資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.4 指數與指數函數
思維導圖
知識點總結
知識點一　無理數指數冪
一般地，無理數指數冪aα(a>0，α為無理數)是一個確定的實數．有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪．
知識點二　實數指數冪的運算性質
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
知識點三　分數指數冪的意義
分數指數冪 正分數指數冪 規定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
負分數指數冪 規定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分數指數冪 0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪無意義
知識點四　有理數指數冪的運算性質
整數指數冪的運算性質，可以推廣到有理數指數冪，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知識點四　指數函數的定義
一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R.
思考　為什么底數應滿足a>0且a≠1
答案　①當a≤0時，ax可能無意義；②當a>0時，x可以取任何實數；③當a＝1時，ax＝1 (x∈R)，無研究價值．因此規定y＝ax中a>0，且a≠1.
知識點五　兩類指數模型
1．y＝kax(k>0)，當a>1時為指數增長型函數模型．
2．y＝kax(k>0)，當0知識點六　指數函數的圖象和性質
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質如下表：
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質 過定點 過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1
函數值的變化 當x>0時，y>1； 當x<0時，00時，01
單調性 在R上是增函數 在R上是減函數
典型例題分析
考向一 運用指數冪運算公式化簡求值
例1　計算下列各式(式中字母都是正數)：
(1)
(2)
(3)
解　(1)
＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式＝
＝
(3)原式＝＋1＝1＋1＝2.
反思感悟　一般地，進行指數冪運算時，可將系數、同類字母歸在一起，分別計算；化負指數為正指數，化小數為分數進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的．
考向二 分數指數冪運算的綜合應用
例2　(1)已知am＝4，an＝3，求的值；
(2)已知＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
解　(1)＝
＝.
(2)①∵∴
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
②∵a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
③
＝3×(7－1)＝18.
反思感悟　條件求值問題的解法
(1)求解此類問題應注意分析已知條件，通過將已知條件中的式子變形(如平方、因式分解等)，尋找已知式和待求式的關系，可考慮使用整體代換法．
(2)利用整體代換法解決分數指數冪的計算問題，常常運用完全平方公式及其變形公式．
考向三 指數函數的圖象及應用
例1　(1)函數y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象可能是(　　)
答案　D
(2)函數f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒過定點________．
答案　(2,2)
(3)已知函數y＝3x的圖象，怎樣變換得到y＝x＋1＋2的圖象？并畫出相應圖象．
解　y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函數y＝3x關于y軸的對稱圖象得函數y＝3－x的圖象，再向左平移1個單位長度就得到函數y＝3－(x＋1)的圖象，最后再向上平移2個單位長度就得到函數y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2的圖象，如圖所示．
反思感悟　處理函數圖象問題的策略
(1)抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0,1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的y的值，即可得函數圖象所過的定點．
(2)巧用圖象變換：函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．
(3)利用函數的性質：奇偶性與單調性．
考向四 比較大小
例4　(1)比較下列各題中兩個值的大小．
①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.
考點　指數冪的大小比較
題點　比較指數冪大小
解　(1)①∵1.7>1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函數．
∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.
②方法一　∵1.70.3>0,1.50.3>0，且＝0.3，
又>1,0.3>0，∴0.3>1，∴1.70.3>1.50.3.
方法二　冪函數y＝x0.3在(0，＋∞)上單調遞增，
又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3.
③∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3>0.83.1.
(2)設 則a，b，c的大小關系為________．(用“>”連接)
答案　c>a>b
解析　構造冪函數(x∈(0，＋∞))，由該函數在定義域內單調遞增，知a>b；構造指數函數y＝x，由該函數在定義域內單調遞減，知aa>b.
反思感悟　比較冪值大小的3種類型及處理方法
基礎題型訓練
一、單選題
1．化簡的結果為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式結合指數運算性質即可
【詳解】因為，
，
，
，
，
所以原式=
故選：B
2．函數，則方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，則，當時，，轉化為圖象的交點問題；當時，成立，進一步求出的范圍，即可求出答案.
【詳解】由函數，令，則，
當時，，
令，其圖象如圖所示
．
時，無解，
當時，成立，
由，得當時，有，解得；
當時，有，解得，
綜上，的取值范圍是．
故選：B.
3．已知函數g（x）=3x+t的圖象不經過第二象限，則t的取值范圍為
A．t≤–1 B．t<–1
C．t≤–3 D．t≥–3
【答案】A
【分析】由指數函數的性質，可得函數恒過點坐標為，且函數是增函數，圖象不經過第二象限，得到關于的不等式，即可求解.
【詳解】由指數函數的性質，可得函數g（x）=3x+t恒過點坐標為（0，1+t），函數g（x）是增函數，圖象不經過第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故選A．
【點睛】本題主要考查了指數函數的圖象與性質的應用，其中熟記指數函數的圖象與性質，特別是指數函數的圖象恒過定點是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
4．已知，，，則
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用中間值法，將這三個數與、比較大小，從而得出這三個數的大小關系.
【詳解】由于對數函數在其定義域上是增函數，則，
指數函數在上為增函數，則，即，
對數函數在其定義域上是減函數，則，即.
因此，，故選C.
【點睛】本題考查利用中間值法比較指數式、對數式的大小，常用的中間值為和，在實際問題中，中間值取多少要由具體問題來選擇，同時在比較大小時，要充分利用指數函數與對數函數的單調性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
5．已知函數，則使得成立的的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：原函數滿足，函數是偶函數，當時是增函數，當時是減函數，結合函數圖像可知不等式轉化為，兩邊平方解不等式得解集為
考點：利用函數的奇偶性單調性解不等式
6．設函數，若存在，使得成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將條件轉化為值域有交集，然后分類討論求出的范圍．
【詳解】∵，使得成立，
即和的值域有交集．
．
∵，
當時，，滿足題意；
當時，在區間上單調遞增，
．
∵和的值域有交集，
∴，即；
③時，在區間上單調遞減，
．
∵和的值域有交集，
∴，即；
綜上：；
故選D．
【點睛】本題考查函數值域的求法及集合關系的討論，注意根據等式關系轉化為集合之間的關系，此類問題屬于中檔題.
二、多選題
7．已知函數，則下列敘述正確的是（ ）
A．當時，函數在區間上是增函數
B．當時，函數在區間上是減函數
C．若函數有最大值2，則
D．若函數在區間上是增函數，則的取值范圍是
【答案】BCD
【分析】利用復合函數的單調性逐一判斷各選項即可.
【詳解】對于AB選項：當時，，
因為在上單調遞減，在上單調遞增，
由復合函數的性質可得，函數在上單調遞減，故A錯誤，B正確；
對于C選項：若有最大值2，顯然不成立，
則函數有最小值，
所以，解得，故C正確；
對于D選項：若函數在上是增函數，則在是減函數，
當時，顯然成立，
當時，由二次函數的性質可得，解得，
所以的取值范圍為，故D正確；
故選：BCD
8．已知函數，則（ ）
A．為偶函數 B．是增函數
C．不是周期函數 D．的最小值為
【答案】AD
【分析】根據奇偶性、單調性、周期性分別判斷ABC，分類討論確定函數的最小值判斷D．
【詳解】選項A，由得，函數定義域是，關于原點對稱，
，所以函數為偶函數，正確；
選項B，定義域是，，即是奇函數，易知是R上的增函數，函數值域為R，，所以存在，值得，從而，于是，，但，所以不是增函數，B錯；
選項C，定義域是R，，因此是函數的一個周期，C錯；
選項D，由上推理知是奇函數，時， ，
時，，易知函數為增函數，所以，綜上函數最小值是1，D正確．
故選：AD．
三、填空題
9．若為方程的兩個實數解，則___________．
【答案】
【分析】利用指數冪的運算法則將已知方程的兩邊寫成同底數的冪的形式，根據指數函數的性質得到指數相等，轉化為關于x的二次方程，由根與系數的關系得到答案.
【詳解】，
∴,
∴,
∴,
故答案為：.
10．若指數函數在上是增函數，則實數的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】若指數函數在上是增函數，
則，解得
故實數的取值范圍是
11．已知函數，，的圖象如下圖所示，則，，的大小關系為__________．（用“”號連接）
【答案】
【詳解】函數y=ax，y=xb，y=logcx的圖象如圖所示，
由指數函數y=ax，x=2時，y∈（2，3）對數函數y=logcx，x=2，y∈（0，1）；冪函數y=xb，x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．
可得b＜a＜c
故答案為b＜a＜c．
12．化簡的結果是________.
【答案】
【分析】將分式化為分式指數冪，然后利用指數冪的運算律即可得出結果.
【詳解】由題意得===1.
【點睛】本題考查指數冪的計算，同時也考查了根式與分數指數冪的互化，考查計算能力，屬于基礎題.
四、解答題
13．計算：
(1)；
(2) 已知，求.
【答案】(1)； (2)11.
【分析】（1）利用指數冪運算法則代入計算求值；
（2）對等式兩邊平方可得答案.
【詳解】（1）原式.
（2）因為，
所以.
【點睛】本題考查指數冪運算法則，考查基本運算求解能力，屬于基礎題.
14．計算：(1)；　
(2)
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用分數指數冪計算即可.
（2）利用對數的運算性質計算即可.
【詳解】（1）原式
.
（2）原式.
【點睛】本題考查分數指數冪的計算和對數的計算，屬于基礎題.
15．已知二次函數在區間[2，3]上有最大值4，最小值1，
(1)求函數的解析式；
(2)設．若在時恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）將函數配方，進而判斷出函數在[2,3]上的單調性，然后根據求出參數，最后得到答案.
（2）先進行參變分離，進而轉化為求函數的最值，最后求得答案.
(1)
，∴函數的圖象的對稱軸方程為，
在區間上遞增．
依題意得，即，解得，.
(2)
，
在時恒成立，即在時恒成立，
在時恒成立，只需 ，
令，由得，設，
，當時，函數取得最小值0，
，的取值范圍為.
16．已知函數的表達式為，其中、為實數.
(1)若不等式的解集是，求的值；
(2)若方程有一個根為，且、為正數，求的最小值；
(3)若函數在區間上是嚴格減函數，試確定實數的取值范圍，并證明你的結論.
【答案】(1)
(2)
(3)，證明見解析
【分析】（1）分析可知關于的方程的兩根分別為、，根據韋達定理可求得、的值，即可求得的值；
（2）由可得出，將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值；
（3）令，任取、且，作差，由函數單調性的定義可得出，可得出，求出的取值范圍，即可求得實數的取值范圍.
【詳解】（1）解：因為不等式的解集是，
所以，關于的方程的兩根分別為、，
所以，，解得，，因此，.
（2）解：由題意可得，，
又因為、均為正數，則，
當且僅當時，等號成立，故的最小值為.
（3）解：因為，
令，其中，由題意可知，函數在上為減函數，
任取、且，則，且，
所以，
，
所以，，可得，
而，則，.
因此，當函數函數在區間上是嚴格減函數，.
提升題型訓練
一、單選題
1．函數是指數函數，則有
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【分析】根據指數函數定義，構造方程解.
【詳解】因為函數是指數函數，
所以，解得或，
當時，不是指數函數，舍去，
所以，
故選：C.
2．已知函數，且對于任意的，都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可知，函數在上是增函數，則在每一段都是增函數且，由，即可解出實數的取值范圍．
【詳解】依題可知函數在上是增函數，
∴，解得．
故選：B．
3．定義在上的函數滿足時，，則的值為
A．-2 B．0 C．2 D．8
【答案】A
【詳解】試題分析： 由已知可得的周期
，故選A.
考點：函數的周期性.
4．已知函數可以表示成一個偶函數和一個奇函數之差，若對恒成立，則實數的取值范圍為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題干條件構造方程組解出函數和的解析式，再用分離參數法將對恒成立轉化為對恒成立，進而求得實數的取值范圍.
【詳解】由，
有，
解得，，
可化為，有，
有，得，
又由，有.
故選：C
【點睛】本題考查函數奇偶性、求函數解析式等知識點以及對恒成立問題的處理，屬于中檔題.
5．已知函數（，且），則是（ ）
A．偶函數，值域為 B．非奇非偶函數，值域為
C．奇函數，值域為 D．奇函數，值域為
【答案】C
【分析】利用定義判斷函數的奇偶性，利用指數函數的性質及不等式的性質求函數的值域即可得解.
【詳解】由題可知，且函數的定義域為R，關于原點對稱，所以是奇函數.
由指數函數的性質知，，，
，即函數的值域為
故選：C
【點睛】方法點睛：本題主要考查函數的奇偶性，指數函數的性質，不等式的性質，判斷函數的奇偶性，先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，再判斷與的關系，考查學生的運算求解能力，屬于基礎題.
6．已知a、b、c是正實數，且，則a、b、c的大小關系不可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據指數函數的性質結合條件逐項分析即得.
【詳解】因為，a、b、c是正實數，
所以，，
對于A，若，則，滿足題意；
對于B，若，則，滿足題意；
對于C，若，則，滿足題意；
對于D，若，則，不滿足題意.
故選：D.
二、多選題
7．下列函數在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由二次函數的性質可判斷A；由反比例函數單調性以及函數圖象的平移可判斷B；去絕對值由一次函數的性質可判斷C；由指數函數以及復合函數的單調性可判斷D，進而可得正確選項.
【詳解】對于A：為開口向上的拋物線，對稱軸為，所以在區間上單調遞減，故選項A不正確；
對于B：的定義域為，將的圖象向右平移一個單位可得，因為在上單調遞增，向右平移一個單位可得在上單調遞增，所以在區間上單調遞增，故選項B正確；
對于C：，所以在區間上單調遞增，故選項C正確；
對于D：是由和復合而成，因為單調遞減，在區間上單調遞增，所以在區間上單調遞減，故選項D不正確；
故選：BC.
8．若函數同時滿足：對于定義域上的任意x，恒有； 對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數為“理想函數”下列四個函數中：能被稱為“理想函數”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】確定“理想函數”具有的兩個性質，再逐一分析各個選項，判斷作答.
【詳解】由①知，“理想函數”是其定義域上的奇函數，由②知，“理想函數”是其定義域上的減函數，
對于A，函數定義域為，而在上不單調，A不是；
對于B，函數定義域為R，在R上單調遞增，B不是；
對于C，函數定義域為R，當時，，，
當時，，，而，即，，
是R上奇函數，在上單調遞減，在上單調遞減，且圖象連續，即是R上減函數，C是；
對于D，函數定義域是R，，是R上的奇函數，
在R上單調遞減，D是.
故選：CD
三、填空題
9．函數的定義域為_________.
【答案】
【分析】根據解析式，列出使解析式有意義條件，解出x的取值范圍.
【詳解】由題意可得，解得：，所以函數的定義域為.
故答案為：.
10．已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】首先分別求分段函數兩段的值域，再根據值域為，列式求實數a的取值范圍.
【詳解】當時，，當時，，
因為函數的值域為，所以，解得：.
故答案為：
11．已知集合，且下列三個關系：有且只有一個正確，則函數的值域是_______．
【答案】
【分析】根據集合相等的條件，列出a、b、c所有的取值情況，再判斷是否符合條件，求出a，b，c的值，從而可求出分段函數的值域.
【詳解】由{a，b，c}={2，3，4}，可得a、b、c的取值有以下情況：
當a=2時，b=3、c=4時，a≠3，b=3，c≠4都正確，不滿足條件．
當a=2時，b=4、c=3時，a≠3成立，c≠4成立，此時不滿足題意；
當a=3時，b=2、c=4時，都不正確，此時不滿足題意；
當a=3時，b=4、c=2時，c≠4成立，此時滿足題意；
當a=4時，b=2，c=3時，a≠3，c≠4成立，此時不滿足題意；
當a=4時，b=3、c=2時，a≠3，b=3成立，此時不滿足題意；
綜上得，a=3、b=4、c=2，
則函數
當x＞4時，
當x≤4時，，
綜上：，即函數的值域為，
故答案為：．
12．已知函數，若不等式對恒成立，則實數a的取值范圍是_______．
【答案】
【分析】判斷函數的單調性，利用其解析式推出，則可將不等式對恒成立，轉化為，即對恒成立，即可求得答案.
【詳解】由題意知單調遞增，故在R上單調遞增，
又，
故不等式對恒成立，
即對恒成立，
所以，即對恒成立，
當時，，
故，即實數a的取值范圍是，
故答案為：
【點睛】本題考查了函數不等式恒成立求解參數范圍問題，解答時要注意判斷函數的單調性以及函數滿足的性質，因而解答的關鍵是利用函數滿足的性質脫去函數符號“f”,將問題轉化為，即對恒成立，即可解決.
四、解答題
13．計算：．
【答案】99
【分析】根據指數運算公式化簡求值.
【詳解】
14．已知函數，，若對任意，都有，求實數的取值范圍
【答案】
【分析】轉化為，構造函數，利用函數的單調性求出最值即可得解.
【詳解】對任意的，都有，即，轉化為，
令，且在上為減函數，故，
故.
【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：
①若在上恒成立，則；
②若在上恒成立，則；
③若在上有解，則；
④若在上有解，則.
15．一片森林原來面積為2014萬畝，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐的面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的．
（1）求每年砍伐面積的百分比；
（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多還能砍伐多少年？
【答案】（1）；（2）5；（3）15．
【分析】（1）設每年砍伐面積的百分比為，由指數函數的性質列式求解；
（2）由求解可得；
（3）由求解可得．
【詳解】（1）設每年砍伐面積的百分比為，則，解得；
（2）設到今年為止，該森林已砍伐了年，則，
，，；
（3）設今后最多還能砍伐年，
則，
，，．
答：（1）每年砍伐面積的百分比為；（2）到今年為止，該森林已砍伐了5年；（3）今后最多還能砍伐15年．
【點睛】思路點睛：本題考查指數函數的應用，解題關鍵是根據每年砍伐的百分比相同，設百分比為，那么年后，剩余量為．抓住這個模型，通過解指數方程、指數不等式可得．
16．已知f(x)是定義在R上的偶函數，f（-1）=0，且滿足在區間（-∞，0]單調遞增．
(1)判斷f(x)在（0，+∞）的單調性，并加以證明；
(2)函數．若對x∈（0，1]恒成立，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)單調遞減，證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據題意，結合偶函數的性質以及定義法判斷單調性，即可證明；
（2）根據題意，結合函數的單調性，可將轉化為，令，則，
故可將轉化為關于的一元二次不等式在某個區間上恒成立問題，進而可求解.
(1)
函數在區間上單調遞減.
證明：設，，且，則，
因為函數在區間上單調遞增，所以，
又因為函數為上的偶函數，所以，
又因，所以函數在區間上單調遞減.
(2)
由題意，可知，
因為，所以結合（1）易得，即.
令，由，易得，
因為，所以，故，
即對于恒成立，故.
因為，所以，
又因為，等且僅當時，等號成立，
所以.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
2.4 指數與指數函數
思維導圖
知識點總結
知識點一　無理數指數冪
一般地，無理數指數冪aα(a>0，α為無理數)是一個確定的 ．有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪．
知識點二　實數指數冪的運算性質
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
知識點三　分數指數冪的意義
分數指數冪 正分數指數冪 規定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
負分數指數冪 規定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分數指數冪 0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪無意義
知識點四　有理數指數冪的運算性質
整數指數冪的運算性質，可以推廣到有理數指數冪，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知識點四　指數函數的定義
一般地，函數 (a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R.
思考　為什么底數應滿足a>0且a≠1
答案　①當a≤0時，ax可能無意義；②當a>0時，x可以取任何實數；③當a＝1時，ax＝1 (x∈R)，無研究價值．因此規定y＝ax中a>0，且a≠1.
知識點五　兩類指數模型
1．y＝kax(k>0)，當 時為指數增長型函數模型．
2．y＝kax(k>0)，當 時為指數衰減型函數模型．
知識點六　指數函數的圖象和性質
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質如下表：
a>1 0圖象
定義域 R
值域
性質 過定點 過定點 ，即x＝0時，y＝
函數值的變化 當x>0時， ； 當x<0時， 當x>0時， ； 當x<0時，
單調性 在R上是 在R上是
典型例題分析
考向一 運用指數冪運算公式化簡求值
例1　計算下列各式(式中字母都是正數)：
(1)
(2)
(3)
反思感悟　一般地，進行指數冪運算時，可將系數、同類字母歸在一起，分別計算；化負指數為正指數，化小數為分數進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的．
考向二 分數指數冪運算的綜合應用
例2　(1)已知am＝4，an＝3，求的值；
(2)已知＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
反思感悟　條件求值問題的解法
(1)求解此類問題應注意分析已知條件，通過將已知條件中的式子變形(如平方、因式分解等)，尋找已知式和待求式的關系，可考慮使用整體代換法．
(2)利用整體代換法解決分數指數冪的計算問題，常常運用完全平方公式及其變形公式．
考向三 指數函數的圖象及應用
例1　(1)函數y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象可能是(　　)
(2)函數f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒過定點________．
(3)已知函數y＝3x的圖象，怎樣變換得到y＝x＋1＋2的圖象？并畫出相應圖象．
反思感悟　處理函數圖象問題的策略
(1)抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0,1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的y的值，即可得函數圖象所過的定點．
(2)巧用圖象變換：函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．
(3)利用函數的性質：奇偶性與單調性．
考向四 比較大小
例4　(1)比較下列各題中兩個值的大小．
①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.
(2)設 則a，b，c的大小關系為________．(用“>”連接)
反思感悟　比較冪值大小的3種類型及處理方法
基礎題型訓練
一、單選題
1．化簡的結果為（ ）
A． B．
C． D．
2．函數，則方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數g（x）=3x+t的圖象不經過第二象限，則t的取值范圍為
A．t≤–1 B．t<–1
C．t≤–3 D．t≥–3
4．已知，，，則
A． B．
C． D．
5．已知函數，則使得成立的的取值范圍是
A． B．
C． D．
6．設函數，若存在，使得成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．已知函數，則下列敘述正確的是（ ）
A．當時，函數在區間上是增函數
B．當時，函數在區間上是減函數
C．若函數有最大值2，則
D．若函數在區間上是增函數，則的取值范圍是
8．已知函數，則（ ）
A．為偶函數 B．是增函數
C．不是周期函數 D．的最小值為
三、填空題
9．若為方程的兩個實數解，則___________．
10．若指數函數在上是增函數，則實數的取值范圍是__________．
11．已知函數，，的圖象如下圖所示，則，，的大小關系為__________．（用“”號連接）
12．化簡的結果是________.
四、解答題
13．計算：
(1)；
(2) 已知，求.
14．計算：(1)；　
(2)
15．已知二次函數在區間[2，3]上有最大值4，最小值1，
(1)求函數的解析式；
(2)設．若在時恒成立，求的取值范圍．
16．已知函數的表達式為，其中、為實數.
(1)若不等式的解集是，求的值；
(2)若方程有一個根為，且、為正數，求的最小值；
(3)若函數在區間上是嚴格減函數，試確定實數的取值范圍，并證明你的結論.
提升題型訓練
一、單選題
1．函數是指數函數，則有
A．或 B． C． D．或
2．已知函數，且對于任意的，都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．定義在上的函數滿足時，，則的值為
A．-2 B．0 C．2 D．8
4．已知函數可以表示成一個偶函數和一個奇函數之差，若對恒成立，則實數的取值范圍為（ ）.
A． B． C． D．
5．已知函數（，且），則是（ ）
A．偶函數，值域為 B．非奇非偶函數，值域為
C．奇函數，值域為 D．奇函數，值域為
6．已知a、b、c是正實數，且，則a、b、c的大小關系不可能為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．下列函數在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若函數同時滿足：對于定義域上的任意x，恒有； 對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數為“理想函數”下列四個函數中：能被稱為“理想函數”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．函數的定義域為_________.
10．已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是___________.
11．已知集合，且下列三個關系：有且只有一個正確，則函數的值域是_______．
12．已知函數，若不等式對恒成立，則實數a的取值范圍是_______．
四、解答題
13．計算：．
14．已知函數，，若對任意，都有，求實數的取值范圍
15．一片森林原來面積為2014萬畝，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐的面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的．
（1）求每年砍伐面積的百分比；
（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多還能砍伐多少年？
16．已知f(x)是定義在R上的偶函數，f（-1）=0，且滿足在區間（-∞，0]單調遞增．
(1)判斷f(x)在（0，+∞）的單調性，并加以證明；
(2)函數．若對x∈（0，1]恒成立，求實數m的取值范圍．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑