資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2.6 冪函數(shù)
思維導(dǎo)圖
知識點總結(jié)
知識點一　冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
知識點二　五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．
2．五個冪函數(shù)的性質(zhì)
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定義域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調(diào)性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上減 增 增 在(0，＋∞)上減， 在(－∞，0)上減
知識點三　一般冪函數(shù)的圖象特征
1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．
2．當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象上凸．
3．當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．
4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．
5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．
典型例題分析
考向一 冪函數(shù)的概念
例1　(1)下列函數(shù)：
①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　冪函數(shù)有①⑥兩個．
(2)已知是冪函數(shù)，求m，n的值．
考點　冪函數(shù)的概念
題點　由冪函數(shù)定義求參數(shù)值
解　由題意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝.
反思感悟　判斷函數(shù)為冪函數(shù)的方法
(1)自變量x前的系數(shù)為1.
(2)底數(shù)為自變量x.
(3)指數(shù)為常數(shù)．
考向二 冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例2　(1)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點P，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．
解　因為f(x)＝xα的圖象過點P，
所以f(2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f(x)＝x－2，
f(x)的圖象如圖所示，
定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)．
(2)下列關(guān)于函數(shù)y＝xα與y＝αx的圖象正確的是(　　)
答案　C
反思感悟　(1)冪函數(shù)圖象的畫法
①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象．
②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．
(2)解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問題的方法
首先要考慮冪函數(shù)的概念，對于冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同．同時，注意分類討論思想的應(yīng)用．
考向三 比較冪值的大小
例3　比較下列各組數(shù)的大小．
(1)0.5與0.5；
(2)－1與－1；
(3)與.
解　(1)因為冪函數(shù)y＝x0.5在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，
又>，所以0.5>0.5.
(2)因為冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，
又－<－，所以－1>－1.
(3)因為在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，
所以＝1，
又在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，
所以＝1，所以.
反思感悟　此類題在構(gòu)建函數(shù)模型時要注意冪函數(shù)的特點：指數(shù)不變．比較大小的問題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應(yīng)用“搭橋”法進行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量．
考向四 冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
例4　已知冪函數(shù)y＝x3m－9 (m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足
的a的取值范圍．
考點　冪函數(shù)的性質(zhì)
題點　利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式
解　因為函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3m－9<0，
解得m<3.又因為m∈N*，所以m＝1,2.
因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
所以3m－9為偶數(shù)，故m＝1.
則原不等式可化為
因為在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得故a的取值范圍是.
通過具體事例抽象出冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，并應(yīng)用單調(diào)性求解，所以，本典例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)．
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(，且)的圖象所過定點的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由函數(shù)是冪函數(shù)，求出，再由對數(shù)函數(shù)的特征，即可判斷定點坐標(biāo).
【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，
所以，因此，
所以，
由可得，，
所以函數(shù)(，且)的圖象所過定點的坐標(biāo)是.
故選：A.
2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【分析】利用f（x）與y的圖像間的關(guān)系及冪函數(shù)性質(zhì)即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）的圖像是由y的圖像向下平移一個單位得到的，∴定義域為{x|x≠0}，單調(diào)性與y的單調(diào)性相同，
而函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，0）和（0，+∞），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故選D．
【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法及圖像變換，考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．已知冪函數(shù)y＝ (m∈Z)的圖象與x軸和y軸沒有交點，且關(guān)于y軸對稱，則m等于（ ）
A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2
【答案】C
【分析】由冪函數(shù)的圖象的性質(zhì)得到指數(shù)小于零，且為偶數(shù)，解不等式得m的可能值，然后再進行檢驗.
【詳解】∵冪函數(shù)y＝(m∈Z)的圖象與x軸、y軸沒有交點，且關(guān)于y軸對稱，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)為偶數(shù)，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，
∴m＝－1，0，1，2，3.
當(dāng)m＝－1時，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，為偶數(shù)，符合題意；
當(dāng)m＝0時，m2－2m－3＝－3，為奇數(shù)，不符合題意；
當(dāng)m＝1時，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，為偶數(shù)，符合題意；
當(dāng)m＝2時，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，為奇數(shù)，不符合題意；
當(dāng)m＝3時，m2－2m－3＝9－6－3＝0，為偶數(shù)，符合題意．
綜上所述，m＝－1，1，3.
故選：C.
4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分、和三種情況分類討論，得出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求解.
【詳解】由題意，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
綜上，函數(shù)，
在時的解析式等價于.
根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱作出函數(shù)在上的大致圖像如圖所示，
觀察圖像可知，要使，，則需滿足，
解得.
故選：B.
5．下列比較大小中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.
【詳解】解：對于A選項，因為在上單調(diào)遞增，所以，故A錯誤，
對于B選項，因為在上單調(diào)遞減，所以，故B錯誤，
對于C選項，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
因為，又，
所以，故C正確，
對于D選項，在上是遞增函數(shù)，
又，所以，所以，故D錯誤.
故選：C.
6．“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得：，然后根據(jù)充分、必要條件的判斷即可求解.
【詳解】由函數(shù)的性質(zhì)可得：，
因為由一定能推出，但由不一定能推出，
所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，
故選：.
二、多選題
7．關(guān)于冪函數(shù)是常數(shù)），結(jié)論正確的是（ ）
A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過原點
B．冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點
C．冪函數(shù)圖象有可能關(guān)于軸對稱
D．冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限
【答案】BCD
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷.
【詳解】對于A：冪函數(shù)不經(jīng)過原點，A錯誤
對于B：對于冪函數(shù)是常數(shù)），當(dāng)時，，經(jīng)過點，B正確；
對于C：冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，C正確；
對于D：冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限，D正確.
故選：BCD.
8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（ ）
A．的圖象經(jīng)過點（2，4） B．的圖象關(guān)于原點對稱
C．在上單調(diào)遞減 D．在內(nèi)的值域為
【答案】BCD
【分析】由題意得，結(jié)合冪函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解
【詳解】將點代入，可得，則，
f（x）的圖象不經(jīng)過點（2，4），A錯誤；
根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得B，C，D正確.
故選：BCD
三、填空題
9．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m＝______．
【答案】4
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)列式求解.
【詳解】由題意可得，解得
故答案為：4.
10．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時，.若，則__________.
【答案】-3
【分析】當(dāng)時，代入條件即可得解.
【詳解】因為是奇函數(shù)，且當(dāng)時，．
又因為，，
所以，兩邊取以為底的對數(shù)得，所以，即．
【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算．滲透了數(shù)學(xué)運算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．
11．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍為__________．
【答案】
【詳解】分析：中，，由在定義域內(nèi)是一個偶函數(shù)，，知為奇函數(shù)，由此能求出的取值范圍.
詳解：中，，
，
在定義域內(nèi)是一個偶函數(shù)，，
要使函數(shù)為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，
①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，；
③當(dāng)時，.
只有定義域為的子區(qū)間，且定義域關(guān)于0對稱，才是奇函數(shù)，
，即，
.
故答案為.
點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的靈活應(yīng)用.
12．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則的值為_________．
【答案】
【詳解】試題分析：因為冪函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得：，因為，所以或或．因為冪函數(shù)為偶函數(shù)，所以是偶數(shù)，當(dāng)時，，不符合，舍去；當(dāng)時，；當(dāng)時，，不符合，舍去．所以，故．
考點：1、冪函數(shù)的性質(zhì)；2、函數(shù)值．
四、解答題
13．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖象，并加以比較：
（1），；
（2），.
【答案】（1）答案解詳解；（2）答案見詳解.
【分析】（1）利用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.
（2）利用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）圖象如圖（1），
僅在上存在圖象，
在上存在圖象，且在第一象限內(nèi)，兩圖象交于點，
當(dāng)時，的圖象在圖象的上方，
當(dāng)時，的圖象在圖象的下方，
的圖象在圖象的下方，
（2）圖象如圖（2），
僅圖象在第一、三象限，
圖象在第一、二象限內(nèi)，且在第一象限內(nèi)，兩圖象交于點，
當(dāng)時，的圖象在圖象的下方，
當(dāng)時，的圖象在圖象的上方，
14．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).
（1）求的值；
（2）求函數(shù)在的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）首先根據(jù)冪函數(shù)的定義得到，從而得到或，再根據(jù)為奇函數(shù)，即可得到答案.
（2）首先根據(jù)題意得到，再利用換元法求值域即可.
【詳解】（1）因為函數(shù)為冪函數(shù)，
所以，解得或.
即或.
又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，.
（2），
設(shè)，因為，所以，.
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，故值域為.
15．已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)m的取值，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求解不等式，可得答案.
【詳解】因為函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．
由m為正整數(shù)，則或,
又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，得是偶函數(shù)，
而當(dāng)時，，為奇函數(shù)，不符題意，
當(dāng)時，，為偶函數(shù)，于是．
因為為奇函數(shù)，在與上均為嚴(yán)格減函數(shù)，
所以等價于或或，
解得或，即.
16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中
求的值；
求使不等式成立的的取值范圍.
【答案】（1），.（2）
【分析】（1）根據(jù) ，可化簡為，已知，解出的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，解不等式，求的取值范圍.
【詳解】解：因為為奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)任意的恒成立
即
化簡得
故，，解得，.
由知
由，得
解得
綜上，滿足題意的的取值范圍是
【點睛】本題考查了對數(shù)型函數(shù)是奇函數(shù)求參數(shù)取值的問題，屬于基礎(chǔ)題型，當(dāng)對數(shù)型函數(shù)是奇函數(shù)時，經(jīng)常利用，計算求解.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．冪函數(shù)f（x）的圖象過點，則f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）
【答案】A
【分析】設(shè),根據(jù),解出,根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得答案.
【詳解】設(shè),則,即,
所以,所以,
所以的遞減區(qū)間為,
故選:A
【點睛】本題考查了求冪函數(shù)的解析式,考查了冪函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.
2．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)：讓學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.“雙11”就要到了，電商的優(yōu)惠活動很多，某同學(xué)借助于已學(xué)數(shù)學(xué)知識對“雙11”相關(guān)優(yōu)惠活動進行研究.已知2019年“雙11”期間某商品原價為元，商家準(zhǔn)備在節(jié)前連續(xù)2次對該商品進行提價且每次提價，然后在“雙11”活動期間連續(xù)2次對該商品進行降價且每次降價.該同學(xué)得到結(jié)論：最后該商品的價格與原來價格元相比.
A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．無法確定
【答案】C
【分析】先閱讀題意，再列出現(xiàn)價，再比較大小即可.
【詳解】解：設(shè)現(xiàn)價為，則，則，則該商品的價格與原來價格相比略有降低，
故選C.
【點睛】本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，重點考查了閱讀能力，屬基礎(chǔ)題.
3．已知是冪函數(shù)，且、，都有，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函數(shù)是冪函數(shù)且在為增函數(shù)可求得的值，將所求不等式變形為，由此可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或.
又因為、，都有，
可設(shè)，則，所以，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時，，該函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；
當(dāng)時，，該函數(shù)在上為增函數(shù).
所以等價于，所以，解得.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式，同時也考查了利用冪函數(shù)求參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.
4．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的下列四個結(jié)論中正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于原點對稱 B．的值域為
C．在上單調(diào)遞減 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)為冪函數(shù)且為偶函數(shù)可得，進而得，根據(jù)奇偶性的判斷可判斷A，根據(jù)單調(diào)性確定值域可判斷B，C,代入計算進而可判斷D.
【詳解】因為是冪函數(shù),所以,解得或,
又是偶函數(shù),所以,故,
故;
對于A;,故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故A錯誤，
對于B；，由于，所以，故，故值域為，故B錯誤,
對于C;,由于在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故在遞增，故C錯誤，
對于D；從而，故D正確，
故選：D
5．定義在R上的偶函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則方程＝的所有實數(shù)根的和為(　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由函數(shù)為R上的偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)有f(|x|)＝f(|2x－3|)，再結(jié)合函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，列方程|x|＝|2x－3|求解即可.
【詳解】解:由于函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(|x|)＝f(|2x－3|)，又函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則|x|＝|2x－3|，整理得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，故x1＋x2＝4.
故選D.
【點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性，重點考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.
6．下列命題中，正確的有（ ）個
①對應(yīng)：是映射，也是函數(shù)；
②若函數(shù)的定義域是（1,2），則函數(shù)的定義域為；
③冪函數(shù)與圖像有且只有兩個交點；
④當(dāng)時，方程恒有兩個實根.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】對于①，由映射和函數(shù)的定義判斷即可；
對于②，由抽象函數(shù)的定義求解即可；
對于③，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)作出圖象即可判斷；
對于④，將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象交點個數(shù)的問題，作出圖象即可判斷.
【詳解】解：對于①，對應(yīng)：是映射，也是函數(shù)；符合映射，函數(shù)的定義，故①對；
對于②，若函數(shù)的定義域是（1,2），則 故函數(shù)的定義域為，故②對
對于③，冪函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且圖像過 ，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且圖像過 所以兩個圖像有且只有兩個交點；故③對；
于④，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且函數(shù)值大于1，所以當(dāng)時，方程只有一個實根.故④錯；
故選：C
二、多選題
7．已知函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點（，2），則（ ）
A．f（x）的圖象經(jīng)過點（2，4） B．f（x）的圖象關(guān)于原點對稱
C．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 D．f（x）在（0，+∞）內(nèi)的值域為（0，+∞）
【答案】BD
【分析】代入已知點坐標(biāo)求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．
【詳解】將點的坐標(biāo)代入，可得，則，的圖象不經(jīng)過點，A錯誤.在上單調(diào)遞減，C錯誤.根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得B，D正確.
故選：BD．
8．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．存在實數(shù)，使的定義域為R
B．函數(shù)一定有最小值
C．對任意的負(fù)實數(shù)，的值域為
D．若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則
【答案】ABD
【分析】對于A：當(dāng)時，
的定義域為R，所以A正確；
對于B：，所以一定有最小值，所以B正確；
對于C： 舉例驗證即可；
對于D：分兩種情況，根據(jù)單調(diào)性求解，所以D正確；
【詳解】對于A：當(dāng)，即時，若，定義域為，
當(dāng)時，若的定義域為R，則，即，即，，所以存在實數(shù)，使的定義域為R，所以A正確；
對于B：，所以一定有最小值，所以B正確；
對于C：當(dāng)時，，所以的值域為，所以C不正確；
對于D：當(dāng)，即時，若，滿足函數(shù)在區(qū)間上遞增，
當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則，解得，
綜上，所以D正確；
故選：ABD.
三、填空題
9．已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(4,2),則a=_______
【答案】
【分析】直接把點的坐標(biāo)代入冪函數(shù)的解析式即得解.
【詳解】由題得
所以.
故答案為
【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的解析式中參數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.
10．實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值集合為__________.
【答案】
【分析】首先分析出冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，然后可解出不等式.
【詳解】，其定義域為，且在定義域上單調(diào)遞減，
因為，所以，解得
故答案為：
11．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集為______．
【答案】
【分析】由冪函數(shù)單調(diào)遞減得，結(jié)合圖像關(guān)于對稱即為偶函數(shù)，即可求得，利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式.
【詳解】由在上單調(diào)遞減得，，故，又，故或2，當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，圖像不關(guān)于直線對稱，故.
因為函數(shù)在為減函數(shù)，故由不等式得，
或或.
解得或，綜上：.
故答案為：
12．設(shè)函數(shù)，則使成立的的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】分析：首先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再判斷在單調(diào)遞減，得到在單調(diào)遞增，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為求解即可.
詳解：因為函數(shù)，所以時， ,可得在單調(diào)遞減，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，又因為，，，，，故答案為.
點睛：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題.將奇偶性與單調(diào)性綜合考查是，一直是命題的熱點，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性(偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性列不等式求解.
四、解答題
13．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，求這個冪函數(shù)的解析式.
【答案】.
【解析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，把點的坐標(biāo)代入求出參數(shù)即可.
【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)，因為圖像經(jīng)過點，所以，所以，所以.
【點睛】本題考查了已知冪函數(shù)圖像過點求解析式問題，屬于基礎(chǔ)題.
14．已知冪函數(shù)圖像不經(jīng)過第三象限；
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可知，再結(jié)合其圖像不經(jīng)過第三象限即可求出；
（2）由（2）可知，，定義域為，再換元，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．
(1)
根據(jù)題意得，，解得或，又因為的圖象 不經(jīng)過第三象限，所以．
(2)
由題意得，.令，，在單調(diào)遞增，所以的值域為.
15．已知函數(shù).
（1）若是實數(shù)集上的奇函數(shù)，求的值；
（2）用定義證明在實數(shù)集上的單調(diào)遞增；
（3）若的值域為，且[，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.
【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義，建立方程，即可求實數(shù)m的值；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；
（3）由可得，即，解之即可.
【詳解】（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）+f（﹣x）=m﹣+m﹣=0，
即2m﹣（ +）=0 2m﹣1=0，
解得m=.
（2）設(shè) x1＜x2且x1，x2∈R，
則f（x1）﹣f（x2）=m﹣﹣（m﹣）=，
∵x1＜x2∴，
，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增.
（3）由，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域為D，
且，∴D=（m﹣1，m），
∵
∴，∴m的取值范圍是．
【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了集合之間的包含關(guān)系，考查了推理能力，屬于中檔題．
16．已知冪函數(shù)滿足．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)，是否存在實數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(3)若函數(shù)，是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在使得的最小值為0
(3)存在，
【分析】（1）由題意可得，從而可求出，再由可知冪函數(shù)為增函數(shù)，從而可確定出函數(shù)解析式，
（2）由（1）可得，令，則，，然后分，和三種情況求函數(shù)的最小值，
（3），由題意可得，令，，則得，求得， ，從而可求出范圍
(1)
∵為冪函數(shù)，∴，∴或．
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
故不符合題意．
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
故，符合題意．∴．
(2)
，令．∵，∴，
∴，．
當(dāng)時，時，函數(shù)有最小值，∴，．
②當(dāng)時，時，函數(shù)有最小值．∴，（舍）．
③當(dāng)時，時，函數(shù)有最小值，
∴，（舍）．
∴綜上．
(3)
，易知在定義域上單調(diào)遞減，
∴，即，
令，，
則，，
∴，∴，
∴．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
∵，∴，∴，
∴ ．
∴．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查冪函數(shù)的解析式的求法，考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查函數(shù)值域的求法，考查數(shù)學(xué)分類思想，第（3）問解題的關(guān)鍵是由題意得，換元令，，進一步轉(zhuǎn)化為求解得，從而可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果，屬于較難題
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2.6 冪函數(shù)
思維導(dǎo)圖
知識點總結(jié)
知識點一　冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù) 叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
知識點二　五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．
2．五個冪函數(shù)的性質(zhì)
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定義域 R R R [0，＋∞)
值域 R R
奇偶性 奇
單調(diào)性 增 在[0，＋∞) ， 在(－∞，0] 上 在(0，＋∞)上 ， 在(－∞，0)上
知識點三　一般冪函數(shù)的圖象特征
1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點 ．
2．當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過 ，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象 ；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象 ．
3．當(dāng) 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．
4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．
5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．
典型例題分析
考向一 冪函數(shù)的概念
例1　(1)下列函數(shù)：
①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知是冪函數(shù)，求m，n的值．
反思感悟　判斷函數(shù)為冪函數(shù)的方法
(1)自變量x前的系數(shù)為1.
(2)底數(shù)為自變量x.
(3)指數(shù)為常數(shù)．
考向二 冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例2　(1)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點P，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．
反思感悟　(1)冪函數(shù)圖象的畫法
①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象．
②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．
(2)解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問題的方法
首先要考慮冪函數(shù)的概念，對于冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同．同時，注意分類討論思想的應(yīng)用．
考向三 比較冪值的大小
例3　比較下列各組數(shù)的大小．
(1)0.5與0.5；
(2)－1與－1；
(3)與.
反思感悟　此類題在構(gòu)建函數(shù)模型時要注意冪函數(shù)的特點：指數(shù)不變．比較大小的問題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應(yīng)用“搭橋”法進行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量．
考向四 冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
例4　已知冪函數(shù)y＝x3m－9 (m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足
的a的取值范圍．
通過具體事例抽象出冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，并應(yīng)用單調(diào)性求解，所以，本典例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)．
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(，且)的圖象所過定點的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．和
3．已知冪函數(shù)y＝ (m∈Z)的圖象與x軸和y軸沒有交點，且關(guān)于y軸對稱，則m等于（ ）
A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2
4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．下列比較大小中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
7．關(guān)于冪函數(shù)是常數(shù)），結(jié)論正確的是（ ）
A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過原點
B．冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點
C．冪函數(shù)圖象有可能關(guān)于軸對稱
D．冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限
8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（ ）
A．的圖象經(jīng)過點（2，4） B．的圖象關(guān)于原點對稱
C．在上單調(diào)遞減 D．在內(nèi)的值域為
三、填空題
9．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m＝______．
10．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時，.若，則__________.
11．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍為__________．
12．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則的值為_________．
四、解答題
13．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖象，并加以比較：
（1），；
（2），.
14．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).
（1）求的值；
（2）求函數(shù)在的值域.
15．已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．
16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中
求的值；
求使不等式成立的的取值范圍.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．冪函數(shù)f（x）的圖象過點，則f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）
2．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)：讓學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.“雙11”就要到了，電商的優(yōu)惠活動很多，某同學(xué)借助于已學(xué)數(shù)學(xué)知識對“雙11”相關(guān)優(yōu)惠活動進行研究.已知2019年“雙11”期間某商品原價為元，商家準(zhǔn)備在節(jié)前連續(xù)2次對該商品進行提價且每次提價，然后在“雙11”活動期間連續(xù)2次對該商品進行降價且每次降價.該同學(xué)得到結(jié)論：最后該商品的價格與原來價格元相比.
A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．無法確定
3．已知是冪函數(shù)，且、，都有，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
4．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的下列四個結(jié)論中正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于原點對稱 B．的值域為
C．在上單調(diào)遞減 D．
5．定義在R上的偶函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則方程＝的所有實數(shù)根的和為(　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列命題中，正確的有（ ）個
①對應(yīng)：是映射，也是函數(shù)；
②若函數(shù)的定義域是（1,2），則函數(shù)的定義域為；
③冪函數(shù)與圖像有且只有兩個交點；
④當(dāng)時，方程恒有兩個實根.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
7．已知函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點（，2），則（ ）
A．f（x）的圖象經(jīng)過點（2，4） B．f（x）的圖象關(guān)于原點對稱
C．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 D．f（x）在（0，+∞）內(nèi)的值域為（0，+∞）
8．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．存在實數(shù)，使的定義域為R
B．函數(shù)一定有最小值
C．對任意的負(fù)實數(shù)，的值域為
D．若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則
三、填空題
9．已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(4,2),則a=_______
10．實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值集合為__________.
11．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集為______．
12．設(shè)函數(shù)，則使成立的的取值范圍是___________.
四、解答題
13．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，求這個冪函數(shù)的解析式.
14．已知冪函數(shù)圖像不經(jīng)過第三象限；
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的值域.
15．已知函數(shù).
（1）若是實數(shù)集上的奇函數(shù)，求的值；
（2）用定義證明在實數(shù)集上的單調(diào)遞增；
（3）若的值域為，且[，求的取值范圍.
16．已知冪函數(shù)滿足．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)，是否存在實數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(3)若函數(shù)，是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．
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