資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)
思維導圖
知識點總結
1.角的概念的推廣
(1)定義：角可以看作平面內一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.
(2)分類
(3)終邊相同的角：與角α終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，記作1 rad.
(2)弧度制：用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.
(3)公式
角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝|α|r
扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函數(shù)的定義
前提 如圖，設α是一個任意角，它的終邊與半徑為r的圓交于點P(x，y)
定義 正弦 比值叫作α的正弦函數(shù)，記作sin α，即sin α＝
余弦 比值叫作α的余弦函數(shù)，記作cos α，即cos α＝
正切 比值(x≠0)叫作α的正切函數(shù)，記作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函數(shù) sin α，cos α，tan α分別叫作α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為α的三角函數(shù).
[常用結論]
1．三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用．
3．象限角
4．軸線角
典型例題分析
考向一 象限角及終邊相同的角
例1．已知角θ在第二象限，且＝－sin ，則角在(　　)
A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　∵角θ是第二象限角，
∴θ∈，k∈Z，
∴∈，k∈Z，
∴角在第一或第三象限.
又＝－sin ，∴sin ＜0，
∴角在第三象限.
感悟提升　1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.
2.確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法
先寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置.
【方法技巧與總結】
（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．
（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角．
考向二 弧度制及其應用
例2 已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧長l.
(2)若扇形的周長是20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積.
解　(1)因為α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
(2)由已知，得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以當R＝5(cm)時，S取得最大值，
此時l＝10(cm)，α＝2.
(3)設弓形面積為S弓形，由題意知l＝ cm，
所以S弓形＝××2－×22×sin ＝cm2.
感悟提升　應用弧度制解決問題時應注意：
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題.
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
考向三 等分角的象限問題
例3．（2022·浙江·高三專題練習）若，則的終邊在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
分和討論可得角的終邊所在的象限.
【詳解】
解：因為，所以
當時，，其終邊在第三象限；
當時，，其終邊在第一象限.
綜上，的終邊在第一、三象限.
故選：A.
【方法技巧與總結】
先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限分布圖示．
考向四 弧長與面積公式
例4．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》章給出了弧田面積的計算公式．如圖所示，弧田是由圓弧及其所對弦圍成的圖形．若弧田的弦長是2，弧所在圓心角的弧度數(shù)也是2，則弧田的弧長為_______，弧田的面積為_________．
【答案】 ; .
【解析】
【分析】
（1）利用弧長公式解決，那么需要算出半徑和圓心角；（2）用扇形的面積減去三角形的面積即可.
【詳解】
由題意可知：，
所以弧長，弧田的面積，
故答案為：；.
【方法技巧與總結】
（1）熟記弧長公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制）
（2）掌握簡單三角形，特別是直角三角形的解法
考向五 三角函數(shù)定義題
例5．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）已知角的終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由任意三角形的定義求出，由兩角差的正弦公式代入即可求出.
【詳解】
因為角的終邊過點，由任意三角形的定義知：，
.
故選：D.
【方法技巧與總結】
正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負；．
余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負；．
正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負．
基礎題型訓練
一、單選題
1．若角滿足，則角的終邊落在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限. D．第四象限
【答案】A
【解析】直接根據(jù)象限角定義得到答案.
【詳解】角滿足，則角的終邊落在第一象限.
故選：.
【點睛】本題考查了象限角，屬于簡單題.
2．在平面直角坐標系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，如果角的終邊分別與單位圓交于點和，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得的值，即可求解.
【詳解】由題意，角的終邊與單位圓分別交于點和，
由題意三角函數(shù)的定義，可得，
所以.
故選：B.
3．已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系可求得結果.
【詳解】
..
故選：B.
4．已知函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接求解即可
【詳解】由已知得
，
故選：B
5．《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，則直角圓錐側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結合圓錐的母線長和弧長以及圓心角之間的關系即可求解
【詳解】設直角圓錐側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為，底面圓的半徑為，母線長為，因為直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以，則，解得.
故選：.
6．已知,則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用誘導公式,將三個三角函數(shù)中的角度均轉換成再比較即可.
【詳解】解：,
,
.
.
故選：C.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導公式及三角函數(shù)的性質,屬于基礎題.
二、多選題
7．下列結論正確的是（ ）
A．是第三象限角
B．角的終邊在直線上，則=
C．若角的終邊過點，則
D．若角為銳角，則角為鈍角
【答案】BC
【分析】利用象限角的定義可判斷A選項的正誤；利用終邊相同角的表示可判斷B選項的正誤；利用三角函數(shù)的定義可判斷C選項的正誤；利用特殊值法可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A選項，且為第二象限角，故為第二象限角，A錯；
對于B選項，根據(jù)終邊相同角的表示可知角的終邊在直線上，
則=，B對；
對于C選項，由三角函數(shù)的定義可得，C對；
對于D選項，取，則角為銳角，但，即角為銳角，D錯.
故選：BC.
8．設的三個內角分別為A，B，C，則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是（ ）
A．與 B．與 C．與
D．與 E．與
【答案】CE
【解析】根據(jù)三角函數(shù)的符號和角的關系進行判斷即可.
【詳解】A不滿足，∵A，B的范圍不確定，∴不滿足條件；B不滿足，與都有意義，但不一定為正值；C滿足，∵，∴，∴C滿足條件；D不滿足，∵A的范圍不確定，∴不確定；E滿足，∵，∴，∴，又∵，∴.綜上，C，E滿足題意.
故選:CE.
【點睛】本題考查判斷三角函數(shù)值的符號，屬于基礎題.
三、填空題
9．若角的終邊上有一點，則　 　．
【答案】4
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程求解即可．
【詳解】由題設知：，即.
故答案為：4
10．若扇形的周長是，圓心角是度，則扇形的面積（單位）是__________.
【答案】16
【分析】根據(jù)已知條件可計算出扇形的半徑，然后根據(jù)面積公式即可計算出扇形的面積.
【詳解】設扇形的半徑為，圓心角弧度數(shù)為，
所以即，所以，
所以.
故答案為：.
【點睛】本題考查角度與弧度的轉化以及扇形的弧長和面積公式，難度較易.扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：.
11．已知扇形的圓心角所對的弦長為2，圓心角為弧度.則扇形的面積是______.
【答案】
【分析】由題意表示出扇形的半徑和弧長，代入弧長公式計算可得．
【詳解】解：由題意可得中，，
由可得扇形的半徑，
扇形的弧長，
扇形的面積
故答案為：
【點睛】本題考查扇形的面積公式及弧長公式的應用，屬于基礎題．
12．《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圓弧及其所對的弦所圍成．公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積最接近的整數(shù)是__________．
【答案】9
【分析】設弧田的圓心為，弦為，為中點，連交弧于，在中，求出半徑及，求出弦AB，即可求出結論．
【詳解】設弧田的圓心為，弦為，為中點，連交弧于，如圖所示，
由題意可得∠AOB＝，OA＝4，
在Rt△AOC中，易得∠AOC＝，∠CAO＝，
OC＝OA＝，可得矢＝4－2＝2，
由AC＝OA＝，可得弦AB＝2AC＝，
所以弧田面積＝×()＝，
因為，則，從而，
因此，所得弧田面積最接近的整數(shù)是9.
故答案為：9.
四、解答題
13．分別作出下列各角的正弦線 余弦線和正切線.
(1);
(2).
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】根據(jù)正弦線 余弦線和正切線的定義作圖．
【詳解】解:(1)設的終邊與單位圓交于點P,過作垂直于x軸的直線交的終邊于點T,過P作軸,交x軸于M,如圖(1)所示,則是正弦線,是余弦線,是正切線.
(1) (2)
(2)同(1),過作垂直于x軸的直線,交的終邊的反向延長線于點T,如圖(2)所示,則是正弦線,是余弦線,是正切線.
【點睛】本題考查三角函數(shù)線，掌握三角函數(shù)線的定義是解題基礎．注意正切線的起點是單位圓與軸正半軸交點．
14．已知，求下列各式的值：
（1） ；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關系，將兩邊同時平方先求出，再求出；
（2）利用（1）的結論，結合立方差公式求；
（3）由和（1）的結論聯(lián)立求出和，求出，將原式弦化切后再代入求值．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∴，
又，
∴，，
∴；
（2）由（1）可知，，
∴；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)關系以及齊次式的化簡求值，考查計算能力，屬于基礎題．
15．已知．
（1）把寫成的形式；
（2）求，使與終邊相同，且．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）先得到,再轉化為弧度角即可；
（2）由（1）可得終邊相同的角為,則,使得,求解出的范圍,由確定值,進而確定角即可
【詳解】（1）
（2）∵與終邊相同,
∴,
又,
∴,
解得,
,
∴的值是
【點睛】本題考查角度制與弧度制的轉化,考查終邊相同的角的應用
16．求下列方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】(1)將代入的解集計算即可.
(2)根據(jù)誘導公式可得，再將代入的解集計算即可.
(3)將代入的解集計算即可.
(4)先求解的通解，再分析時滿足的解即可.
【詳解】解（1），∴，
∴.
∴原方程的解集為.
（2）∵，∴.
∴.
∴原方程的解集為.
（3）∵，∴.
∴.
∴原方程的解集為.
（4）∵，∴.
∴或.
∵，∴取時，；取時，或；
取時，.
∴原方程的解集為.
【點睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)的值求解角度的問題，需要結合三角函數(shù)的特殊值角與角度的周期性進行求解，屬于中檔題.
提升題型訓練
一、單選題
1．下列命題中正確的是（ ）
A．終邊重合的兩個角相等 B．銳角是第一象限的角
C．第二象限的角是鈍角 D．小于90°的角都是銳角
【答案】B
【分析】根據(jù)象限角的定義以及終邊相同的角，可得答案.
【詳解】對于A，終邊相同的角可表示為，故A錯誤；
對于B，銳角的取值范圍為，故B正確；
對于C，第二象限角的取值范圍為，故C錯誤；
對于D，銳角的取值范圍為，其，則，但不是銳角，故D錯誤.
故選：B.
2．雕塑成了大學環(huán)境不可分割的一部分，有些甚至能成為這個大學的象征，在中國科學技術大學校園中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像體和底座兩部分組成．如圖，在中，，在中，，且米，求像體的高度（ ）（最后結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）
A．4.0米 B．4.2米 C．4.3米 D．4.4米
【答案】B
【分析】在和中，利用正切值可求得，進而求得.
【詳解】在中，（米），
在中，（米），
（米）.
故選：.
【點睛】本題考查解三角形的實際應用中的高度問題的求解，屬于基礎題.
3．下列關系式能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】逐項計算三角函數(shù)值即可判斷
【詳解】A, ，錯誤；
C,,錯誤；
D, 無意義，錯誤
故選：B
【點睛】本題考查三角函數(shù)求值計算，意在考查計算能力，是基礎題
4．若θ是第二象限角，則下列選項中能確定為正值的是(　　)
A．sin B．cos C．tan D．cos2θ
【答案】C
【分析】直接利用三角函數(shù)象限角的三角函數(shù)的符號判斷即可．
【詳解】由θ是第二象限角可得為第一或第三象限角，所以tan＞0.故選C
【點睛】本題考查三角函數(shù)值的符號的判斷，是基礎題．
5．古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，稱為黃金分割比，我們把有兩條邊長之比為的三角形稱為黃金三角形.則下列結論，正確的個數(shù)是
①頂角等于的等腰三角形是黃金三角形；
②底角等于的等腰三角形是黃金三角形；
③有一個角等于的直角三角形是黃金三角形；
④有一個角等于的直角三角形是黃金三角形.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如圖等腰，頂角，做底角的角平分線，可得為底角為的等腰三角形，設，推出，即可求出關系，可判斷①②的真假，再通過解三角形求得，的三角函數(shù)，可判斷③④真假.
【詳解】如圖，等腰，頂角，
做角的角平分線，與邊交于，
則為底角為的等腰三角形，
為頂角為的等腰三角形，所以，
設，，
化簡得，故①②正確，
在中，由余弦定理得
，
，
，
取中點，則，
，
，
，
所以③④不正確.
故選:B.
【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查等腰三角形的性質、求三角函數(shù)值，考查計算求解能力，屬于中檔題.
6．函數(shù)的最大值和最小值分別為（ ）
A． B． C．，0 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二倍角公式和同角的基本關系化簡可得，再令，，可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出結果.
【詳解】設，則，則
，
由，得，所以，
所以當，即時，；當，即時，.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了二倍角公式、同角基本關系，以及換元法在求函數(shù)值域中的應用，屬于中檔題.
二、多選題
7．下列命題正確的是（ ）
A．在與角終邊相同的角中，最小的正角為
B．若角的終邊過點，則
C．已知是第二象限角，則
D．若一扇形弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為
【答案】ABC
【分析】依據(jù)終邊相同角定義去判斷選項A；依據(jù)三角函數(shù)定義去判斷選項B；依據(jù)三角函數(shù)值符號判定去判斷選項C；依據(jù)扇形面積計算公式去判斷選項D即可.
【詳解】選項A：由且，可得，
故所求的最小正角.正確；
選項B：由三角函數(shù)的定義可得.正確；
選項C：∵是第二象限角，∴，，∴，，∴.正確；
選項D：弧長為2，圓心角為，則扇形的半徑為，所以扇形面積為.錯誤．
故選：ABC
8．已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)，化弦為切，求得，再根據(jù)，求得，，再根據(jù)化弦為切即可求出答案，化弦為切可得出答案.
【詳解】解：因為，所以，解得，故A正確；
又因為，，所以，，，
所以，故B錯誤；
，故C正確；
，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
9．終邊在直線上的一個角的可以是_______.
【答案】（答案不唯一）.
【分析】先寫出終邊在直線上的角的范圍，即可得到答案.
【詳解】終邊在直線上的角的集合為,
所以終邊在直線上的一個角的可以是.
故答案為：（答案不唯一）.
10．點從圓心在原點的單位圓上點出發(fā)，沿順時針方向運動弧長，到達點，則點的坐標是_______________．
【答案】
【分析】由題意，作出單位圓，結合圖象求解.
【詳解】因為點從圓心在原點的單位圓上點出發(fā)，
沿順時針方向運動弧長，到達點，如圖所示：
由圖象知：，
所以，
故答案為：
11．求值：________．
【答案】2
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則性質及指數(shù)冪的運算化簡求值即可.
【詳解】原式=
故答案為：2
12．已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B（1，0）}，則表示M∩N的圖形面積為__．
【答案】π+2
【分析】建立坐標系：為直線和之間的點的集合（含線上的點），集合為以為中心，半徑為的圓內的點的集合，聯(lián)立方程組，求出點，的坐標，求出的長，再解直角三角形，求出扇形的圓心角，根據(jù)圖形之間的面積，最后求出的圖形面積．
【詳解】解：建立坐標系：為直線和之間的點的集合（含線上的點），
設點的坐標為
則可將表示成：，
，
，
即集合為以為中心，半徑為的圓內的點的集合，
則直線經過圓心，
過圓心做，垂足為，
聯(lián)立方程組得到，
解得，，
則，，，，
，即，
，
在直角三角形中，，
，
，
，，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題以集合的交集為載體，考查了直線和圓的位置關系，求出三角形，扇形，弓形的面積，屬于中檔題．
四、解答題
13．已知角的終邊經過下列各點，求的正弦、余弦、正切值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】答案見詳解
【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.
【詳解】（1），
則；
（2），
則；
（3），
則；
（4），
則不存在；
14．已知關于的一元二次不等式的解集中有且只有一個元素，求下列兩個式子的值：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意可得，將原式化簡為關于的式子即可求解；
（2）分子分母除以化簡為關于的式子即可求解.
【詳解】解，由已知，關于的一元二次不等式的解集中有且只有一個元素，可得則
（1）
（2）
15．已知α是三角形的內角，且sinα＋cosα＝.
(1)求tanα的值；
(2)將用tanα表示出來，并求其值．
【答案】(1) ;(2).
【分析】(1)由求得的值，可得的值；
(2)化簡 ，結合（1）可得結果.
【詳解】(1) 由，α是三角形內角，故解得，
∴tanα＝－.
(2).
∵tanα＝，
∴＝.
16．已知,，函數(shù)，
（1）若，，求的值；
（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)（2）見解析.
【詳解】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)基本關系式進行求解；（2）作差，分離參數(shù)，將問題轉化為求函數(shù)的最值問題，再利用換元思想進行求解.
試題解析：(1)依題意得，
，即
，即
由，，得，

（2）即不等式對任意恒成立，
即
下求函數(shù)的最小值
令則且
令
1°當上單調遞增，
2°當，即時，
3°當
4°當
，所以當時，；當或0<時,
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4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)
思維導圖
知識點總結
1.角的概念的推廣
(1)定義：角可以看作平面內一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.
(2)分類
(3)終邊相同的角：與角α終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，記作1 rad.
(2)弧度制：用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.
(3)公式
角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝|α|r
扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函數(shù)的定義
前提 如圖，設α是一個任意角，它的終邊與半徑為r的圓交于點P(x，y)
定義 正弦 比值叫作α的正弦函數(shù)，記作sin α，即sin α＝
余弦 比值叫作α的余弦函數(shù)，記作cos α，即cos α＝
正切 比值(x≠0)叫作α的正切函數(shù)，記作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函數(shù) sin α，cos α，tan α分別叫作α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為α的三角函數(shù).
[常用結論]
1．三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用．
3．象限角
4．軸線角
典型例題分析
考向一 象限角及終邊相同的角
例1．已知角θ在第二象限，且＝－sin ，則角在(　　)
A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
感悟提升　1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.
2.確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法
先寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置.
【方法技巧與總結】
（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．
（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角．
考向二 弧度制及其應用
例2 已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧長l.
(2)若扇形的周長是20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積.
感悟提升　應用弧度制解決問題時應注意：
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題.
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
考向三 等分角的象限問題
例3．（2022·浙江·高三專題練習）若，則的終邊在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【方法技巧與總結】
先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限分布圖示．
考向四 弧長與面積公式
例4．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》章給出了弧田面積的計算公式．如圖所示，弧田是由圓弧及其所對弦圍成的圖形．若弧田的弦長是2，弧所在圓心角的弧度數(shù)也是2，則弧田的弧長為_______，弧田的面積為_________．
【方法技巧與總結】
（1）熟記弧長公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制）
（2）掌握簡單三角形，特別是直角三角形的解法
考向五 三角函數(shù)定義題
例5．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）已知角的終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負；．
余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負；．
正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負．
基礎題型訓練
一、單選題
1．若角滿足，則角的終邊落在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限. D．第四象限
2．在平面直角坐標系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，如果角的終邊分別與單位圓交于點和，那么（ ）
A． B． C． D．
3．已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
5．《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，則直角圓錐側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
6．已知,則（ ）.
A． B． C． D．
二、多選題
7．下列結論正確的是（ ）
A．是第三象限角
B．角的終邊在直線上，則=
C．若角的終邊過點，則
D．若角為銳角，則角為鈍角
8．設的三個內角分別為A，B，C，則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是（ ）
A．與 B．與 C．與
D．與 E．與
三、填空題
9．若角的終邊上有一點，則　 　．
10．若扇形的周長是，圓心角是度，則扇形的面積（單位）是__________.
11．已知扇形的圓心角所對的弦長為2，圓心角為弧度.則扇形的面積是______.
12．《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圓弧及其所對的弦所圍成．公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積最接近的整數(shù)是__________．
四、解答題
13．分別作出下列各角的正弦線 余弦線和正切線.
(1);
(2).
14．已知，求下列各式的值：
（1） ；
（2）；
（3）．
15．已知．
（1）把寫成的形式；
（2）求，使與終邊相同，且．
16．求下列方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
提升題型訓練
一、單選題
1．下列命題中正確的是（ ）
A．終邊重合的兩個角相等 B．銳角是第一象限的角
C．第二象限的角是鈍角 D．小于90°的角都是銳角
2．雕塑成了大學環(huán)境不可分割的一部分，有些甚至能成為這個大學的象征，在中國科學技術大學校園中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像體和底座兩部分組成．如圖，在中，，在中，，且米，求像體的高度（ ）（最后結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）
A．4.0米 B．4.2米 C．4.3米 D．4.4米
3．下列關系式能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若θ是第二象限角，則下列選項中能確定為正值的是(　　)
A．sin B．cos C．tan D．cos2θ
5．古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，稱為黃金分割比，我們把有兩條邊長之比為的三角形稱為黃金三角形.則下列結論，正確的個數(shù)是
①頂角等于的等腰三角形是黃金三角形；
②底角等于的等腰三角形是黃金三角形；
③有一個角等于的直角三角形是黃金三角形；
④有一個角等于的直角三角形是黃金三角形.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函數(shù)的最大值和最小值分別為（ ）
A． B． C．，0 D．
二、多選題
7．下列命題正確的是（ ）
A．在與角終邊相同的角中，最小的正角為
B．若角的終邊過點，則
C．已知是第二象限角，則
D．若一扇形弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為
8．已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．終邊在直線上的一個角的可以是_______.
10．點從圓心在原點的單位圓上點出發(fā)，沿順時針方向運動弧長，到達點，則點的坐標是_______________．
11．求值：________．
12．已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B（1，0）}，則表示M∩N的圖形面積為__．
四、解答題
13．已知角的終邊經過下列各點，求的正弦、余弦、正切值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
14．已知關于的一元二次不等式的解集中有且只有一個元素，求下列兩個式子的值：
（1）
（2）
15．已知α是三角形的內角，且sinα＋cosα＝.
(1)求tanα的值；
(2)將用tanα表示出來，并求其值．
16．已知,，函數(shù)，
（1）若，，求的值；
（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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