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4.2 同角三角函數的基本關系及三角函數的誘導公式
思維導圖
知識點總結
1.同角三角函數的基本關系
(1)平方關系： .
(2)商數關系：＝tan α.
2.三角函數的誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α
口訣 奇變偶不變，符號看象限
[常用結論]
1.同角三角函數關系式的常用變形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.誘導公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化.
3.在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.
典型例題分析
考向一 同角三角函數基本關系式的應用
例1 (1)已知cos α＝－，則13sin α＋5tan α＝________.
(2)已知＝－1，則＝________；sin2α＋sin αcos α＋2＝________.
(3)(多選)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，則下列結論正確的是(　　)
A.sin θ＝ B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
感悟提升　同角三角函數關系式的應用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可實現角α的弦切互化.
(2)由一個角的任一三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，當利用“平方關系”公式求平方根時，會出現兩解，需根據角所在的象限判斷角的符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論.
考向二 誘導公式的應用
例2 (1)(2023·長沙調研)已知sin＝，則cos＝(　　)
A. B.－
C. D.±
(2)設f(α)＝
(1＋2sin α≠0)，則f＝________.
感悟提升　1.誘導公式的應用步驟
任意負角的三角函數任意正角的三角函數0～2π內的角的三角函數銳角三角函數.
2.誘導公式的兩個應用
(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
(2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.
考向三 同角關系式和誘導公式的綜合應用
例3 已知f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值.
感悟提升　1.利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形.
2.注意角的范圍對三角函數符號的影響.
基礎題型訓練
一、單選題
1．下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命題中，命題正確的是（ ）
A．終邊相同的角一定相等
B．第一象限的角是銳角
C．若，則角的三角函數值等于角的同名三角函數值
D．半徑為，的圓心角所對的弧長為
3．已知，則（ ）
A． B． C． D．
4． 的值為（ ）
A． B． C． D．
5．已知角的終邊交單位圓于點A，將A繞原點順時針旋轉至，則的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
6．如果，且，那么的值是 (　　)
A． B．或
C． D．或
二、多選題
7．（ ）
A． B．
C． D．
8．（多選）若，的終邊關于軸對稱，則下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．已知，且，則_________.
10．已知，則___________.
11．已知，則_________.
12．已知函數是定義在上的奇函數，對都有成立，當且時，有．給出下列命題：
（1）
（2）在[-2，2]上有5個零點
（3）點（2014，0）是函數的一個對稱中心
（4）直線是函數圖像的一條對稱軸．
則正確的是________．
四、解答題
13．設，求.
14．已知函數，求的值.
15．已知，求下列各式的值．
（1）；（2）．
16．（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值.
提升題型訓練
一、單選題
1．已知s，則的值為（ ）
A． B．－
C． D．－
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若sin2x>cos2x，則x的取值范圍是（ ）
A．{x|2kπ－B．{x|2kπ＋C．{x|kπ－D．{x|kπ＋4．化簡：（ ）
A． B． C． D．
5．在中的角滿足，則（ ）
A． B． C． D．
6．已知是第三象限角，若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．設為第一象限角,,則（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點（cos，sin），，則下列說法正確的是（ ）
A．線段與的長均為1 B．線段的長為1
C．若點，關于y軸對稱，則 D．當時，點，關于x軸對稱
三、填空題
9．__________.
10．若,則____________
11．已知，，則___________．
12．在中，a，b，c分別為角A，B，C所對邊的長，，，，則的面積是________.
四、解答題
13．確定下列三角函數值的符號：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
14．已知，求下列各式的值
(1)；
(2)．
15．已知函數的表達式為，對于任何實數x，都有意義，求的范圍并判斷所在的象限．
16．(1)已知是關于x的方程的一個實根，且α是第三象限角，求的值；
(2)已知，且，求的值.
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4.2 同角三角函數的基本關系及三角函數的誘導公式
思維導圖
知識點總結
1.同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數關系：＝tan α.
2.三角函數的誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口訣 奇變偶不變，符號看象限
[常用結論]
1.同角三角函數關系式的常用變形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.誘導公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化.
3.在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.
典型例題分析
考向一 同角三角函數基本關系式的應用
例1 (1)已知cos α＝－，則13sin α＋5tan α＝________.
答案　0
解析　∵cos α＝－＜0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角.
①若α是第二象限角，
則sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
此時13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
則sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝＝＝，
此時，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
綜上，13sin α＋5tan α＝0.
(2)已知＝－1，則＝________；sin2α＋sin αcos α＋2＝________.
答案　－　
解析　由已知得tan α＝，
所以＝＝－.
sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
(3)(多選)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，則下列結論正確的是(　　)
A.sin θ＝ B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
答案　ABD
解析　由題意知sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－＜0，
又∵θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，
∴sin θ－cos θ＞0，
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝，
∴sin θ＝，cos θ＝－.
∴tan θ＝－，∴A，B，D正確.
感悟提升　同角三角函數關系式的應用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可實現角α的弦切互化.
(2)由一個角的任一三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，當利用“平方關系”公式求平方根時，會出現兩解，需根據角所在的象限判斷角的符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論.
考向二 誘導公式的應用
例2 (1)(2023·長沙調研)已知sin＝，則cos＝(　　)
A. B.－
C. D.±
答案　C
解析　∵sin＝，
∴cos＝cos＝sin＝.故選C.
(2)設f(α)＝
(1＋2sin α≠0)，則f＝________.
答案　
解析　因為f(α)＝
＝＝＝，
所以f＝＝＝＝.
感悟提升　1.誘導公式的應用步驟
任意負角的三角函數任意正角的三角函數0～2π內的角的三角函數銳角三角函數.
2.誘導公式的兩個應用
(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
(2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.
考向三 同角關系式和誘導公式的綜合應用
例3 已知f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值.
解　(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)若α＝－，
則f(α)＝－cos＝－cos ＝－.
(3)由cos＝，
可得sin α＝－，
因為α∈，所以cos α＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
感悟提升　1.利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形.
2.注意角的范圍對三角函數符號的影響.
基礎題型訓練
一、單選題
1．下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據三角函數誘導公式逐項判斷.
【詳解】；；；
.
故選：D
【點睛】本題考查三角函數誘導公式，屬于基礎題.
2．下列命題中，命題正確的是（ ）
A．終邊相同的角一定相等
B．第一象限的角是銳角
C．若，則角的三角函數值等于角的同名三角函數值
D．半徑為，的圓心角所對的弧長為
【答案】C
【分析】根據角的概念的推廣、弧度的定義和三角函數的定義，結合代特值即可得到答案.
【詳解】根據三角函數的定義，易知C正確，
對A，終邊相同，故A錯誤；
對B，在第一象限，但不是銳角，故B錯誤；
對D，弧長應該為弧度乘以半徑，故D錯誤.
故選：C.
3．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由條件利用同角三角函數的基本關系求得的值.
【詳解】因為，則 .
故選：D.
4． 的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據誘導公式化簡，利用三角函數特殊值即可得答案.
【詳解】.
故選：A.
5．已知角的終邊交單位圓于點A，將A繞原點順時針旋轉至，則的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出簡圖，由三角函數定義及誘導公式計算即可.
【詳解】如圖所示，易知B為100°與單位圓的交點，
由三角函數的定義可知，
由誘導公式化簡可得.
故選：C
6．如果，且，那么的值是 (　　)
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【詳解】將所給等式兩邊平方，得，
∵，s，
，
，
∴.
故選A.
二、多選題
7．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用誘導公式確定正確答案.
【詳解】，A錯誤；
，B正確；
，C錯誤；
，D正確.
故選：BD
8．（多選）若，的終邊關于軸對稱，則下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用對稱性，求出，間的關系，再利用誘導公式，即可得到與，與間的關系，從而得出結果.
【詳解】因為，的終邊關于軸對稱，所以，
所以根據誘導公式可知，，
，
所以選項AB正確，選項CD錯誤.
故選：AB.
三、填空題
9．已知，且，則_________.
【答案】
【分析】根據誘導公式可得，再利用同角三角函數的基本關系即可求解.
【詳解】
故答案為：
【點睛】本題考查誘導公式、同角三角函數關系，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
10．已知，則___________.
【答案】
【分析】由可得，即，由同角三角函數的平方關系和商數關系，即得解
【詳解】由題意，
故答案為：
11．已知，則_________.
【答案】
【分析】利用誘導公式對方程進行化簡，再解關于的方程即可.
【詳解】原式，解得：.
故答案為：.
【點睛】本題考查誘導公式、同角三角函數的基本關系，考查轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.
12．已知函數是定義在上的奇函數，對都有成立，當且時，有．給出下列命題：
（1）
（2）在[-2，2]上有5個零點
（3）點（2014，0）是函數的一個對稱中心
（4）直線是函數圖像的一條對稱軸．
則正確的是________．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）利用賦值法，令，直接求得；（2）直接判斷出-2，-1，0，1，2為的零點；
（3）轉化得到，即可判斷出點（2014，0）是函數的一個對稱中心，可判斷出（3）正確；（4）錯誤.
【詳解】試題分析：（1）由題意，令，則，即，則，
（2）由題意，，，，，則在[-2，2]上有5個零點.
（3）由，可知以2為周期，所以，，
所以，所以點是函數的一個對稱中心，
（4）由于（3）正確，故（4）不正確．
故答案為：（1）（2）（3）
四、解答題
13．設，求.
【答案】
【分析】先利用誘導公式和同角三角函數基本關系式化簡，再代入求值.
【詳解】由
得
則.
【點睛】本題考查了誘導公式和同角三角函數基本關系式，先化簡再代值是解決問題的關鍵.
14．已知函數，求的值.
【答案】
【分析】代入，利用誘導公式和特殊角的三角函數值計算即得解
【詳解】由題意，
15．已知，求下列各式的值．
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據題意，結合同角三角函數的關系，可得，根據的范圍，可得，即可得答案.
（2）由（1）可得的值，代入所求，即可得答案.
【詳解】（1）因為，
所以，即，
所以．
因為，
又，所以，則，
所以．
（2）由已知條件及（1），可知，解得，
所以．
16．（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用誘導公式和同角三角函數的商數關系即可求解；
（2）利用誘導公式和同角三角函數的基本關系即可求解.
【詳解】由，
得，
所以，
故原式
.
由題意，得，.
①當時，，，為第二象限的角.
原式；
②當時，，，∴，
∵，∴.
原式（）.
綜上所述， .
提升題型訓練
一、單選題
1．已知，則的值為（ ）
A． B．－
C． D．－
【答案】D
【分析】根據誘導公式直接進行求解即可.
【詳解】，
故選：D
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】用誘導公式化負角為正角，化大角為小角，最終化為銳角的三角函數．
【詳解】．
故選：A.
【點睛】本題考查誘導公式，掌握三角函數誘導公式是解題基礎．
3．若sin2x>cos2x，則x的取值范圍是（ ）
A．{x|2kπ－B．{x|2kπ＋C．{x|kπ－D．{x|kπ＋【答案】D
【分析】由題設可得|sin x|>|cos x|，單位圓中畫出對應角的范圍，即知x的取值范圍.
【詳解】sin2x>cos2x |sin x|>|cos x|.
在直角坐標系中作出單位圓及直線y＝x及y＝－x.如圖，
根據三角函數線的定義知角x的終邊落在圖中的陰影部分，不含邊界.
故選：D.
4．化簡：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函數誘導公式、同角三角函數的基本關系化簡求值即可.
【詳解】,
故選：D
5．在中的角滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用誘導公式得到，利用平方關系得到，再利用同角三角函數關系式中的商關系求得，得到結果.
【詳解】由，得，
由，得，
所以，
故選：A.
【點睛】該題考查的是有關角的三角函數值的求解問題，涉及到的知識點有誘導公式，同角三角函數關系式，屬于簡單題目.
6．已知是第三象限角，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意得，再利用誘導公式化簡即可得到答案.
【詳解】是第三象限角，若，由，得
故選：C.
二、多選題
7．設為第一象限角,,則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】首先由題意得是第一象限角,所以,再利用誘導公式和同角三角函數關系式對選項逐個計算確定正確答案.
【詳解】由題意得,
則,
若在第四象限,則,
所以也是第一象限角,即,,A項錯誤;
,B項正確;
,C項錯誤;
,D項正確.
故選:BD.
8．在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點（cos，sin），，則下列說法正確的是（ ）
A．線段與的長均為1 B．線段的長為1
C．若點，關于y軸對稱，則 D．當時，點，關于x軸對稱
【答案】ACD
【分析】AB選項，根據勾股定理進行求解；C選項，根據點，關于y軸對稱，得到，，進而求出；D選項，代入后利用誘導公式進行求解，得到答案.
【詳解】，同理可求，A正確；
由題意得：，由勾股定理得：，B錯誤；
若點，關于y軸對稱，則，，則，，解得：，C正確；
當時，，即，即，關于x軸對稱，D正確.
故選：ACD
三、填空題
9．__________.
【答案】
【分析】運用誘導公式計算.
【詳解】
；
故答案為： .
10．若,則____________
【答案】
【詳解】試題分析：
考點：同角間三角函數關系
11．已知，，則___________．
【答案】
【詳解】試題分析：由得，所以，因為，所以，由得，所以．
考點：同角間的三角函數關系．
12．在中，a，b，c分別為角A，B，C所對邊的長，，，，則的面積是________.
【答案】
【分析】由，遇角化邊后可求得，由正弦定理可求的，再由三角函數的知識，可求得，再代即可求解.
【詳解】解：由題意：，，
，
又，，
，，
，，
，，，
，
故答案為：
【點睛】本題主要考查解三角形，同角三角函數的關系等，考查理解辨析能力以及求解運算能力，屬于中檔題.
四、解答題
13．確定下列三角函數值的符號：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【答案】(1)負
(2)負
(3)負
(4)正
(5)負
(6)負
【分析】由角的終邊的位置和三角函數的符號規律逐個判斷即可．
(1)
解：因為為第三象限角，所以為負；
(2)
解：因為為第二象限角，所以為負；
(3)
解：因為為第四象限角，所以為負；
(4)
解：因為為第一象限角，所以為正；
(5)
解：因為為第三象限角，所以為負；
(6)
解：因為為第二象限角，所以為負．
14．已知，求下列各式的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函數基本關系，分子分母同除 將弦化切，代入求解即可．
（2）利用同角三角函數基本關系式，將原式看做分母為的分數，利用平方關系，分子分母同除將弦化切，代入求解即可．
【詳解】（1）解：因為，
所以；
（2）解：
15．已知函數的表達式為，對于任何實數x，都有意義，求的范圍并判斷所在的象限．
【答案】，在第一或二象限．
【分析】由已知，恒成立，當不滿足題意，當時，由即可求解.
【詳解】由已知，恒成立．
①當時，，不合要求；
②當時，
，
解得.
從而得：在第一或二象限．
16．(1)已知是關于x的方程的一個實根，且α是第三象限角，求的值；
(2)已知，且，求的值.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)由已知方程求，利用同角關系將轉化為由表示的式子，由此可求其值，(2)由條件結合平方關系求，，由此求結果.
【詳解】(1)∵是關于x的方程的一個實根，且α是第三象限角，
∴或（舍去），
∴.
(2)由題設，，解得，
∴.
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