資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.2 導數在函數單調性、極值中的應用
思維導圖
知識點總結
利用導數解決單調性問題
本考點以考查導數的運算以及導函數值與函數單調性之間的關系為主，其中含有參數的函數的單調性問題是高考的熱點．
1．函數f(x)的單調性與導函數f′(x)的正負之間的關系
(1)在某個區間(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞增；
(2)在某個區間(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞減．
2．用充分必要條件詮釋導數與函數單調性的關系
(1)在區間(a，b)內，f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在區間(a，b)上單調遞增(減)的充分不必要條件．
(2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區間(a，b)內恒成立是f(x)在區間(a，b)上單調遞增(減)的必要不充分條件．
(3)若f′(x)在區間(a，b)的任意子區間上都不恒等于零，則f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在區間(a，b)上單調遞增(減)的充要條件．
利用導數解決極值與最值問題
1．函數的極值與導數
2．函數的最值與導數
(1)函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件
如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟
①求函數y＝f(x)在區間(a，b)上的極值；
②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
典型例題分析
考向一 求函數的單調區間(不含參數)
例1　函數f(x)＝(x－3)ex的單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
答案　D
解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.所以單調遞增區間為(2，＋∞).
確定函數單調區間的步驟
(1)確定函數f(x)的定義域．
(2)求f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．
考向二 　討論含參函數的單調性
例2　已知函數f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求函數f(x)的單調區間．
解　由已知得f′(x)＝a＋＝(x>0)，
①當a≥0時，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，函數f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞).
②當a<0時，令f′(x)＝0，得x＝－.在區間上，f′(x)>0；在區間上，f′(x)<0.函數f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
1．(1)研究含參數的函數單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論．
(2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為0的點和函數的間斷點．
2．個別導數為0的點不影響所在區間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數．
考向三 　　函數單調性的簡單應用
例3　(多選)定義在上的函數f(x)，已知f′(x)是它的導函數，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，則(　　)
A．f＞f B．f＞f
C．f＞f D．f＞f
答案　CD
解析　構造函數g(x)＝.則g′(x)＝＜0，即函數g(x)在上單調遞減，所以g＞g，所以f＞f，同理，g＞g，即f＞f.故選CD.
以抽象函數為背景、題設條件或所求結論中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式，旨在考查導數運算法則的逆向、變形應用能力的客觀題，是近幾年高考試卷中的一位“常客”，常以壓軸題小題的形式出現，解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結構特征與導數運算法則結合起來，合理構造出相關的可導函數，然后利用該函數的性質解決問題．
考向四 利用導數解決函數的極值問題
例4　如圖所示是函數y＝f(x)的導數y＝f′(x)的圖象，給出下列四個結論：
①f(x)在區間(－3，1)上是增函數；
②f(x)在區間(2，4)上是減函數，在區間(－1，2)上是增函數；
③1是f(x)的極大值點；
④－1是f(x)的極小值點．
其中正確的結論是(　　)
A．①③ B．②③
C．②③④ D．②④
答案　D
解析　由題意，得－3＜x＜－1或2＜x＜4時，f′(x)＜0；－1＜x＜2或x＞4時，f′(x)＞0，故函數y＝f(x)在(－3，－1)和(2，4)上單調遞減，在(－1，2)和(4，＋∞)上單調遞增，－1是f(x)的極小值點，2是f(x)的極大值點，故②④正確．
函數極值問題的常見類型及解題策略
(1)已知導函數圖象判斷函數極值的情況．先找導數為0的點，再判斷導數為0的點的左、右兩側的導數值符號．
(2)已知函數求極值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根的兩側的符號→得出結論．
(3)已知極值求參數．若函數f(x)在點(x0，y0)處取得極值，則f′(x0)＝0，且f(x)在該點左、右兩側的導數值符號相反．
考向五 　　利用導數求函數的最值
例5　 已知函數f(x)＝ex cos x－x.
(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
(2)求函數f(x)在區間上的最大值和最小值．
解　(1)∵f(x)＝ex cos x－x，
∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
∴f′(0)＝0，∴曲線y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝－2ex sin x≤0在上恒成立，且僅在x＝0處等號成立，
∴g(x)在上單調遞減，
∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且僅在x＝0處等號成立，∴f(x)在上單調遞減，
∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－.
求函數f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函數在區間[a，b]上單調遞增或遞減，則f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值；
(2)若函數在區間[a，b]內有極值，則要先求出函數在[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函數f(x)在區間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)值點，此結論在導數的實際應用中經常用到．
提醒：求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值．
考向六 　　利用導數求解函數極值和最值的綜合問題
例6　甲、乙兩地相距400千米，一汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時．已知該汽車每小時的運輸成本t(元)關于速度x(千米/時)的函數關系式是t＝x4－x3＋15x.
(1)當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為多少元？
(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大速度行駛？并求出此時運輸成本的最小值．
解　(1)當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為×＝1500元．所以當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為1500元．
(2)設全程運輸成本為f(x)元，則f(x)＝·＝x3－x2＋6000(0當00，所以函數f(x)在(0，80)上單調遞減，在(80，100]上單調遞增，所以f(x)的最小值為f(80)＝.所以為使全程運輸成本最少，汽車應以80千米/時的速度行駛，此時運輸成本取得最小值元．
1．解決函數極值、最值綜合問題的策略
(1)求極值、最值時，要求步驟規范，含參數時，要討論參數的大小．
(2)求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過比較才能下結論．
(3)函數在給定閉區間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值．
2．利用導數解決生活中優化問題的一般步驟
(1)設自變量、因變量，建立函數關系式y＝f(x)，并確定其定義域．
(2)求函數的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比較函數在區間端點和極值點的函數值的大小，最大(小)者為最大(小)值．
(4)回歸實際問題作答．
基礎題型訓練
一、單選題
1．定義在上的連續可導函數，當時，滿足，則函數的零點的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】構造，求導，根據題意可得的單調性，的零點個數轉化為與的交點個數，畫出簡圖即可求解.
【詳解】解：由可得，即，
所以.
令，則在上單調遞增.
令，則.
所以的零點個數為方程的根的個數，即與的交點個數.
作出簡圖(如圖所示)，
由圖可知與的圖象沒有交點.
所以函數的零點的個數為0.
故選:A.
2．若函數在區間上有極值點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據極值點的概念，轉化為導函數有零點求參數范圍問題
【詳解】由已知得，若函數在上有極值點，則在上有解，即，解得.
故選：D
3．若函數f(x)＝x3＋ax2＋x既有極大值又有極小值，則a的取值范圍是（ ）
A．(－∞，－) B．(－∞，－)∪ (，＋∞)
C．(－，) D．(，＋∞)
【答案】B
【分析】求出導函數，根據函數f(x)＝x3＋ax2＋x既有極大值又有極小值，則函數有兩不同的零點，即，從而可得答案.
【詳解】解：，
因為函數f(x)＝x3＋ax2＋x既有極大值又有極小值，
所以函數有兩不同的零點，
即，解得或，
所以a的取值范圍是(－∞，－)∪ (，＋∞).
故選：B.
4．我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難人微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.在數學的學習和研究中，常用函數的圖像研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征.如函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法求解，先判斷函數的奇偶性，再判斷函數的單調性即可
【詳解】解：函數的定義域為，
因為，
所以函數為偶函數，其圖像關于軸對稱，所以排除BC，
當時，，則，
當時，，當時，，
所以在遞增，在上遞減，
所以排除D，
故選：A
5．已知函數的定義城為，對任意的，有，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】構造函數，求導分析單調性即可比較大小．
【詳解】令，有，
可得函數在上單調遞增，有，
得，又有，
有，有．
故選：A
6．已知是定義在R上的函數，是的導函數，滿足：，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構造函數，利用導數求得的單調性，由此求得不等式的解集.
【詳解】令，則，
所以在R上單調遞增，不等式可化為，
而，則，即，
所以，即不等式解集為.
故選：D
二、多選題
7．已知定義在上的函數，其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（ ）
A．
B．函數在上遞增，在上遞減
C．函數的極值點為，
D．函數的極大值為
【答案】ABD
【解析】對A，B由導數與函數單調性的關系，即可判斷，， 的大小以及的單調性，對C，D由極值的定義即可判斷.
【詳解】解：由題圖知可，當時，，
當時，，當時，，
所以在上遞增，
在上遞減，在上遞增，
對A，，故A錯誤；
對B，函數)在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯誤；
對C，函數的極值點為，，故C正確；
對D，函數的極大值為，故D錯誤.
故選：ABD.
8．已知奇函數，，且，當時，，當時，，下列說法正確的是（ ）
A．是周期為的函數
B．是最小正周期為的函數
C．關于中心對稱
D．直線與若有3個交點，則
【答案】AC
【分析】根據奇函數，，且，可確定函數的周期，即可判斷A；設確定函數的奇偶性與對稱性即可判斷函數B，C；根據可判斷函數在上的單調性，結合對稱性與周期性即可得函數的大致圖象，根據直線與若有3個交點，列不等式即可求的取值范圍，即可判斷D.
【詳解】解：因為，所以的圖象關于對稱，又因為為奇函數，所以，則，
則，故是周期為的函數，故A正確；
設，其定義域為，則，所以關于中心對稱，即關于中心對稱，故C正確；
又，所以為上的奇函數，結合可得，即
故是周期為的函數，故B錯誤；
當，所以，故在上單調遞增，由于關于中心對稱，所以在上單調遞增，
且當時，，又函數的周期為，則可得大致圖象如下：
若直線與若有3個交點，則或，解得或，故，故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
9．若函數在上的最小值為，則實數的值為________．
【答案】.
【詳解】試題分析：，（1）當時，函數在上為增函數，最小值為，則，矛盾舍去；（2）當時，，則，此時為增函數；，則，此時函數為減函數．當，即時，則函數在為增函數，所以的最小值為，則，矛盾舍去；當，即時，則函數在為減函數，在為增函數，則的最小值為，解得：，滿足條件；當，即時，則函數在為減函數，則的最小值為，解得：，矛盾舍去．綜上，．
考點：1．導數在函數中的應用；2．分類討論的思想與方法．
【易錯點晴】本題主要考查的是導數在函數中的應用，屬于中檔題．若求函數的最小值，必然找函數的增減性，屬于需要求函數的導數．因為導數中含有參數，則對進行分類討論．另外在求解過程中，需要注意求出的值是否滿足前提，否則很容易出現錯誤．
10．，若在上存在單調遞增區間，則的取值范圍是_______
【答案】
【分析】分析可知，，使得，求出函數在上的值域，可得出實數的取值范圍.
【詳解】因為，則，
有已知條件可得：，使得，即，
當，所以.
故答案為：.
11．已知函數的定義域為，其部分自變量與函數值的對應情況如表：
x 0 2 4 5
3 1 2.5 1 3
的導函數的圖象如圖所示．給出下列四個結論：
①在區間上單調遞增；
②有2個極大值點；
③的值域為；
④如果時，的最小值是1，那么t的最大值為4．
其中，所有正確結論的序號是______．
【答案】③④
【分析】畫出函數圖象，數形結合作出判斷.
【詳解】根據函數的導函數的圖象與表格，整理出函數的大致圖象，如圖所示．
對于①，在區間上單調遞減，故①錯誤；
對于②，有1個極大值點，2個極小值點，故②錯誤；
對于③，根據函數的極值和端點值可知，的值域為，故③正確；
對于④，如果時，的最小值是1，那么t的最大值為4，故④正確．
綜上所述，所有正確結論的序號是③④．
故答案為：③④
12．已知曲線：，點是曲線上的一點，則點到坐標原點的距離的最小值是______．
【答案】3
【分析】設點，得出，從而得出點到坐標原點的距離，結合導數求出最小值即可.
【詳解】設點，則有，
所以，
點到坐標原點的距離，
設，，
則，
在上，，在上，，
所以在時有最小值，
所以的最小值為.
故答案為：3
四、解答題
13．已知函數．
(1)若單調遞減，求的取值范圍；
(2)若有兩個極值點且，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題知在恒成立，進而，求解最大值即可得答案；
（2）由題知且，進而將所證明問題轉化為證明，再根據，，得，再令，則，進一步轉化為證明不等式，再構造函數，，求最值即可證明.
【詳解】（1）解：由題知函數的定義域為，，
因為單調遞減，
所以在恒成立，即在恒成立，
所以，在恒成立，
令，則，
所以，當時，單調遞增；當時，單調遞減；
所以，當時，取得極大值，也是最大值.
所以，解得，即的取值范圍為.
（2）解：由（1）知，
因為有兩個極值點，
所以，有兩個變號零點，
所以，結合（1）知，，
另一方面，當時，與的圖象至多只有一個交點，
所以，且，
要證，只需證，
由得，則，
所以，
，
令，則，
所以，要證，只需證
令，，則，
令，，則
所以，在上單調遞增，
所以，在成立，即在上單調遞減，
所以，即
所以，成立，
所以，成立，原不等式成立.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于結合已知條件，將問題轉化為證明，進而利用導數證明不等式即可.
14．已知，設函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）若恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．
【分析】（1）求出函數導數，討論的范圍確定導數正負可得出單調性；
（2）根據可將不等式等價為，構造函數，求出導數，當時，易得；當時，得出函數單調性，可轉化為恒成立，構造函數，利用導數可出.
【詳解】解：（1），且，
①，，單調遞增：
②，，單調遞減：
③，，
時，，單調遞減；
時，，單調遞增．
（2），
即，，即，
令，則，
在單調遞增，，即，即，
，則原不等式等價為，
即，
令，
則，
令，可得，
當時，，則在單調遞減，
則只需滿足，，解得，；
當時，可得在單調遞增，在單調遞減，
則，整理可得，
令，則，
則可得在單調遞增，在單調遞減，
則，故時，恒成立，
綜上，.
【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數解決不等式的恒成立問題，解題的關鍵是構造合適的函數，將不等式等價轉化為利用導數求函數的最值問題.
15．已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)設是兩個不相等的正數，且，證明：.
【答案】(1)在上單調遞減；在上單調遞增.
(2)證明見解析
【分析】（1）先求函數的定義域，對函數求導，令導數為0，解出，然后在定義域范圍內分析即可.
（2）利用分析法證明，變形要證明的式子，結合構造新函數利用函數的導數進行證明.
【詳解】（1）的定義域為，
，
令，得：，
當變化時的關系如下表：
0 1
無意義 0
無意義
在上單調遞減；在上單調遞增.
（2）證明：要證，
只需證：
根據，只需證：
不妨設，由得：；
兩邊取指數，，化簡得：
令：，則，
根據（1）得在上單調遞減；
在上單調遞增（如下圖所示），
由于在上單調遞減，在上單調遞增，
要使且，
則必有，即
由得：.
要證，只需證：，
由于在上單調遞增，要證：，
只需證：，
又，只需證：，
只需證：，
只需證：，
只需證：，
只需證：，
即證，
令，
只需證：，
，
令，
在上單調遞減，
所以，
所以
所以在上單調遞減，所以
所以
所以：.
【點睛】函數與導數綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現，
難度相當大，主要考向有以下幾點：
1、求函數的單調區間（含參數）或判斷函數（含參數）的單調性；
2、求函數在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數；
3、求函數的極值（最值）；
4、求函數的零點（零點個數），或知道零點個數求參數的取值范圍；
5、證明不等式；
解決方法：對函數進行求導，結合函數導數與函數的單調性等性質解決，
在證明不等式或求參數取值范圍時，通常會對函數進行參變分離，構造新函數，
對新函數求導再結合導數與單調性等解決.
16．求函數的極小值．
【答案】
【分析】利用導數判斷原函數的單調性，并結合極值的定義運算求值.
【詳解】∵，
當時，，當時，，
則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
∴當時，函數取到極小值.
提升題型訓練
一、單選題
1．若函數的導函數圖象如圖所示，則該函數圖象大致是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接根據導函數的圖像判斷原函數的單調性即可.
【詳解】由導函數圖像可知，原函數的單調性為先單增后單減再單增，符合的只有A選項.
故選：A
2．函數的極小值為（ ）
A．0 B． C． D．不存在
【答案】A
【分析】求出函數導數，根據導數判斷出函數的單調性，即可求出極小值.
【詳解】，，
令，解得或；令，解得，
在單調遞增，在單調遞減，
在處取得極小值為0.
故選：A.
3．若，，則“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據結構，構造函數，利用導數判斷出單調性，直接利用充要條件的定義進行判斷.
【詳解】構造函數，則，
令，則，
故為減函數，且
故
故在上單調遞減.
故由可得，即，
反之故由可得，根據減函數可得.
故“”是“”成立的充要條件.
故選：C
4．在半徑為R的球內放置一圓柱體，使圓柱體的兩底面圓周上所有的點都在球面上，當圓柱體的體積最大時，其高為（ ）
A．R B．R C．R D．R
【答案】A
【分析】由題意畫出圖形，利用勾股定理可得，得出圓柱的體積公式，換元后求導，利用導數求出體積的最大值時對應的高即可.
【詳解】設圓柱底面圓半徑為，高為，如圖，
則，
故，
則，
圓柱體積為，
設，則
所以，
故
當時，，當 時，，當 時， ，
所以當時，圓柱體積取得最大值，此時
故選：A
5．如圖所示是的圖象，則正確的判斷個數是（　　）
①在上是減函數；②是極大值點；
③是極值點；④）在上先減后增．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據導函數圖象的正負性得到原函數的增減性，再依次判斷即可
【詳解】解：對于①，由圖可得當時，，所以在遞增，故錯誤；
對于②，由圖可得當時，，單調遞增；時，，單調遞減，所以是函數的極大值點，故正確；
對于③，當時，，單調遞增；當時，，單調遞增，所以不是函數的極值點，故錯誤；
對于④，在區間內導數先為負數后為正數，所以函數先遞減后遞增，故正確，
故選：C
6．函數的大致圖象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用導數分析函數的單調性與極值，進而可得出函數的圖象.
【詳解】解：因為，所以，
令，則，
令，解得，且時，，時，，
所以時，單調遞減，時，單調遞增，且，，，
所以在上存在，使得，又，令，則有2個實數根，
所以當或時，，當時，，
所以函數在和上是增函數，在上是減函數，且，，結合選項得出A選項符合函數的大致圖象.
故選：A.
【點睛】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性與極值是解決本題的關鍵．難度中等．
二、多選題
7．已知e是自然對數的底數，則下列不等關系中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】構造函數，需借助導函數判斷函數的單調性，利用函數單調性進行求解．
【詳解】令，則．
當時，，，單調遞減；
當時，，，單調遞增；
當時，取最大值，．
的值域為，
，即，當且僅當時，等號成立．
則有，故A選項錯；，故B選項對；，故C選項錯；
令，，
當時，，單調遞減；
由，則有，即 ，
由，可得，故D選項對．
故選：AC．
8．已知函數，則下列說法正確的有（ ）
A．函數為偶函數 B．函數的最小值為
C．函數的最大值為 D．函數在上有兩個極值點
【答案】AC
【分析】根據奇偶性直接判斷A；結合求解最值判斷BC；利用導數，結合三角函數性質求解極值點個數判斷D.
【詳解】解：對于A選項，函數定義域為，，所以函數為偶函數，故正確；
對于B選項，，
所以，當時，函數有最小值，故錯誤；
對于C選項，由于，故當時，函數有最大值，故正確；
對于D選項，當，，令得或，
令在上的兩個實數根為，則，
所以，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
當當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
所以，在處取得極大值，在和處取得極小值，
所以，函數在上有三個極值點，故錯誤.
故選：AC
三、填空題
9．函數在處有極值，則常數a＝______．
【答案】1
【分析】根據極值定義可得，求導并將代入計算即可求得
【詳解】由可得，
又在處有極值，所以可得，
即，所以.經檢驗滿足題意，
故答案為：1
10．曲線在點處的切線方程為___________．
【答案】.
【分析】本題根據導數的幾何意義，通過求導數，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程
【詳解】詳解：
所以，
所以，曲線在點處的切線方程為，即．
【點睛】準確求導數是進一步計算的基礎，本題易因為導數的運算法則掌握不熟，二導致計算錯誤．求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．
11．已知是定義在上的偶函數，其導函數，若，，，則不等式的解集為________.
【答案】
【分析】由是偶函數且，可得是以3為周期的函數，則，將化為，構造函數，根據已知條件可判斷出此函數在上單調遞增，從而可求得結果.
【詳解】由是偶函數且，
得，
即函數是以3為周期的函數，
則，
將化為，
令，則，
由得恒成立，
即在上單調遞增，
所以由，得，
即不等式的解集為，
故答案為：.
12．設為正實數，若則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】根據，可得，進而，有，而，令，得到，再用導數法求解，
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，，
所以，
當時，，當時，
所以當時，取得最大值，
又，
所以取值范圍是，
故答案為：
【點睛】本題主要考查基本不等式的應用和導數法求最值，還考查了運算求解的能力，屬于難題，
四、解答題
13．求函數的單調遞減區間．
【答案】.
【分析】由題可知，函數的定義域為，根據導數的運算法則進行求導得出，令，求出范圍，最后利用導數研究函數的單調性即可得出結果.
【詳解】解：，可知函數的定義域為，
，
令，即，解得：，
所以函數的單調遞減區間為.
14．求下列函數的單調區間：
（1）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
（2）f(x)＝sin x－x(0【答案】（1）增區間是(－∞，－3)，(2，＋∞)；減區間是(－3，2) ；（2）單調遞減區間為(0，π) ．
【分析】求出導函數，由得增區間，由得減區間．
【詳解】解:（1）＝6x2＋6x－36．
由>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由<0解得 －3故f(x)的增區間是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
減區間是(－3，2)．
（2）＝cos x－1．
因為0故函數f(x)的單調遞減區間為(0，π)，無增區間．
15．已知函數（，常數）．
(1)當時，求的單調遞增區間；
(2)若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的遞增區間即可；
（2）求出函數的導數，問題轉化為，令，求出函數的導函數，根據函數的單調性求出的最小值，進而求出的取值范圍即可．
【詳解】（1）時，，，
令，解得或，
故的遞增區間是；
（2）若函數在上單調遞增，
故在恒成立，
故，
令，則，
令，解得，令，解得，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
故，
故的取值范圍是.
16．已知，函數．
(1)討論的單調性；
(2)若對，不等式恒成立，求的取值范圍；
(3)已知當時，函數有兩個零點，求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；
（2）分兩種情況討論，當，利用一次函數的性質求解，當時，，設，只需即可；
（3）由，原不等式轉化為證明，由得，所以的兩個零點，可得，則，令，，利用導數研究函數的單調性，可證得，因為時，在上單調遞減，即可證得．
【詳解】（1），∴，
當時，在上單調遞增，
當時，考慮時，令，，
當即時，在單調遞減，在單調遞增；
當即時，在單調遞減，在單調遞增．
（2）方法一：（參變分離）
，
當時，，
∴．
當時，，
設，∴，
∴在單調遞減，
∴，則，∴，
綜上所述：．
方法二：（最值法）
若，只需，，
由（1）可得：
①當時，在上單調遞增，
∴即可，得，解得：，
∴．
②當時，在單調遞減，在單調遞增，
∴，得，解得：，
∴，
③時，在單調遞減，在單調遞增，
∴，即，即，
令，設，
則，
∴在單調遞減，則，
所以不等式無解．
（此處也可不構造函數，，顯然時，此式小于零，即可得出結論）
綜上所述：．
（3）注意到，所以所證明不等式轉化為證明，
∵，∴，
所以的兩個零點．
方法一：
由可得：，
∴，∴，∴，
令，，則，
令，則當時，，
∴在單調遞減，∴，即，
∴在單調遞減，，即，
當時，在單調遞減，
當時，在單調遞減，而，則在單調遞減，
∴時，在上單調遞減，
∴．
方法二：
由可得：，
下面考慮證明，∴，
下證：，
因為，所以只需證，
由，
所以只需證，
令，，∴，
令，，
∴在單調遞減，∴，即，
∴在單調遞減，∴，
∴，所以得證．
當時，在單調遞減，
當時，在單調遞減，而，則在單調遞減，
∴時，在上單調遞減，
∴．
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3.2 導數在函數單調性、極值中的應用
思維導圖
知識點總結
利用導數解決單調性問題
本考點以考查導數的運算以及導函數值與函數單調性之間的關系為主，其中含有參數的函數的單調性問題是高考的熱點．
1．函數f(x)的單調性與導函數f′(x)的正負之間的關系
(1)在某個區間(a，b)上，如果 ，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞增；
(2)在某個區間(a，b)上，如果 ，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞減．
2．用充分必要條件詮釋導數與函數單調性的關系
(1)在區間(a，b)內，f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在區間(a，b)上單調遞增(減)的充分不必要條件．
(2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區間(a，b)內恒成立是f(x)在區間(a，b)上單調遞增(減)的必要不充分條件．
(3)若f′(x)在區間(a，b)的任意子區間上都不恒等于零，則f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在區間(a，b)上單調遞增(減)的充要條件．
利用導數解決極值與最值問題
1．函數的極值與導數
2．函數的最值與導數
(1)函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件
如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條 的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟
①求函數y＝f(x)在區間(a，b)上的 ；
②將函數y＝f(x)的各極值與 比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
典型例題分析
考向一 求函數的單調區間(不含參數)
例1　函數f(x)＝(x－3)ex的單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
答案　D
解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.所以單調遞增區間為(2，＋∞).
確定函數單調區間的步驟
(1)確定函數f(x)的定義域．
(2)求f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．
考向二 　討論含參函數的單調性
例2　已知函數f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求函數f(x)的單調區間．
解　由已知得f′(x)＝a＋＝(x>0)，
①當a≥0時，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，函數f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞).
②當a<0時，令f′(x)＝0，得x＝－.在區間上，f′(x)>0；在區間上，f′(x)<0.函數f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
1．(1)研究含參數的函數單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論．
(2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為0的點和函數的間斷點．
2．個別導數為0的點不影響所在區間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數．
考向三 　　函數單調性的簡單應用
例3　(多選)定義在上的函數f(x)，已知f′(x)是它的導函數，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，則(　　)
A．f＞f B．f＞f
C．f＞f D．f＞f
答案　CD
解析　構造函數g(x)＝.則g′(x)＝＜0，即函數g(x)在上單調遞減，所以g＞g，所以f＞f，同理，g＞g，即f＞f.故選CD.
以抽象函數為背景、題設條件或所求結論中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式，旨在考查導數運算法則的逆向、變形應用能力的客觀題，是近幾年高考試卷中的一位“常客”，常以壓軸題小題的形式出現，解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結構特征與導數運算法則結合起來，合理構造出相關的可導函數，然后利用該函數的性質解決問題．
考向四 利用導數解決函數的極值問題
例4　如圖所示是函數y＝f(x)的導數y＝f′(x)的圖象，給出下列四個結論：
①f(x)在區間(－3，1)上是增函數；
②f(x)在區間(2，4)上是減函數，在區間(－1，2)上是增函數；
③1是f(x)的極大值點；
④－1是f(x)的極小值點．
其中正確的結論是(　　)
A．①③ B．②③
C．②③④ D．②④
答案　D
解析　由題意，得－3＜x＜－1或2＜x＜4時，f′(x)＜0；－1＜x＜2或x＞4時，f′(x)＞0，故函數y＝f(x)在(－3，－1)和(2，4)上單調遞減，在(－1，2)和(4，＋∞)上單調遞增，－1是f(x)的極小值點，2是f(x)的極大值點，故②④正確．
函數極值問題的常見類型及解題策略
(1)已知導函數圖象判斷函數極值的情況．先找導數為0的點，再判斷導數為0的點的左、右兩側的導數值符號．
(2)已知函數求極值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根的兩側的符號→得出結論．
(3)已知極值求參數．若函數f(x)在點(x0，y0)處取得極值，則f′(x0)＝0，且f(x)在該點左、右兩側的導數值符號相反．
考向五 　　利用導數求函數的最值
例5　 已知函數f(x)＝ex cos x－x.
(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
(2)求函數f(x)在區間上的最大值和最小值．
解　(1)∵f(x)＝ex cos x－x，
∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
∴f′(0)＝0，∴曲線y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝－2ex sin x≤0在上恒成立，且僅在x＝0處等號成立，
∴g(x)在上單調遞減，
∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且僅在x＝0處等號成立，∴f(x)在上單調遞減，
∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－.
求函數f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函數在區間[a，b]上單調遞增或遞減，則f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值；
(2)若函數在區間[a，b]內有極值，則要先求出函數在[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函數f(x)在區間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)值點，此結論在導數的實際應用中經常用到．
提醒：求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值．
考向六 　　利用導數求解函數極值和最值的綜合問題
例6　甲、乙兩地相距400千米，一汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時．已知該汽車每小時的運輸成本t(元)關于速度x(千米/時)的函數關系式是t＝x4－x3＋15x.
(1)當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為多少元？
(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大速度行駛？并求出此時運輸成本的最小值．
解　(1)當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為×＝1500元．所以當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為1500元．
(2)設全程運輸成本為f(x)元，則f(x)＝·＝x3－x2＋6000(0當00，所以函數f(x)在(0，80)上單調遞減，在(80，100]上單調遞增，所以f(x)的最小值為f(80)＝.所以為使全程運輸成本最少，汽車應以80千米/時的速度行駛，此時運輸成本取得最小值元．
1．解決函數極值、最值綜合問題的策略
(1)求極值、最值時，要求步驟規范，含參數時，要討論參數的大小．
(2)求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過比較才能下結論．
(3)函數在給定閉區間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值．
2．利用導數解決生活中優化問題的一般步驟
(1)設自變量、因變量，建立函數關系式y＝f(x)，并確定其定義域．
(2)求函數的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比較函數在區間端點和極值點的函數值的大小，最大(小)者為最大(小)值．
(4)回歸實際問題作答．
基礎題型訓練
一、單選題
1．函數的減區間為
A． B． C． D．
2．已知函數的大致圖像如圖所示，現有如下說法：①；②；③；則正確的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞增的是
A． B． C． D．
4．若過點（0，－1）可以作三條直線與函數相切，則實數a的取值范圍是（ ）
A．[2，＋∞） B．（2，＋∞） C．[3，＋∞） D．（3，＋∞）
5．已知，，對，，使得，則的最小值為
A． B． C． D．
6．已知函數在上是減函數，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．設函數在R上存在導函數，對任意的有，且在上，若，則實數a的可能取值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．已知函數f(x)＝xlnx﹣ax2﹣1，當a＞0時，函數f(x)的極值點的個數可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空題
9．若是函數的一個極值點，則______．
10．函數，的最小值為______.
11．若函數在[1，2]上單調遞增，則a的取值范圍是_____
12．若存在兩個正實數，使等式成立，（其中）則實數的取值范圍是________．
四、解答題
13．已知函數，討論函數的單調性；
14．已知的一個極值點為2．
(1)求的值；
(2)求函數在區間上的最值．
15．已知函數（為自然對數的底數）.
（1）當時，求證：函數在上恰有一個零點；
（2）若函數有兩個極值點，求實數的取值范圍.
16．已知曲線．
(1)若，過點作的切線，求切線的方程；
(2)當有3個零點時，求a的取值范圍．
提升題型訓練
一、單選題
1．若函數的導函數圖象如圖所示，則該函數圖象大致是（ ）
B．
C． D．
2．函數的極小值為（ ）
A．0 B． C． D．不存在
3．若，，則“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．在半徑為R的球內放置一圓柱體，使圓柱體的兩底面圓周上所有的點都在球面上，當圓柱體的體積最大時，其高為（ ）
A．R B．R C．R D．R
5．如圖所示是的圖象，則正確的判斷個數是（　　）
①在上是減函數；②是極大值點；
③是極值點；④）在上先減后增．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．函數的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．已知e是自然對數的底數，則下列不等關系中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數，則下列說法正確的有（ ）
A．函數為偶函數 B．函數的最小值為
C．函數的最大值為 D．函數在上有兩個極值點
三、填空題
9．函數在處有極值，則常數a＝______．
10．曲線在點處的切線方程為___________．
11．已知是定義在上的偶函數，其導函數，若，，，則不等式的解集為________.
12．設為正實數，若則的取值范圍是__________．
四、解答題
13．求函數的單調遞減區間．
14．求下列函數的單調區間：
（1）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
（2）f(x)＝sin x－x(015．已知函數（，常數）．
(1)當時，求的單調遞增區間；
(2)若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍．
16．已知，函數．
(1)討論的單調性；
(2)若對，不等式恒成立，求的取值范圍；
(3)已知當時，函數有兩個零點，求證：．
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