資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
4.6 正、余弦定理及其應(yīng)用舉例
思維導(dǎo)圖
知識點總結(jié)
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常見變形 cos A＝； cos B＝ cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 無解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示a邊上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).
[常用結(jié)論]
1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B a>b sin A
>sin B cos A典型例題分析
考向一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，則B等于(　　)
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
答案　D
解析　根據(jù)正弦定理＝，得sin B＝＝＝.
由于b＝＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.
(2)(2021·全國甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，則BC＝(　　)
A.1 B.
C. D.3
答案　D
解析　法一　由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
得BC2＋2BC－15＝0，
解得BC＝3或BC＝－5(舍去).
法二　由正弦定理＝，
得sin C＝＝，
從而cos C＝(C是銳角)，
所以sin A ＝sin [π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×－×＝.
又＝，所以BC＝＝3.
(3)(2023·廣州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2cos Bcos C·(tan B＋tan C)＝cos Btan B＋cos Ctan C，則cos A的最小值是________.
答案　
解析　2cos Bcos C(tan B＋tan C)＝2cos Bcos C
＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＝2sin A，
又cos Btan B＋cos Ctan C＝sin B＋sin C，
所以sin B＋sin C＝2sin A，
由正弦定理得b＋c＝2a，
由余弦定理，得
cos A＝＝＝－≥－＝，
當且僅當b＝c＝a時取等號，
故cos A的最小值為.
感悟提升　1.利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷).
2.利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.
考向二 　 判斷三角形的形狀
例2 (1)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為(　　)
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　A
解析　因為sin2 ＝，
所以＝，即cos B＝.
法一　由余弦定理得＝，
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.
所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.
法二　由正弦定理得cos B＝，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，
又sin B≠0，所以cos C＝0，
又角C為三角形的內(nèi)角，所以C＝，
所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.
(2)在△ABC中，＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為________.
答案　等邊三角形
解析　因為＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因為A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等邊三角形.
感悟提升　判斷三角形形狀的兩種思路
(1)化為邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.
(2)化為角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論.
考向三 與三角形面積(周長)有關(guān)的計算
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面積；
(2)若sin Asin C＝，求b.
解　(1)由S1－S2＋S3＝，
得(a2－b2＋c2)＝，
即a2－b2＋c2＝2，
又a2－b2＋c2＝2accos B，
所以accos B＝1.由sin B＝，
得cos B＝或cos B＝－(舍去)，
所以ac＝＝，
則△ABC的面積S＝acsin B＝××＝.
(2)由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知
＝＝＝，
即b2＝×＝，得b＝.
感悟提升　三角形面積公式的應(yīng)用原則
(1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.
(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化.
考向四 多邊形中的解三角形問題
例4 (2023·煙臺一模)如圖，四邊形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.
(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面積；
(2)若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.
解　(1)在△ABC中，cos B＝＝＝－，
因為0°＜B＜180°，所以B＝120°.
S△ABC＝AB·BCsin 120°＝×3×1×＝.
(2)由(1)知B＝120°，設(shè)∠ACB＝θ，
則∠ACD＝120°－θ，∠ADC＝30°＋θ，∠BAC＝60°－θ.
在△ACD中，由＝，
得AC＝CD.
在△ABC中，由＝，
得AC＝BC.
聯(lián)立上式，并由CD＝BC得sin(30°＋θ)sin(60°－θ)＝，
所以sin(60°＋2θ)＝，
由題可知0°＜θ＜60°，
所以60°＜60°＋2θ＜180°，
所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，
即∠ACB的值為45°.
感悟提升　平面幾何中解三角形問題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；
(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.
考向五 三角形中的最值、范圍問題
例5(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值.
[思路分析]　(1)化簡條件式，利用C＝消去角A得到角B的三角方程，即可求解.
(2)利用條件式得到A，B的關(guān)系式，利用正弦定理把轉(zhuǎn)化為B的三角函數(shù)式，利用基本不等式求其最小值.
[規(guī)范解答]　解　(1)因為＝，
所以＝，
→
所以＝，(2分)
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
，(4分)
→由cos(A＋B)＝－cos C，角C＝，進而求B
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.
因為B∈，所以B＝.(5分)
→
(2)
→
所以sin＝sin B，
且0所以0→
所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B，(8分)
由正弦定理得＝
→
＝＝②
→
＝＝
＝＝4cos2B＋－5③(10分)
→
≥2－5＝4－5③，
當且僅當cos2B＝時取等號，
→
所以的最小值為4－5.(12分)
[滿分規(guī)則]
得步驟分：
①處的實質(zhì)都是解三角方程，都要注意寫清楚角的范圍，否則易失步驟分.
得關(guān)鍵分：
②處消去角A是本題得解的關(guān)鍵所在.
得計算分：
③處利用基本不等式求最小的關(guān)鍵是把目標函數(shù)化為其適用形式.
感悟提升　對于解三角形中的證明問題，要仔細觀察條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二者的差異，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把條件轉(zhuǎn)換為結(jié)論，即為證明過程.
考向六 三角函數(shù)模型
例6 (多選)(2023·福州模擬)如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計時，則(　　)
A.點P第一次到達最高點需要20秒
B.當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面2米
C.當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米
D.點P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為h＝4cos＋2
答案　ABC
解析　設(shè)點P距離水面的高度h(米)和時間t(秒)的函數(shù)解析式為
h＝Asin(ωt＋φ)＋B，
由題意得
解得
故h＝4sin＋2，故D錯誤；
對于A, 令h＝6，即h＝4sin＋2＝6，
解得t＝20，故A正確；
對于B，令t＝155，代入h＝4sin＋2，
解得h＝2，故B正確；
對于C，令t＝50，代入h＝4sin＋2，
解得h＝－2，故C正確.
感悟提升　1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題.
2.方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).
3.三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．在中，已知，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】直接由正弦定理即可得到答案
【詳解】由正弦定理，得．
故選：B
2．有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形,它的上底長為6m,下底長為10m,高為,那么此攔水壩斜坡的坡度和坡角分別為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出，則，再解直角三角形得解.
【詳解】如圖所示,橫斷面是等腰梯形,,,高，
則,∴,∴.
故選：B
【點睛】本題主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
3．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理得出，再求的面積.
【詳解】由，得．因為，，，所以，故的面積．
故選：D
4．要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，則電視塔的高度為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用表達，在△中用余弦定理即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，在△中，因為，故可得；
在△中，因為，故可得；
在△中，由余弦定理，
即，整理得：，解得.
即電視塔的高度為.
故選：.
5．在中，，，，則滿足條件的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定
【答案】C
【分析】根據(jù)題意判斷的大小關(guān)系，即可得出答案.
【詳解】解：因為，，，，
所以，
所以三角形有兩個解，即滿足條件的有2個.
故選：C.
6．在銳角三角形中，，，分別是角，，的對邊，已知，是方程的兩個根，且，則c＝（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據(jù)韋達定理求出，，再根據(jù)余弦定理求.
【詳解】，是方程的兩個根，
，，
因為，
, 是銳角三角形，
根據(jù)余弦定理可知
即，
故選：B
【點睛】本題考查解三角形和二次方程韋達定理的綜合應(yīng)用，重點考查計算能力，轉(zhuǎn)化與變形，屬于基礎(chǔ)題型.
二、多選題
7．某人在處向正東方向走后到達處，他沿南偏西方向走到達處，這時他離出發(fā)點，那么的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.
【詳解】如圖，由條件可知，，，，，根據(jù)余弦定理可知，即，
解得：或
故選：AB
8．的內(nèi)角的對邊分別為，下列結(jié)論一定成立的有（ ）
A．
B．若，則
C．若，則是等腰三角形
D．若，則是等腰三角形
【答案】BC
【分析】根據(jù)正弦定理，兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式等知識，逐一分析選項，即可得答案.
【詳解】對于A：因為中，
所以，故A錯誤；
對于B：因為，所以，由正弦定理得，
所以，即，故B正確；
對于C：因為，由正弦定理邊化角得，
所以，
因為，所以或（舍），所以是等腰三角形，故C正確；
對于D：因為，且，
所以或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故D錯誤.
故選：BC
三、填空題
9．在中，，，，則__________．
【答案】/
【分析】利用正弦定理解三角形即可.
【詳解】由正弦定理得，所以，又，所以.
故答案為：.
10．的內(nèi)角、、所對邊分別為、、，已知，則的最大值為__．
【答案】
【解析】由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式化簡已知等式，結(jié)合，可得，則由正弦定理可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求其最大值．
【詳解】，
由正弦定理可得：，
，，即，
由正弦定理可得，可得，
當為直角時，的最大值為1．
故答案為：1．
11．甲船在島的正南處， ，甲船以每小時的速度向正北方向航行，同時乙船自出發(fā)以每小時的速度向北偏東的方向駛?cè)ィ住⒁覂纱嗑嘧罱木嚯x是_____.
【答案】
【分析】根據(jù)條件畫出示意圖，在三角形中利用余弦定理求解相距的距離，利用二次函數(shù)對稱軸及可求解出最值.
【詳解】假設(shè)經(jīng)過小時兩船相距最近，甲、乙分別行至，，
如圖所示，可知，，，
．
當小時時甲、乙兩船相距最近，最近距離為．
【點睛】本題考查解三角形的實際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是通過題意將示意圖畫出來，然后將待求量用未知數(shù)表示，最后利用函數(shù)思想求最值.
12．在中，AB=1，BC=2，以C為直角頂點向外作等腰直角三角形ACD，當∠ABC變化時，線段BD的最大值為______．
【答案】/
【分析】設(shè)角，，在三角形中由正弦定理，余弦定理分別表示出的長，角，之間的關(guān)系，在中由余弦定理表示出的長，即可求得答案．
【詳解】設(shè)角，，
在三角形中，，
，
由正弦定理得，，
，
在三角形中，，，，
由余弦定理得，
，
當 即時， 取到最大值 ，
的最大值為：，
故答案為：．
四、解答題
13．在中，，，為邊上一點，且．
（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）在△中，由余弦定理，即可求.
（2）在中，由正弦定理，即可求.
【詳解】（1）在△中，，，，
由余弦定理得：，
∴．
（2）在中，，，，
由正弦定理得：，即，
∴．
14．在中，角所對的邊分別為，且滿足．
(1)求角的值；
(2)若，且，求的取值范圍．
【答案】(1);
(2)．
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式，正弦的二倍角公式化簡得到，從而求出；
（2）借助正弦定理化邊為角的正弦，得到，結(jié)合，求出答案.
（1）
由誘導(dǎo)公式可知
所以，
故
化簡得：，
因為，所以
故，．
（2）
由正弦定理，
所以，，
故．
因為，所以，
∴，，
∴．
15．中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，．
(1)，時，求CD的長度；
(2)若CD為角C的平分線，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，可得，然后根據(jù)向量的模長計算公式，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，可得，然后結(jié)合三角形的面積公式即可得到，從而得到的面積.
【詳解】（1）當時，
則
所以，
∴．
（2）因為，
即，∴，又，
∴，則，
∴．
16．已知的角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式得到，再由正弦定理將邊化角，最后結(jié)合誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式計算可得；
（2）由（1）求出，再由余弦定理計算可得.
【詳解】（1）解：∵，
∴，
即，
由正弦定理可得，
∵，則，所以，
∴，
∴．
∵，∴．
（2）解：由（1）可知，
而，∴．
∵，，
∴由余弦定理可得，
整理得，解得或（舍去），
∴．
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．在△ABC中，，則的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦定理直接求解出結(jié)果.
【詳解】由正弦定理得,
故選：A.
2．在中，角的對邊分別為，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量數(shù)量積運算法則及正弦定理得，求出，，再利用余弦定理求出.
【詳解】由題意得：，
因為，所以，
由正弦定理得：，
即，
因為，
所以，
故，即，
則，
由余弦定理及得：，
即，解得：.
故選：B
3．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直接利用余弦定理計算得到答案.
【詳解】，，
.
故選：C.
【點睛】本題考查了余弦定理，屬于簡單題.
4．在中，角的對邊為，若，則當取最大值時，的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理可得：，再利用基本不等式的性質(zhì)可得的最大值，再利用三角形面積計算公式即可得出．
【詳解】解：在中，由余弦定理可得：，當且僅當時取等號．
，
當取最大值時，的面積．
故選：B．
5．如圖，四邊形中，，，且、的周長相等，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，設(shè)，可得出，根據(jù)已知條件求出的值，可求出的正弦值和余弦值，進一步可求得的正弦值和余弦值，然后利用二倍角的正弦公式可求得結(jié)果.
【詳解】，，所以，為等腰直角三角形，
所以，，，
設(shè)，則，
因為、的周長相等，則，解得，則，
于是，，
故，
.
因此，．
故選：C.
【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：
（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；
（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；
（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；
（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；
（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.
6．如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的A點測得的仰角為，，，（單位：），（點在同一水平地面上），則大跳臺最高高度（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】在中由正弦定理算出，在中，得到.
【詳解】在中, ，，所以，又，由正弦定理可得,
,
,
在中，,
所以，（m）
故選：C.
二、多選題
7．的內(nèi)角 的對邊分別為 ，，，則可以為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】AB
【分析】根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)正弦的范圍選擇即可
【詳解】在中，，，由正弦定理可得，即，所以，因為，所以，所以可以為7，8
故選：AB
8．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．若，且的面積為，則的最小邊長為2
C．若時，是唯一的，則
D．若時，周長的范圍為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)題干已知等式，利用正弦定理、三角和差公式可解得，再根據(jù)各個選項的條件逐一求解即可.
【詳解】對于選項A：已知等式利用正弦定理化簡得：
，整理得： ，即。
，則，故A選項正確；
對于選項B：因為，且的面積為，則由正弦定理得，而又，解得，所以，而，由余弦定理得：,則，所以三角形中邊長為最小邊，，故B選項正確；
對于選項C：當時，而又，由正弦定理，即，唯一，
，故C選項錯誤;
對于選項D：
，
，
則有 即，而，
所以周長 的范圍為，故D選項正確.
故選：ABD.
三、填空題
9．在中，已知，，，則邊上的中線長為________．
【答案】
【分析】先利用余弦定理求得的值,再設(shè)中線,利用余弦定理求出中線的值.
【詳解】由條件知：,
設(shè)中線長為,由余弦定理知：
所以.所以邊上的中線長為.
故答案為:.
【點睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
10．在鋪砌領(lǐng)域，有一座數(shù)學(xué)家們在半個多世紀里一直追尋的“圣杯”，這座圣杯名為“愛因斯坦”，指的是一個可以填滿無限平面，且不會自我重復(fù)的“非周期性”鋪砌塊．2023年3月20日，一個由數(shù)學(xué)家和計算機科學(xué)家組成的研究團隊，在論文預(yù)印網(wǎng)站arXiv上提交了一篇論文，表示他們找到了這樣一種由多個相同的“風(fēng)箏”粘在一起而形成的十三邊形（如右圖所示），只用此十三邊形就能做到單鋪砌塊，也就是數(shù)學(xué)家們尋找的“圣杯”．若已知此十三邊形最短的邊長為1，則此十三邊形的面積為_____________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后由十三邊形的面積為即可得到結(jié)果．
【詳解】
由圖可知：，
，∴，∴，，
∴十三邊形的面積為．
故答案為:
11．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，若，且為的外心，為的重心，則的最小值為________．
【答案】
【分析】根據(jù)，，利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)得到，進而求得和外接圓半徑，然后建立坐標系，寫出外接圓方程，分別表示A，B，C的坐標，進而得到O，G的坐標求解.
【詳解】因為，，
由正弦定理得：，
所以，
因為，
所以，即，
因為，
所以
所以外接圓的半徑為：
建立如圖所示直角坐標系：
則，設(shè)，
由，解得，
所以，
所以外接圓的方程為，
所以點C的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，
設(shè)，
因為G為重心，則， ，
所以，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是將中的5換為邊c，利用正弦定理求得角C，進而求得外接圓方程，再利用坐標法而得解.
12．在銳角三角形中，內(nèi)角所對的邊滿足，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】先利用余弦定理結(jié)合可得，再利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，求出的關(guān)系，從而可將都用表示，再根據(jù)三角形為銳角三角形求出的范圍，再根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】由余弦定理可得，則，
由正弦定理可得
，
因為為銳角三角形，則，所以，
又因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，可得，
由于為銳角三角形，則，即，解得，
則
，
因為，所以，則，
因為存在最大值，則，解得．
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用余弦定理和正弦定理結(jié)合已知條件求得.
四、解答題
13．在中，已知哪些條件可以應(yīng)用余弦定理解三角形？
【答案】兩邊及一角、三邊
【分析】根據(jù)余弦定理的結(jié)構(gòu)特點，即可作出判斷.
【詳解】當已知兩邊及一角或已知三邊時，可利用余弦定理解三角形.
14．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理即可得到答案；
（2）由三角形面積公式即可求得答案.
【詳解】（1）由正弦定理，.
（2）由題意，
.
15．在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，是方程的兩個實根.
(1)求和；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用韋達定理及其同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可求解；
（2）先利用余弦的二倍角公式恒等變形，再利用正弦定理角化邊，最后結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】（1）由題意可知，，即，
由韋達定理得， ，
將代入解得，
又∵是△的內(nèi)角，
∴，
∴，解得，
（2）由得，
根據(jù)正弦定理可得，
由余弦定理可得，即，∴，
又∵ ，∴△是等邊三角形，
因此.
16．已知某漁船在漁港的南偏東方向，距離漁港約海里的處出現(xiàn)險情，此時在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機接到漁船的求救信號，海事巡邏飛機迅速將情況通知了在處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點施救．若海事巡邏飛機測得漁船的俯角為，測得漁政船的俯角為，且漁政船位于漁船的北偏東方向上．
(1)計算漁政船與漁港的距離；
(2)若漁政船以每小時海里的速度直線行駛，能否在小時內(nèi)趕到出事地點？
(參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】(1)海里
(2)能在小時內(nèi)趕到出事地點
【分析】（1）在中，利用正切值可求得；再在中，利用正切值可求得；
（2）在中，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，由可得結(jié)論.
（1）
，，，
；
，，，
即漁政船與漁港的距離為海里.
（2）
由題意知：，
在中，由余弦定理得：，
即，解得：（舍）或；
即，
，能在小時內(nèi)趕到出事地點.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
4.6 正、余弦定理及其應(yīng)用舉例
思維導(dǎo)圖
知識點總結(jié)
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝ ； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝ ＝ ＝2R
常見變形 cos A＝ ； cos B＝ cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ；
(2)sin A＝，sin B＝ ，sin C＝； (3)a∶b∶c＝ ； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的個數(shù) 一解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示a邊上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).
[常用結(jié)論]
1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B a>b sin A
>sin B cos A典型例題分析
考向一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，則B等于(　　)
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
(2)(2021·全國甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，則BC＝(　　)
A.1 B.
C. D.3
(3)(2023·廣州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2cos Bcos C·(tan B＋tan C)＝cos Btan B＋cos Ctan C，則cos A的最小值是________.
感悟提升　1.利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷).
2.利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.
考向二 　 判斷三角形的形狀
例2 (1)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為(　　)
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
(2)在△ABC中，＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為________.
感悟提升　判斷三角形形狀的兩種思路
(1)化為邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.
(2)化為角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論.
考向三 與三角形面積(周長)有關(guān)的計算
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面積；
(2)若sin Asin C＝，求b.
感悟提升　三角形面積公式的應(yīng)用原則
(1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.
(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化.
考向四 多邊形中的解三角形問題
例4 (2023·煙臺一模)如圖，四邊形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.
(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面積；
(2)若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.
感悟提升　平面幾何中解三角形問題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；
(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.
考向五 三角形中的最值、范圍問題
例5(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值.
[思路分析]　(1)化簡條件式，利用C＝消去角A得到角B的三角方程，即可求解.
(2)利用條件式得到A，B的關(guān)系式，利用正弦定理把轉(zhuǎn)化為B的三角函數(shù)式，利用基本不等式求其最小值.
[規(guī)范解答]　解　(1)因為＝，
所以＝，
→
所以＝，(2分)
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
，(4分)
→由cos(A＋B)＝－cos C，角C＝，進而求B
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.
因為B∈，所以B＝.(5分)
→
(2)
→
所以sin＝sin B，
且0所以0→
所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B，(8分)
由正弦定理得＝
→
＝＝②
→
＝＝
＝＝4cos2B＋－5③(10分)
→
≥2－5＝4－5③，
當且僅當cos2B＝時取等號，
→
所以的最小值為4－5.(12分)
[滿分規(guī)則]
得步驟分：
①處的實質(zhì)都是解三角方程，都要注意寫清楚角的范圍，否則易失步驟分.
得關(guān)鍵分：
②處消去角A是本題得解的關(guān)鍵所在.
得計算分：
③處利用基本不等式求最小的關(guān)鍵是把目標函數(shù)化為其適用形式.
感悟提升　對于解三角形中的證明問題，要仔細觀察條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二者的差異，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把條件轉(zhuǎn)換為結(jié)論，即為證明過程.
考向六 三角函數(shù)模型
例6 (多選)(2023·福州模擬)如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計時，則(　　)
A.點P第一次到達最高點需要20秒
B.當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面2米
C.當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米
D.點P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為h＝4cos＋2
感悟提升　1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題.
2.方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).
3.三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．在中，已知，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形,它的上底長為6m,下底長為10m,高為,那么此攔水壩斜坡的坡度和坡角分別為
A． B． C． D．
3．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，則電視塔的高度為（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，，，，則滿足條件的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定
6．在銳角三角形中，，，分別是角，，的對邊，已知，是方程的兩個根，且，則c＝（ ）
A．4 B． C． D．
二、多選題
7．某人在處向正東方向走后到達處，他沿南偏西方向走到達處，這時他離出發(fā)點，那么的值可以是（ ）
A． B． C． D．
8．的內(nèi)角的對邊分別為，下列結(jié)論一定成立的有（ ）
A．
B．若，則
C．若，則是等腰三角形
D．若，則是等腰三角形
三、填空題
9．在中，，，，則__________．
10．的內(nèi)角、、所對邊分別為、、，已知，則的最大值為__．
11．甲船在島的正南處， ，甲船以每小時的速度向正北方向航行，同時乙船自出發(fā)以每小時的速度向北偏東的方向駛?cè)?，甲、乙兩船相距最近的距離是_____.
12．在中，AB=1，BC=2，以C為直角頂點向外作等腰直角三角形ACD，當∠ABC變化時，線段BD的最大值為______．
四、解答題
13．在中，，，為邊上一點，且．
（1）求；
（2）若，求．
14．在中，角所對的邊分別為，且滿足．
(1)求角的值；
(2)若，且，求的取值范圍．
15．中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，．
(1)，時，求CD的長度；
(2)若CD為角C的平分線，且，求的面積．
16．已知的角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求．
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．在△ABC中，，則的值是（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，角的對邊分別為，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角的對邊為，若，則當取最大值時，的面積是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，四邊形中，，，且、的周長相等，則（ ）
A． B． C． D．
6．如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的A點測得的仰角為，，，（單位：），（點在同一水平地面上），則大跳臺最高高度（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
7．的內(nèi)角 的對邊分別為 ，，，則可以為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．若，且的面積為，則的最小邊長為2
C．若時，是唯一的，則
D．若時，周長的范圍為
三、填空題
9．在中，已知，，，則邊上的中線長為________．
10．在鋪砌領(lǐng)域，有一座數(shù)學(xué)家們在半個多世紀里一直追尋的“圣杯”，這座圣杯名為“愛因斯坦”，指的是一個可以填滿無限平面，且不會自我重復(fù)的“非周期性”鋪砌塊．2023年3月20日，一個由數(shù)學(xué)家和計算機科學(xué)家組成的研究團隊，在論文預(yù)印網(wǎng)站arXiv上提交了一篇論文，表示他們找到了這樣一種由多個相同的“風(fēng)箏”粘在一起而形成的十三邊形（如右圖所示），只用此十三邊形就能做到單鋪砌塊，也就是數(shù)學(xué)家們尋找的“圣杯”．若已知此十三邊形最短的邊長為1，則此十三邊形的面積為_____________．
11．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，若，且為的外心，為的重心，則的最小值為________．
12．在銳角三角形中，內(nèi)角所對的邊滿足，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________．
四、解答題
13．在中，已知哪些條件可以應(yīng)用余弦定理解三角形？
14．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，.
（1）求；
（2）求.
15．在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，是方程的兩個實根.
(1)求和；
(2)若，求的值.
16．已知某漁船在漁港的南偏東方向，距離漁港約海里的處出現(xiàn)險情，此時在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機接到漁船的求救信號，海事巡邏飛機迅速將情況通知了在處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點施救．若海事巡邏飛機測得漁船的俯角為，測得漁政船的俯角為，且漁政船位于漁船的北偏東方向上．
(1)計算漁政船與漁港的距離；
(2)若漁政船以每小時海里的速度直線行駛，能否在小時內(nèi)趕到出事地點？
(參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑