資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.7 函數模型及其應用
思維導圖
知識點總結
知識點一　一次函數模型
形如 的函數為一次函數模型，其中 .
知識點二　二次函數模型
1．一般式： ．
2．頂點式： ．
3．兩點式： ．
知識點三　冪函數模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數，a≠0)．
2．單調性：其增長情況由xα中的α的取值而定．
知識點四　幾類已知函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
反比例函數模型 f(x)＝＋b(k，b為常數且k≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
指數型函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)
對數型函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)
冪函數型模型 f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)
知識點五　應用函數模型解決問題的基本過程
1．審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型；
2．建模——將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的數學模型；
3．求模——求解數學模型，得出數學模型；
4．還原——將數學結論還原為實際問題．
典型例題分析
考向一 一次函數模型的應用實例
例1　某報刊亭從報社買進報紙的價格是每份0.24元，賣出的價格是每份0.40元，賣不掉的報紙可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的報紙份數必須相同，試問報刊亭攤主應該每天從報社買進多少份報紙，才能使每月所獲利潤最大．
反思感悟　一次函數模型的特點和求解方法
(1)一次函數模型的突出特點是其圖象是一條直線．
(2)解一次函數模型時，注意待定系數法的應用，主要步驟是：設元、列式、求解．
考向二 二次函數模型的應用實例
例2　牧場中羊群的最大蓄養量為m只，為保證羊群的生長空間，實際蓄養量不能達到最大蓄養量，必須留出適當的空閑率．已知羊群的年增長量y只和實際蓄養量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數為k(k>0)．(空閑率指空閑量與最大蓄養量的比值)
(1)寫出y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；
(2)求羊群年增長量的最大值；
(3)當羊群的年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．
反思感悟　利用二次函數求最值的方法及注意點
(1)方法：根據實際問題建立函數模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數的單調性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．
(2)注意：取得最值的自變量與實際意義是否相符．
考向三 冪函數與分段函數模型
例3　(1)某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關系為y＝xα(α為常數)，其中x不超過5萬元，已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年廣告費用投入5萬元，預計今年藥品利潤為________萬元．
(2)手機上網每月使用量在500分鐘以下(包括500分鐘)、60分鐘以上(不包括60分鐘)按30元計費，超過500分鐘的部分按0.15元/分鐘計費，假如上網時間過短，使用量在1分鐘以下不計費，在1分鐘以上(包括1分鐘)按0.5元/分鐘計費，手機上網不收通話費和漫游費．
①12月份小王手機上網使用量20小時，要付多少錢？
②小舟10月份付了90元的手機上網費，那么他上網時間是多少？
③電腦上網費包月60元/月，根據時間長短，你會選擇哪種方式上網呢？
反思感悟　(1)處理冪函數模型的步驟
①閱讀理解、認真審題．
②用數學符號表示相關量，列出函數解析式．
③根據冪函數的性質推導運算，求得結果．
④轉化成具體問題，給出解答．
(2)應用分段函數時的三個注意點
①分段函數的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集．
③分段函數的值域求法為：逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論．
考向四 指數型函數模型
例4　目前某縣有100萬人，經過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)寫出y關于x的函數解析式；
(2)計算10年后該縣的人口總數(精確到0.1萬人)；
(3)計算大約多少年后該縣的人口總數將達到120萬(精確到1年)．
反思感悟　在實際問題中，有關人口增長、銀行復利、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖敌秃瘮的Ｐ捅硎?，通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎數，p為增長率，x為時間)的形式．
考向五 對數型函數模型
例5　我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發現，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數v＝5log2，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)計算，當燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？
(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？
反思感悟　有關對數型函數的應用題一般都會給出函數關系式，要求根據實際情況求出函數關系式中的參數，或給出具體情境，從中提煉出數據，代入關系式求值，然后根據值回答其實際意義．
考向六 建立擬合函數模型解決實際問題
例3　某紀念章從2019年1月6日起開始上市．通過市場調查，得到該紀念章每枚的市場價y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數據如下：
上市時間x天 4 10 36
市場價y元 90 51 90
(1)根據上表數據結合散點圖，從下列函數中選取一個恰當的函數描述該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系并說明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
(2)利用你選取的函數，求該紀念章市場價最低時的上市天數及最低的價格．
反思感悟　建立函數模型應遵循的三個原則
(1)簡化原則：建立函數模型，原型一定要簡化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．
(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結論．
(3)反映性原則：建立模型，應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．
基礎題型訓練
一、單選題
1．函數的零點是（ ）
A．2 B． C． D．
2．函數的一個零點為，則它的另一個零點是（ ）
A． B．1 C． D．2
3．函數在下列區間內一定有零點的是
A． B． C． D．
4．方程的實數解的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函數的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如果關于x的方程有實數根，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．用二分法找函數在區間上的零點近似值，取區間中點，則下一個存在零點的區間為（　　）．
A． B． C． D．
8．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內近似根的過程中，已經得到，則方程的根落在區間（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定
9．設是函數的零點，若，則的值滿足（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
10．據統計，第x年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數量y（只）近似滿足.觀測發現第1年有越冬白鶴3000只，估計第7年有越冬白鶴（ ）
A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只
11．某廠印刷某圖書總成本y（元）與圖書日印量x（本）的函數解析式為y=5x+3000，而圖書出廠價格為每本10元，則該廠為了不虧本，日印圖書至少為（　?。?br/>A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
12．某商場出售一種商品，每天可賣1 000件，每件可獲利4元．據經驗，若這種商品每件每降價0.1元，則比降價前每天可多賣出100件，為獲得最好的經濟效益，每件售價應降低的價格為(　　)
A．2元 B．2.5元
C．1元 D．1.5元
二、解答題
13．如圖，某中學準備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園，已知院墻長為25米，籬笆長50米（籬笆全部用完），設籬笆的一面的長為米．
(1)當的長為多少米時，矩形花園的面積為300平方米？
(2)若圍成的矩形的面積為 S 平方米，當 x 為何值時， S 有最大值，最大值是多少？
14．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°（無水狀態不考慮）.
(1)試將橫斷面中水的面積（）表示成水深（m）的函數；
(2)當水深為1.2m時，求橫斷面中水的面積.
15．某公司設計了某款新產品，為生產該產品需要引進新型設備.已知購買該新型設備需要3萬元，之后每生產x萬件產品，還需另外投入原料費及其他費用萬元，產量不同其費用也不同，且已知每件產品的售價為8元且生產的該產品可以全部賣出.
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式；
(2)該產品年產量為多少萬件時，公司所獲年利潤最大？其最大利潤為多少萬元？
16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會強勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產，已知生產此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產萬盒，需投入成本萬元，當產量小于或等于50萬盒時；當產量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業生產的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關于產量（萬盒）的函數關系式；
(2)當產量為多少萬盒時，該企業在生產中所獲利潤最大？
17．“活水圍網”養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網”養魚時，某種魚在一定的條件下，把每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）表示為養殖密度x（單位：尾/立方米）的函數.當時，v的值為2；當時，v是關于x的一次函數.當x＝20時，因缺氧等原因，v的值為0.
(1)當時，求函數的表達式；
(2)當x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值.
18．首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節能減排，綠色生態”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本 (元)與月處理量 (噸)之間的函數關系可近似的表示為 ，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？
19．為了加強“疫情防控”，某校決定在學校門口借助一側原有墻體，建造一間墻高為4米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應急室，由于此應急室的后背靠墻，無需建造費用，公司甲給出的報價為：應急室正面的報價為每平方米400元，左右兩側報價為每平方米300元，屋頂和地面報價共計9600元，設應急室的左右兩側的長度均為x米（），公司甲的整體報價為y元．
(1)試求y關于x的函數解析式；
(2)現有公司乙也要參與此應急室建造的競標，其給出的整體報價為元，若采用最低價中標規則，哪家公司能競標成功？請說明理由．
20．2016年4月16日00時25分日本九州發生7.3級地震．地震發生后，停水斷電，交通受阻．已知A地到B地的電話線路發生故障(假設線路只有一處發生故障)，這是一條10 km長的線路，每隔50 m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？
21．已知函數f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，證明a>0，并利用二分法證明方程f(x)＝0在區間[0,1]內有兩個實根．
22．已知函數在區間上有個零點.
（1）求實數a的取值范圍；
（2）若，用二分法求方程在區間上的根.
23．某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y（萬元）與年產量x（噸）之間的函數關系式可以近似表示為，已知此生產線年產量最大為210噸，若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
24．某廠推出品牌為“玉兔”的新產品，生產“玉兔”的固定成本為20000元，每生產一件“玉兔”需要增加投入100元，根據統計數據，總收益P（單位：元）與月產量x（單位：件）滿足（注：總收益=總成本+利潤）
（1）請將利潤y（單位：元）表示成關于月產量x（單位：件）的函數；
（2）當月產量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？
25．牧場中羊群的最大畜養量為m只，為保證羊群的生長空間，實際畜養量不能達到最大畜養量，必須留出適當的空閑量,已知羊群的年增長量y（只）和實際畜養量x（只）與空閑率的乘積成正比，比例系數為.
（1）寫出y關于x的函數解析式，并指出這個函數的定義域；
（2）求羊群年增長量的最大值.
26．國慶期間，某旅行社組團去風景區旅游，若旅行團人數在30人或30人以下，飛機票價格為900元；若旅行團人數多于30人，則給予優惠：每多1人，飛機票價格就減少10元，直到達到規定人數75人為止.旅行團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元.
(1)寫出飛機票的價格關于人數的函數；
(2)旅行團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？
27．下表表示的是某款車的車速與剎車距離的關系，試分別就，，三種函數關系建立數學模型，并探討最佳模擬，根據最佳模擬求車速為120km/h時的剎車距離．
車速/（km/h） 10 15 30 40 50
剎車距離/m 4 7 12 18 25
車速/（（km/h） 60 70 80 90 100
剎車距離/m 34 43 54 66 80
提升題型訓練
一、單選題
1．某廠日生產文具盒的總成本y（元）與日產量x（套）之間的關系為y＝6x＋30 000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒（ ）
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
2．函數的單調遞減區間是
A． B．
C． D．
3．某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷售中發現，這種商品每天的銷量（件）與每件的售價（元）滿足一次函數：．若要每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價應定為
A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好
4．從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度（單位：）與小球運動時間（單位：）之間的關系式為，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是
A． B． C． D．
5．隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量與大氣壓強成正比例函數關系．當時，，則與的函數關系式為
A． B．
C． D．
6．某地固定電話市話收費規定：前三分鐘元（不滿三分鐘按三分鐘計算），以后每加一分鐘增收元（不滿一分鐘按一分鐘計算），那么某人打市話用時550秒，應支付電話費
A．元 B．元 C．元 D．元
7．下面是一幅統計圖，根據此圖得到的以下說法中，正確的個數是（ ）
①這幾年生活水平逐年得到提高；
②生活費收入指數增長最快的一年是2014年；
③生活價格指數上漲速度最快的一年是2015年；
④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數也略有降低，因而生活水平有較大的改善．
A．1 B．2
C．3 D．4
8．若函數經過點，則函數的零點是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
9．當x越來越大時，下列函數中增長速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
10．在某種新型材料的研制中，試驗人員獲得了下列一組試驗數據.現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是（ ）
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A．y=2x B．y=log2x
C．y=(x2-1) D．y=2.61x
11．函數在下列區間內一定有零點的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函數，若函數恰有兩個零點，則實數m不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、填空題
13．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”．計費方法如表所示，若某戶居民某月交納水費60元，則該月用水量_______m3．
每戶每月用水量 水價
不超過12m3的部分 3元/m3
超過12m3但不超過18m3的部分 6元/m3
超過18m3的部分 9元/m3
14．若成立，則的取值范圍是___________．
15．圖中折線是某電信局規定打長途電話所需要付的電話費（元）與通話時間之間的函數關系的圖像，根據圖像判斷：通話，需付電話費______元；通話，需付電話費______元；如果，電話費（元）與通話時間之間的函數關系式是_______．
16．把長為12cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形最小的面積之和是________．
17．若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為_______．
18．函數在區間和內各有一個零點，則實數的取值范圍是___________.
19．函數零點的個數為___________.
20．已知函數f(x)＝有3個零點，則實數a的取值范圍是_________．
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2.7 函數模型及其應用
思維導圖
知識點總結
知識點一　一次函數模型
形如y＝kx＋b的函數為一次函數模型，其中k≠0.
知識點二　二次函數模型
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2．頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
3．兩點式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
知識點三　冪函數模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數，a≠0)．
2．單調性：其增長情況由xα中的α的取值而定．
知識點四　幾類已知函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
反比例函數模型 f(x)＝＋b(k，b為常數且k≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
指數型函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)
對數型函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)
冪函數型模型 f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)
知識點五　應用函數模型解決問題的基本過程
1．審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型；
2．建模——將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的數學模型；
3．求?！蠼鈹祵W模型，得出數學模型；
4．還原——將數學結論還原為實際問題．
典型例題分析
考向一 一次函數模型的應用實例
例1　某報刊亭從報社買進報紙的價格是每份0.24元，賣出的價格是每份0.40元，賣不掉的報紙可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的報紙份數必須相同，試問報刊亭攤主應該每天從報社買進多少份報紙，才能使每月所獲利潤最大．
解　設每天從報社買進x份(250≤x≤400)報紙；
每月所獲利潤是y元，則每月售出報紙共(20x＋10×250)份；
每月退回報社報紙共10×(x－250)份．
依題意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化簡得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因為此一次函數(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y是一個單調增函數，再由250≤x≤400知，
當x＝400時，y取得最大值，
此時y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以買進400份所獲利潤最大，獲利1 440元．
反思感悟　一次函數模型的特點和求解方法
(1)一次函數模型的突出特點是其圖象是一條直線．
(2)解一次函數模型時，注意待定系數法的應用，主要步驟是：設元、列式、求解．
考向二 二次函數模型的應用實例
例2　牧場中羊群的最大蓄養量為m只，為保證羊群的生長空間，實際蓄養量不能達到最大蓄養量，必須留出適當的空閑率．已知羊群的年增長量y只和實際蓄養量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數為k(k>0)．(空閑率指空閑量與最大蓄養量的比值)
(1)寫出y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；
(2)求羊群年增長量的最大值；
(3)當羊群的年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．
解　(1)根據題意，由于最大蓄養量為m只，實際蓄養量為x只，
則蓄養率為，故空閑率為1－，
由此可得y＝kx(0(2)對原二次函數配方，得y＝－(x2－mx)
＝－2＋.
即當x＝時，y取得最大值.
(3)由題意知為給羊群留有一定的生長空間，
則有實際蓄養量與年增長量的和小于最大蓄養量，
即0因為當x＝時，ymax＝，
所以0<＋解得－2又因為k>0，所以0反思感悟　利用二次函數求最值的方法及注意點
(1)方法：根據實際問題建立函數模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數的單調性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．
(2)注意：取得最值的自變量與實際意義是否相符．
考向三 冪函數與分段函數模型
例3　(1)某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關系為y＝xα(α為常數)，其中x不超過5萬元，已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年廣告費用投入5萬元，預計今年藥品利潤為________萬元．
答案　125
解析　由已知投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函數解析式為y＝x3，所以當x＝5時，y＝125.
(2)手機上網每月使用量在500分鐘以下(包括500分鐘)、60分鐘以上(不包括60分鐘)按30元計費，超過500分鐘的部分按0.15元/分鐘計費，假如上網時間過短，使用量在1分鐘以下不計費，在1分鐘以上(包括1分鐘)按0.5元/分鐘計費，手機上網不收通話費和漫游費．
①12月份小王手機上網使用量20小時，要付多少錢？
②小舟10月份付了90元的手機上網費，那么他上網時間是多少？
③電腦上網費包月60元/月，根據時間長短，你會選擇哪種方式上網呢？
解　設上網時間為x分鐘，由已知條件知所付費用y關于x的函數解析式為y＝
①當x＝20×60＝1 200，即x>500時，應付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
②90元已超過30元，所以上網時間超過500分鐘，由30＋0.15(x－500)＝90可得，上網時間為900分鐘．
③令60＝30＋0.15(x－500)，
解得x＝700.
故當一個月經常上網(一個月使用量超過700分鐘)時選擇電腦上網，而當短時間上網(一個月使用量不超過700分鐘)時選擇手機上網．
反思感悟　(1)處理冪函數模型的步驟
①閱讀理解、認真審題．
②用數學符號表示相關量，列出函數解析式．
③根據冪函數的性質推導運算，求得結果．
④轉化成具體問題，給出解答．
(2)應用分段函數時的三個注意點
①分段函數的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集．
③分段函數的值域求法為：逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論．
考向四 指數型函數模型
例4　目前某縣有100萬人，經過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)寫出y關于x的函數解析式；
(2)計算10年后該縣的人口總數(精確到0.1萬人)；
(3)計算大約多少年后該縣的人口總數將達到120萬(精確到1年)．
解　(1)當x＝1時，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
當x＝2時，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
當x＝3時，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；….
故y關于x的函數解析式為y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)當x＝10時，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后該縣約有112.7萬人．
(3)設x年后該縣的人口總數為120萬，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝log1.012≈16.
故大約16年后該縣的人口總數將達到120萬．
反思感悟　在實際問題中，有關人口增長、銀行復利、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖敌秃瘮的Ｐ捅硎?，通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎數，p為增長率，x為時間)的形式．
考向五 對數型函數模型
例5　我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發現，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數v＝5log2，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)計算，當燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？
(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？
解　(1)由題意知，當燕子靜止時，它的速度v＝0，代入題中公式，可得0＝5log2，解得O＝10個單位．
(2)將耗氧量O＝80代入題中公式，得v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
反思感悟　有關對數型函數的應用題一般都會給出函數關系式，要求根據實際情況求出函數關系式中的參數，或給出具體情境，從中提煉出數據，代入關系式求值，然后根據值回答其實際意義．
考向六 建立擬合函數模型解決實際問題
例3　某紀念章從2019年1月6日起開始上市．通過市場調查，得到該紀念章每枚的市場價y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數據如下：
上市時間x天 4 10 36
市場價y元 90 51 90
(1)根據上表數據結合散點圖，從下列函數中選取一個恰當的函數描述該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系并說明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
(2)利用你選取的函數，求該紀念章市場價最低時的上市天數及最低的價格．
解　(1)∵隨著時間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個函數中y＝ax＋b和y＝alogbx顯然都是單調函數，不滿足題意，
∴用函數y＝ax2＋bx＋c描述該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系．
(2)把點(4,90)，(10,51)，(36,90)分別代入y＝ax2＋bx＋c中，
得解得
∴y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26.
∴當x＝20時，y有最小值26.
故該紀念章市場價最低時的上市天數為20天，最低的價格為26元．
反思感悟　建立函數模型應遵循的三個原則
(1)簡化原則：建立函數模型，原型一定要簡化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．
(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結論．
(3)反映性原則：建立模型，應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．
基礎題型訓練
一、單選題
1．函數的零點是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】令，計算得到答案.
【詳解】令，得.所以函數的零點為.
故選：
【點睛】本題考查了函數的零點，屬于簡單題.
2．函數的一個零點為，則它的另一個零點是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】將零點轉化為方程的解，根據韋達定理計算，得到答案.
【詳解】設方程的兩根分別為，，由根與系數的關系得，所以方程的另一個根為1.
故選：
【點睛】本題考查了函數的零點，轉化為方程的解是解題的關鍵.
3．函數在下列區間內一定有零點的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用零點存在性定理檢驗即可得到答案.
【詳解】函數是單調遞增的函數，
且f(-1)=f(0)=1>0,
由零點存在性定理可知函數在區間（-1,0）上定存在零點，
故選A.
【點睛】本題考查零點存在性定理的簡單應用，屬于基礎題.
4．方程的實數解的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】將方程的解轉化為函數的交點個數，畫出函數圖像得到答案.
【詳解】的實數解的個數即函數的圖像和直線的交點個數.
數形結合求得的圖像和直的交點個數為1
故選：
【點睛】本題考查了方程的解的個數問題，轉化為函數的交點是解題的關鍵.
5．函數的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】得，畫出函數圖像，根據圖像得到答案.
【詳解】由得，
分別畫出函數與的圖象，如圖所示：
由圖可知兩個函數圖像的交點個數為2，即函數的零點個數為2
故選：B.
【點睛】本題考查了函數的零點個數問題，轉化為函數圖像的交點是解題的關鍵.
6．如果關于x的方程有實數根，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】變換得到，根據得到答案.
【詳解】方程可變形為，因為，所以.
故選：
【點睛】本題考查了方程解的問題，利用參數分離可以快速得到答案，是解題的關鍵.
7．用二分法找函數在區間上的零點近似值，取區間中點，則下一個存在零點的區間為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為； ；
又已知；所以；
所以零點在區間．
故選B
8．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內近似根的過程中，已經得到，則方程的根落在區間（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定
【答案】B
【分析】根據零點存在性定理即可確定零點所在區間.
【詳解】∵f（1）<0，f（1.5）>0，
∴在區間（1，1.5）內函數=3x+3x﹣8存在一個零點
又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，
∴在區間（1.25，1.5）內函數=3x+3x﹣8存在一個零點，
由此可得方程的根落在區間（1.25，1.5）內，
故選：B
9．設是函數的零點，若，則的值滿足（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】B
【解析】由題可判斷在上單調遞增,且,利用單調性即可得到與0的關系
【詳解】由題,在上單調遞增,在上單調遞減,則在上單調遞增,因為時零點,且,則
故選：B
【點睛】本題考查函數單調性的應用,考查零點的定義
10．據統計，第x年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數量y（只）近似滿足.觀測發現第1年有越冬白鶴3000只，估計第7年有越冬白鶴（ ）
A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只
【答案】C
【分析】將代入表達式得，再將代入計算即可.
【詳解】解：由題意，得，得，
所以當時，.
故選：C.
11．某廠印刷某圖書總成本y（元）與圖書日印量x（本）的函數解析式為y=5x+3000，而圖書出廠價格為每本10元，則該廠為了不虧本，日印圖書至少為（　?。?br/>A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【答案】C
【分析】該廠為了不虧本，日印圖書至少為x本，則利潤函數f（x）=10x-（5x+3000）≥0，由此能求出結果．
【詳解】該廠為了不虧本，日印圖書至少為x本，
則利潤函數f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600．
∴該廠為了不虧本，日印圖書至少為600本．
故選C．
【點睛】本題考查函數的實際應用問題，是基礎題．
12．某商場出售一種商品，每天可賣1 000件，每件可獲利4元．據經驗，若這種商品每件每降價0.1元，則比降價前每天可多賣出100件，為獲得最好的經濟效益，每件售價應降低的價格為(　　)
A．2元 B．2.5元
C．1元 D．1.5元
【答案】D
【分析】根據經濟效益為每件獲利×每天賣出商品件數，可構建函數關系式，利用配方法，即可求得所求每件單價．
【詳解】設每件降價0.1x元，則每件獲利（4-0.1x）元，每天賣出商品件數為（1000+100x）．
經濟效益：y=（4-0.1x）（1000+100x）=-10x2+300x+4 000=-10（x2-30x+225-225）+4000
=-10（x-15）2+6 250．
∴x=15時，ymax=6 250．
即每件單價降低1.5元，可獲得最好的經濟效益．
【點睛】本題利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是尋找等量關系，構建函數關系式，利用配方法解決二次函數最值問題．
二、解答題
13．如圖，某中學準備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園，已知院墻長為25米，籬笆長50米（籬笆全部用完），設籬笆的一面的長為米．
(1)當的長為多少米時，矩形花園的面積為300平方米？
(2)若圍成的矩形的面積為 S 平方米，當 x 為何值時， S 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15米；
(2)當 x 為12.5米時， S 有最大值，最大值是312.5平方米.
【分析】（1）設籬笆的一面的長為 x 米，則，根據“矩形花園的面積為300平方米”列一元二次方程，求解即可；
（2）根據題意，可得，根據二次函數最值的求法求解即可．
【詳解】（1）設籬笆的一面AB的長為 x 米，則，
由題意得，，
解得，
，
，
，
所以，的長為15米時，矩形花園的面積為300平方米；
（2）由題意得，
時， S 取得最大值，此時，，
所以，當 x 為12.5米時， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
14．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°（無水狀態不考慮）.
(1)試將橫斷面中水的面積（）表示成水深（m）的函數；
(2)當水深為1.2m時，求橫斷面中水的面積.
【答案】(1)
(2)3.84
【分析】（1）根據給定條件利用梯形的面積公式列式化簡即得.
（2）由（1）得出的函數的解析式，代入計算可得答案.
（1）
依題意，橫斷面中的水面是下底為2m，上底為m，高為h m的等腰梯形，
所以.
（2）
由（1）知，，，
所以當水深為1.2m時，橫斷面水中的面積為3.84.
15．某公司設計了某款新產品，為生產該產品需要引進新型設備.已知購買該新型設備需要3萬元，之后每生產x萬件產品，還需另外投入原料費及其他費用萬元，產量不同其費用也不同，且已知每件產品的售價為8元且生產的該產品可以全部賣出.
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式；
(2)該產品年產量為多少萬件時，公司所獲年利潤最大？其最大利潤為多少萬元？
【答案】(1)
(2)當該產品年產量為8萬件時，年利潤最大，最大利潤為29萬元
【分析】（1）根據題意，建立函數關系式；
（2）利用函數單調性求出最大值，即可得到答案.
【詳解】（1）當時，.
當時，.
故
（2）當時，，
所以當時，取得最大值，且最大值為29；
當時，，此時單調遞減，
所以當時，取得最大值，且最大值為27.
綜上，當該產品年產量為8萬件時，年利潤最大，最大利潤為29萬元.
16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會強勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產，已知生產此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產萬盒，需投入成本萬元，當產量小于或等于50萬盒時；當產量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業生產的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關于產量（萬盒）的函數關系式；
(2)當產量為多少萬盒時，該企業在生產中所獲利潤最大？
【答案】(1)
(2)70萬盒
【分析】（1）根據題意分和兩種情況求解即可；
（2）根據分段函數中一次與二次函數的最值求解即可.
【詳解】（1）當產量小于或等于50萬盒時，，
當產量大于50萬盒時，，
故銷售利潤（萬元）關于產量（萬盒）的函數關系式為
（2）當時，；
當時，，
當時，取到最大值，為1200．
因為，所以當產量為70萬盒時，該企業所獲利潤最大．
17．“活水圍網”養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網”養魚時，某種魚在一定的條件下，把每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）表示為養殖密度x（單位：尾/立方米）的函數.當時，v的值為2；當時，v是關于x的一次函數.當x＝20時，因缺氧等原因，v的值為0.
(1)當時，求函數的表達式；
(2)當x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值.
【答案】(1)
(2)x＝10，最大值為12.5千克/立方米
【分析】（1）根據題意得建立分段函數模型求解即可；
（2）分段求得函數的最值，比較可得答案.
【詳解】（1）依題意，當時，；
當時，是關于x的一次函數，假設，
則，解得，
所以.
（2）當時，；
當時，，
當時，取得最大值.
因為，所以當x＝10時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5.
18．首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節能減排，綠色生態”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本 (元)與月處理量 (噸)之間的函數關系可近似的表示為 ，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？
【答案】(1)400噸；
(2)不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.
【分析】（1）由題設平均每噸二氧化碳的處理成本為，應用基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.
（2）根據獲利，結合二次函數的性質判斷是否獲利，由其值域確定最少的補貼額度.
【詳解】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；
當且僅當 ，即 時等號成立，
故該當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.
（2）不獲利，設該單位每個月獲利為S元，則 ，
因為，則，
故該當單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.
19．為了加強“疫情防控”，某校決定在學校門口借助一側原有墻體，建造一間墻高為4米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應急室，由于此應急室的后背靠墻，無需建造費用，公司甲給出的報價為：應急室正面的報價為每平方米400元，左右兩側報價為每平方米300元，屋頂和地面報價共計9600元，設應急室的左右兩側的長度均為x米（），公司甲的整體報價為y元．
(1)試求y關于x的函數解析式；
(2)現有公司乙也要參與此應急室建造的競標，其給出的整體報價為元，若采用最低價中標規則，哪家公司能競標成功？請說明理由．
【答案】(1)；
(2)公司乙，理由見解析.
【分析】（1）根據給定條件，用x表示出應急室正面墻的長度，再列式作答.
（2）由（1）的結論，利用均值不等式、函數單調性分別求出甲公司報價最小值、乙公司報價最大最小值，再比較作答.
【詳解】（1）因應急室的左右兩側的長度均為x米，則應急室正面的長度為米，
于是得，，
所以y關于x的函數解析式是.
（2）由（1）知，對于公司甲，，當且僅當，即時取“=”，
則當左右兩側墻的長度為4米時，公司甲的最低報價為28800元，
對于乙，函數在上單調遞增，，即乙公司最高報價為22900元，
因，因此，無論x取何值，公司甲的報價都比公司乙的高，
所以公司乙能競標成功.
20．2016年4月16日00時25分日本九州發生7.3級地震．地震發生后，停水斷電，交通受阻．已知A地到B地的電話線路發生故障(假設線路只有一處發生故障)，這是一條10 km長的線路，每隔50 m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？
【答案】答案見解析.
【解析】先畫出線路圖,從中點開始排查,可排除一半,利用二分法的思想,再找這一半的中點,以此類推,即可快速排查故障所在
【詳解】可以參照二分法求函數零點近似值的方法，以減少工作量并節省時間．
如圖，可首先從中點C開始檢查，若AC段正常，則故障在BC段；
再到BC段中點D檢查，若CD段正常，則故障在BD段；
再到BD段中點E檢查，
如此這般，每檢查一次就可以將待查的線路長度縮短半，經過7次查找，即可將故障范圍縮小50～100 m之間，即可迅速找到故障所在．
【點睛】本題考查二分法在實際中的應用，屬于基礎題.
21．已知函數f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，證明a>0，并利用二分法證明方程f(x)＝0在區間[0,1]內有兩個實根．
【答案】見解析
【詳解】試題分析：根據函數解析式代入f（0）＞0、f（1）＞0，得c＞0且3a+2b+c＞0，結合a+b+c=0化簡即可得到a＞0；利用a+b+c=0化簡得f()＝-,結合a>0，可得f()<0，由f()與f(0)，f(1)都異號，利用零點存在性定理得f(x)＝0在區間和上各有一個零點，由此可得f(x)＝0在區間[0,1]內有兩個實根.
試題解析：
∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
則－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，則a>0.
在區間[0,1]內選取二等分點，
則f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴函數f(x)在區間和上各有一個零點．
又f(x)最多有兩個零點，從而f(x)＝0在[0,1]內有兩個實根．
22．已知函數在區間上有個零點.
（1）求實數a的取值范圍；
（2）若，用二分法求方程在區間上的根.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）分別討論與的情況,利用零點存在性定理求解即可；
（2）當時,,由可得函數的零點在區間上,進而求得,即可求得方程的根
【詳解】（1）若,則,與題意不符,∴,
若,則由題意可知,,則在上是單調函數,故,
解得,
故的取值范圍為
（2）若,
則,
,,,
∴函數的零點在區間上,又,
∴方程在區間上的根為
【點睛】考查已知零點所在區間求參數范圍,考查利用二分法求方程的根,考查運算能力
23．某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y（萬元）與年產量x（噸）之間的函數關系式可以近似表示為，已知此生產線年產量最大為210噸，若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】年產量為210噸時，可獲得最大利潤，最大利潤是1660萬元.
【分析】利用收入減去總成本表示出年利潤，通過配方求出二次函數的對稱軸，因開口向下，對稱軸處取得最大值.
【詳解】解:設可獲得的總利潤為萬元，則
∵在上是增函數，
∴當時，.
∴年產量為210噸時，可獲得最大利潤，最大利潤是1660萬元.
【點睛】本題考查二次函數的最值，可配方求最值，注意自變量的取值范圍.
24．某廠推出品牌為“玉兔”的新產品，生產“玉兔”的固定成本為20000元，每生產一件“玉兔”需要增加投入100元，根據統計數據，總收益P（單位：元）與月產量x（單位：件）滿足（注：總收益=總成本+利潤）
（1）請將利潤y（單位：元）表示成關于月產量x（單位：件）的函數；
（2）當月產量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）；（2）月產量為300件時，最大利潤為25000元
【解析】（1）由題意可知總成本是，根據利潤=總收益-總成本，列分段函數；
（2）由（1）的分段函數，分別求每段函數的最大值，比較最大值就是最大利潤.
【詳解】（1）依題意，總成本是元，
所以，即
（2）由（1）知，當時，，
所以當時，；當時，.
故當月產量為300件時，利潤最大，最大利潤為25000元.
綜上可知當月產量為300件時，利潤最大，最大利潤為25000元.
【點睛】本題考查分段函數的應用問題，意在考查抽象和概括能力，屬于基礎題型.
25．牧場中羊群的最大畜養量為m只，為保證羊群的生長空間，實際畜養量不能達到最大畜養量，必須留出適當的空閑量,已知羊群的年增長量y（只）和實際畜養量x（只）與空閑率的乘積成正比，比例系數為.
（1）寫出y關于x的函數解析式，并指出這個函數的定義域；
（2）求羊群年增長量的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值
【解析】（1）由題意可知空閑率是，由題意列式；
（2）由（1）可知，求二次函數的最大值.
【詳解】（1）根據題意，最大備養量為m只實際畜養量為x只，則畜養率為，故空閑率為，
由此可得.
（2）由（1）得.
所以當時，y取得最大值.故羊群年增長量的最大值為
【點睛】本題考查函數的實際應用，意在考查分析問題，抽象和概括的能力，屬于基礎題型.
26．國慶期間，某旅行社組團去風景區旅游，若旅行團人數在30人或30人以下，飛機票價格為900元；若旅行團人數多于30人，則給予優惠：每多1人，飛機票價格就減少10元，直到達到規定人數75人為止.旅行團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元.
(1)寫出飛機票的價格關于人數的函數；
(2)旅行團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？
【答案】(1)
(2)當旅行團人數為60人時，旅行社獲得最大利潤21000元.
【分析】（1）根據題意直接可得；
（2）根據分段函數分別求各段的最值，然后可得.
【詳解】（1）記旅行團人數為x，飛機票價格為y，
則由題意可知，，
即
（2）記旅行社所獲利潤為M，
則
當時，（元），
當時，，
故當時，（元）
綜上，當旅行團人數為60人時，旅行社獲得最大利潤21000元.
27．下表表示的是某款車的車速與剎車距離的關系，試分別就，，三種函數關系建立數學模型，并探討最佳模擬，根據最佳模擬求車速為120km/h時的剎車距離．
車速/（km/h） 10 15 30 40 50
剎車距離/m 4 7 12 18 25
車速/（（km/h） 60 70 80 90 100
剎車距離/m 34 43 54 66 80
【答案】以為模擬函數，當車速為120km/h時，停車距離為114m．
【分析】先求出，，解析式，再分別計算車速為90km/h，100km/h時的停車距離，確定函數模型，即可求得結論．
【詳解】解：若以為模擬函數，將，代入函數關系式，得，解得，，以此函數關系式計算車速為90km/h，100km/h時，停車距離分別為220.8m，364.5m，與實際數據相比，誤差較大．
若以為模擬函數，將，代入函數關系式，得，解得，，以此函數關系式計算車速為90km/h，100km/h時，停車距離分別為43.39m，48.65m，與實際情況誤差也較大．
若以為模擬函數，將，，代入函數關系式，得，解得，，
以此函數關系式計算車速為90km/h，100km/h時，停車距離分別為68m，82m，與前兩個函數相比，此函數更符合實際情況．
當時，，即當車速為120km/h時，停車距離為114m．
【點睛】本題考查函數模型的選擇，考查學生的計算能力，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．
提升題型訓練
一、單選題
1．某廠日生產文具盒的總成本y（元）與日產量x（套）之間的關系為y＝6x＋30 000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒（ ）
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
【答案】D
【解析】列出利潤的表達式再求解的解即可.
【詳解】因利潤z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生產文具盒5 000套.
故選：D
【點睛】本題主要考查了實際應用中的利潤問題,屬于基礎題.
2．函數的單調遞減區間是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出函數的定義域，根據復合函數的單調性寫出單調區間即可．
【詳解】由，得或，
定義域為，
的單調遞減區間為．
故選A
【點睛】本題考查函數的單調區間，函數的單調區間是函數定義域的子集，所以求解函數的單調區間時，必須先求出函數的定義域．
3．某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷售中發現，這種商品每天的銷量（件）與每件的售價（元）滿足一次函數：．若要每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價應定為
A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好
【答案】B
【分析】先建立二次函數，再利用配方法求出取得最大值時的銷售定價．
【詳解】設每天的銷售利潤為元，則，，將上式配方后得，當時，取得最大值.故每件商品的售價定為42元時，每天才能獲得最大的銷售利潤.
【點睛】本題考查二次函數在實際生活中的應用，解答本題的關鍵是根據等量關系：“每天的銷售利潤=（銷售價—進價）每天的銷售量”列出函數關系式，另外要熟練掌握二次函數求最值方法，屬于基礎題．
4．從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度（單位：）與小球運動時間（單位：）之間的關系式為，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據函數關系式，令，解出，即可得到答案．
【詳解】由于小球的高度（單位：）與小球運動時間（單位：）之間的關系式為所以令，得（舍）或.
故小球從拋出至回落到地面所需要的時間是
故答案選A
【點睛】本題考查運動函數方程，是二次函數的實際應用，屬于基礎題．
5．隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量與大氣壓強成正比例函數關系．當時，，則與的函數關系式為
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設，將代人解析式中，計算出值，即可得到答案．
【詳解】由題意設，將代人解析式可得，故，考慮到含氧量不可能為負，可知.
【點睛】本題考查正比例函數的解析式 ，屬于基礎題．
6．某地固定電話市話收費規定：前三分鐘元（不滿三分鐘按三分鐘計算），以后每加一分鐘增收元（不滿一分鐘按一分鐘計算），那么某人打市話用時550秒，應支付電話費
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】設所用時間為分鐘，應支付電話費為元，根據題意求出當時，與的函數關系式，代值計算即可得答案．
【詳解】設所用時間為分鐘，應支付電話費為元，
則（是不小于的最小整數，），令，故，則.
故答案選B
【點睛】本題考查實際問題中求函數的解析式以及函數值，屬于基礎題．
7．下面是一幅統計圖，根據此圖得到的以下說法中，正確的個數是（ ）
①這幾年生活水平逐年得到提高；
②生活費收入指數增長最快的一年是2014年；
③生活價格指數上漲速度最快的一年是2015年；
④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數也略有降低，因而生活水平有較大的改善．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】認真觀察圖形就可以判斷.
【詳解】由圖知，“生活費收入指數”減去“生活價格指數”的差是逐年增大的，故①正確；
“生活費收入指數”在2014～2015年最陡；故②正確；
“生活價格指數”在2015～2016年最平緩，故③不正確；
“生活價格指數”略呈下降，而“生活費收入指數”呈上升趨勢，故④正確．
故選：C.
8．若函數經過點，則函數的零點是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
【答案】C
【分析】轉化條件為，解方程即可得解.
【詳解】函數經過點，，∴，
∴，
令，則
所以函數的零點是0和．
故選：C.
9．當x越來越大時，下列函數中增長速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據函數的特點即可判斷出增長速度.
【詳解】因為指數函數是幾何級數增長，當x越來越大時，增長速度最快.
故選：B．
10．在某種新型材料的研制中，試驗人員獲得了下列一組試驗數據.現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是（ ）
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A．y=2x B．y=log2x
C．y=(x2-1) D．y=2.61x
【答案】B
【分析】結合表中數據，根據函數的性質判斷.
【詳解】對于A，函數是指數函數，增長速度很快，且在時，時，代入值偏差較大，不符合要求；
對于B，函數，是對數函數，增長速度緩慢，且在時，時，基本符合要求；
對于C，函數是二次函數，且當時，時，代入值偏差較大，不符合要求；
對于D，函數，當時，不符合要求，
故選：B.
11．函數在下列區間內一定有零點的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直接利用零點存在定理判斷.
【詳解】因為函數連續，
且，
所以在區間內一定有零點，
故選：C
12．已知函數，若函數恰有兩個零點，則實數m不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】依題意畫出函數圖象，函數的零點，轉化為函數與函數的交點，數形結合即可求出參數的取值范圍；
【詳解】解：因為，畫出函數圖象如下所示，
函數的有兩個零點，即方程有兩個實數根，即，即函數與函數有兩個交點，由函數圖象可得或，
故選：D
【點睛】函數零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
二、填空題
13．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”．計費方法如表所示，若某戶居民某月交納水費60元，則該月用水量_______m3．
每戶每月用水量 水價
不超過12m3的部分 3元/m3
超過12m3但不超過18m3的部分 6元/m3
超過18m3的部分 9元/m3
【答案】16
【解析】由表格列出分段函數，再將水費代入求解對應用水量即可
【詳解】設用數量為，交納水費為，由題可知，當時，解得，
故答案為：16
【點睛】本題考查實際問題中函數模型的應用，屬于基礎題
14．若成立，則的取值范圍是___________．
【答案】
【詳解】如圖所示，分別畫出函數與的圖象，由于兩函數的圖象都過點（1，1），
由圖象可知不等式的解集為.
15．圖中折線是某電信局規定打長途電話所需要付的電話費（元）與通話時間之間的函數關系的圖像，根據圖像判斷：通話，需付電話費______元；通話，需付電話費______元；如果，電話費（元）與通話時間之間的函數關系式是_______．
【答案】 6
【分析】（1）根據圖像可知通話3分鐘以內收費為3.6元，（2）根據時的函數值解答，（3）設與的關系式為，利用待定系數法求出一次函數解析式．
【詳解】由題圖知，通話3分鐘以內收費為3.6元，所以通話，需付電話費元，
根據圖像可知，分鐘，元，所以通話，需付電話費6元.
當時，設與的關系式為設，
由于圖像過點，，則有
解得.
故答案為3.6，6，
【點睛】本題考查一次函數的應用，主要利用待定系數法求一次函數的解析式，準確識圖確定函數圖像經過的點的坐標，并理解射線的意義是解題的關鍵．
16．把長為12cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形最小的面積之和是________．
【答案】2 cm2．
【詳解】試題分析：設一個三角形的邊長為x cm，則另一個三角形的邊長為（4﹣x）cm，則可得到這兩個正三角形面積之和，利用二次函數的性質求出其最小值．
解：設一個三角形的邊長為x cm，則另一個三角形的邊長為（4﹣x）cm，兩個三角形的面積和為
S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．
令S′=x﹣2=0，則x=2，所以Smin=2．
故答案為2 cm2．
點評：本題考查等邊三角形的面積的求法，二次函數的性質及最小值的求法．
17．若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為_______．
【答案】或
【分析】根據函數兩個不同的零點，由方程有兩個不同的實數根求解.
【詳解】因為函數有兩個不同的零點，
所以方程有兩個不同的實數根.
所以，
解得或.
故答案為：或.
18．函數在區間和內各有一個零點，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】由二次函數的特點和零點存在定理可構造不等式組求得結果.
【詳解】為開口方向向上，對稱軸為的二次函數，
，即，解得：，即實數的取值范圍為.
故答案為：.
19．函數零點的個數為___________.
【答案】2
【解析】根據函數的解析式，令，結合一元二次方程和對數的運算性質，即可求解.
【詳解】當時，令，即，解得或（舍去）；
當時，令，即，解得，
所以函數有兩個零點.
故答案為：2.
20．已知函數f(x)＝有3個零點，則實數a的取值范圍是_________．
【答案】（，1）
【解析】通過函數圖像可以判斷出a＞0且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2個零點，從而解出答案.
【詳解】∵函數f(x)＝有3個零點，
當a=0時，函數只有1個零點，當a<0時,函數最多只有1個零點，
∴a＞0且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2個零點，
∴，
解得＜a＜1.
故答案為：（，1）．
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