資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
4.5 簡單的三角恒等變換
思維導圖
知識點總結
半角公式
(由降冪公式可得)
證明
由降冪公式得，則；
由降冪公式得，則；
.
解釋
半角公式，利用表示了、、.
萬能公式
(由倍角公式可得)
證明
解釋
萬能公式，利用表示了、和.
和化積公式
(由和差公式可得)
證明
4 積化和公式
(由和差公式可得)
證明
解釋
積化和公式相當于和化積公式的逆運算.
典型例題分析
考向一 公式直接應用
例1 利用公式證明：
（1）； （2）.
考向二 結合同角三角函數應用
例2 已知，，，是第三象限角，求的值.
考向三 三角恒等變換的綜合應用
例3 利用和（差）角公式計算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
考向四 二倍角公式與和差角公式
例4 已知，，求，，的值.
考向五 三角函數的證明問題
例5 求證：
（1）；
（2）.
考向六 三角函數的應用問題
例6 求下列函數的周期，最大值和最小值：
（1）； （2）.
基礎題型訓練
一、單選題
1．（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．下列各數，，，中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列化簡結果正確的個數為（ ）
① ②
③ ④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．已知為第三象限角，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數，則函數的最小正周期和最大值分別為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
二、多選題
7．將函數的圖象向左平移個單位后，所得圖象關于軸對稱，則實數的值可能為（ ）
A． B． C． D．
8．若函數，則（ ）
A．的最大值是4
B．的最小正周期是
C．的圖象關于直線對稱
D．在區間上單調遞減
三、填空題
9．____．
10．已知，則______
11．在平面直角坐標系中,已知角的頂點和點重合,始邊與軸的非負半軸重合,終邊上一點的坐標為，則__________．
12．已知，則______.（用含的式子表示）
四、解答題
13．已知函數.
（1）求函數的最小正周期和最大值；
（2）求函數的單調減區間.
14．已知，且.則______.
15．設函數
（1）求函數的對稱中心；
（2）求函數在上的單調遞減區間．
16．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，銳角α、β的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它們的終邊與單位圓分別交于A、B兩點，已知A、B兩點的橫坐標分別為和．
(1)求，的值．
(2)求，的值．
提升題型訓練
一、單選題
1．已知，為銳角，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，則=（　　）.
A． B． C． D．
3．設，若，則（ ）．
A． B． C． D．
4． （ ）
A．4 B． C． D．
5．已知，，則等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，則
A． B． C． D．
二、多選題
7．計算下列各式，結果為的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函數的部分圖象如圖所示，則下列正確的是（ ）
A．θ的值可為
B．若，則k為奇數
C．若，則
D．若，則的最大值要大于
三、填空題
9．已知，，則______.
10．已知，則的值為________．
11．化簡(tan10°－)·＝________.
12．函數的單調遞增區間為__________．
四、解答題
13．證明下列各式.
（1）；
（2）.
14．已知函數的最大值是1.
（1）求常數a的值；
（2）求使成立的x的取值集合.
15．已知函數，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知．求：
(1)的最小正周期；
(2)在區間的取值范圍．
16．在銳角中，．
（1）求角A的大小；
（2）求的最大值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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4.5 簡單的三角恒等變換
思維導圖
知識點總結
半角公式
(由降冪公式可得)
證明
由降冪公式得，則；
由降冪公式得，則；
.
解釋
半角公式，利用表示了、、.
萬能公式
(由倍角公式可得)
證明 ，則；
，則；
，則.
解釋
萬能公式，利用表示了、和.
和化積公式
(由和差公式可得)
證明
.
其他類似證明.
4 積化和公式
(由和差公式可得)
證明
由和化積公式可得
令，，則，，
則公式變成.
其他類似證明.
解釋
積化和公式相當于和化積公式的逆運算.
典型例題分析
考向一 公式直接應用
例1 利用公式證明：
（1）； （2）.
證明：（1）
.
（2）
.
考向二 結合同角三角函數應用
例2 已知，，，是第三象限角，求的值.
解：由，，得
.
又由，是第三象限角，得
.
所以
.
考向三 三角恒等變換的綜合應用
例3 利用和（差）角公式計算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
分析：和、差角公式把的三角函數式轉化成了，的三角函數式.如果反過來，從右到左使用公式，就可以將上述三角函數式化簡.
解：（1）由公式，得
.
（2）由公式，得
.
（3）由公式及，得
.
考向四 二倍角公式與和差角公式
例4 已知，，求，，的值.
分析：已知條件給出了的正弦函數值.由于是的二倍角，因此可以考慮用倍角公式.
解：由，得.
又，
所以
于是
；
；
.
考向五 三角函數的證明問題
例5 求證：
（1）；
（2）.
證明：（1）因為
，
將以上兩式的左右兩邊分別相加，得，
即.
（2）由（1）可得. ①
設，，
那么，.
把，的值代入①，即得.
考向六 三角函數的應用問題
例6 求下列函數的周期，最大值和最小值：
（1）； （2）.
分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函數式是，利用和角公式將其展開，可化為的形式.反之，利用和（差）角公式，可將轉化為的形式，進而就可以求得其周期和最值了.
解：（1）
.
因此，所求周期為，最大值為2，最小值為-2.
（2）設，則.
于是，，
于是，
所以.
取，則，.
基礎題型訓練
一、單選題
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用兩角差的余弦公式即可求解.
【詳解】．
故選：A.
2．在中，若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用平方關系求出，再利用兩角和的余弦公式將展開計算.
【詳解】在中，由，得，
由，得，
∴
.
故選：C.
【點睛】本題主要考查兩角和的余弦公式的應用，屬于基礎題.
3．下列各數，，，中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由兩角和正弦公式，二倍角公式一、誘導公式等化簡函數值，然后由三角函數性質判斷．
【詳解】觀察發現，而，，，
故選：D．
4．下列化簡結果正確的個數為（ ）
① ②
③ ④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】直接由誘導公式及和差角的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式依次判斷即可.
【詳解】，①正確；
，②正確；
，③正確；
，④錯誤；正確的有3個.
故選：C.
5．已知為第三象限角，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據余弦的二倍角公式，結合同角的三角函數關系式、正弦和余弦的二倍角公式、正弦的兩角差公式進行求解即可.
【詳解】
由為第三象限角， 所以，，
所以，，
所以．
故選：D
【點睛】本題考查了同角的三角函數關系式的應用，考查了正弦、余弦二倍角公式，考查了兩角差的正弦公式的應用，考查了數學運算能力.
6．已知函數，則函數的最小正周期和最大值分別為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【解析】利用二倍角的正、余弦公式化簡函數f（x），通過周期公式及三角函數的性質求解即可.
【詳解】因為
∴T，
函數的最大值為：．
故選：C.
【點睛】本題考查二倍角的余弦函數正弦函數的應用，三角函數的周期與最值的求法，屬于基礎題．
二、多選題
7．將函數的圖象向左平移個單位后，所得圖象關于軸對稱，則實數的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用輔助角公式可得，根據圖象平移有，確定平移后的解析式，根據對稱性得到的表達式，即可知可能值.
【詳解】由題意，得：，圖象向左平移個單位，
∴關于軸對稱，
∴，即，
故當時，；當時，；
故選：BD
8．若函數，則（ ）
A．的最大值是4
B．的最小正周期是
C．的圖象關于直線對稱
D．在區間上單調遞減
【答案】BC
【分析】由三角恒等變換可得，根據余弦函數的性質即可求其最值、最小正周期，以及對稱軸、單調減區間，進而判斷各選項的正誤.
【詳解】，
∴最大值為，最小正周期為，A錯誤，B正確；
由關于對稱，令，則，當時，C正確；
由在遞減，令，有，易知，D錯誤.
故選：BC
三、填空題
9．____．
【答案】
【分析】利用兩角差的正弦公式即可得到化簡結果
【詳解】
又
故答案為：或
10．已知，則______
【答案】
【分析】直接利用三角函數關系式的恒等變換和角的變換的應用求出結果．
【詳解】由于，
則，所以，
．
故答案為：
【點睛】本題考查三角函數關系式的恒等變換，角的關系式的變換，主要考查學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題型．
11．在平面直角坐標系中,已知角的頂點和點重合,始邊與軸的非負半軸重合,終邊上一點的坐標為，則__________．
【答案】
【分析】由三角函數的定義與兩角和的正切公式求解，
【詳解】由題可得，所以，
故答案為：
12．已知，則______.（用含的式子表示）
【答案】
【分析】已知式通分后逆用兩角和的正弦公式，再由商數關系求得
【詳解】
，
.
故答案為：．
四、解答題
13．已知函數.
（1）求函數的最小正周期和最大值；
（2）求函數的單調減區間.
【答案】（1）；（2）..
【分析】（1）應用二倍角公式，將函數化為正弦型三角函數，即可求解；
（2）根據正弦函數的單調遞減區間結合整體代換，即可求出結論.
【詳解】（1），
最小正周期為，最大值為；
（2）由，
，
單調遞減區間是.
【點睛】本題考查二倍角公式化簡函數，考查三角函數的性質，屬于中檔題.
14．已知，且.則______.
【答案】/
【分析】利用同角三角函數的基本關系可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得結果.
【詳解】因為，且，所以，
所以，所以.
故答案為：.
15．設函數
（1）求函數的對稱中心；
（2）求函數在上的單調遞減區間．
【答案】（1）對稱中心為，；（2）遞減區間.
【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，利用三角函數的圖象與性質求得對稱中心．
（2）根據三角函數的圖象與性質求得函數的單調減區間．
【詳解】解：（1）因為
所以，
令，，
求得．所以對稱中心為，
（2）令，求得，
即函數的減區間為，又，所以函數的單調遞減區間為
【點睛】本題主要考查了三角函數圖象與性質，三角函數恒等變換的應用．考查了學生對三角函數基礎公式的應用，屬于基礎題．
16．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，銳角α、β的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它們的終邊與單位圓分別交于A、B兩點，已知A、B兩點的橫坐標分別為和．
(1)求，的值．
(2)求，的值．
【答案】(1)，；
(2)，.
【分析】（1）根據給定條件，利用三角函數定義求出，再利用平方關系求解作答.
（2）利用（1）的結論，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答.
【詳解】（1）依題意，，而為銳角，
所以，.
（2）由（1）知，，，，
于是，，
所以，
.
提升題型訓練
一、單選題
1．已知，為銳角，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知求出，再利用差的正切公式可求.
【詳解】因為，為銳角，所以.所以，，
又，
則.
故選：C.
2．已知，，則=（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用兩角差的正弦公式和余弦的倍角公式對已知等式化簡，列方程組求解.
【詳解】，，
，，
由，解得.
故選：B
3．設，若，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】結合余弦二倍角公式化簡即可求解
【詳解】結合題干，由可得，
即，所以或，
故選：D．
【點睛】本題考查二倍角余弦公式的使用，屬于基礎題
4． （ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函數基本關系式，誘導公式和輔助角公式直接求解.
【詳解】.
故選：D.
5．已知，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把已知兩等式平方后作和，結合同角三角函數平方關系和兩角和差余弦公式可化簡求得結果.
【詳解】由得：，
由得：，
兩式相加得：，即，
.
故選：.
【點睛】本題考查利用三角恒等變換公式化簡求值的問題，涉及到同角三角函數平方關系的應用；關鍵是能夠通過平方運算配湊出符合兩角和差余弦公式的形式.
6．已知，則
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據誘導公式以及兩角差的正弦和正切公式求解即可.
【詳解】由已知, ,得,所以,顯然,所以,所以.
故選：B
【點睛】本題考查三角函數的誘導公式和兩角和公式,考查推理論證能力以及數形結合思想.
二、多選題
7．計算下列各式，結果為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】運用誘導公式、輔助角公式、二倍角公式、和差角公式及切化弦化簡計算即可.
【詳解】對于A項，，故A項成立；
對于B項，，故B項不成立；
對于C項，，故C項不成立；
對于D項，，故D項成立.
故選：AD.
8．函數的部分圖象如圖所示，則下列正確的是（ ）
A．θ的值可為
B．若，則k為奇數
C．若，則
D．若，則的最大值要大于
【答案】BCD
【分析】由圖象確定函數的周期求得，再由零點求得，從而得函數解析式，然后由結合正弦函數性質、輔助角公式，判斷各選項．
【詳解】選項A，，，是的零點，由圖象得，得，（以下只要取即可），A錯；
選項B，，則，，，故k為奇數，B對；
選項C，由，可得，即對稱軸為，，為其對稱軸，C對；
選項D，當，時，，
設
，
易知的最大值是，
所以的最大值為，大于，D對．
故選：BCD．
三、填空題
9．已知，，則______.
【答案】
【分析】利用二倍角展開，化簡，再與聯立即可解出．
【詳解】
【點睛】本題考查解三角函數，注意隱含條件的使用．屬于基礎題
10．已知，則的值為________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式,和同角三角函數的關系，運用弦化切，代入可求得值.
【詳解】原式,又∵，
∴原式，
故答案為：.
【點睛】本題考查同角三角函數的關系，和運用二倍角公式化簡求值問題，關鍵在于將齊次式轉化為正切的式子，屬于基礎題.
11．化簡(tan10°－)·＝________.
【答案】-2
【詳解】(tan10°－)·
＝(tan10°－tan60°)·
＝·
＝·
＝·＝·＝－2.
12．函數的單調遞增區間為__________．
【答案】
【分析】先化簡，然后根據正弦函數的單調性和題意的范圍即可求得答案
【詳解】，
由解得，
又∵，∴，即的單調遞增區間為，
故答案為：
四、解答題
13．證明下列各式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】將等式右邊用兩角和與差的余弦公式展開計算可得左邊.
【詳解】證明：（1）.
（2）
.
【點睛】本題考查兩角和與差的余弦公式，是基礎題.
14．已知函數的最大值是1.
（1）求常數a的值；
（2）求使成立的x的取值集合.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）對進行整理化簡，然后根據最大值得到的值；（2）根據（1）將不等式轉化為，從而解得解集.
【詳解】解：（1）根據三角函數的兩角和與差公式可得：
由于函數的最大值是1，所以
即
（2）由（1）知，
由得：，即
因此，
即，
故x的取值集合是.
【點睛】本題考查三角恒等變形，根據函數的最值求參數的值，解正弦不等式，屬于簡單題.
15．已知函數，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知．求：
(1)的最小正周期；
(2)在區間的取值范圍．
【答案】(1)選①；選②；選③
(2)選①；選②；選③
【分析】無論選擇哪個條件，首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數進行化簡變形，
（1）根據函數關系式直接寫出周期；
（2）利用整體思想結合三角函數的性質，用x的范圍，求出或的范圍，即可得到函數的值域．
【詳解】（1）解：若選①，
，
最小正周期為；
若選②，
，
最小正周期為；
若選③，
，
最小正周期為；
（2）選①，因為，所以 ，
所以取值范圍為
選②，因為，所以
所以取值范圍為
選③，因為，所以
所以取值范圍為
16．在銳角中，．
（1）求角A的大小；
（2）求的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用誘導公式、降冪公式和二倍角公式化簡可得,進而求解即可；
（2）,進而利用和角公式展開,整理可得,由的范圍,進而求得最值.
【詳解】解:（1）因為,即,
所以,即,
所以,
所以
（2）由（1）,
,
因為銳角,所以,即,
所以,
當,即時,取得最大值為
【點睛】本題考查利用誘導公式、降冪公式和二倍角公式化簡求值,考查和角公式的應用,考查三角函數的最值問題.
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