資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.1 導數(shù)的定義 、導數(shù)的運算
思維導圖
知識點總結(jié)
1．導數(shù)的概念
(1)平均變化率：我們把比值，即＝叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
(2)瞬時變化率：如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即
2．導數(shù)的幾何意義
曲線f(x)的割線P0P，其中P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))，則割線P0P的斜率是k＝，記Δx＝x－x0，當點P沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P0時，即當Δx→0時，k無限趨近于函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)．因此，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0＝
3．導函數(shù)的概念
當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)．這樣，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù)).y＝f(x)的導函數(shù)有時也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝
4．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
原函數(shù) 導函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝α·xα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝loga x(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
5．導數(shù)的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
6．復合函數(shù)的導數(shù)
(1)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．
(2)一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
7．常用結(jié)論
(1)奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)．
(2)熟記以下結(jié)論：①′＝－；②′＝－(f(x)≠0)；③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).
典型例題分析
考向一 導數(shù)的運算
例1　f(x)＝x(2021＋ln x)，若f′(x0)＝2022，則x0等于(　　)
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
答案　B
解析　f′(x)＝2021＋ln x＋x·＝2022＋ln x，故由f′(x0)＝2022，得2022＋ln x0＝2022，則ln x0＝0，解得x0＝1.
知識點總結(jié)
常見形式及具體求導的六種方法
連乘形式 先展開化為多項式形式，再求導
三角形式 先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導
分式形式 先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導
根式形式 先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導
對數(shù)形式 先化為和、差形式，再求導
復合函數(shù) 先確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元
考向二 導數(shù)與函數(shù)的圖象
例2　已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象大致形狀為(　　)
答案　A
解析　由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，速度先由快到慢，再由慢到快，由導數(shù)的幾何意義可知，f′(x)先減后增，且恒大于等于0，故符合題意的只有A.故選A.
知識點總結(jié)
導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，已知切點A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點處的導數(shù)值k＝f′(x0).函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應點附近的變化情況.
考向三 求切線方程
例3　在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(－e，－1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是 ．
答案　(e，1)
解析　設(shè)A(m，n)，則曲線y＝ln x在點A處的切線方程為y－n＝(x－m).
又切線過點(－e，－1)，所以有－1－n＝(－e－m).再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故點A的坐標為(e，1).
知識點總結(jié)
與切線有關(guān)的問題的處理策略
(1)已知切點A(x0，y0)求斜率k，即求該點處的導數(shù)值k＝f′(x0).
(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)若已知曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線方程，則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解．
①當點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).
②當點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步：
第一步：設(shè)出切點坐標P′(x1，f(x1))；
第二步：寫出曲線在點P′(x1，f(x1))處的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；
第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得過點P(x0，y0)的切線方程.
考向四　由導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的取值范圍
例4　已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)圖象上任意一點處的切線的斜率都小于1，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
答案　(－，)
解析　因為f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，所以f′(x)＝－3x2＋2ax.由題意得－3x2＋2ax＜1恒成立，即3x2－2ax＋1＞0恒成立，則Δ＝4a2－12＜0，解得－＜a＜.
知識點總結(jié)
1．由導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值或取值范圍的解題思路
一般是利用切點P(x0，y0)求出切線方程再轉(zhuǎn)化研究．
2．兩曲線存在公切線求參數(shù)的取值范圍問題的解題思路
由兩切線為同一直線得到兩個方程，然后消去x1和x2中的一個，轉(zhuǎn)化為方程在特定區(qū)間上有解的問題，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為相應函數(shù)的值域問題，其中要關(guān)注自變量的取值范圍．
基礎(chǔ)題型訓練
一、單選題
1．曲線在點處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求導，得到曲線在點處的斜率，寫出切線方程.
【詳解】因為，
所以曲線在點處斜率為4，
所以曲線在點處的切線方程是，
即，
故選：B
2．十八世紀早期，英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
（其中）
現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項中與該值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用已知公式，將公式兩邊分別求導，結(jié)合誘導公式，即可得到，求解即可.
【詳解】因為（其中），且，
所以對兩邊分別求導可得：
.
令x=1可得：.
又，則.
故選：B
3．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則函數(shù)在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用先求出的值，設(shè)，根據(jù)已知條件求出，再利用奇函數(shù)，求出在上的解析式，同時可求出導函數(shù)；求出切點坐標，再求出該點處的導數(shù)即為切線的斜率，利用點斜式表示出直線方程即可．
【詳解】解：由題意得，，解得，
當，時，，
設(shè)，則，，
是定義在上的奇函數(shù)，
，此時，
，
，
把代入得， ，則切點為，
所求的切線方程為：，化簡得，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，奇函數(shù)性質(zhì)的利用，以及函數(shù)解析式，求函數(shù)在某范圍內(nèi)的解析式，一般先將自變量設(shè)在該范圍內(nèi)，再想法轉(zhuǎn)化到已知范圍上去，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
4．已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，則實數(shù)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求導得=，由列式得a的方程求解即可
【詳解】由題=,解得a=4
故選D
【點睛】本題考查切線方程，求導運算，直線平行，是基礎(chǔ)題
5．已知某質(zhì)點做變速直線運動，位移S（m）與時間t（s）的關(guān)系為，則t＝1時．該質(zhì)點瞬時速度的大小為（ ）
A．1m/s B．m/s C．m/s D．2m/s
【答案】C
【分析】利用導數(shù)的運算法則求解.
【詳解】解：由題意得，
所以t＝1時，該質(zhì)點的瞬時速度為m/s．
故選：C．
6．已知函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若在上恒成立，則實數(shù)n的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依題意可得，因為的圖象關(guān)于直線對稱，求得的值，再根據(jù)在上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的最值即可得出答案.
【詳解】解：依題意可得，
因為的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，解得，故，
因為在，上恒成立，即，
所以在，上恒成立，
令，則函數(shù)在，上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在，上的最大值為，
所以，故實數(shù)的取值范圍為．
故選：C．
二、多選題
7．已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．對任意，均存在零點 B．當時，有兩條與軸平行的切線
C．存在，有唯一零點 D．當時，存在唯一極小值點，且
【答案】BCD
【分析】對于A，C，由已知得，，令，利用導數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，即可對A，C選項進行判斷；
對于B，，即可得到，由函數(shù)的圖像可知方程有兩個根，進而可以判斷B選項；
對于D，當時，，由圖像可知此方程的根的情況，進而可以判斷D選項.
【詳解】對于A，令，則，
令， ，
令，得 ，
當時，，遞減，當時，，遞增，所以當時，取到極小值，即當時，取到極小值，又 ，即 ，又因為在上，遞減，故，當時，取到極大值，即當時，取到極大值，又 ，即 ，故，當時，，所以當即，時，在上無零點，故A錯誤；
而當，即時， 與 的圖像只有一個交點，即存在在上有唯一零點，故C正確，
對于B， ，即，由函數(shù)的圖像可知方程有兩個根：，，，即斜率為0的切線共有兩條，其切點均不在x軸上，故切線均與x軸平行，故B正確；
對于D，當時，，由圖像可知此方程有唯一實根，因為，所以，，，，可知，故D正確．
故選：BCD
8．某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則（ ）
A．物體在時的瞬時速度為0m/s B．物體在時的瞬時速度為1m/s
C．瞬時速度為9m/s的時刻是在時 D．物體從0到1的平均速度為2m/s
【答案】BCD
【分析】由平均速度與瞬時速度的定義求解即可
【詳解】對于A：，
即物體在時的瞬時速度為3m/s，A錯誤．
對于B：，
即物體在時的瞬時速度為1m/s，B正確．
對于C：設(shè)物體在時刻的瞬時速度為9m/s，
又，
所以，物體在時的瞬時速度為9m/s，C正確．
對于D：，D正確．
故選：BCD
三、填空題
9．已知函數(shù)在點處的切線過點，則的最小值為__________.
【答案】12
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在點處的切線方程，可推出，將化為，結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】由函數(shù)可得，
則，
故函數(shù)在點處的切線方程為，即，
則由題意可得，
故，
當且僅當，即取等號，
即的最小值為12，
故答案為：12
10．曲線在點處的切線方程為______．
【答案】
【分析】求出導函數(shù)，進而得到斜率，根據(jù)點斜式寫出切線方程.
【詳解】，，則當時，，所以切線方程為：，整理得：
故答案為：
11．函數(shù)在上可導，且．寫出滿足上述條件的一個函數(shù)：______．
【答案】，（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意，由導數(shù)的計算公式分析，可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上可導，且．
可以考查指數(shù)函數(shù)，如，其導數(shù)，
滿足．
故答案為：，（答案不唯一）．
12．設(shè)，則______．
【答案】2
【分析】求出導函數(shù)，代入e值即可.
【詳解】∵，∴
∴
故答案為：2
四、解答題
13．已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；
(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得曲線在處的切線方程，進而求得該三角形的面積；
（2）先分離參數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得新函數(shù)最小值，進而求得實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，則，
則，又，
則曲線在處的切線方程為，
令解得令解得，
此切線與x軸交點坐標為，與y軸交點坐標為，
則該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為；
（2）由在上恒成立，
可得在上恒成立，
令，則
令，則在恒成立，
則在單調(diào)遞增，
又，，
則存在，使得
則當時，，，單調(diào)遞減；
當時，，，單調(diào)遞增，
則時取得最小值
令，，則在恒成立，
則在單調(diào)遞增，
由，，可得
則，即，則
則
則實數(shù)a的取值范圍為
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
14．設(shè)函數(shù)，.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，當時，證明.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）由導數(shù)的幾何意義求切點處的斜率，即可寫出切線方程.
（2）由題意，令，利用導數(shù)研究的單調(diào)性，只要，結(jié)論即得證.
【詳解】（1）當時，函數(shù)，則，
∴，又，則所求的切線方程為，
∴整理：.
（2）證明：當時，.
設(shè)，其定義域為，則證明即可.
∵，有，.
又，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
∴有唯一的實根，且.
當時，；當時，，故函數(shù)的最小值為.
∴.
故得證.
【點睛】思路點睛：
1、構(gòu)造函數(shù)：.
2、問題轉(zhuǎn)化：即在定義域內(nèi)恒成立即可.
3、討論單調(diào)性：根據(jù)與0的大小關(guān)系確定區(qū)間單調(diào)性.
4、求最值：由函數(shù)單調(diào)性確定最值，并確認是否成立即可.
15．求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)；
(2)（，且）；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化簡函數(shù)解析式再去求導即可解決；
（2）依據(jù)導數(shù)運算法則去求導即可解解決；
（3）依據(jù)導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則去求導即可解解決；
（4）依據(jù)導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則去求導即可解決.
(1)
，
則
(2)
(3)
(4)
16．已知曲線y＝x3－2x，求過點(1，－1)的該曲線的切線方程．
【答案】x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
【分析】設(shè)切點坐標為(x0，y0)，切線斜率為k＝3x－2，當x0＝1時，斜率為1，解得切線方程．當x0≠1時，過(1，－1)點的切線的斜率為＝x＋x0－1＝3x－2，解得x0＝－，斜率為－．
【詳解】設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為f′(x0)＝3x－2，故切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，
又知切線過點(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－，故所求的切線方程為y＋1＝x－1或y－＝－ (x＋)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
【點睛】利用導數(shù)求在某點(x0，y0)切線方程利用即可.
提升題型訓練
一、單選題
1．（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】由導數(shù)公式求解即可.
【詳解】.
故選：C.
2．設(shè)函數(shù)，則等于
A．0 B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：求導得：，
所以
故選B
3．若存在過點的直線與曲線和都相切，則的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】設(shè)切點坐標為，利用導數(shù)求出曲線在點處的切線方程，將點的坐標代入切線方程，求出的方程，可得出切線方程，再將切線方程與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立，由可求得實數(shù)的值.
【詳解】對于函數(shù)，，則曲線在點的切線斜率為，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由于直線過點，可得，解得或.
當時，切線為軸，對于函數(shù)，則，解得；
當時，切線方程為，聯(lián)立，整理得，
，由題意可得，解得.
綜上所述，或.
故選：A.
【點睛】本題考查過點與曲線相切的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.
4．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由函數(shù)奇偶性，求出，得到，進而得到，對其求導，計算曲線在點處的切線斜率，從而可求出切線方程.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，故；
所以，
因此,
所以，
因此曲線在點處的切線斜率為，
所以曲線在點處的切線方程為.
故選C
【點睛】本題主要考查求曲線在某點處的切線方程，熟記導數(shù)的幾何意義即可，屬于常考題型.
5．設(shè)，若，則
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】,解得,
故選B.
6．已知函數(shù)的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】先將函數(shù)解析式化簡為，結(jié)合題意可求得切點及其范圍，根據(jù)導數(shù)幾何意義，即可求得的值.
【詳解】函數(shù)
即
直線與函數(shù)圖象恰有四個公共點，結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于，，
因為，
故，
所以.
故選：A.
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應用，由交點及導數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.
二、多選題
7．已知實數(shù)，，，滿足，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BCD
【分析】由，變形構(gòu)造函數(shù)，由，變形構(gòu)造函數(shù)，然后由表示圖像上一點與圖像上一點的距離導數(shù)的平方，求得切點，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解.
【詳解】由，得，令，
∴，
由，得，令，
則表示圖像上一點與圖像上一點的距離的平方，
設(shè)圖像上與直線平行的切線的切點為，
由，
得，
∴切點為，
∴切點到直線的距離的平方為，
∴與的距離的平方的取值范圍為.
故選：BCD.
8．已知，在處取得最大值，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.
【詳解】因為
由題可知，所以，
所以，，即B正確.
令，因為，所以是增函數(shù)，
且，又，所以 ，
即，即C正確.
故選：BC.
三、填空題
9．某物體的運動路程s(單位：)與時間t(單位：)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t3-2表示，則此物體在t0時的瞬時速度為27，則t0=________.
【答案】3
【分析】利用導數(shù)由瞬時速度的定義直接求解即可
【詳解】解：由，得，
由題意得，解得.
因為，故.
故答案為：3
10．有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度為_______.
【答案】0.875##(m/s)
【分析】建立梯子上端下滑距離的函數(shù)，利用導數(shù)求得速度.
【詳解】設(shè)下滑時間為，則下滑距離函數(shù).
當下端離開墻角時，用的時間為.
因為，
所以（）.
故答案為：0.875(m/s)
11．已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點坐標為______．
【答案】
【分析】利用導數(shù)求得函數(shù)的切線方程，由題意，建立方程組，可得答案.
【詳解】設(shè)直線與曲線和分別相切于，兩點，
分別求導，得，，
故，整理可得．
同理得，整理可得．
因為直線為兩曲線的公切線，
所以，解得，
所以直線的方程為，令，則．
則直線與軸的交點坐標為．
故答案為：.
12．已知，直線與曲線相切，則______.
【答案】
【分析】結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，先考慮時的情況，設(shè)出切點，利用導數(shù)得出結(jié)論。
【詳解】當時，，，設(shè)直線與曲線相切于點，
則得，化簡得，解得，.
又是定義在上的偶函數(shù)，所以.
故答案為：
四、解答題
13．求出下列函數(shù)的導數(shù)．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）
【分析】（1）根據(jù)乘法的求導運算法則，以及基礎(chǔ)函數(shù)的導數(shù)，可得結(jié)果.
（2）根據(jù)復合函數(shù)的求導法則：由外而內(nèi)，以及函數(shù)的導數(shù)，可得結(jié)果.
（3）先計算式子得：，根據(jù)加法求導法則與函數(shù)的導數(shù)，可得結(jié)果.
（4）根據(jù)除法求導法則以及函數(shù)的導數(shù)，可得結(jié)果.
（5）根據(jù)復合函數(shù)的求導法則：由內(nèi)而外，以及乘法的求導法則，可得結(jié)果.
【詳解】（1）由，
則，
即
（2）由，則
（3）由，則，
（4）由，則，
（5）由，則．
【點睛】本題考查導數(shù)的四則運算，熟記公式以及基礎(chǔ)函數(shù)的導函數(shù)，對于復合函數(shù)求導注意內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)，求導口訣是：由內(nèi)而外，屬基礎(chǔ)題.
14．試求過點P(1，－3)且與曲線y＝x2相切的直線的斜率以及切線方程．
【答案】當斜率為時切線方程為；斜率為時切線方程為.
【分析】設(shè)切點為，求出函數(shù)在處的導數(shù)，從而得到相應的切線方程，代入后可得關(guān)于的方程，解出后可得所求的斜率及相應的切線方程.
【詳解】設(shè)切點為，則.
因為，所以
故切線方程為：，
故，整理得到：，
解得或，
當時，斜率為且切線方程為：即；
當時，斜率為且切線方程為：即；
15．已知函數(shù)（自然對數(shù)的底數(shù)）在點處的切線方程為.
(1)求、的值；
(2)試判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)？說明你的理由.
【答案】(1)，
(2)有兩個零點，理由見解析
【分析】（1） 由切點符合切線方程，以及切線的斜率等于函數(shù)在切點處的導數(shù)值，列方程組，解出、的值；
（2）由（1）得出函數(shù)的解析式，將在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)，轉(zhuǎn)為在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)，對求導，判斷出單調(diào)性和極值，得出零點個數(shù)．
【詳解】（1）的定義域為.
，，，
∵在點處的切線方程為，切線的斜率為.
，解得，.
（2）由（1）知，.
∴（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
在區(qū)間內(nèi)有兩個零點.理由如下：
∵總成立，∴在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)等價于在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)，
∵，.
又∵，由，得.
當時，得，得，即，在上單調(diào)遞減.
當時，得，得，即，在上單調(diào)遞增.
∴在處取得極小值，也是最小值.
.
綜上所述，在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)各有唯一零點，即在區(qū)間內(nèi)有兩個零點.
∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點.
16．已知拋物線C:, 過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線．
（1）若拋物線C在點M的法線的斜率為，求點M的坐標；
（2）設(shè)P為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P．若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由．
【答案】（1）；（2）當時，在上有三點，及，在該點的法線通過點，法線方程分別為，，，當時，在上有一點，在該點的法線通過點，法線方程為．
【詳解】試題分析：（1）求導可得點處切線的斜率法線斜率為=點的坐標為；（2）設(shè)為上一點，由上點處的切線斜率,法線方程為法線過點；若的法線方程為：．再討論和，即可求得：當時，有三點和三條法線；當時，有一點和一條法線．
試題解析：（1）函數(shù)的導數(shù)，點處切線的斜率
過點的法線斜率為=，解得，．故點的坐標為．
（2）設(shè)為上一點，
若，則上點處的切線斜率,過點的法線方程為， 法線過點;
若，則過點的法線方程為：．
若法線過點，則，即．
若，則，從而，
代入得，．
若，與矛盾，若，則無解．
綜上，當時，在上有三點，及，在該點的法線通過點，法線方程分別為，，．
當時，在上有一點，在該點的法線通過點，法線方程為．
考點：1.導數(shù)；2.切線；3.法線；4.直線方程.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
3.1 導數(shù)的定義 、導數(shù)的運算
思維導圖
知識點總結(jié)
1．導數(shù)的概念
(1)平均變化率：我們把比值，即＝ 叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
(2)瞬時變化率：如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個 的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即
2．導數(shù)的幾何意義
曲線f(x)的割線P0P，其中P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))，則割線P0P的斜率是k＝，記Δx＝x－x0，當點P沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P0時，即當Δx→0時，k無限趨近于函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)．因此，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0＝
3．導函數(shù)的概念
當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)．這樣，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù)).y＝f(x)的導函數(shù)有時也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝
4．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
原函數(shù) 導函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝
f(x)＝sin x f′(x)＝
f(x)＝cos x f′(x)＝
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ex f′(x)＝
f(x)＝loga x(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
5．導數(shù)的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝ ；
(2)[f(x)g(x)]′＝ ；
(3)′＝ (g(x)≠0)．
6．復合函數(shù)的導數(shù)
(1)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作 ．
(2)一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為 ，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
7．常用結(jié)論
(1)奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)．
(2)熟記以下結(jié)論：①′＝－；②′＝－(f(x)≠0)；③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).
典型例題分析
考向一 導數(shù)的運算
例1　f(x)＝x(2021＋ln x)，若f′(x0)＝2022，則x0等于(　　)
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
知識點總結(jié)
常見形式及具體求導的六種方法
連乘形式 先展開化為多項式形式，再求導
三角形式 先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導
分式形式 先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導
根式形式 先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導
對數(shù)形式 先化為和、差形式，再求導
復合函數(shù) 先確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元
考向二 導數(shù)與函數(shù)的圖象
例2　已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象大致形狀為(　　)
知識點總結(jié)
導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，已知切點A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點處的導數(shù)值k＝f′(x0).函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應點附近的變化情況.
考向三 求切線方程
例3　在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(－e，－1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是 ．
知識點總結(jié)
與切線有關(guān)的問題的處理策略
(1)已知切點A(x0，y0)求斜率k，即求該點處的導數(shù)值k＝f′(x0).
(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)若已知曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線方程，則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解．
①當點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).
②當點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步：
第一步：設(shè)出切點坐標P′(x1，f(x1))；
第二步：寫出曲線在點P′(x1，f(x1))處的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；
第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得過點P(x0，y0)的切線方程.
考向四　由導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的取值范圍
例4　已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)圖象上任意一點處的切線的斜率都小于1，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
知識點總結(jié)
1．由導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值或取值范圍的解題思路
一般是利用切點P(x0，y0)求出切線方程再轉(zhuǎn)化研究．
2．兩曲線存在公切線求參數(shù)的取值范圍問題的解題思路
由兩切線為同一直線得到兩個方程，然后消去x1和x2中的一個，轉(zhuǎn)化為方程在特定區(qū)間上有解的問題，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為相應函數(shù)的值域問題，其中要關(guān)注自變量的取值范圍．
基礎(chǔ)題型訓練
一、單選題
1．曲線在點處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
2．十八世紀早期，英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
（其中）
現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項中與該值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則函數(shù)在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，則實數(shù)
A． B． C． D．
5．已知某質(zhì)點做變速直線運動，位移S（m）與時間t（s）的關(guān)系為，則t＝1時．該質(zhì)點瞬時速度的大小為（ ）
A．1m/s B．m/s C．m/s D．2m/s
6．已知函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若在上恒成立，則實數(shù)n的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．對任意，均存在零點 B．當時，有兩條與軸平行的切線
C．存在，有唯一零點 D．當時，存在唯一極小值點，且
8．某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則（ ）
A．物體在時的瞬時速度為0m/s B．物體在時的瞬時速度為1m/s
C．瞬時速度為9m/s的時刻是在時 D．物體從0到1的平均速度為2m/s
三、填空題
9．已知函數(shù)在點處的切線過點，則的最小值為__________.
10．曲線在點處的切線方程為______．
11．函數(shù)在上可導，且．寫出滿足上述條件的一個函數(shù)：______．
12．設(shè)，則______．
四、解答題
13．已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；
(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
14．設(shè)函數(shù)，.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，當時，證明.
15．求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)；
(2)（，且）；
(3)；
(4)
16．已知曲線y＝x3－2x，求過點(1，－1)的該曲線的切線方程．
提升題型訓練
一、單選題
1．（ ）
A． B． C．0 D．
2．設(shè)函數(shù)，則等于
A．0 B． C． D．
3．若存在過點的直線與曲線和都相切，則的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為
A． B． C． D．
5．設(shè)，若，則
A． B． C． D．
6．已知函數(shù)的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）
A． B．0 C．1 D．
二、多選題
7．已知實數(shù)，，，滿足，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知，在處取得最大值，則（ ）．
A． B． C． D．
三、填空題
9．某物體的運動路程s(單位：)與時間t(單位：)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t3-2表示，則此物體在t0時的瞬時速度為27，則t0=________.
10．有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度為_______.
11．已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點坐標為______．
12．已知，直線與曲線相切，則______.
四、解答題
13．求出下列函數(shù)的導數(shù)．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
14．試求過點P(1，－3)且與曲線y＝x2相切的直線的斜率以及切線方程．
15．已知函數(shù)（自然對數(shù)的底數(shù)）在點處的切線方程為.
(1)求、的值；
(2)試判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù)？說明你的理由.
16．已知拋物線C:, 過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線．
（1）若拋物線C在點M的法線的斜率為，求點M的坐標；
（2）設(shè)P為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P．若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑