
③將函數的圖象關于點對稱.
④將函數的圖象關于點對稱.
其中是的同值變換的有（ ）
A．①② B．①③④ C．①④② D．①③
5．定義區間，，，的長度均為，用表示不超過的最大整數，例如，，記，設，，若用表示不等式解集區間的長度，則當時有（ ）
A． B． C． D．
6．函數=，若方程有且只有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是
A．（－，1） B．（－，1]
C．（0，1） D．[0，+）
二、多選題
7．具有性質：的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數，下列函數滿足“倒負”變換的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
8．設函數的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則的值可以是（ ）．
A． B．1 C． D．2
三、填空題
9．設函數，則__________．
10．函數在區間上的值域是______.
11．定義，若，則使不等式成立的的取值范圍是____
12．函數的定義域為，則實數a的取值范圍是___________.
四、解答題
13．若函數.
（1）求、；
（2）求函數的定義域.
14．給定函數，，.
(1)在所給坐標系（1）中畫出函數，的大致圖象；（不需列表，直接畫出.）
(2)，用表示，中的較小者，記為，請分別用解析法和圖象法表示函數.（的圖象畫在坐標系（2）中）
(3)直接寫出函數的值域.
15．已知函數的定義域為集合，集合，.
(1)求集合和；
(2)若，求實數的取值范圍.
16．設是定義在上的函數，滿足，當時，．
（）求的值，試證明是偶函數．
（）證明在上單調遞減．
（）若，，求的取值范圍．
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