資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.3 函數的奇偶性與周期性
思維導圖
知識點總結
知識點一　函數奇偶性的幾何特征
一般地，圖象關于y軸對稱的函數稱為偶函數，圖象關于原點對稱的函數稱為奇函數．
知識點二　函數奇偶性的定義
1．偶函數：函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數．
2．奇函數：函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數．
知識點三　奇(偶)函數的定義域特征
奇(偶)函數的定義域關于原點對稱．
知識點四　用奇偶性求解析式
如果已知函數的奇偶性和一個區間[a，b]上的解析式，想求關于原點的對稱區間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為：
(1)“求誰設誰”，即在哪個區間上求解析式，x就應在哪個區間上設．
(2)要利用已知區間的解析式進行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．
知識點五　奇偶性與單調性
若函數f(x)為奇函數，則f(x)在關于原點對稱的兩個區間[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調性；若函數f(x)為偶函數，則f(x)在關于原點對稱的兩個區間[a，b]和[－b，－a]上具有相反的單調性．
典型例題分析
考向一 函數奇偶性的判斷
例1　判斷下列函數的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
反思感悟　判斷函數奇偶性的方法
(1)定義法：
①定義域關于原點對稱；
②確定f(－x)與f(x)的關系．
(2)圖象法．
考向二 利用函數的奇偶性求解析式
例2　函數f(x)是定義域為R的奇函數，當x>0時，f(x)＝－x＋1，求當x<0時，f(x)的解析式．
反思感悟　求給定哪個區間的解析式就設這個區間上的變量為x，然后把x轉化為－x，此時－x成為了已知區間上的解析式中的變量，通過應用奇函數或偶函數的定義，適當推導，即可得所求區間上的解析式．
考向三 構造方程組求函數的解析式
例3　設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝，求函數f(x)，g(x)的解析式．
反思感悟　f(x)＋g(x)＝對定義域內任意x都成立，所以可以對x任意賦值，如x＝－x.
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的負號或提或消，最終得到關于f(x)，g(x)的二元方程組，從中解出f(x)和g(x)．
考向四 利用函數的奇偶性與單調性比較大小
例4　設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)反思感悟　利用函數的奇偶性與單調性比較大小
(1)自變量在同一單調區間上，直接利用函數的單調性比較大小；
(2)自變量不在同一單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區間上，然后利用單調性比較大小．
基礎題型訓練
一、單選題
1．已知函數是定義在R上的偶函數，時，，那么的值是多少（ ）.
A． B． C． D．
2．已知定義在上的奇函數滿足，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2．
3．已知函數與函數分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且，則
A．1 B．2 C．0 D．-1
4．已知非空集合A，B滿足：，，函數，對于下列兩個命題：①存在唯一的非空集合對，使得為偶函數；②存在無窮多非空集合對，使得方程無解.下面判斷正確的是（ ）
A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確
C．① ②都正確 D．① ②都錯誤
5．已知定義在上的函數是偶函數，且在上單調遞增，則滿足的的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
6．若函數同時滿足:
①對于定義域上的任意,恒有；
②對于定義域上的任意,當時,恒有；
則稱函數為“理想函數”.給出下列三個函數：（1）（2）（3），其中能被稱為“理想函數”的有（ ）個.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
7．已知，設函數，，，若的最大值為，最小值為，那么和的值可能為（ ）
A．4與1 B．5與2 C．5與3 D．6與4
8．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．當時，
C．是圖象的一條對稱軸
D．在上單調遞增
三、填空題
9．函數為偶函數，當時，，則時，________．
10．已知函數，若，則實數的取值范圍是______．
11．已知定義在的偶函數在是增函數，且，則不等式的解集是______．
12．已知是R上的偶函數，且，當時，，則__________.
四、解答題
13．函數f（x）是定義域為R的奇函數，當x>0時，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；
14．已知偶函數定義域為，當時，.
（1）求函數的表達式；
（2）用函數單調性的定義證明：函數在區間單調遞減，并解不等式.
15．已知函數是定義在上的奇函數.
(1)求函數的解析式；
(2)判斷函數的單調性并證明；
(3)解不等式.
16．已知函數為奇函數，且
(1)求a，b的值；
(2)判斷函數在區間上的單調性，并用定義加以證明；
(3)求在區間上的值域.
提升題型訓練
一、單選題
1．已知一個奇函數的定義域為，則（ ）
A． B．3 C． D．1
2．已知偶函數在區間上單調遞減，那么下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是
A． B．
C． D．
4．已知函數，若，則實數＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．3
5．已知定義在上的函數滿足．若函數與的圖像的交點為，，…，，則（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．狄利克雷函數為F(x).有下列四個命題：①此函數為偶函數，且有無數條對稱軸；②此函數的值域是；③此函數為周期函數，但沒有最小正周期；④存在三點，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命題正確的是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
二、多選題
7．某數學興趣小組對函數進行研究，得出如下結論，其中正確的結論是（ ）
A．是偶函數 B．的值域為
C．有且只有1個零點 D．
8．已知函數，，若存在實數m，使得對于任意的，都有，則稱函數，有下界，m為其一個下界；類似的，若存在實數M，使得對于任意的，都有，則稱函數，有上界，M為其一個上界.若函數，既有上界，又有下界，則稱該函數為有界函數.下列說法正確的是（ ）
A．若函數在定義域上有下界，則函數有最小值
B．若定義在上的奇函數有上界，則該函數一定有下界
C．若函數為有界函數，則函數是有界函數
D．若函數的定義域為閉區間，則該函數是有界函數
三、填空題
9．函數為偶函數，則實數a的值______.
10．已知是定義域為的奇函數，且函數為偶函數，當時，，則______．
11．已知函數，若對任意的，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是______.
12．定義函數如下:對于實數,如果存在整數,使得,則.則下列結論:①是實數上的遞增函數;②是周期為1的函數;③是奇函數;④函數的圖像與直線有且僅有一個交點.則正確結論的序號是______.
四、解答題
13．判斷下列函數的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．已知函數，
（1）求函數的定義域；
（2）判斷函數的奇偶性，并給予證明；
（3）求不等式的解集.
15．設設函數.
(1)若，判斷函數在區間上的單調性，并用定義法證明；
(2)若函數為奇函數，，且對恒成立，求的取值范圍.
16．是定義在上的函數，對一切都有且
（1）求；
（2）判斷函數的奇偶性
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.3 函數的奇偶性與周期性
思維導圖
知識點總結
知識點一　函數奇偶性的幾何特征
一般地，圖象關于y軸對稱的函數稱為偶函數，圖象關于原點對稱的函數稱為奇函數．
知識點二　函數奇偶性的定義
1．偶函數：函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數．
2．奇函數：函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數．
知識點三　奇(偶)函數的定義域特征
奇(偶)函數的定義域關于原點對稱．
知識點四　用奇偶性求解析式
如果已知函數的奇偶性和一個區間[a，b]上的解析式，想求關于原點的對稱區間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為：
(1)“求誰設誰”，即在哪個區間上求解析式，x就應在哪個區間上設．
(2)要利用已知區間的解析式進行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．
知識點五　奇偶性與單調性
若函數f(x)為奇函數，則f(x)在關于原點對稱的兩個區間[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調性；若函數f(x)為偶函數，則f(x)在關于原點對稱的兩個區間[a，b]和[－b，－a]上具有相反的單調性．
典型例題分析
考向一 函數奇偶性的判斷
例1　判斷下列函數的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
解　(1)f(x)＝的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函數．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定義域為R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函數．
(3)f(x)＝的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∵定義域不關于原點對稱，
∴f(x)＝既不是奇函數，也不是偶函數．
(4)f(x)＝＋的定義域為{－1,1}．
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，
∴f(x)＝＋既為奇函數，又為偶函數．
反思感悟　判斷函數奇偶性的方法
(1)定義法：
①定義域關于原點對稱；
②確定f(－x)與f(x)的關系．
(2)圖象法．
考向二 利用函數的奇偶性求解析式
例2　函數f(x)是定義域為R的奇函數，當x>0時，f(x)＝－x＋1，求當x<0時，f(x)的解析式．
考點　函數奇偶性的應用
題點　利用奇偶性求函數的解析式
解　設x<0，則－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函數f(x)是定義域為R的奇函數，
∴當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.
反思感悟　求給定哪個區間的解析式就設這個區間上的變量為x，然后把x轉化為－x，此時－x成為了已知區間上的解析式中的變量，通過應用奇函數或偶函數的定義，適當推導，即可得所求區間上的解析式．
考向三 構造方程組求函數的解析式
例3　設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝，求函數f(x)，g(x)的解析式．
考點　函數奇偶性的應用
題點　利用奇偶性求函數的解析式
解　∵f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
反思感悟　f(x)＋g(x)＝對定義域內任意x都成立，所以可以對x任意賦值，如x＝－x.
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的負號或提或消，最終得到關于f(x)，g(x)的二元方程組，從中解出f(x)和g(x)．
考向四 利用函數的奇偶性與單調性比較大小
例4　設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案　A
解析　因為函數f(x)為R上的偶函數，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟　利用函數的奇偶性與單調性比較大小
(1)自變量在同一單調區間上，直接利用函數的單調性比較大小；
(2)自變量不在同一單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區間上，然后利用單調性比較大小．
基礎題型訓練
一、單選題
1．已知函數是定義在R上的偶函數，時，，那么的值是多少（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函數的奇偶性，，即可求解，
【詳解】∵是定義在R上的偶函數，∴，
故選：B.
【點睛】本題考查函數奇偶性，屬于基礎題.
2．已知定義在上的奇函數滿足，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2．
【答案】B
【分析】由奇偶性及對稱性得函數的周期性，由周期性計算函數值，
【詳解】由及是奇函數得，，
所以，所以是周期函數，周期為4，
，
故選：B．
3．已知函數與函數分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且，則
A．1 B．2 C．0 D．-1
【答案】D
【分析】根據條件可得出f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），從而根據f（x）+g（x）＝x3+x2+x即可得出f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，從而可求出f（1）﹣g（1）＝﹣1．
【詳解】∵f（x）與g（x）分別是定義在R上的偶函數和奇函數，
∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且f（x）+g（x）＝x3+x2+x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，
∴f（1）﹣g（1）＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
故選：D．
【點睛】本題考查了奇函數和偶函數的定義，考查了計算能力，屬于基礎題．
4．已知非空集合A，B滿足：，，函數，對于下列兩個命題：①存在唯一的非空集合對，使得為偶函數；②存在無窮多非空集合對，使得方程無解.下面判斷正確的是（ ）
A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確
C．① ②都正確 D．① ②都錯誤
【答案】B
【分析】在同一平面直角坐標系畫出與的圖象，結合函數圖象即可判斷①；再分別求出與的解，即可判斷無解的條件，從而判斷②，即可得解；
【詳解】解：在同一平面直角坐標系畫出與的圖象如下所示：
由，解得，由函數圖象可知當或時為偶函數，故①錯誤；
令，解得，令，解得，因為，，，所以當，時滿足無解，故存在無窮多非空集合對，使得方程無解，故②正確；
故選：B
5．已知定義在上的函數是偶函數，且在上單調遞增，則滿足的的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先通過函數的性質得到的對稱性和單調性，再利用的性質去掉中的，然后解不等式即可.
【詳解】函數是偶函數, 且在上單調遞增，
即函數的對稱軸為，
又函數向右平移1個單位可得，
函數的對稱軸為，且在上單調遞增，
由得
解得或
故選：B.
6．若函數同時滿足:
①對于定義域上的任意,恒有；
②對于定義域上的任意,當時,恒有；
則稱函數為“理想函數”.給出下列三個函數：（1）（2）（3），其中能被稱為“理想函數”的有（ ）個.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】滿足①為奇函數，滿足②在定義域內是減函數，對（1）（2）（3）中的三個函數逐個判斷，即可得結果.
【詳解】對于①對于定義域上的任意,恒有；
則有，故滿足條件①為奇函數；
對于②對于定義域上的任意,當時，
不妨設，恒有，
，
故滿足②條件的函數是在定義域內是減函數；
所以“理想函數”即為定義域內是減函數且為奇函數.
（1），在定義域不是減函數，故不是；
（2）不是奇函數，故不是；
（3），
，所以為奇函數，
作出其圖像，函數在定義域內是減函數，故為“理想函數”.
故選:A
【點睛】本題考查新定義的理解和運用，考查函數的奇偶性和單調性，注意運用定義法是解題的關鍵，屬于中檔題.
二、多選題
7．已知，設函數，，，若的最大值為，最小值為，那么和的值可能為（ ）
A．4與1 B．5與2 C．5與3 D．6與4
【答案】CD
【分析】構造新函數，根據新函數的奇偶性，結合函數奇偶性的性質進行求解即可.
【詳解】令，，
∴，∴為奇函數，
設的最大值為t，最小值為，
∴，，可得，
∵，∴2b為偶數，
故選：CD．
8．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．當時，
C．是圖象的一條對稱軸
D．在上單調遞增
【答案】ABD
【解析】根據題意先求解出時，的解析式，然后根據已知條件作出的圖象，根據圖象即可判斷出是否為對稱軸以及在上是否單調遞增.
【詳解】當時，，所以，所以，
所以，作出圖象如下圖所示：
由圖象可知：，所以，故A正確；
當時，故B正確；
由圖象可知顯然不是的對稱軸，故C錯誤；
由圖象可知在上單調遞增，故D正確；
故選：ABD.
【點睛】本題考查奇函數的綜合應用，其中涉及函數的解析式、單調性、對稱性，考查學生綜合分析問題的能力，難度一般.
三、填空題
9．函數為偶函數，當時，，則時，________．
【答案】
【分析】由，可得，根題意得到，代入化簡，即可求解.
【詳解】由，可得，
因為函數為偶函數，且當時，，
所以，
即時，.
故答案為：.
10．已知函數，若，則實數的取值范圍是______．
【答案】
【分析】先由函數奇偶性的概念判斷為奇函數；再由二次函數單調性，得到函數在上是減函數；將不等式化為，求解，即可得出結果.
【詳解】因為，
所以，當時，，；
當時，，；
當時，；所以為奇函數；
又當時，單調遞減；所以時，也單調遞減；
即函數在上是減函數；
則由得，則，即，
即實數的取值范圍是.
故答案為
【點睛】本題主要考查由函數單調性解不等式，熟記函數單調性與奇偶性即可，屬于常考題型.
11．已知定義在的偶函數在是增函數，且，則不等式的解集是______．
【答案】
【解析】根據函數奇偶性和單調性的關系，將不等式進行轉化求解即可．
【詳解】是偶函數，定義域為，
又在上是增函數，且（1），
不等式等價為且，
則或，
即不等式的解集為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查抽象函數的奇偶性與單調性的應用，屬于基礎題.將奇偶性與單調性綜合考查一直是命題的熱點，解這種題型往往是根據函數在所給區間上的單調性，根據奇偶性判斷出函數在對稱區間上的單調性(偶函數在對稱區間上單調性相反，奇函數在對稱區間單調性相同)，然后再根據單調性列不等式求解.
12．已知是R上的偶函數，且，當時，，則__________.
【答案】
【分析】根據，求得函數的周期，再根據函數的周期將所求的轉化到已知區間，即可得解.
【詳解】解：當時，，
則，，
因為，
所以，
所以函數是以8為周期的周期函數，
則，
由，得，
所以.
故答案為：.
四、解答題
13．函數f（x）是定義域為R的奇函數，當x>0時，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；
【答案】f（x）＝
【解析】根據已知可得，設x<0，則－x>0，求出，再由奇偶性，求出即可.
【詳解】設x<0，則－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函數f（x）是定義域為R的奇函數，
∴f(－x)＝－f（x）＝x＋1，
∴當x<0時，f（x）＝－x－1.
又x＝0時，f（0）＝0，
所以f（x）＝
【點睛】本題考查求函數的解析式，利用函數的奇偶性是解題的關鍵，不要忽略“”情況，屬于基礎題.
14．已知偶函數定義域為，當時，.
（1）求函數的表達式；
（2）用函數單調性的定義證明：函數在區間單調遞減，并解不等式.
【答案】（1）；（2）證明見解析，.
【解析】(1) 設，則，結合已知條件可求出，結合函數的奇偶性即可求出函數的表達式.
(2) 設且，求出，即可證明函數在單調遞減，結合奇偶性和單調性可得，從而可解.
【詳解】（1）設，則，，又因為定義域為的偶函數，
所以， 所以，所以 .
（2）當時，，設且， 則
=，
因為，，所以，
所以函數在區間單調遞減， 又因為定義域為的偶函數，
所以，所以，又在區間單調遞減，
所以，解得.
【點睛】關鍵點睛：
本題第二問的關鍵是由奇偶性得，再結合函數的單調性列出關于的不等式.
15．已知函數是定義在上的奇函數.
(1)求函數的解析式；
(2)判斷函數的單調性并證明；
(3)解不等式.
【答案】(1)；
(2)在上單調遞增，證明見解析；
(3).
【分析】（1）由奇函數定義可得，由對應項系數相等可求得，進而得到；
（2）任取，可證得，由此可得結論；
（3）將不等式轉化為，結合函數定義域和單調性可構造不等式求得結果.
(1)
是定義在上的奇函數，，
即，，；
(2)
任取，
，，，
，，
在上單調遞增.
(3)
由得：，
又是奇函數，，
由（2）知：在上單調遞增，，解得：，
即不等式的解集為.
16．已知函數為奇函數，且
(1)求a，b的值；
(2)判斷函數在區間上的單調性，并用定義加以證明；
(3)求在區間上的值域.
【答案】(1)，
(2)函數在上單調遞增，在上單調遞減，證明見解析
(3)
【分析】（1）根據函數為奇函數得到，解得，再計算解得答案.
（2）判斷函數在上單調遞增，在上單調遞減，設，計算得到證明，同理可得答案.
（3）根據函數的單調性計算函數的最小值和最大值得到值域.
【詳解】（1）函數為奇函數，故，即，故，
，即.
，定義域為，，為奇函數，滿足.
（2）函數在上單調遞增，在上單調遞減.
設，則，
易知，，，
故，函數單調遞增；
設，則，
易知，，，
故，函數單調遞減；
故函數在上單調遞增，在上單調遞減.
（3），.
故函數的值域為.
提升題型訓練
一、單選題
1．已知一個奇函數的定義域為，則（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】A
【分析】利用奇函數的定義域關于原點對稱，即可得答案；
【詳解】奇函數的定義域關于原點對稱，
，
故選：A.
【點睛】本題考查奇函數的性質，屬于基礎題.
2．已知偶函數在區間上單調遞減，那么下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據已知在區間上單調遞增，而且，即可比較大小.
【詳解】偶函數在區間上單調遞減，
所以在區間上單調遞增，
.
故選:A.
【點睛】本題考查奇偶性與單調性的綜合應用，考查利用抽象函數的單調性比較函數值的大小，屬于基礎題.
3．下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】對于A,,是偶函數，且在區間上單調遞增，符合題意；對于B, 對于既不是奇函數，又不是偶函數，不合題意；對于C, 是奇函數，不合題意；對于D,在區間上單調遞減，不合題意，只有合題意，故選A.
4．已知函數，若，則實數＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．3
【答案】D
【分析】利用奇函數的性質，可以得到，依題意可以求出實數．
【詳解】因為，所以，
，又，所以，
解得.故選D.
【點睛】本題主要考查利用奇函數的性質解決和抽象函數有關的問題．
5．已知定義在上的函數滿足．若函數與的圖像的交點為，，…，，則（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】由題意可知函數與都關于點點對稱，則可知，，由此即可得處答案.
【詳解】由題意函數滿足，則函數關于點點對稱，
記，則，
則
所以函數也關于點點對稱，
則其交點，，…，也關于點點對稱，
即，，所以.
故選：A
6．狄利克雷函數為F(x).有下列四個命題：①此函數為偶函數，且有無數條對稱軸；②此函數的值域是；③此函數為周期函數，但沒有最小正周期；④存在三點，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命題正確的是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】①根據奇偶性定義和對稱軸對應的表達式進行判斷；②根據的取值得到值域；③根據周期性的定義進行分析；④先假設存在，然后推理證明是否存在.
【詳解】①的定義域為關于原點對稱，當為有理數時，，當為無理數時，，
所以恒成立，所以是偶函數，
取非零有理數，當為有理數時，，當為無理數時，，
所以恒成立，有無數種可能，所以有無數條對稱軸；
②因為的取值只有，所以的值域為；
③取有理數，當為有理數時，，當為無理數時，，
所以恒成立，有無數種可能，所以是周期函數且無最小正周期；
④設存在滿足條件，
根據函數值域可知，的可能組合為：兩個有理數一個無理數、兩個無理數一個有理數，
(1)不妨設為有理數，為無理數，因為為等腰直角三角形，所以只能為的斜邊，
所以，所以為有理數，與假設矛盾，故不成立；
(2)不妨設為無理數，為有理數，因為為等腰直角三角形，所以只能為的斜邊，
所以，所以為無理數，與假設矛盾，故不成立，
綜上可知：不存在三點使得為等腰直角三角形.
故選：B.
【點睛】本題考查函數的性質的綜合應用，難度較難.處理新函數的性質問題，可從函數各個性質的定義入手解決問題；常見的函數對稱軸對應的形式，周期函數對應的形式.
二、多選題
7．某數學興趣小組對函數進行研究，得出如下結論，其中正確的結論是（ ）
A．是偶函數 B．的值域為
C．有且只有1個零點 D．
【答案】BD
【分析】由函數的奇偶性的定義判斷A，求出函數的值域判斷B，求解函數的零點判斷C，由函數的單調性判斷D
【詳解】解：函數的定義域為，
因為，
所以為奇函數，所以A錯誤；
當時，，
當時，，
因為，所以，即，
因為 為奇函數，所以的值域為，所以B正確；
，當時，，則0是函數的零點，
當時， ，
由，得或，而方程無解，
當時，，
由由，得或，方程有一負根，則有一負的零點，綜上，有2個零點，所以C錯誤；
當時， 為單調減函數，
因為為奇函數，所以在上為減函數，
而，
所以，
所以D正確，
故選：BD
【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數的奇偶性的判斷，函數的單調性的判斷，考查函數的值域的求法，考查函數零點的判方法，考查計算能力，解題的關鍵是對函數解析式恒等變形，屬于中檔題
8．已知函數，，若存在實數m，使得對于任意的，都有，則稱函數，有下界，m為其一個下界；類似的，若存在實數M，使得對于任意的，都有，則稱函數，有上界，M為其一個上界.若函數，既有上界，又有下界，則稱該函數為有界函數.下列說法正確的是（ ）
A．若函數在定義域上有下界，則函數有最小值
B．若定義在上的奇函數有上界，則該函數一定有下界
C．若函數為有界函數，則函數是有界函數
D．若函數的定義域為閉區間，則該函數是有界函數
【答案】BC
【分析】根據函數上界，下界，有界的定義分別進行判斷即可．
【詳解】解：對于A，當時，，則恒成立，則函數有下界，但函數沒有最小值，故A錯誤；
對于B，若定義在上的奇函數有上界，不妨設當時，成立，
則當時，，則，
即，則，該的下界是，則函數是有界函數，故B正確；
對于C，對于函數，若函數為有界函數，
設，則或，
該函數是有界函數，故C正確；
對于D，函數，
則函數的定義域為閉區間，值域為，
則只有下界，沒有上界，即該函數不是有界函數，故D錯誤.
故選：BC.
三、填空題
9．函數為偶函數，則實數a的值______.
【答案】
【分析】利用函數的奇偶性列方程，由此求得的值.
【詳解】由于為偶函數，所以，
所以，
，
，
所以，.
故答案為：.
10．已知是定義域為的奇函數，且函數為偶函數，當時，，則______．
【答案】
【解析】根據函數的對稱性和奇偶性即可求得函數值.
【詳解】關于對稱，關于直線對稱，
所以.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和對稱性求函數值，屬綜合基礎題.
11．已知函數，若對任意的，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由題意可得為偶函數，求得在上連續，且為減函數，可得，即有即在恒成立，由一次函數的單調性，解不等式組，即可得到所求范圍．
【詳解】∵
∴為偶函數且在單調遞減
∵在恒成立
∴在恒成立，則在恒成立
∴在恒成立
∴，解得.
故答案為：.
【點睛】本題考查不等式恒成立問題解法，注意運用偶函數的性質和單調性，考查轉化思想和運算能力，解答本題的關鍵是判斷出函數的奇偶性與單調性，屬于中檔題．
12．定義函數如下:對于實數,如果存在整數,使得,則.則下列結論:①是實數上的遞增函數;②是周期為1的函數;③是奇函數;④函數的圖像與直線有且僅有一個交點.則正確結論的序號是______.
【答案】③
【分析】直接利用對于實數，如果存在整數,使得,則，對四個命題分別進行判斷，即可得出結論.
【詳解】對于①如果對于實數,存在整數，使得，則，即時，，所以在上為常數函數，故①不正確；
對于②令，則時，，令，則時，，所以，即是周期為1的函數不正確，故②不正確；
對于③因為，所以，
所以，所以為奇函數，故③正確；
④由③可知，函數為奇函數，又函數也為奇函數，根據奇函數的圖像關于原點對稱知，兩個函數的圖像如果有交點，那么它們至少有兩個交點，故④不正確.
綜上所述：只有③正確.
故答案為：③
【點睛】本題考查了對新定義的理解和運用能力，考查了函數的單調性，奇偶性和周期性，考查了奇函數的圖像的對稱性，屬于中檔題.
四、解答題
13．判斷下列函數的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)既不是奇函數也不是偶函數
(2)偶函數
(3)既是奇函數也是偶函數
(4)奇函數
【分析】（1）確定函數的定義域，并判斷其定義域不關于坐標原點對稱；
（2）根據奇偶函數的定義進行判斷，可得 ，即可判斷；
（3）根據奇偶函數的定義進行判斷，判斷出兩個點在軸上；
（4）根據可判斷其奇偶性.
(1)
（1）∵函數的定義域是，關于坐標原點不對稱
∴既不是奇函數也不是偶函數．
(2)
∵函數的定義域為，關于坐標原點對稱．
又
∴為偶函數．
(3)
∵函數的定義域為，關于坐標原點對稱，
∴既是奇函數也是偶函數．
(4)
的定義域為．
∵
∴，∴為奇函數．
14．已知函數，
（1）求函數的定義域；
（2）判斷函數的奇偶性，并給予證明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）函數為奇函數；（3）.
【分析】（1）真數位置大于0，得到的取值范圍；（2）得到，然后判斷與的關系，從而得到函數的奇偶性；（3）根據題意得到關于的不等式，從而得到的解集.
【詳解】解：（1）真數部分大于零，即解不等式，
解得,
函數的定義域為.
（2）函數為奇函數，
證明：由第一問函數的定義域為，
，
所以函數為奇函數.
（3）解不等式，
即
即，
從而有，
所以.
不等式的解集為.
【點睛】本題考查函數的定義域，奇偶性，根據函數的性質解不等式，屬于簡單題.
15．設設函數.
(1)若，判斷函數在區間上的單調性，并用定義法證明；
(2)若函數為奇函數，，且對恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)在上單調遞增，證明見解析
(2)
【分析】(1)求出a的值，利用定義證明函數單調性的方法和步驟證明即可；
(2)求出a的值，再判定函數的單調性，借助奇偶性及單調性脫去法則“f”，轉化為恒成立的不等式即可得解.
(1)
函數中，由得，則，函數在區間上的單調遞增，
設且，則，
因，則，即，于是得，即，
所以函數在上單調遞增.
(2)
因函數為奇函數，則，即，即有對任意成立，
于是得，函數在上遞減，
當時，，
而，，又，于是得，因此有對恒成立，
又在單調遞增，當時，，則，
所以.
16．是定義在上的函數，對一切都有且
（1）求；
（2）判斷函數的奇偶性
【答案】(1)(2)偶函數
【分析】（1）取，得到
（2）取得到，即得到答案.
【詳解】（1）
取，則
（2）
取得到，即
函數為偶函數
【點睛】本題考查了求函數的值和函數奇偶性的判斷，意在考查學生對于函數性質的靈活運用.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑