資源簡介

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函數的單調性與最值
思維導圖
知識點總結
知識點一　增函數與減函數的定義
一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間D I：
(1)如果 x1，x2∈D，當x1(2)如果 x1，x2∈D，當x1f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們稱它是減函數．
思考　(1)所有的函數在定義域上都具有單調性嗎？
(2)在增函數和減函數定義中，能否把“任意x1，x2∈D”改為“存在x1，x2∈D”？
答案　(1)不是；(2)不能．
知識點二　函數的單調區間
如果函數y＝f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間．
特別提醒：(1)函數單調性關注的是整個區間上的性質，單獨一點不存在單調性問題，所以單調區間的端點若屬于定義域，則該點處區間可開可閉，若區間端點不屬于定義域則只能開．
(2)單調區間D 定義域I.
(3)遵循最簡原則，單調區間應盡可能大．
知識點三　函數的最大(小)值及其幾何意義
最值 條件 幾何意義
最大值 ①對于 x∈I，都有f(x)≤M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函數y＝f(x)圖象上最高點的縱坐標
最小值 ①對于 x∈I，都有f(x)≥M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函數y＝f(x)圖象上最低點的縱坐標
思考　函數f(x)＝x2＋1≥－1總成立，f(x)的最小值是－1嗎？
答案　f(x)的最小值不是－1，因為f(x)取不到－1.
知識點四　求函數最值的常用方法
1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標即為函數的最大(小)值．
2．運用已學函數的值域．
3．運用函數的單調性：
(1)若y＝f(x)在區間[a，b]上是增函數，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在區間[a，b]上是減函數，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函數的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個．
典型例題分析
考向一 函數單調性的判定與證明
例1　根據定義，研究函數f(x)＝在x∈(－1,1)上的單調性．
解　當a＝0時，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有單調性，
當a≠0時，設x1，x2為(－1,1)上的任意兩個數，且x1所以f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
因為x1，x2∈(－1,1)且x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以>0，
當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1,1)上單調遞減，
當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在(－1,1)上單調遞增．
綜上，當a＝0時，f(x)在(－1,1)上不具有單調性；
當a>0時，f(x)在(－1,1)上單調遞減；
當a<0時，f(x)在(－1,1)上單調遞增．
反思感悟　利用定義判斷或證明函數單調性的步驟
考向二 求單調區間并判斷單調性
例2　(1)如圖是定義在區間[－5,5]上的函數y＝f(x)，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？
考點　求函數的單調區間
題點　求函數的單調區間
解　y＝f(x)的單調區間有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在區間[－5，－2)，[1,3)上是減函數，在區間[－2,1)，[3,5]上是增函數．
(2)作出函數f(x)＝的圖象，并指出函數f(x)的單調區間．
解　f(x)＝的圖象如圖所示，
由圖可知，函數f(x)＝的單調遞減區間為(－∞，1]和(1,2)，單調遞增區間為[2，＋∞)．
反思感悟　(1)函數單調區間的兩種求法
①圖象法．即先畫出圖象，根據圖象求單調區間．
②定義法．即先求出定義域，再利用定義法進行判斷求解．
(2)函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，單調區間是定義域的子集；當函數出現兩個以上單調區間時，單調區間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；在單調區間D上函數要么是增函數，要么是減函數，不能二者兼有．
考向三 利用函數的單調性求最值
例3　已知函數f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判斷函數f(x)的單調性并證明；
(2)求函數f(x)的最大值和最小值．
解　(1)f(x)是增函數，證明如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
因為3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3,5]上為增函數．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上為增函數，
則f(x)max＝f(5)＝，
f(x)min＝f(3)＝.
反思感悟　(1)若函數y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)．
(2)若函數y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b)．
(3)若函數y＝f(x)有多個單調區間，那就先求出各區間上的最值，再從各區間的最值中決定出最大(小)值．函數的最大(小)值是整個值域范圍內的最大(小)值．
(4)如果函數定義域為開區間，則不但要考慮函數在該區間上的單調性，還要考慮端點處的函數值或者發展趨勢．
基礎題型訓練
一、單選題
1．函數在上是減函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據一次函數的單調性有，即可得結果.
【詳解】因為函數在上是減函數，
所以.
故選：D
2．若函數f(x)是R上的增函數，對實數a，b，若a＋b>0，則有(　　)
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)【答案】A
【詳解】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a).
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b),故選A.
點睛:本題考查抽象函數的單調性和不等式的性質,屬于基礎題.由已知a＋b>0可得, a>－b和b>－a均成立.再由函數f(x)是R上的增函數，當a>－b時有f(a)>f(－b)(1);當b>－a時有f(b)>f(－a)(2);對兩式相加可得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b),即選項A正確;對(2)化簡可得-f(b)<-f(－a),不滿足同向可加性.
3．函數為的導函數，令，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求導后，令，可求得，再利用導數可得為減函數，比較的大小后，根據為減函數可得答案.
【詳解】由題意得，，，
解得，所以．
所以，所以為減函數．
因為，
所以，
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：比較大小的關鍵是知道的單調性，利用導數可得的單調性.
4．函數的值域為
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，把已知函數解析式變形，令變形，再由“對勾函數”的單調性求解.
【詳解】解：令，，
令，則，
原函數化為，
該函數在上為減函數，在上為增函數，
又當時，，當時，，當時，.
∴函數的值域為，
則函數的值域為.
故選：C.
【點睛】本題考查利用換元法及“對勾函數”的單調性求函數值域，是中檔題.
5．設a，，若時，恒有，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用特殊值及解決恒成立問題常用分離參數轉化為求最值問題即可求解.
【詳解】當時，恒有，
當時，原式化為；
當時，原式化為，即，
.
又時，恒成立；
，即恒成立；
恒成立；
當時，恒成立，
令，則
由二次函數的性質，知在單調遞增；
，即，
又，，則.
對于A，，故A不正確；
對于B，，故B不正確；
對于C，，故C 正確；
對于D，，故D不正確.
故選：C.
6．已知函數的圖像關于對稱，且對任意的，，總有，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函數單調性的定義可得在上是增函數，再結合對稱性可比較大小.
【詳解】因為對任意的，有，
不妨設，則有
因為，所以，即，
所以在上是增函數，
因為的圖像關于對稱，所以，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C錯誤，D正確.
故選：D
二、多選題
7．函數滿足條件：①對定義域內任意不相等的實數，恒有；②對定義域內任意兩個實數，都有成立，則稱為函數，下列函數為函數的是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】ABC
【分析】先判斷兩個條件分別確定函數為增函數，函數的圖象是上凸函數，由此依次判斷四個選項即可．
【詳解】解：因為對定義域內任意不相等的實數，恒有（a）（b），
所以是增函數，
因為對定義域內任意兩個實數，都有成立，
所以為上凸函數，
對于，函數是增函數，且成立，所以函數為函數，故選項正確；
對于，函數是增函數，且函數的圖象是上凸函數，所以函數為函數，故選項正確；
對于，函數，是增函數，且函數的圖象是上凸函數，所以函數為函數，故選項正確；
對于，函數，是增函數，但是函數的圖象是下凹函數，所以函數不是函數，故選項錯誤．
故選：．
8．關于函數，下列命題中正確的是（ ）
A．函數圖象關于y軸對稱
B．當時，函數在上為增函數
C．當時，函數有最大值，且最大值為
D．函數的值域是
【答案】AC
【解析】利用奇偶性定義即可判斷A正確；利用復合函數的單調性即值域的求法判斷B錯誤C正確D錯誤即可.
【詳解】由題知，的定義域為，且，所以為偶函數，所以函數圖像關于y軸對稱，故A正確；
函數由和復合而成的，令，當時，為增函數，當時，為減函數；當，函數為增函數，由復合函數的單調性可知在上為減函數，在上為增函數，故B錯誤；
時是對勾函數 ，當時取最小值2，而，即是偶函數，故由偶函數性質知，當且僅當時取等號，又時，函數為減函數，故函數，有最大值，故C正確；
當時，值域為；同理當時，函數為減函數，故函數，有最小值，值域為，故D錯誤.
故選：AC.
【點睛】復合函數單調性的判斷方法為先將函數拆分為和，分別判斷單調性，遵循“同增異減”的法則進行判斷即可； 復合函數值域的求法，先求的取值范圍，再求的取值范圍即可得結果.
三、填空題
9．函數的單調遞減區間為________.
【答案】，
【分析】利用單調性的定義進行求解，設量，作差，變形，定號，下結論.
【詳解】函數的定義域為，任取且，則，即，故在上為減函數；同理，可得在上也為減函數.
故答案為：，.
【點睛】本題主要考查簡單函數的單調區間的求法，單調區間常用求解思路有：定義法，圖象法，側重考查邏輯推理的核心素養.
10．二次函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由條件可得，解出即可.
【詳解】因為二次函數在區間上單調遞增，
所以，即
故答案為：
11．如果對于函數的定義域內任意兩個自變量的值，，當時，都有且存在兩個不相等的自變量，，使得，則稱為定義域上的不嚴格的增函數．已知函數的定義域、值域分別為，，，且為定義域上的不嚴格的增函數，那么這樣的函數共有________個．
【答案】9
【分析】根據本題所給的定義，以及函數的定義對所給的函數進行討論，解決此題要分三類，三對一的對應，二對一的對應，三種來研究，進而得到答案．
【詳解】解：由題意，若函數是三對一的對應，則有對應1；
對應2；對應3，共三種方式，故此類函數有三種．
若函數是二對一的對應，則有對應1，3對應2；
對應1，3對應3；
對應2，3對應3；
1對應1，對應2；
1對應1，對應3；
1對應2，對應3，共有6種．
綜上，這樣的共有種．
由于一對一的對應不滿足不嚴格函數的定義，故不考慮此情況．
故答案為：9．
12．已知在上單調遞增，則實數a的取值范圍為______.
【答案】
【分析】利用題給條件構造出關于實數a的不等式，解之即可求得實數a的取值范圍.
【詳解】由，可得
又在上單調遞增，
則在上恒成立，則在上恒成立，
又，則，則
故答案為：
四、解答題
13．設函數,,函數.
(1)若時,畫出函數的圖象,并指出函數的單調區間；
(2)求在區間上的最小值.
【答案】(1) 的圖象如下圖所示：
的單調遞增區間,單調遞減區間；
(2).
【分析】(1)當時,求出函數和的定義域,最后求出函數的定義域，利用基本不等式求出函數的最小值,畫出函數的圖象,最后利用圖象寫出函數的單調區間；
(2)根據(1)可以得到函數的單調性,然后進行分類討論,求出在區間上的最小值.
【詳解】(1)當時，函數的定義域為,的定義域為,因此函數,定義域為.因為,所以有
（當且僅當時取等號）,函數圖象如下圖所示：
根據圖象和函數的最小值可知：的單調遞增區間,單調遞減區間；
(2)由(1)可知函數定義域為，在上單調遞減，在
上單調遞增.
當時,即時，；
當時,即時，，綜上所述：
.
【點睛】本題考查了函數型函數的單調性,考查了分類討論思想.
14．設函數，求證：函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數．
【答案】見解析
【分析】根據定義，設出x1，x2，作差，判斷符號，即可證明函數的單調性．注意因式分解時的方法．
【詳解】任取x1，x2∈[0，+∞），且x1則f（x1）–f（x2）=，
顯然分母大于零，
由于00，x1–x2<0，故分子小于零，
因此f（x1）–f（x2）<0，即f（x1）因此函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數．
【點睛】本題考查了利用定義證明函數單調性的方法，注意格式書寫要規范，屬于基礎題．
15．已知函數，二次函數滿足，且不等式的解集為．
(1)求，的解析式；
(2)設，根據定義證明：在上為增函數．
【答案】(1)，；
(2)證明見解析.
【分析】（1）配湊法求出函數的解析式，借助一元二次不等式解集求出的解析式作答.
（2）由（1）求出，再利用單調性定義推理作答.
【詳解】（1）依題意，，因此，
設二次函數，不等式為：，
則是關于x的一元二次方程的兩個實根，且，
于是得，即，又，解得，，，
于是得，
所以，.
（2）由（1）知，，
任取，且，
因，有，，，則，因此，
所以函數在上為增函數．
16．設是偶函數，是奇函數，且，求函數的解析式．
【答案】.
【分析】根據函數的奇偶性，代替，列出方程組，即可求解函數的解析式．
【詳解】由題意，函數是偶函數，是奇函數，可得，
由， ①
用代替，可得，即，②
由①②聯立方程組，解得.
【點睛】本題主要考查函數解析式的求解，以及函數的奇偶性的應用，其中解答中合理應用函數的奇偶性，列出方程組是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.
提升題型訓練
一、單選題
1．函數y=x2-5x-6在區間[2，4]上是（ ）
A．遞減函數 B．遞增函數
C．先遞減再遞增函數 D．先遞增再遞減函數
【答案】C
【分析】利用二次函數的性質即可判斷作答.
【詳解】函數y=x2-5x-6的圖象對稱軸為，于是得這個函數在上單調遞減，在上單調遞增，
而，，于是得這個函數在[2，4]上先減后增，
所以函數y=x2-5x-6在區間[2，4]上是先遞減再遞增函數.
故選：C
2．定義，若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用給定的定義求出函數，再求出其單調遞減區間即可求解作答.
【詳解】由給定的定義知，
顯然函數的單調遞減區間是，而函數在上單調遞減，
于是得，因此，
所以實數的取值范圍是.
故選：D
3．已知，若函數在上為減函數，且函數在上有最大值，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由復合函數在上的單調性可構造不等式求得，結合已知可知；當時，，若，可知無最大值；若，可得到，解不等式，與的范圍結合可求得結果.
【詳解】在上為減函數 ，解得：

當時，，此時
當，時，在上單調遞增
無最大值，不合題意
當，時，在上單調遞減
若在上有最大值 ，解得：
，又
故選
【點睛】本題考查根據復合函數單調性求解參數范圍、根據分段函數有最值求解參數范圍的問題；關鍵是能夠通過分類討論的方式得到處于不同范圍時在區間內的單調性，進而根據函數有最值構造不等式；易錯點是忽略對數真數大于零的要求，造成范圍求解錯誤.
4．已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先考慮函數在上是增函數，再利用復合函數的單調性得出求解即可.
【詳解】設函數
在上是增函數
，解得
故選：A
【點睛】本題主要考查了由復合函數的單調性求參數范圍，屬于中檔題.
5．當時，函數有最小值是，則的值為（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
【答案】B
【解析】按照對稱軸與區間，的位置關系分三種情況進行討論求得函數的最小值，令其等于，解得值．
【詳解】解：函數圖象的對稱軸為，
（1）當，即時，，不成立；
（2）當，即時，，
即，解得或（舍，
（3）當，即時，，
解得（舍；
綜上，，
故選：．
【點睛】本題考查二次函數在閉區間上的最值問題，考查分類討論思想，屬于中檔題．
6．已知函數是定義在上的單調函數，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】令，代入條件等式可得，令代入條件等式可得，
結合函數單調性有，求解，根據定義域排除可得，即有
【詳解】設，由題意知，代入得，，
∵定義域為，∴.
令代入得，，
∵函數是定義在上的單調函數，∴，解得或（舍），
∴.
故選：A．
二、多選題
7．已知函數的圖象由如圖所示的兩段線段組成，則下列正確的為（ ）
A．
B．函數在區間上的最大值為2
C．的解析式可表示為：
D．，不等式的解集為
【答案】BCD
【分析】根據給定條件，求出函數的解析式，再逐項判斷作答.
【詳解】依題意，當時，令，則，解得，，
當時，令，則，解得，，
因此，
對于A，，A不正確；
對于B，函數在上遞減，在上遞增，而，因此函數在區間上的最大值為2，B正確；
對于C，因當時，，當時，，
則當時，，C正確；
對于D，因，觀察圖象知，當時，不等式的解集為，D正確.
故選：BCD
8．函數與函數在同一坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】確定函數的平移方向，考慮和兩種情況，對比選項得到答案.
【詳解】，函數是由向上平移個單位，向左平移個單位.
根據圖像知，
當時，AC滿足一次函數圖像，C不滿足反比例函數圖像；
當時，BD 滿足一次函數圖像，D不滿足反比例函數圖像；
故選：AB
三、填空題
9．的最大值為______．
【答案】
【分析】由根式性質求定義域，應用二次函數性質求出最大值，即可得函數最大值.
【詳解】由，故，而，
所以，當時，即函數的最大值為.
故答案為：
10．已知函數在上單調,則實數取值范圍是__________.
【答案】或
【分析】二次函數在上單調,即或，求解即可.
【詳解】函數對稱軸為
在上單調,即或，
即：或.
故答案為：或
【點睛】此題考查根據二次函數在某一區間的單調性求參數范圍，關鍵在于根據對稱軸準確討論.
11．函數在上的最小值為8，則實數______.
【答案】3
【分析】由已知結合對勾函數的性質，討論已知函數在區間上單調性，進而可求出結果.
【詳解】令，解得，當時，即，
函數在上單調遞減，，則，符合題意；
當時，即，
函數在上單減，在上單增，，解得（舍）；
當時，即，函數在上單調遞增，，解得（舍），綜上得.
故答案為：3.
【點睛】本題主要考查了對勾函數單調性的應用，體現了分類討論思想的應用，屬于中檔題.
12．已知，，若對任意都成立，則的取值范圍是______．
【答案】
【分析】不等式化為，令，，可得，分別討論，，和時，求最值可得出.
【詳解】不等式兩邊同時除以得，
整理得，
令，，則，則，
由于對任意都成立，則有對任意恒成立，
（1）當時，不成立，不符合題意；
（2）當時，則當時，不等式左邊取到最小，右邊取到最大，滿足題意，
則，解得，與矛盾，不符合；
（3）當時，
①當時，則當時，不等式左邊取到最小，右邊取到最大，滿足題意，
則，解得，；
②當時，有，即，
則當時，取得最大值為，
則，；
③當時，恒成立，滿足題意，
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題考查不等式的恒成立問題，解題的關鍵是將不等式轉化為在恒成立，再討論的范圍即可.
四、解答題
13．已知函數,當自變量x在下列范圍內取值時,求函數的最大值和最小值.
(1)R；(2)；(3).
【答案】(1) 最小值為,無最大值；(2) 最大值為5，最小值為；(3) 最大值為20，最小值為.
【解析】利用二次函數圖象的對稱軸與給定范圍的關系可求函數的最值.
【詳解】，
函數的圖象如圖所示，該圖象的對稱軸為直線.
(1)當時，，當時，等號成立.
故當時，函數的最小值為，無最大值.
(2)由圖可知，在上，函數在處取得最大值，最大值為5，在處取得最小值，最小值為.
(3)由圖可知，在上，函數在處取得最大值，最大值為20，在處取得最小值，最小值為.
【點睛】本題考查二次函數在給定范圍上的最值，一般結合對稱軸與給定范圍的位置關系求最值，本題考查了學生數形結合的數學思想和運算求解能力，屬于基礎題.
14．已知函數，且，.
（1）求，；
（2）判斷在上的單調性并證明.
【答案】（1）；（2）單調遞減，證明見解析.
【分析】（1）根據，列方程組，解方程組即可求解；
（2）由（1）可得解析式，利用單調性的定義，取值、作差、變形、定號、下結論即可求證.
【詳解】（1）因為，，
所以，解得，
（2）由（1）知：，在上單調遞減，
證明如下：在上任取，，且，
則，
因為，
所以，，，
可得，
所以，
所以在上單調遞減.
15．設函數的定義域為，且有：，② 對任意正實數都有，③為減函數
（1）求：的值；
（2）求證：當時，；
（3）求證：當時，都有；
（4）解不等式：.
【答案】（1），，，，；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）.
【分析】（1）由結合求解的值；
（2）由，結合單調性證明不等式即可；
（3）由，結合，即可得證；
（4）由將原不等式化為，結合單調性解不等式即可.
【詳解】（1），
，
.
（2）因為f(1)=0且f(x)為減函數，所以當時，
（3），
所以當時，都有
（4），所以
，因為在定義域上為減函數，所以
【點睛】關鍵點睛：在解抽象不等式時，關鍵是利用函數的單調性求解不等式.
16．對于定義在區間上的函數，若存在閉區間和常數，使得對任意，都有，且對任意，當時恒成立，則稱函數為區間上的“平底型”函數.
（I）若函數是上的“平底型”函數，求的值；
（Ⅱ）判斷函數是否為上的“平底型”函數？并說明理由；
（Ⅲ）若函數是區間上的“平底型”函數，且函數的最小值為，求.
的值．
【答案】（I）;（Ⅱ）不是“平底型”函數; （Ⅲ）
【分析】（I）根據“平底型”函數定義可知，從而可求得的值．（Ⅱ）時,當時,存在時所以不符合“平底型”函數的定義．（Ⅲ）根據函數的最小值為1,可得,移項平方法去絕對值可得的值.
【詳解】（I）若函數是上的“平底型”函數,
則或
當時，，不符合題意，而當，時，為常數時，，時，，同理類似的可驗證符合題意，所以;
（Ⅱ），，對任意,總存在，使得,所以不是“平底型”函數;
（Ⅲ）是區間上的“平底型”函數，且函數最小值為，
所以
根據對應相等得，, 于是
當時, 是“平底型”函數
時, 不是“平底型”函數．
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是理解“平底型”函數定義，考查函數的恒成立、函數的最值，屬于難題.
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函數的單調性與最值
思維導圖
知識點總結
知識點一　增函數與減函數的定義
一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間D I：
(1)如果 x1，x2∈D，當x1(2)如果 x1，x2∈D，當x1f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們稱它是 ．
思考　(1)所有的函數在定義域上都具有單調性嗎？
(2)在增函數和減函數定義中，能否把“任意x1，x2∈D”改為“存在x1，x2∈D”？
答案　(1)不是；(2)不能．
知識點二　函數的單調區間
如果函數y＝f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的) ，區間D叫做y＝f(x)的 ．
特別提醒：(1)函數單調性關注的是整個區間上的性質，單獨一點不存在單調性問題，所以單調區間的端點若屬于定義域，則該點處區間可開可閉，若區間端點不屬于定義域則只能開．
(2)單調區間D 定義域I.
(3)遵循最簡原則，單調區間應盡可能大．
知識點三　函數的最大(小)值及其幾何意義
最值 條件 幾何意義
最大值 ①對于 x∈I，都有 ，② x0∈I，使得 函數y＝f(x)圖象上最高點的縱坐標
最小值 ①對于 x∈I，都有 ，② x0∈I，使得 函數y＝f(x)圖象上最低點的縱坐標
思考　函數f(x)＝x2＋1≥－1總成立，f(x)的最小值是－1嗎？
答案　f(x)的最小值不是－1，因為f(x)取不到－1.
知識點四　求函數最值的常用方法
1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標即為函數的最大(小)值．
2．運用已學函數的值域．
3．運用函數的單調性：
(1)若y＝f(x)在區間[a，b]上是增函數，則ymax＝ ，ymin＝ ．
(2)若y＝f(x)在區間[a，b]上是減函數，則ymax＝ ，ymin＝ ．
4．分段函數的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個．
典型例題分析
考向一 函數單調性的判定與證明
例1　根據定義，研究函數f(x)＝在x∈(－1,1)上的單調性．
反思感悟　利用定義判斷或證明函數單調性的步驟
考向二 求單調區間并判斷單調性
例2　(1)如圖是定義在區間[－5,5]上的函數y＝f(x)，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？
(1)函數單調區間的兩種求法
①圖象法．即先畫出圖象，根據圖象求單調區間．
②定義法．即先求出定義域，再利用定義法進行判斷求解．
(2)函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，單調區間是定義域的子集；當函數出現兩個以上單調區間時，單調區間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；在單調區間D上函數要么是增函數，要么是減函數，不能二者兼有．
考向三 利用函數的單調性求最值
例3　已知函數f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判斷函數f(x)的單調性并證明；
(2)求函數f(x)的最大值和最小值．
反思感悟　(1)若函數y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)．
(2)若函數y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b)．
(3)若函數y＝f(x)有多個單調區間，那就先求出各區間上的最值，再從各區間的最值中決定出最大(小)值．函數的最大(小)值是整個值域范圍內的最大(小)值．
(4)如果函數定義域為開區間，則不但要考慮函數在該區間上的單調性，還要考慮端點處的函數值或者發展趨勢．
基礎題型訓練
一、單選題
1．函數在上是減函數，則（ ）
A． B．
C． D．
2．若函數f(x)是R上的增函數，對實數a，b，若a＋b>0，則有(　　)
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)3．函數為的導函數，令，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．函數的值域為
A． B． C． D．
5．設a，，若時，恒有，則（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數的圖像關于對稱，且對任意的，，總有，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．函數滿足條件：①對定義域內任意不相等的實數，恒有；②對定義域內任意兩個實數，都有成立，則稱為函數，下列函數為函數的是（ ）
A． B．
C．， D．，
8．關于函數，下列命題中正確的是（ ）
A．函數圖象關于y軸對稱
B．當時，函數在上為增函數
C．當時，函數有最大值，且最大值為
D．函數的值域是
三、填空題
9．函數的單調遞減區間為________.
10．二次函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是______.
11．如果對于函數的定義域內任意兩個自變量的值，，當時，都有且存在兩個不相等的自變量，，使得，則稱為定義域上的不嚴格的增函數．已知函數的定義域、值域分別為，，，且為定義域上的不嚴格的增函數，那么這樣的函數共有________個．
12．已知在上單調遞增，則實數a的取值范圍為______.
四、解答題
13．設函數,,函數.
(1)若時,畫出函數的圖象,并指出函數的單調區間；
(2)求在區間上的最小值.
14．設函數，求證：函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數．
15．已知函數，二次函數滿足，且不等式的解集為．
(1)求，的解析式；
(2)設，根據定義證明：在上為增函數．
16．設是偶函數，是奇函數，且，求函數的解析式．
提升題型訓練
一、單選題
1．函數y=x2-5x-6在區間[2，4]上是（ ）
A．遞減函數 B．遞增函數
C．先遞減再遞增函數 D．先遞增再遞減函數
2．定義，若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若函數在上為減函數，且函數在上有最大值，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．當時，函數有最小值是，則的值為（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
6．已知函數是定義在上的單調函數，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．4
二、多選題
7．已知函數的圖象由如圖所示的兩段線段組成，則下列正確的為（ ）
A．
B．函數在區間上的最大值為2
C．的解析式可表示為：
D．，不等式的解集為
8．函數與函數在同一坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．的最大值為______．
10．已知函數在上單調,則實數取值范圍是__________.
11．函數在上的最小值為8，則實數______.
12．已知，，若對任意都成立，則的取值范圍是______．
四、解答題
13．已知函數,當自變量x在下列范圍內取值時,求函數的最大值和最小值.
(1)R；(2)；(3).
14．已知函數，且，.
（1）求，；
（2）判斷在上的單調性并證明.
15．設函數的定義域為，且有：，② 對任意正實數都有，③為減函數
（1）求：的值；
（2）求證：當時，；
（3）求證：當時，都有；
（4）解不等式：.
16．對于定義在區間上的函數，若存在閉區間和常數，使得對任意，都有，且對任意，當時恒成立，則稱函數為區間上的“平底型”函數.
（I）若函數是上的“平底型”函數，求的值；
（Ⅱ）判斷函數是否為上的“平底型”函數？并說明理由；
（Ⅲ）若函數是區間上的“平底型”函數，且函數的最小值為，求.
的值．
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