資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.5 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
思維導圖
知識點總結
知識點一　對數(shù)運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知識點二　換底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．對數(shù)換底公式的重要推論：
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
知識點三　對數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．
知識點　對數(shù)函數(shù)的圖象和性質
對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象和性質如下表：
y＝logax (a>0，且a≠1)
底數(shù) a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
單調性 在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù)
共點性 圖象過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0
函數(shù)值特點 x∈(0,1)時，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)時，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)時，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)時，y∈(－∞，0]
對稱性 函數(shù)y＝logax與y＝的圖象關于x軸對稱
典型例題分析
考向一 對數(shù)運算性質的應用
例1　計算下列各式：
(1)log5；(2)log2(32×42)；
(3)log535－2log5＋log57－log5.
解　(1)原式＝log5625＝log554＝.
(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
反思感悟　對數(shù)式化簡與求值的基本原則和方法
(1)基本原則
對數(shù)式的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數(shù)進行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進行．
(2)兩種常用的方法
①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；
②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)．
考向二 對數(shù)換底公式的應用
例2　(1)計算：(log43＋log83)log32＝________.
答案　
解析　原式＝log32
＝log32
＝＋＝.
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
解　因為18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝
＝＝
＝＝.
反思感悟　利用換底公式化簡與求值的思路
考向三 對數(shù)函數(shù)的概念及應用
例3(1)下列給出的函數(shù)：
①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③
④y＝log3；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；
⑥其中是對數(shù)函數(shù)的為(　　)
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點M(8,3)，則f ＝________.
答案　(1)D　(2)－1
解析　(1)①中對數(shù)式后面加1，所以不是對數(shù)函數(shù)；②中真數(shù)不是自變量x，所以不是對數(shù)函數(shù)；③和⑥符合對數(shù)函數(shù)概念的三個特征，是對數(shù)函數(shù)；④不是對數(shù)函數(shù)；⑤中底數(shù)是自變量x，而非常數(shù)a，所以不是對數(shù)函數(shù)，故③⑥正確．
(2)設f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由圖象過點M(8,3)，則有3＝loga8，解得a＝2.所以對數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)＝log2x，所以f ＝log2＝－1.
反思感悟　判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的方法
對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：
(1)對數(shù)式系數(shù)為1.
(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．
(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.
考向四 對數(shù)函數(shù)的圖象問題
例4　(1)函數(shù)y＝x＋a與y＝logax的圖象可能是下圖中的(　　)
答案　C
(2)函數(shù)y＝loga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的圖象過定點________．
答案　(－1,3)
解析　令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以過定點(－1,3)．
(3)已知f(x)＝loga|x|滿足f(－5)＝1，試畫出函數(shù)f(x)的圖象．
解　因為f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函數(shù)y＝log5|x|的圖象如圖所示．
反思感悟　現(xiàn)在畫圖象很少單純依靠描點，大多是以常見的函數(shù)為原料加工，所以一方面要掌握一些平移、對稱變換的結論，另一方面要關注定義域、值域、單調性、關鍵點．
考向五 反函數(shù)
例5　函數(shù)f(x)與g(x)互為反函數(shù)，若f(x)＝(x<0)．求函數(shù)g(x)的解析式，定義域、值域．
解　(x<0)是增函數(shù)，
所以0<<100，
所以0<<1，
故f(x)＝的定義域為(－∞，0)，值域為(0,1)，
所以g(x)＝2 019lg x，定義域為(0,1)，值域為(－∞，0)．
反思感悟　互為反函數(shù)的常用結論
(1)同底的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．
(2)若f(x)與g(x)互為反函數(shù)，則f(x)的定義域、值域分別為g(x)的值域、定義域．
(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線y＝x對稱．
考向六 解對數(shù)不等式
例6　解下列關于x的不等式：
(1)
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
解　(1)由題意可得解得0所以原不等式的解集為{x|0(2)當a>1時，原不等式等價于解得x>4.
當0解得綜上所述，當a>1時，原不等式的解集為{x|x>4}；
當0反思感悟　對數(shù)不等式的三種考查類型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0(2)形如logax>b的不等式，應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，或利用函數(shù)圖象求解．
基礎題型訓練
一、單選題
1．通過科學研究發(fā)現(xiàn)：地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.已知2011年甲地發(fā)生里氏9級地震，2019年乙地發(fā)生里氏7級地震，若甲、乙兩地地震釋放能量分別為，則和的關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】考慮的值，再利用指對數(shù)轉換可得和的關系.
【詳解】由題設可得，故，
故選：C.
【點睛】本題考查對數(shù)的運算以及指對數(shù)的轉化，注意根據(jù)給定的計算公式計算即可，本題屬于容易題.
2．已知，函數(shù)與的圖像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)是增函數(shù)，函數(shù)的定義域為，且在定義域內為減函數(shù)，從而得出結論．
【詳解】解：已知，故函數(shù)是增函數(shù)．
而函數(shù)的定義域為，且在定義域內為減函數(shù)，
故選：．
【點睛】本題主要考查函數(shù)的定義域、單調性，函數(shù)的圖象，屬于基礎題．
3．已知，則的大小關系為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的性質,結合冪函數(shù)的性質即可求解.
【詳解】因為，，
因為函數(shù)在上單調遞增，又，
所以，
故．
故選：D.
4．設，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質判斷出與的符號，從而可判斷出的符號，利用換底公式計算出與的大小，由此可得出、、三個數(shù)的大小關系.
【詳解】對數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則，即.
又對數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，即，
由換底公式得，，，
，即，即，
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查實數(shù)大小的比較和對數(shù)函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是靈活應用對數(shù)的運算，考查學生對對數(shù)公式的掌握與運算能力，屬于中檔題.
5．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題可知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，函數(shù)單調遞增，進而可得，然后利用基本不等式即得.
【詳解】因為函數(shù)滿足，且定義域為R，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，函數(shù)單調遞增，
故可以變?yōu)?，即?br/>當時，；
當時，可得．
又，當且僅當時取等號，
所以，解得.
故選：B．
6．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，為增函數(shù)，將不等式轉化為求解即可．
【詳解】因為，
所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)．
當時，，為增函數(shù)，
由（1），
（1）
得（1），即（1），
可得，解得．
故選：．
【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性的判斷與應用，考查轉化思想的應用及運算求解能力，屬于中檔題．
二、多選題
7．已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由基本不等式可得，A由求的范圍即可判斷；B由求范圍即可判斷；C應用對數(shù)運算及對數(shù)的性質即可判斷；D利用基本不等式求的范圍即可判斷.
【詳解】由題設，，則(僅等號成立)，可得，
由，即，則，A正確；
由，即，B錯誤；
由，C正確；
由，當且僅當時等號成立，D錯誤；
故選：AC
8．已知函數(shù)，則（ ）
A．在單調遞增
B．在單調遞增，在單調遞減
C．的圖象關于直線對稱
D．函數(shù)的最小值為0
【答案】BC
【分析】由對數(shù)性質求函數(shù)定義域，再根據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性判斷復合函數(shù)的單調性并判斷最值情況，判斷是否相等判斷對稱性.
【詳解】由題設，故，其定義域為，
令，而遞增，
又在上遞增，在上遞減，
故在上遞增，在上遞減，且最大值為，無最小值，
所以A、D錯誤，B正確；
，則的圖象關于直線對稱，C正確.
故選：BC
三、填空題
9．若，則a=__________.
【答案】2
【分析】化為同底的對數(shù)相等求解即可.
【詳解】因為，
所以，
故答案為：2.
10．函數(shù)的定義域為________.
【答案】
【詳解】試題分析：由題意得，，解得，即函數(shù)的定義域為.
考點：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質.
11．已知函數(shù)（且），若對，，都有．則實數(shù)a的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】由條件可知函數(shù)是增函數(shù)，可得分段函數(shù)兩段都是增函數(shù)，且時，滿足，由不等式組求解即可.
【詳解】因為對，且都有成立，
所以函數(shù)在上單調遞增.
所以，解得.
故答案為：
12．已知，設，則的大小關系為（用“<”號連接）______．
【答案】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，即可求解，得到答案．
【詳解】由題意，因為，則，
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性，可得，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，可得，
所以．
【點睛】本題主要考查了三個數(shù)的比較大小，同時考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用，著重考查了運算、求解能力，屬于基礎題．
四、解答題
13．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)，用定義證明函數(shù)在上單調遞減.
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】(1)利用函數(shù)的單調性即可求解；(2)利用函數(shù)單調性的定義證明.
【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得,
,
二次函數(shù)的對稱軸為，且，
所以函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，
又因為，所以在單調遞減，在單調遞增，
所以，解得.
（2）由(1)得，
所以，
，
單調性證明如下，
且，
=，
因為且，所以
且，即，所以，
即，所以函數(shù)在上單調遞減.
14．已知，用對數(shù)的定義證明公式：．
【答案】詳見解析.
【解析】設，利用對數(shù)的定義得到，再利用同底數(shù)冪的除法求解.
【詳解】設，
則，
所以，
即，
所以.
15．已知，a=，，求的值．
【答案】2020
【分析】直接利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的運算法則求解,利用對數(shù)的運算法則求解，然后代入化簡即可.
【詳解】
，
【點晴】本題主要考查對數(shù)的運算、指數(shù)冪的運算，屬于中檔題. 指數(shù)冪運算的四個原則：（1）有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算；（2）先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；（3）底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)；（4）若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示
16．設為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值．
（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由奇函數(shù)的性質，代入運算后可得，代入驗證即可得解；
（2）轉化條件為對于恒成立，令，結合函數(shù)的單調性求得即可得解.
【詳解】（1）因為為奇函數(shù)，
則
，
則，所以即，
當時，，不合題意；
當時，，由可得或，滿足題意；
故；
（2）由可得，
則對于恒成立，
令，
因為函數(shù)在上單調遞減，
所以函數(shù)在上單調遞增，
所以在上單調遞增，所以，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是將恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值.
提升題型訓練
一、單選題
1．已知函數(shù)且，則函數(shù)恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用對數(shù)函數(shù)過定點求解.
【詳解】令，解得，，
所以函數(shù)恒過定點，
故選：D
2．已知函數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【解析】根據(jù)函數(shù)，先求得，再求即可.
【詳解】因為函數(shù)，
所以，
所以，
故選：B
3．已知滿足則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的性質，即可進行判斷.
【詳解】，故
故選：B
【點睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)比較大小，屬于中檔題.
4．已知 <1，那么a的取值范圍是(　　)
A．0
C．1
【答案】D
【分析】把1變成底數(shù)的對數(shù)，討論底數(shù)與1的關系，確定函數(shù)的單調性，根據(jù)函數(shù)的單調性整理出關于a的不等式，得到結果，把兩種情況求并集得到結果．
【詳解】當a>1時，由loga，得a>1；當0故0【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)單調性的應用、不等式的解法等基礎知識，本題解題的關鍵是對于底數(shù)與1的關系，這里應用分類討論思想來解題．
5．已知，，，則下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，分別縮小的范圍，即可得到答案；
【詳解】因為，
所以；
因為，
所以；
因為，
所以，
所以.
故選：.
6．若，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式和對數(shù)的運算法則得到，再利用指數(shù)函數(shù)單調性結合放縮法得到即可求解．
【詳解】，，，
，，，
，，
，
故選：．
二、多選題
7．下列命題是真命題的是（ ）
A．若冪函數(shù)過點，則
B．，
C．，
D．命題“，”的否定是“，”
【答案】BD
【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷，結合圖象判斷，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可判斷.
【詳解】解：對于：若冪函數(shù)過點，則解得，故錯誤；
對于：在同一平面直角坐標系上畫出與兩函數(shù)圖象，如圖所示
由圖可知，，故正確；
對于：在同一平面直角坐標系上畫出與兩函數(shù)圖象，如圖所示
由圖可知，當時，，當時，，當時，，故錯誤；
對于：根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可知，命題“，”的否定是“，”，故正確；
故選：
【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質，冪函數(shù)的概念，含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.
8．下列函數(shù)中，值域是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】分析得到選項AB的函數(shù)的值域為，選項C的函數(shù)的值域為,選項D的函數(shù)的值域為，即得解.
【詳解】對于函數(shù)，因為，所以，所以選項A正確；
對于函數(shù)，因為，所以，所以選項B正確；
對于函數(shù)，因為，所以，所以選項C錯誤；
對于函數(shù)，因為，所以函數(shù)的值域為，所以選項D正確．
故選：AB．
三、填空題
9．已知三個式子，，同時成立，則的取值范圍為________．
【答案】
【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，即可求解.
【詳解】；；
，，同時成立則有，
，當時，，
三個式子，，同時成立，
的取值范圍為.
故答案為:.
【點睛】本題考查函數(shù)的單調性應用，意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題.
10．______．
【答案】1
【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運算性質進行計算即可.
【詳解】,
故答案為：1.
11．方程的解為___________.
【答案】2
【詳解】依題意，所以，
令，所以，解得或，
當時，，所以，而，所以不合題意，舍去；
當時，，所以，，，所以滿足條件，
所以是原方程的解.
考點：對數(shù)方程.
12．已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是_______________
【答案】
【分析】由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù)，結合復合函數(shù)單調性的判斷可得到在上單調遞增，由偶函數(shù)性質知其在上單調遞減，利用函數(shù)單調性解不等式即可求得結果.
【詳解】由，解得：或，故函數(shù)的定義域為，
又，
為上的偶函數(shù)；
當時，單調遞增，
設，，
在上單調遞增，在上單調遞增，
在上單調遞增，又為偶函數(shù)，在上單調遞減；
由可知，解得．
故答案為：.
【點睛】方法點睛：本題考查利用函數(shù)單調性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調性的作用如下：
（1）奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側符號，同時根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性確定對稱區(qū)間的單調性；
（2）單調性：將函數(shù)值的大小關系轉化為自變量之間的大小關系.
四、解答題
13．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪運算法則即得；（2）利用指對運算法則計算．
【詳解】（1）原式
（2）原式
14．已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并進行證明；
(2)若實數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)為奇函數(shù)，證明見解析
(2)
【分析】（1）由奇偶性定義直接判斷即可；
（2）化簡函數(shù)得到，由此可知在上單調遞增；利用奇偶性可化簡所求不等式為，利用單調性解不等式即可.
(1)
為奇函數(shù)，證明如下：
定義域為，，
為定義在上的奇函數(shù).
(2)
，
又在上單調遞增，在上單調遞增；
由（1）知：，
，，
，即，
，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.
15．（1）將根式化為分式指數(shù)冪的形式；
（2）若求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先將每個因式的公式化為分式指冪的形式，然后根據(jù)指數(shù)冪的運算法則求解即可；
（2）由，根據(jù)對數(shù)的運算法則分別求出的值，作差即可.
【詳解】（1）.
（2）由，可得，由，可得，可得.
16．對于在區(qū)間上有意義的函數(shù)f(x)，若滿足對任意的，有恒成立，則稱f(x)在上是“友好”的，否則就稱f（x）在上是“不友好”的.現(xiàn)有函數(shù)
(1)當a=1時，判斷函數(shù)f(x)在上是否“友好”；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1≤m≤2)上是“友好”的，求實數(shù)a的取值范圍
(3)若關于x的方程的解集中有且只有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)f(x)在上是 “友好”的；
(2)；
(3).
【分析】(1)利用函數(shù)單調性求出f(x)在上的最值即可判斷得解.
(2)利用函數(shù)單調性，求出f(x)在區(qū)間(1≤m≤2)上的最值，建立不等關系，分離參數(shù)，構造函數(shù)并求出其最值即可作答.
(3)利用對數(shù)函數(shù)的性質變形等式，求出方程的解，再討論驗證即可作答.
【詳解】（1）當a=1時，在上單調遞減，， ，
于是得，即，有，
所以當a=1時，函數(shù)f(x)在上是 “友好”的.
（2）依題意，在上單調遞減，
則，，
則有，
即，可得，令t=2m-1(1≤t≤3)，
則，則，
函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，當t=1或3時，取最大值1，此時，，
于是當t=1或3時，取最大值，依題意，，
又對于任意的，，即，此時，
綜上，a的取值范圍是.
（3）依題意，方程化為：，且，
于是得：，即，
當a=3時，可得x=-1，此時有且，則a=3，
當a=2時，可得x=-1，此時有，矛盾，
當a≠2且a≠3時，可得x=-1或，若x=-1是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=a-1>0，且a-1≠1，則a>1且a≠2，
若是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=2a-3>0，且2a-3≠1，則且a≠2，
因此，要使方程有且僅有一個解，必有，
綜上，方程的解集中有且僅有一個元素，有或a=3，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
2.5 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
思維導圖
知識點總結
知識點一　對數(shù)運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝ ；
(2)loga＝ ；
(3)logaMn＝ (n∈R)．
知識點二　換底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．對數(shù)換底公式的重要推論：
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
知識點三　對數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是 ．
知識點　對數(shù)函數(shù)的圖象和性質
對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象和性質如下表：
y＝logax (a>0，且a≠1)
底數(shù) a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
單調性 在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù)
共點性 圖象過定點 ，即x＝1時，y＝0
函數(shù)值特點 x∈(0,1)時，y∈ ； x∈[1，＋∞)時，y∈ x∈(0,1)時，y∈ ； x∈[1，＋∞)時，y∈
對稱性 函數(shù)y＝logax與y＝的圖象關于x軸對稱
典型例題分析
考向一 對數(shù)運算性質的應用
例1　計算下列各式：
(1)log5；(2)log2(32×42)；
(3)log535－2log5＋log57－log5.
反思感悟　對數(shù)式化簡與求值的基本原則和方法
(1)基本原則
對數(shù)式的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數(shù)進行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進行．
(2)兩種常用的方法
①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；
②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)．
考向二 對數(shù)換底公式的應用
例2　(1)計算：(log43＋log83)log32＝________.
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
反思感悟　利用換底公式化簡與求值的思路
考向三 對數(shù)函數(shù)的概念及應用
例3(1)下列給出的函數(shù)：
①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③
④y＝log3；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；
⑥其中是對數(shù)函數(shù)的為(　　)
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點M(8,3)，則f ＝________.
反思感悟　判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的方法
對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：
(1)對數(shù)式系數(shù)為1.
(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．
(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.
考向四 對數(shù)函數(shù)的圖象問題
例4　(1)函數(shù)y＝x＋a與y＝logax的圖象可能是下圖中的(　　)
反思感悟　現(xiàn)在畫圖象很少單純依靠描點，大多是以常見的函數(shù)為原料加工，所以一方面要掌握一些平移、對稱變換的結論，另一方面要關注定義域、值域、單調性、關鍵點．
考向五 反函數(shù)
例5　函數(shù)f(x)與g(x)互為反函數(shù)，若f(x)＝(x<0)．求函數(shù)g(x)的解析式，定義域、值域．
反思感悟　互為反函數(shù)的常用結論
(1)同底的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．
(2)若f(x)與g(x)互為反函數(shù)，則f(x)的定義域、值域分別為g(x)的值域、定義域．
(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線y＝x對稱．
考向六 解對數(shù)不等式
例6　解下列關于x的不等式：
(1)
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
反思感悟　對數(shù)不等式的三種考查類型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0(2)形如logax>b的不等式，應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，或利用函數(shù)圖象求解．
基礎題型訓練
一、單選題
1．通過科學研究發(fā)現(xiàn)：地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.已知2011年甲地發(fā)生里氏9級地震，2019年乙地發(fā)生里氏7級地震，若甲、乙兩地地震釋放能量分別為，則和的關系為（ ）
A． B． C． D．
2．已知，函數(shù)與的圖像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，則的大小關系為( )
A． B． C． D．
4．設，，則（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函數(shù)，則（ ）
A．在單調遞增
B．在單調遞增，在單調遞減
C．的圖象關于直線對稱
D．函數(shù)的最小值為0
三、填空題
9．若，則a=__________.
10．函數(shù)的定義域為________.
11．已知函數(shù)（且），若對，，都有．則實數(shù)a的取值范圍是___________．
12．已知，設，則的大小關系為（用“<”號連接）______．
四、解答題
13．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)，用定義證明函數(shù)在上單調遞減.
14．已知，用對數(shù)的定義證明公式：．
15．已知，a=，，求的值．
16．設為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值．
（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
提升題型訓練
一、單選題
1．已知函數(shù)且，則函數(shù)恒過定點（ ）
A． B． C． D．
2．已知函數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C． D．9
3．已知滿足則（ ）
A． B． C． D．
4．已知 <1，那么a的取值范圍是(　　)
A．0
C．1
5．已知，，，則下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．下列命題是真命題的是（ ）
A．若冪函數(shù)過點，則
B．，
C．，
D．命題“，”的否定是“，”
8．下列函數(shù)中，值域是的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．已知三個式子，，同時成立，則的取值范圍為________．
10．______．
11．方程的解為___________.
12．已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是_______________
四、解答題
13．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
14．已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并進行證明；
(2)若實數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.
15．（1）將根式化為分式指數(shù)冪的形式；
（2）若求的值.
16．對于在區(qū)間上有意義的函數(shù)f(x)，若滿足對任意的，有恒成立，則稱f(x)在上是“友好”的，否則就稱f（x）在上是“不友好”的.現(xiàn)有函數(shù)
(1)當a=1時，判斷函數(shù)f(x)在上是否“友好”；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1≤m≤2)上是“友好”的，求實數(shù)a的取值范圍
(3)若關于x的方程的解集中有且只有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑