資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
4.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
思維導(dǎo)圖
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝ ；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝ ；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝ ；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2.輔助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝.
[常用結(jié)論]
兩角和與差的公式的常用變形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
[常用結(jié)論]
1.降冪公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
2.升冪公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
4.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，，(π，0)， ，(2π，0).
(2)余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，， ，，(2π，1).
5.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R
值域 [－1，1]
最小正周期 π
奇偶性 奇函數(shù) 奇函數(shù)
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間 無(wú)
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸方程 無(wú)
[常用結(jié)論]
1.對(duì)稱性與周期性
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期.
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z).
3.對(duì)于y＝tan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).
典型例題分析
考向一 公式的基本應(yīng)用
例1 (1)若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin＝(　　)
A. B.－
C.－ D.
答案　B
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＜0，
且sin α＝－＝－＝－，
因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.
(2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，則tan(α－β)的值為(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案　A
解析　∵α∈，
∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
感悟提升　1.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.
2.使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.
考向二 給值求值
例2 (1)(2023·淄博模擬)已知α∈，且cos 2α＝sin，則sin 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－1 D.1
答案　C
解析　∵cos 2α＝sin＝(sin α＋cos α)，
∴cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，
∴(cos α＋sin α)＝0，
∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，
即sin 2α＝－1，
由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，
即sin 2α＝，
因?yàn)棣痢剩?br/>所以2α∈(－π，0)，sin 2α＜0，
綜上，sin 2α＝－1.
(2)(2021·全國(guó)甲卷)若α∈，tan 2α＝，則tan α＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因?yàn)閠an 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因?yàn)棣痢剩?br/>所以cos α＝，tan α＝＝.
感悟提升　給值求值問(wèn)題，要注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個(gè)觀察方向：
(1)有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn)，使關(guān)系明朗化；
(2)尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知x∈[0，2π]，如果y = cosx是增函數(shù)，且y = sinx是減函數(shù)，那么（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四個(gè)函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是 （ ）
A． B．y=tan x
C．y=lnx D．y=x|x|
3．已知函數(shù)y＝f（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式最可能是（ ）
A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x
4．如果函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，則的值為（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
5．在下面給出的函數(shù)中,哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間上的增函數(shù)又是以為周期的偶函數(shù)( )
A． B．
C． D．
6．已知函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)是偶函數(shù)
B．函數(shù)的最小正周期為
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
二、多選題
7．若函數(shù)的最小正周期為，則的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．-2
8．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該函數(shù)的其中一個(gè)周期為
B．該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象
D．該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
三、填空題
9．函數(shù)的最小正周期為，則______.
10．函數(shù)的最小正周期是，則______.
11．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則常數(shù)的一個(gè)取值為______.
12．函數(shù)的局部圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為________.
四、解答題
13．求下列函數(shù)的最小正周期．
（1）f(x)＝cos；
（2）y＝4sin (a≠0)．
14．利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)，的簡(jiǎn)圖．
15．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，其圖象距離該零點(diǎn)最近的一條對(duì)稱軸為．
（1）求函數(shù)的解析式及函數(shù)的對(duì)稱中心；
（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
16．已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最值.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．下列函數(shù)不是偶函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．如圖是函數(shù)的部分圖像，則（ ）．
A． B．
C． D．
4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰好有條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋α)在x＝時(shí)有極大值，且f(x－β)為奇函數(shù)，則α，β的一組可能值依次為(　　)
A． B．
C． D．
6．函數(shù)的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
7．已知函數(shù)的最小正周期為π，則（ ）
A．
B．函數(shù)為奇函數(shù)
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．直線是圖象的一條對(duì)稱軸
8．設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．為偶函數(shù)，則___________.（寫出一個(gè)值即可）
10．設(shè)點(diǎn)是的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，若到圖像的對(duì)稱軸的距離的最小值是，則的最小正周期是_________.
11．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.
12．已知函數(shù)，設(shè)方程的根從小到大依次為，且，則___________.
四、解答題
13．已知是以為周期的偶函數(shù)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求的解析式．
14．已知函數(shù)（其中，，,）的部分圖象如圖所示．
(1)求，，的值；
(2)求的單調(diào)增區(qū)間.
15．已知向量，，函數(shù).
（1）求圖象的對(duì)稱中心；
（2）若動(dòng)直線與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度的取值范圍.
16．已知函數(shù)的最小值為.最大值為4，求a和b的值．
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4.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
思維導(dǎo)圖
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2.輔助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
[常用結(jié)論]
兩角和與差的公式的常用變形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin__αcos__α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
[常用結(jié)論]
1.降冪公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
2.升冪公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
4.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
5.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
遞增區(qū)間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區(qū)間 [2kπ，2kπ＋π] 無(wú)
對(duì)稱中心 (kπ，0)
對(duì)稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無(wú)
[常用結(jié)論]
1.對(duì)稱性與周期性
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期.
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z).
3.對(duì)于y＝tan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).
典型例題分析
考向一 公式的基本應(yīng)用
例1 (1)若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin＝(　　)
A. B.－
C.－ D.
答案　B
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＜0，
且sin α＝－＝－＝－，
因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.
(2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，則tan(α－β)的值為(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案　A
解析　∵α∈，
∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
感悟提升　1.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.
2.使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.
考向二 給值求值
例2 (1)(2023·淄博模擬)已知α∈，且cos 2α＝sin，則sin 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－1 D.1
答案　C
解析　∵cos 2α＝sin＝(sin α＋cos α)，
∴cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，
∴(cos α＋sin α)＝0，
∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，
即sin 2α＝－1，
由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，
即sin 2α＝，
因?yàn)棣痢剩?br/>所以2α∈(－π，0)，sin 2α＜0，
綜上，sin 2α＝－1.
(2)(2021·全國(guó)甲卷)若α∈，tan 2α＝，則tan α＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因?yàn)閠an 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因?yàn)棣痢剩?br/>所以cos α＝，tan α＝＝.
感悟提升　給值求值問(wèn)題，要注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個(gè)觀察方向：
(1)有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn)，使關(guān)系明朗化；
(2)尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.
考向三
考向四
考向五
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知x∈[0，2π]，如果y = cosx是增函數(shù)，且y = sinx是減函數(shù)，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
【詳解】當(dāng)，，如果是增函數(shù)，
則，
若是減函數(shù)，
則，
若同時(shí)滿足條件，
則，
故選：．
2．下列四個(gè)函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是 （ ）
A． B．y=tan x
C．y=lnx D．y=x|x|
【答案】D
【分析】由奇偶性排除AC，由增減性排除B，D選項(xiàng)符合要求.
【詳解】，不是奇函數(shù)，排除AC；定義域?yàn)椋谏蠟樵龊瘮?shù)，故在定義域上為增函數(shù)的說(shuō)法是不對(duì)的，C錯(cuò)誤；滿足，且在R上為增函數(shù)，故D正確.
故選：D
3．已知函數(shù)y＝f（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式最可能是（ ）
A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x
【答案】A
【分析】由圖象判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)值的符號(hào)，運(yùn)用排除法可得結(jié)論.
【詳解】由f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得f（x）為奇函數(shù)，
對(duì)于選項(xiàng)B，f（x）＝sinx－x2，f（－x）＝－sinx－x2≠－f（x），f（x）不為奇函數(shù)，故排除B；
對(duì)于選項(xiàng)C，f（x）＝，f（－x）＝＝2x（1－cosx）≠－f（x），f（x）不為奇函數(shù)，故排除C；
對(duì)于選項(xiàng)D，f（x）＝x＋sinx，f（－x）＝－sinx－x＝－f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，
由f（x）＝0，可得sinx＝－x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝－x的圖象可知它們只有一個(gè)交點(diǎn)，故排除D；
對(duì)于選項(xiàng)A，f（x）＝xcosx，f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，
且f（x）＝0時(shí)，x＝0或x＝kπ＋（k∈Z），f（）＜0，f（π）＜0，
故選項(xiàng)A最可能正確.
故選：A.
4．如果函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，則的值為（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【分析】根據(jù)兩個(gè)零點(diǎn)的距離可以求出三角函數(shù)的半個(gè)周期，再利用周期公式可以得到答案
【詳解】函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為函數(shù)的半個(gè)周期，，
故選：B.
5．在下面給出的函數(shù)中,哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間上的增函數(shù)又是以為周期的偶函數(shù)( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和三角函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.
【詳解】對(duì)于A,函數(shù)不是周期函數(shù),所以排除A.
對(duì)于B,函數(shù)的最小正周期為,且根據(jù)正弦函數(shù)的圖像可知在區(qū)間上為增函數(shù),所以B正確.
對(duì)于C,函數(shù)周期為,在區(qū)間上為減函數(shù),所以排除C.
對(duì)于D,函數(shù)的周期為,在區(qū)間上是先增后減,所以排除D.
故選:B.
6．已知函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)是偶函數(shù)
B．函數(shù)的最小正周期為
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】D
【分析】函數(shù)，利用余弦函數(shù)的周期、奇偶性、對(duì)稱軸，單調(diào)性求解．
【詳解】對(duì)于函數(shù)，
由于，故函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；
由知，它的周期等于，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，故C正確；
令，則，則不是的對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤．
故選：D
二、多選題
7．若函數(shù)的最小正周期為，則的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】BC
【解析】根據(jù)周期公式求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為
所以，
故選：BC.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
8．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該函數(shù)的其中一個(gè)周期為
B．該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象
D．該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【分析】根據(jù)周期函數(shù)定義判斷，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱條件判斷，求平移后函數(shù)表達(dá)式判斷，求出遞減區(qū)間判斷．
【詳解】解：令；
對(duì)于，因?yàn)椋詫?duì)；
對(duì)于，因?yàn)椋詫?duì)；
對(duì)于，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，
函數(shù)與函數(shù)不同，所以錯(cuò)；
對(duì)于，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，因?yàn)椋詫?duì)；
故選：．
三、填空題
9．函數(shù)的最小正周期為，則______.
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的最小正周期的定義及求法，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)的最小正周期為，可得，
解得，所以.
故答案為：
10．函數(shù)的最小正周期是，則______.
【答案】2
【分析】根據(jù)周期的計(jì)算公式，代入周期即可得到的值.
【詳解】因?yàn)椋?
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期公式的運(yùn)用，難度較易.知道其中一個(gè)量即可求解另一個(gè)量.
11．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則常數(shù)的一個(gè)取值為______.
【答案】（答案不唯一，滿足即可）
【解析】令，將代入可求出.
【詳解】令，，解得，
關(guān)于對(duì)稱，
是的對(duì)稱軸，
，解得，
令得.
故答案為：（答案不唯一，滿足即可）.
12．函數(shù)的局部圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為________.
【答案】
【分析】由函數(shù)的最小值可求得的值，由函數(shù)圖象可得出函數(shù)的最小正周期，可求得的值，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，結(jié)合的取值范圍可求得的值，即可得出函數(shù)解析式.
【詳解】由圖可得，則，
由圖象可知，函數(shù)的最小正周期滿足，故，
，則函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得，可得，
所以，，可得，
因?yàn)椋剩?br/>因此，函數(shù)解析式為.
故答案為：.
四、解答題
13．求下列函數(shù)的最小正周期．
（1）f(x)＝cos；
（2）y＝4sin (a≠0)．
【答案】（1）T＝π；（2）T＝.
【分析】利用正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)最小正周期的計(jì)算公式，即可容易求得結(jié)果.
【詳解】（1）∵y＝cos，∴ω＝2.
又T＝＝＝π，
∴函數(shù)f(x)＝cos的最小正周期T＝π.
（2）當(dāng)a>0時(shí)，T＝，
當(dāng)a<0時(shí)，y＝－4sin，T＝.
綜上可知，T＝.
【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)的最小正周期的求解，屬簡(jiǎn)單題.
14．利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)，的簡(jiǎn)圖．
【答案】作圖見解析
【分析】按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列出表格，畫出圖像得到答案.
【詳解】按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：
x 0
0 1 0 0
1
利用正弦函數(shù)的性質(zhì)描點(diǎn)連線作圖，如圖：
15．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，其圖象距離該零點(diǎn)最近的一條對(duì)稱軸為．
（1）求函數(shù)的解析式及函數(shù)的對(duì)稱中心；
（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】（1）；對(duì)稱中心是；（2）.
【分析】（1）依題意可得函數(shù)的最小正周期為，即可求出的值，再根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，求出，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）依題意函數(shù)的圖像與直線在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可得到，再分與兩種情況討論可得；
【詳解】解：（1）由題意，，∴．
得將代入得
又∴∴．
令得，∴的對(duì)稱中心是．
（3）由（1）得，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，函數(shù)的圖像與直線在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，所以，
時(shí)，得∴．
時(shí)，，不合題意，舍去．
綜上，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解得的關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式，對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)；
16．已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最值.
【答案】（1）；（2）函數(shù)的最大值為，最小值為.
【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即求出f（x）的最大值和最小值．
【詳解】函數(shù)f（x）=sin4x+cos4x+sin2xcos2x
化簡(jiǎn)可得：f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x+sin4x
=1﹣sin22x+sin4x
=1﹣（cos4x）+sin4x
=sin4x+cos4x+
=sin（4x+）+
（1）f（x）的最小正周期T=
（2）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，
那么：4x+∈[]
∴sin（4x+）∈[，1]
當(dāng)4x+=時(shí)，f（x）取得最小值為，此時(shí)x=．
當(dāng)4x+=時(shí)，f（x）取得最大值為，此時(shí)x=．
∴當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求f（x）的最大值為，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．下列函數(shù)不是偶函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷.
【詳解】，定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù).
ABD均滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝f(x)，即ABD均為偶函數(shù).
故選：C.
2．函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及圖象的特征逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，故排除C、D；
當(dāng)時(shí)，，，所以，故排除B.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
3．如圖是函數(shù)的部分圖像，則（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)確定周期，從而求出的值，再代入零點(diǎn)求出的值.
【詳解】解：由圖像可知：，則，所以.
則，又過(guò)點(diǎn)，則有，所以，，因?yàn)椋?即.
故選：C
4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰好有條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可求得的取值范圍，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰好有條對(duì)稱軸，所以，解得.
故選：B.
5．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋α)在x＝時(shí)有極大值，且f(x－β)為奇函數(shù)，則α，β的一組可能值依次為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】依題意得2×＋α＝2k1π＋，即α＝2k1π＋，k1∈Z，A，B均不正確．由f(x－β)是奇函數(shù)得f(－x－β)＝－f(x－β)，即f(－x－β)＋f(x－β)＝0，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－β，0)對(duì)稱，f(－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k2π，k2∈Z，結(jié)合選項(xiàng)C，D取α＝得β＝＋，k2∈Z，故選D.
6．函數(shù)的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，，可得出A、B項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)，可得出D項(xiàng)錯(cuò)誤.
【詳解】由已知可得，定義域?yàn)镽，且，所以A、B項(xiàng)錯(cuò)誤；
又，所以為偶函數(shù).
又，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確.
故選：C.
二、多選題
7．已知函數(shù)的最小正周期為π，則（ ）
A．
B．函數(shù)為奇函數(shù)
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．直線是圖象的一條對(duì)稱軸
【答案】ABD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)A：由題意可得：，解得，A正確；
故，
對(duì)B：，故函數(shù)為奇函數(shù)，B正確；
對(duì)C：令，解得，
故函數(shù)的遞減區(qū)間為，
令，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；
對(duì)D：為最大值，故直線是圖象的一條對(duì)稱軸，D正確.
故選：ABD.
8．設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】由題得，令，求出解不等式得解.
【詳解】由題得，
令，解得，取k＝0，
，即．
故選：BCD
三、填空題
9．為偶函數(shù)，則___________.（寫出一個(gè)值即可）
【答案】符合，的都對(duì)，寫出一個(gè)值即可，比如：.
【分析】要為偶函數(shù)，只要等于的奇數(shù)倍即可.
【詳解】要為偶函數(shù)，必須能化成的形式，根據(jù)誘導(dǎo)公式，，，寫出符合條件的一個(gè)值即可.
故答案為：符合，的都對(duì)，寫出一個(gè)值即可，比如：.
10．設(shè)點(diǎn)是的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，若到圖像的對(duì)稱軸的距離的最小值是，則的最小正周期是_________.
【答案】
【分析】由三角函數(shù)的圖象知，點(diǎn)到圖象的對(duì)稱軸上的距離的最小值，知，由此可以求出最小正周期.
【詳解】解：點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且點(diǎn)到圖象的對(duì)稱軸上的距離的最小值，
∴，
即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸距離是周期的四分之一，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考試題的一個(gè)熱點(diǎn)，本題比較基礎(chǔ).
11．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.
【答案】①④
【分析】由在上單調(diào)遞增可比較①中大小；由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得②中的值相等；由在上單調(diào)遞增可比較③中大小；由三角函數(shù)線可直觀比較④中大小.
【詳解】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可知：
在上單調(diào)遞增
，，①正確；
由誘導(dǎo)公式，可得：
，②錯(cuò)誤；
根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可知：
在上單調(diào)遞增，
，，③錯(cuò)誤；
畫出的正弦線和正切線，如下：
由圖可知，④正確.
故答案為：①④
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)單調(diào)性，誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)線畫法，通過(guò)本題可以總結(jié)出比較三角函數(shù)值大小常用的兩種方法：
（1）利用函數(shù)單調(diào)性；
（2）利用三角函數(shù)線.
12．已知函數(shù)，設(shè)方程的根從小到大依次為，且，則___________.
【答案】/
【分析】先由確定， 再根據(jù)方程的根從小到大依次為，可得，即可求得，從而求得m的值.
【詳解】由題意可知，,故，
由于方程的根從小到大依次為，
即有，且關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，
所以，
所以，
所以，又，故，
解得，所以，
故答案為：
四、解答題
13．已知是以為周期的偶函數(shù)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求的解析式．
【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合已知和函數(shù)的周期性和奇偶性可得答案
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)闀r(shí)，，
所以，
因?yàn)槭且詾橹芷诘呐己瘮?shù)，
所以，
所以，
【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的周期性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.
14．已知函數(shù)（其中，，,）的部分圖象如圖所示．
(1)求，，的值；
(2)求的單調(diào)增區(qū)間.
【答案】(1)，，
(2)
【解析】(1)
由圖象可知，，所以，
，，又，所以；
(2)
由（1），
由，得，
所以增區(qū)間是．
15．已知向量，，函數(shù).
（1）求圖象的對(duì)稱中心；
（2）若動(dòng)直線與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，令，可求得函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）由題意可得，由可求得的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得長(zhǎng)度的取值范圍.
【詳解】（1），
令，則，
所以，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為；
（2），
因?yàn)椋裕瑒t，
所以，即線段的長(zhǎng)度的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)對(duì)稱中心坐標(biāo)的求解，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)在區(qū)間上值域的求解，考查了三角恒等變換思想以及平面數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
16．已知函數(shù)的最小值為.最大值為4，求a和b的值．
【答案】或
【分析】利用函數(shù)的最小值和最大值，結(jié)合余弦函數(shù)的值域列方程組，解方程組求得的值.
【詳解】由于，故函數(shù)的最小值為①，最大值為②，解由①②組成的方程組得或.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)余弦型函數(shù)的最大值和最小值求參數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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