資源簡介

1．空間幾何體的結構特征
(1)棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．
棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形．
棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截而成的．
這三種幾何體都是多面體．
(2)圓柱、圓錐、圓臺、球分別是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉而成的，它們都稱為旋轉體．在研究它們的結構特征以及解決應用問題時，常需作它們的軸截面或截面．
(3)由柱、錐、臺、球組成的簡單組合體，研究它們的結構特征實質是將它們分解成多個基本幾何體．
2．空間幾何體的三視圖與直觀圖
(1)三視圖是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；
它包括正視圖、側視圖、俯視圖三種．畫圖時要遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則．
注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線用虛線畫出．熟記常見幾何體的三視圖．畫組合體的三視圖時可先拆，后畫，再檢驗．
(2)斜二測畫法為：
主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法．它的主要步驟：(1)畫軸；(2)畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x′、y′、z′軸的線段；(3)截線段：平行于x、z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變為原來的一半．
三視圖和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩者之間可以互相轉化，這也是高考考查的重點；根據三視圖的畫法規則理解三視圖中數據表示的含義，從而可以確定幾何體的形狀和基本量．
3．幾何體的側面積和體積的有關計算
柱體、錐體、臺體和球體的側面積和體積公式
面積 體積
圓柱 S側＝2πrh V＝Sh＝πr2h
圓錐 S側＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2
圓臺 S側＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱 S側＝Ch V＝Sh
正棱錐 S側＝Ch′ V＝Sh
正棱臺 S側＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h
球 S球面＝4πR2 V＝πR3
題型一　三視圖與直觀圖
例1　將正方體如圖(1)所示截去兩個三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側視圖為(　　)
答案　B
解析　還原正方體后，將D1，D，A三點分別向正方體右側面作垂線．D1A的投影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應為虛線．
跟蹤演練1　若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(　　)
答案　B
解析　所給選項中，A、C選項的正視圖、俯視圖不符合，D選項的側視圖不符合，只有B選項符合．
題型二　幾何體的表面積與體積
例2　如圖所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，側面B′BCC′的面積是S，點A′到側面B′BCC′的距離是a，求三棱柱ABCA′B′C′的體積．
解　連接A′B，A′C，如圖所示，這樣就把三棱柱分割成了兩個棱錐．
設所求體積為V，顯然三棱錐A′ABC的體積是V.
而四棱錐A′BCC′B′的體積為Sa，
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.
跟蹤演練2　某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
答案　A
解析　將三視圖還原為原來的幾何體，再利用體積公式求解．
原幾何體為組合體：上面是長方體，下面是圓柱的一半(如圖所示)，其體積為V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.
題型三　轉化與化歸思想
例3　如圖所示，圓臺母線AB長為20 cm，上、下底面半徑分別為5 cm和10 cm，從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面轉到B點，求這條繩子長度的最小值．
解　如圖所示，作出圓臺的側面展開圖及其所在的圓錐．
連接MB′，P、Q分別為圓臺的上、下底面的圓心．
在圓臺的軸截面中，
∵Rt△OPA∽Rt△OQB，
∴＝，
∴＝.∴OA＝20(cm)．
設∠BOB′＝α，
由扇形弧的長與底面圓Q的周長相等，
得2×10×π＝2×OB×π×，
即20π＝2×(20＋20)π×，∴α＝90°.
∴在Rt△B′OM中，
B′M＝＝＝50(cm)，
即所求繩長的最小值為50 cm.
跟蹤演練3　圓柱的軸截面是邊長為5 cm的正方形ABCD，從A到C圓柱側面上的最短距離為(　　)
A．10 cm B. cm
C．5 cm D．5 cm
答案　B
解析　如圖所示，沿母線BC展開，曲面上從A到C的最短距離為平面上從A到C的線段的長．
∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝×2π×＝π.
∴A′C＝＝ ＝5＝
(cm)．
研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時可以通過作截面把空間幾何問題轉化成平面幾何問題來解決．
另外，圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉化為平面問題來解決．1．3.2　球的體積和表面積
[學習目標]　1.記準球的表面積和體積公式，會計算球的表面積和體積.2.能解決與球有關的組合體的計算問題．
[知識鏈接]
1．長、寬、高分別為a、b、c的長方體的表面積S＝2(ab＋bc＋ac)，體積V＝abc.
2．棱長為a的正方體的表面積S＝6a2，體積V＝a3.
3．底面半徑為r，高為h，母線長為l的圓柱側面積S側＝2πrh，表面積S＝2πrh＋2πr2，體積V＝πr2h.
4．底面半徑為r，高為h，母線長為l的圓錐側面積S側＝πrl，表面積S＝πr2＋πrl，體積V＝πr2h.
[預習導引]
球的體積公式與表面積公式
(1)球的體積公式V＝πR3(其中R為球的半徑)．
(2)球的表面積公式S＝4πR2.
要點一　球的表面積和體積
例1　(1)已知球的表面積為64π，求它的體積；
(2)已知球的體積為π，求它的表面積．
解　(1)設球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的體積V＝πR3＝π·(4)3＝π.
(2)設球的半徑為R，則πR3＝π，解得R＝5，
所以球的表面積S＝4πR2＝4π×52＝100π.
規律方法　1.已知球的半徑，可直接利用公式求它的表面積和體積．
2．已知球的表面積和體積，可以利用公式求它的半徑．
跟蹤演練1　一個球的表面積是16π，則它的體積是(　　)
A．64π B.
C．32π D.π
答案　D
解析　設球的半徑為R，則由題意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半徑為2，體積V＝πR3＝π.
要點二　球的截面問題
例2　平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
答案　B
解析　如圖，設截面圓的圓心為O′，
M為截面圓上任一點，
則OO′＝，O′M＝1.
∴OM＝＝.
即球的半徑為.
∴V＝π()3＝4π.
規律方法　有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的有關問題解決．
跟蹤演練2　已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π，則這兩個截面間的距離為________．
答案　1或7
解析　若兩個平行截面在球心同側，如圖(1)，則兩個截面間的距離為－＝1；
若兩個平行截面在球心異側，如圖(2)，則兩個截面間的距離為＋＝7.
要點三　球的組合體與三視圖
例3　某個幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積．
解　由三視圖可知該幾何體的下部是棱長為2的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體的表面積為
S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.
該幾何體的體積為
V＝23＋×π×13＝8＋.
規律方法　1.由三視圖求球與其他幾何體的簡單組合體的表面積和體積，關鍵要弄清組合體的結構特征和三視圖中數據的含義．
2．求解表面積和體積時要避免重疊和交叉．
跟蹤演練3　已知某一多面體內接于球構成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是________．
答案　12π
解析　由三視圖知組合體為球內接正方體，正方體的棱長為2，若球半徑為R，則2R＝2，∴R＝.∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.
1．直徑為6的球的表面積和體積分別是(　　)
A．36π，144π B．36π，36π
C．144π，36π D．144π，144π
答案　B
解析　球的半徑為3，表面積S＝4π·32＝36π，體積V＝π·33＝36π.
2．若將氣球的半徑擴大到原來的2倍，則它的體積增大到原來的(　　)
A．2倍 B．4倍
C．8倍 D．16倍
答案　C
解析　設氣球原來的半徑為r，體積為V，則V＝πr3，當氣球的半徑擴大到原來的2倍后，其體積變為原來的23＝8倍．
3．兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是________．
答案　
解析　設大球的半徑為R，則有πR3＝2×π×13，
R3＝2，∴R＝.
4．一個長方體的各個頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為________．
答案　14π
解析　長方體外接球直徑長等于長方體對角線長，即2R＝＝，所以球的表面積S＝4πR2＝14π.
5．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為________．
答案　3π
解析　由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面積的和，即×4π＋π＝3π.
1.球的表面積、體積公式是解決問題的重要依據，在球的軸截面圖形中，球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構成的直角三角形，其量值關系是解決問題的主要方法．
2．與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖．
一、基礎達標
1．設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是(　　)
A.π B.
C．4π D．32π
答案　C
解析　由題意可知，6a2＝24，∴a＝2.
設正方體外接球的半徑為R，則
a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.
2．一個正方體的八個頂點都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為(　　)
A．8 B．8
C．8 D．4
答案　A
解析　∵球的半徑為1，且正方體內接于球，
∴球的直徑即為正方體的對角線，即正方體的對角線長為2.不妨設正方體的棱長為a，則有3a2＝4，即a2＝.
∴正方體的表面積為6a2＝6×＝8.
3．一個幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則該幾何體的體積為________ m3.
答案　9π＋18
解析　將三視圖還原為實物圖后求解．
由三視圖知，幾何體下面是兩個球，球半徑為；
上面是長方體，其長、寬、高分別為6、3、1，
所以V＝π××2＋1×3×6＝9π＋18.
4．正方體的內切球與其外接球的體積之比為(　　)
A．1∶ B．1∶3
C．1∶3 D．1∶9
答案　C
解析　設正方體的棱長為a，則它的內切球的半徑為a，它的外接球的半徑為a，故所求的比為1∶3.
5．若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為(　　)
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
答案　C
解析　方法一　如圖，設球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，
解得r1＝.故球的表面積為S球＝4πr＝4πRr.
方法二　如圖，設球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相似三角形的性質得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面積為S球＝4πRr.
6．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上．若球的體積為，則正方體的棱長為________．
答案　
解析　先求出球的半徑，再根據正方體的體對角線等于球的直徑求棱長．設正方體棱長為a，球半徑為R，
則πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝.
7．盛有水的圓柱形容器的內壁底面半徑為5 cm，兩個直徑為5 cm的玻璃小球都浸沒于水中，若取出這兩個小球，則水面將下降多少？
解　設取出小球后，容器中水面下降h cm，
兩個小球的體積為V球＝2＝(cm3)，
此體積即等于它們在容器中排開水的體積
V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，
所以h＝，即若取出這兩個小球，則水面將下降 cm.
二、能力提升
8．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
答案　A
解析　利用球的截面性質結合直角三角形求解．
如圖，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．設球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，
∴V球＝π×53＝π(cm3)．
9．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱，如圖所示．由題意知，當打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內切圓相同時，該球的半徑最大，故其半徑r＝×(6＋8－10)＝2.因此選B.
10. 圓柱形容器內盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.
答案　4
解析　設球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為πr2×6r＝6πr3，高度為8 cm的水的體積為8πr2,3個球的體積和為3×πr3＝4πr3，由題意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．
11．已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．
解　∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′為截面圓的圓心，
也即是Rt△ABC的外接圓的圓心，
∴斜邊AC為截面圓O′的直徑(如圖所示)．
設O′C＝r，OC＝R，則球半徑R，截面圓半徑r，
在Rt△O′CO中，由題設知sin∠O′CO＝＝，
∴∠O′CO＝30°，∴＝cos 30°＝，即R＝r，(*)
又2r＝AC＝30 r＝15，代入(*)得R＝10.
∴球的表面積為S＝4πR2＝4π(10)2＝1 200π.
球的體積為V＝πR3＝π(10)3＝4 000π.
三、探究與創新
12. 如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積．(其中∠BAC＝30°)
解　如圖所示，
過C作CO1⊥AB于O1.
在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，
S圓錐AO1側＝π×R×R＝πR2，
S圓錐BO1側＝π×R×R＝πR2，
∴S幾何體表＝S球＋S圓錐AO1側＋S圓錐BO1側
＝πR2＋πR2＝πR2.
故旋轉所得幾何體的表面積為πR2.
13．如圖所示，一個圓錐形的空杯子上放著一個直徑為8 cm的半球形的冰淇淋，請你設計一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚忽略不計)，使冰淇淋融化后不會溢出杯子，怎樣設計最省材料？
解　設圓錐形杯子的高為h cm，
要使冰淇淋融化后不會溢出杯子，則必須V圓錐≥V半球，
而V半球＝×πr3＝××43，
V圓錐＝Sh＝πr2h＝×42×h.
依題意：×42×h≥××43，
解得h≥8，
即當圓錐形杯子杯口直徑為8 cm，高大于或等于8 cm時，冰淇淋融化后不會溢出杯子．
又因為S圓錐側＝πrl＝πr，
當圓錐高取最小值8時，S圓錐側最小，
所以高為8 cm時，制造的杯子最省材料．1．3　空間幾何體的表面積與體積
1．3.1　柱體、錐體、臺體的表面積與體積
[學習目標]　1.通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺體的表面積的求法.2.了解柱、錐、臺體的表面積和體積計算公式；能運用柱、錐、臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關實際問題．
[知識鏈接]
1．棱柱的側面形狀是平行四邊形；棱錐的側面形狀是三角形；棱臺的側面形狀是梯形．
2．圓柱、圓錐、圓臺的底面形狀是圓．
3．三角形的面積S＝ah(其中a為底，h為高)，圓的面積S＝πr2(其中r為半徑)，扇形的面積公式S＝lr(l為扇形的弧長，r為扇形的半徑)．
4．長方體的體積V＝abc(其中a，b，c為長、寬、高)．
[預習導引]
1．多面體的表面積
多面體的表面積就是各個面的面積的和，也就是展開圖的面積．
2．旋轉體的表面積
名稱 圖形 公式
圓柱 底面積：S底＝2πr2 側面積：S側＝2πrl 表面積：S＝2πrl＋2πr2
續表
圓錐 底面積：S底＝πr2 側面積：S側＝πrl 表面積：S＝πrl＋πr2
圓臺 上底面面積：S上底＝πr′2 下底面面積：S下底＝πr2 側面積：S側＝πl(r＋r′) 表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
3.體積公式
(1)柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.
(2)錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.
(3)臺體：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝(S′＋＋S)h.
要點一　空間幾何體的表面積
例1　如圖所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的表面積．
解　以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體是圓臺，其上底半徑是4 cm，下底半徑是16 cm，母線DC＝＝13(cm)．
∴該幾何體的表面積為π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．
規律方法　1.圓柱、圓錐、圓臺的相關幾何量都集中體現在軸截面上，因此準確把握軸截面中的相關量是求解旋轉體表面積的關鍵．
2．棱錐及棱臺的表面積計算常借助斜高、側棱及其在底面的射影與高、底面邊長等構成的直角三角形(或梯形)求解．
跟蹤演練1　如圖，已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC，求它的表面積．
解　先求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D.
因為BC＝a，SD＝＝ ＝a.
所以S△SBC＝BC·SD
＝a×a＝a2.
因此，四面體SABC的表面積S＝4×a2＝a2.
要點二　空間幾何體的體積
例2　如圖，三棱臺ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1ABC，三棱錐BA1B1C，三棱錐CA1B1C1的體積之比．
解　設棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.
∴VA1ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V臺＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VBA1B1C＝V臺－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝Sh－－＝Sh，
∴體積比為1∶2∶4.
規律方法　求幾何體體積的常用方法
跟蹤演練2　如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距離d.
解　在三棱錐A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵VA1－ABD＝VA－A1BD，
∴×a2·a＝××a×·a·d.
∴d＝a.∴A到平面A1BD的距離為a.
要點三　與三視圖有關的表面積、體積問題
例3　一個四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，則該四棱錐的側面積和體積分別是(　　)
A．4，8 B．4，
C．4(＋1)， D．8,8
答案　B
解析　由正視圖得出四棱錐的底面邊長與高，進而求出側面積與體積．
由正視圖知：四棱錐的底面是邊長為2的正方形，四棱錐的高為2，∴V＝×22×2＝.四棱錐的側面是全等的等腰三角形，底為2，高為，∴S側＝4××2×＝4.
規律方法　1.解答此類問題的關鍵是先由三視圖還原作出直觀圖，然后根據三視圖中的數據在直觀圖中求出計算體積所需要的數據．
2．若由三視圖還原的幾何體的直觀圖由幾部分組成，求幾何體的體積時，依據需要先將幾何體分割分別求解，最后求和．
跟蹤演練3　某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________．
答案　16π－16
解析　由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內部挖去一個正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16π；正四棱柱底面邊長為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為16π－16.
1．已知長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3，對角線的長是2，則這個長方體的體積是(　　)
A．6 B．12
C．24 D．48
答案　D
解析　設長方體的過一個頂點的三條棱長分別為x、2x、3x，又對角線長為2，則x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.∴三條棱長分別為2、4、6.
∴V長方體＝2×4×6＝48.
2．已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于(　　)
A. B．1
C. D.
答案　D
解析　根據正方體的俯視圖及側視圖特征想象出其正視圖后求面積．
由于該正方體的俯視圖是面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，因此該幾何體的正視圖是一個長為，寬為1的矩形，其面積為.
3. 一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖(單位：cm)，則該幾何體的表面積為(　　)
A．12π B．18π
C．24π D．36π
答案　C
解析　由三視圖知該幾何體為圓錐，底面半徑r＝3，母線l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故選C.
4．一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.
答案　
解析　根據三視圖知，該幾何體上部是一個底面直徑為4 m，高為2 m的圓錐，下部是一個底面直徑為2 m，高為4 m的圓柱．
故該幾何體的體積
V＝π×22×2＋π×12×4＝(m3)．
5．一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側面積的比為________．
答案　
解析　設底面半徑為r，側面積＝4π2r2，表面積為＝2πr2＋4π2r2，其比為.
1.圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別是它們側面展開圖的面積，因此弄清側面展開圖的形狀及側面展開圖中各線段與原旋轉體的關系，是掌握它們的側面積公式及解有關問題的關鍵．
2．計算柱體、錐體和臺體的體積，關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高，要充分運用多面體的有關截面及旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題．
3．在幾何體的體積計算中，注意體會“分割思想”、“補體思想”及“等價轉化思想”.
一、基礎達標
1．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是(　　)
A．4π B．3π
C．2π D．π
答案　C
解析　底面圓半徑為1，高為1，側面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C.
2．圓臺的上、下底面半徑分別是3和4，母線長為6，則其表面積等于(　　)
A．72 B．42π C．67π D．72π
答案　C
解析　S圓臺表＝S圓臺側＋S上底＋S下底
＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π.
3．如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1ACD的體積是(　　)
A. B.
C. D．1
答案　A
解析　三棱錐D1ADC的體積V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.
4．某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是(　　)
A．72 cm3 B．90 cm3
C．108 cm3 D．138 cm3
答案　B
解析　該幾何體為一個組合體，左側為三棱柱，右側為長方體，如圖所示．
V＝V三棱柱＋V長方體＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．
5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是(　　)
A. B.
C. D．1
答案　B
解析　如圖，三棱錐的底面是一個直角邊長為1的等腰直角三角形，有一條側棱和底面垂直，且其長度為2，故三棱錐的高為2，故其體積V＝××1×1×2＝，故選B.
6．一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形，則它們的表面積之比為________．
答案　2∶1
解析　S圓柱＝2·π2＋2π··a＝πa2，
S圓錐＝π2＋π··a＝πa2，
∴S圓柱∶S圓錐＝2∶1.
7．如圖是某幾何體的三視圖．
(1)畫出它的直觀圖(不要求寫畫法)；
(2)求這個幾何體的表面積和體積．
解　(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示．
(2)這個幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個圓柱(底面半徑為1，高為2)，它的上部是一個圓錐(底面半徑為1，母線長為2，高為)，
所以所求表面積為S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，
體積為V＝π×12×2＋×π×12×＝2π＋π.
二、能力提升
8．體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是(　　)
A．54 B．54π
C．58 D．58π
答案　A
解析　設上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設圓臺高為h1，則52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圓錐的高為h，由相似知識得知＝，∴h＝h1，
∴V原圓錐＝π(3r)2×h＝3πr2×h1
＝×12＝54.
9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)
A. B.
C．200 D．240
答案　C
解析　先將三視圖還原為空間幾何體，再根據體積公式求解．由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長為2，下底長為8，高為4，故面積為S＝＝20.
又棱柱的高為10，所以體積V＝Sh＝20×10＝200.
10．一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．
答案　12
解析　設正六棱錐的高為h，側面的斜高為h′.
由題意，得×6××2××h＝2，
∴h＝1，
∴斜高h′＝＝2，
∴S側＝6××2×2＝12.
11．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．
(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側面積S.
解　由已知可得該幾何體是一個底面為矩形、高為4、頂點在底面的投影是矩形中心的四棱錐VABCD.
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)該四棱錐的兩個側面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為h1＝ ＝4，另兩個側面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h2＝ ＝5.
因此S側＝2
＝40＋24.
三、探究與創新
12．若E，F是三棱柱ABCA1B1C1側棱BB1和CC1上的點，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐ABEFC的體積．
解　如圖所示，
連接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．
又四棱錐ABEFC的高與四棱錐AB1EFC1的高相等，
∴VABEFC＝VAB1EFC1＝VABB1C1C.
又VAA1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，
∴VAA1B1C1＝，
∴VABB1C1C＝VABCA1B1C1VAA1B1C1＝m，
∴VABEFC＝×m＝，
即四棱錐ABEFC的體積是.
13．有位油漆工用一把長度為50 cm，橫截面半徑為10 cm的圓柱形刷子給一塊面積為10 m2的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動前進，則油漆工完成任務所需的時間是多少？(精確到0.01秒)
解　圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側面積，∵圓柱的側面積為
S側＝2πrl＝2π×0.1×0.5＝0.1π (m2)，
且圓柱形刷子以每秒5周的速度勻速滾動，
∴圓柱形刷子每秒滾過的面積為0.5π m2.
∴油漆工完成任務所需的時間
t＝＝≈6.37(秒)．第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的結構特征
[學習目標]　1.認識圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征.2.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構．
[知識鏈接]
(1)如圖①，在直角三角形ABC中，sin B＝，cos B＝.
(2)如圖②，圓內接三角形ABC，AC過圓心，則∠B＝90°.
　　　　
　　　　①　　　　　　②　　　　　　　　③
(3)如圖③，在△ABC中，DE∥BC，則＝.
[預習導引]
1．旋轉體
(1)圓柱
①定義：以矩形一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱．
②相關概念(圖1)．
③表示法：圓柱用表示它的軸的字母表示，圖中圓柱表示為圓柱O′O.
(2)圓錐
①定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐．
②相關概念(圖2)．
③表示法：圓錐用表示它的軸的字母表示，圖中圓錐表示為圓錐SO.
(3)圓臺
①定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺．
②相關概念(圖3)．
③表示法：圓臺用表示軸的字母表示，圖中圓臺表示為圓臺OO′.
(4)球
①定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球．
②相關概念(圖4)．
③表示法：球常用表示球心的字母表示，圖中的球表示為球O.
2．簡單組合體
(1)概念：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體．常見的簡單組合體大多是由具有柱、錐、臺、球等幾何結構特征的物體組成的．
(2)基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.
要點一　旋轉體的結構特征
例1　判斷下列各命題是否正確：
(1)圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；
(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；
(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；
(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球．
解　(1)錯．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應平行于軸．
(2)錯．直角梯形繞下底所在直線旋轉一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示．
(3)正確．
(4)錯．應為球面．
規律方法　1.圓柱、圓錐、圓臺和球都是一個平面圖形繞其特定邊(弦)旋轉而成的幾何體，必須準確認識各旋轉體對旋轉軸的具體要求．
2．只有理解了各旋轉體的生成過程，才能明確由此產生的母線、軸、底面等概念，進而判斷與這些概念有關的命題的正誤．
跟蹤演練1　下列敘述中正確的個數是(　　)
①以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐；
②以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺；
③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；
④用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　A
解析　①應以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉才可以得到圓臺；③它們的底面為圓面；④用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可得到一個圓錐和一個圓臺．
要點二　簡單組合體的結構特征
例2　如圖所示，已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰．分別以AB，CD，AD為軸旋轉，試說明所得幾何體的結構特征．
解　(1)以AB邊為軸旋轉所得旋轉體是圓臺，如圖(1)所示．
(2)以CD邊為軸旋轉所得旋轉體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐．如圖(2)所示．
(3)以AD邊為軸旋轉得到一個組合體，它是一個圓柱上部挖去一個圓錐．如圖(3)所示．
規律方法　1.平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉時，要過有關頂點向軸作垂線，然后想象所得旋轉體的結構和組成．
2．必要時作模型培養動手能力．
跟蹤演練2　如圖(1)、(2)所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？
解　旋轉后的圖形如圖所示．其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O5O4，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的．
要點三　有關幾何體的計算問題
例3　如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺O′O的母線長．
解　設圓臺的母線長為l cm，由截得圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設截得圓臺的上、下底面的半徑分別為r,4r.
過軸SO作截面，如圖所示．
則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
∴＝.
∴＝＝.
解得l＝9(cm)，
即圓臺的母線長為9 cm.
規律方法　用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(與底面全等或相似)，同時結合旋轉體中的經過旋轉軸的截面(軸截面)的性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變量的方程組而得解．
跟蹤演練3　一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2.求：
(1)圓臺的高；
(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．
解　如圖，將圓臺恢復成圓錐后作其軸截面，設圓臺的高為h cm，截得該圓臺的圓錐的母線為x cm，由條件可得圓臺上底半徑r′＝2 cm，下底半徑r＝5 cm.
(1)由勾股定理得h＝＝3(cm)．
(2)設圓錐的母線長為x，由三角形相似得：＝，解得x＝20(cm)．
答：(1)圓臺的高為3 cm，(2)截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm.
1．下列幾何體是臺體的是(　　)
答案　D
解析　臺體包括棱臺和圓臺兩種，A的錯誤在于四條側棱沒有交于一點，B的錯誤在于截面與圓錐底面不平行．C是棱錐，結合棱臺和圓臺的定義可知D正確．
2．下圖是由哪個平面圖形旋轉得到的(　　)
答案　D
解析　組合體上半部分是圓錐，下半部分是一個圓臺，因此應該是由上半部分為三角形，下半部分為梯形的平面圖形旋轉而成的，觀察四個選項得D正確．
3．下面幾何體的截面一定是圓面的是(　　)
A．圓臺 B．球 C．圓柱 D．棱柱
答案　B
解析　截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球．
4．下列命題：①通過圓臺側面上一點，有無數條母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線相互平行．其中正確的是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
答案　D
解析　①③錯誤，②④正確．
5．一個圓錐的母線長為20 cm，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為________cm.
答案　10
解析　h＝20cos 30°＝10 (cm)．
1.圓柱、圓錐、圓臺的關系如圖所示．
2．處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想．
3．處理組合體問題常采用分割思想．
4．重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何量中的特殊作用，切實體會空間幾何平面化的思想．
一、基礎達標
1．正方形繞其一條對角線所在直線旋轉一周，所得幾何體是(　　)
A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺 D．兩個圓錐
答案　D
解析　連接正方形的兩條對角線知對角線互相垂直，故繞對角線旋轉一周形成兩個圓錐．
2. 如圖所示是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的軸對稱平面圖形，若將它繞軸旋轉180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是(　　)
A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體
B．該組合體仍然關于軸對稱
C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點
D．該組合體中的球和半球只有一個公共點
答案　A
3．過球面上任意兩點A、B作大圓，可能的個數是(　　)
A．有且只有一個 B．一個或無窮多個
C．無數個 D．以上均不正確
答案　B
解析　當過A，B的直線經過球心時，經過A，B的截面所得的圓都是球的大圓，這時過A，B作球的大圓有無數個；當直線AB不經過球心O時，經過A，B，O的截面就是一個大圓，這時只能作出一個大圓．
4. 在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個組合體，其結構特征是(　　)
A．一個棱柱中挖去一個棱柱
B．一個棱柱中挖去一個圓柱
C．一個圓柱中挖去一個棱錐
D．一個棱臺中挖去一個圓柱
答案　B
解析　一個六棱柱挖去一個等高的圓柱．
5．一個正方體內接于一個球，過球心作一截面，如圖所示，則截面可能的圖形是(　　)
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
答案　C
解析　當截面平行于正方體的一個側面時得③，當截面過正方體的體對角線時得②，當截面不平行于任何側面也不過對角線時得①，但無論如何都不能截出④.
6．若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是________．
答案　2
解析　設圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h＝.
所以由題意可知·2r·h＝r＝8，
∴r2＝8，∴h＝2.
7．如圖所示，幾何體可看作由什么圖形旋轉360°得到？畫出平面圖形和旋轉軸．
解　先畫出幾何體的軸，然后再觀察尋找平面圖形．旋轉前的平面圖形如下：
二、能力提升
8．一個正方體內有一個內切球，作正方體的對角面，所得截面圖形是下圖中的(　　)
答案　B
解析　由組合體的結構特征知，球只與正方體的上、下底面相切，而與兩側棱相離，故正確答案為B.
9．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的截面，則截面的面積與球的一個大圓面積之比為(　　)
A．1∶4 B．1∶2 C．3∶4 D．2∶3
答案　C
10．已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側，且距離為1，那么這個球的半徑是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0.5
答案　B
解析　如圖所示，∵兩個平行截面的面積分別為5π、8π，∴兩個截面圓的半徑分別為r1＝，r2＝2.
∵球心到兩個截面的距離d1＝，d2＝，
∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3.
11．在半徑為13的球面上有A、B、C三點，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，則球心到經過這三個點的截面的距離為________．
答案　12
解析　由線段的長度知△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的半徑r＝＝5，所以d＝＝12.
12. 一個圓錐的高為2，母線與軸的夾角為30°，求圓錐的母線長以及圓錐的軸截面的面積(如圖)．
解　母線長l＝＝，
底面半徑r＝2·tan 30°＝，
所以S＝×2××2＝，
即圓錐的軸截面的面積是.
三、探究與創新
13. 如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個點，且SM＝x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點A.求：
(1)繩子的最短長度的平方f(x)；
(2)繩子最短時，頂點到繩子的最短距離；
(3)f(x)的最大值．
解　將圓錐的側面沿SA展開在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA′的長度L就是圓O的周長，
∴L＝2πr＝2π.
∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
(1)由題意知繩子長度的最小值為展開圖中的AM，其值為AM＝(0≤x≤4)．
f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)繩子最短時，在展開圖中作SR⊥AM，垂足為R，則SR的長度為頂點S到繩子的最短距離，
在△SAM中，
∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，
∴SR＝＝(0≤x≤4)，
即繩子最短時，頂點到繩子的最短距離為(0≤x≤4)．
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函數，
∴f(x)的最大值為f(4)＝32.1.2　空間幾何體的三視圖和直觀圖
1．2.1　中心投影與平行投影
1．2.2　空間幾何體的三視圖
[學習目標]　1.了解中心投影和平行投影.2.能畫出簡單空間圖形的三視圖.3.能識別三視圖所表示的立體模型．
[知識鏈接]
1．棱柱的結構特征
(1)上下底面平行．(2)側面是平行四邊形．(3)側棱相互平行．
2．棱錐的結構特征
(1)底面是多邊形．(2)側面是共頂點的三角形．
3．棱臺的結構特征
(1)上下底面平行．(2)側面是梯形．(3)側棱延長線相交于一點．
4．圓柱、圓錐、圓臺的軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形．
[預習導引]
1．投影
(1)投影的定義
由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現象叫做投影．其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面．
(2)投影的分類
(3)當圖形中的直線或線段不平行于投影線時，平行投影都具有下述性質：
①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；③平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；④與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等；⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比．
2．三視圖
(1)定義：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的正視圖；光線從幾何體的左面向右面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的側視圖；光線從幾何體的上面向下面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的俯視圖．幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖統稱為幾何體的三視圖，三視圖是正投影．
(2)基本特征：一個幾何體的側視圖和正視圖高度一樣，俯視圖與正視圖長度一樣，側視圖與俯視圖寬度一樣．
要點一　中心投影與平行投影
例1　下列說法中：①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點；②空間圖形經過中心投影后，直線還是直線，但平行線可能變成了相交的直線；③兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線．其中正確的個數為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　由平行投影和中心投影的定義可知①正確；空間圖形經過中心投影后，直線可能變成直線，也可能變成一個點，如當投影中心在直線上時，投影為點；平行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠物體之間的距離越來越近，最后相交于一點，②不正確；兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線；③不正確．
規律方法　判斷一個幾何體的投影是什么圖形，先分清楚是平行投影還是中心投影，投影面的位置如何，再根據平行投影或中心投影的性質來判斷．
跟蹤演練1　下列命題中，正確的是(　　)
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．兩條相交直線的投影可能平行
D．如果一條線段的平行投影仍是一條線段，那么這條線段中點的投影必是這條線段投影的中點
答案　D
解析　平行投影因投影線的方向變化而不同，因而平行投影改變幾何圖形的形狀，因而A，B不正確．兩條相交直線的投影不可能平行，即C不正確．兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比，因而D正確．故選D.
要點二　畫空間幾何體的三視圖
例2　畫出圖中正四棱錐和圓臺的三視圖．(尺寸不作嚴格要求)
解　正四棱錐的三視圖如圖所示：
圓臺的三視圖如圖所示：
規律方法　畫三視圖應遵循的原則和注意事項：
(1)務必做到“長對正，高平齊，寬相等”．
(2)三視圖的排列方法是正視圖與側視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側視圖在右，俯視圖在正視圖的正下方．
(3)在三視圖中，要注意實、虛線的畫法．
(4)畫完三視圖草圖后，要再對照實物圖來驗證其正確性．
跟蹤演練2　如圖是截去一角的長方體，畫出它的三視圖．
解　物體三個視圖的構成都是矩形，長方體截去一角后，截面是一個三角形，在每個視圖中反映為不同的三角形，三視圖如圖．
要點三　由三視圖還原空間幾何體
例3　根據下列圖中所給出的幾何體的三視圖，試畫出它們的形狀．
解　圖(1)對應的幾何體是一個六棱錐，圖(2)對應的幾何體是一個三棱柱，則所對應的空間幾何體的圖形分別為：
規律方法　由三視圖還原空間幾何體的步驟：
跟蹤演練3　若將例3(1)中的三視圖改為如下三視圖，試分析該幾何體結構特征并畫出物體的實物草圖．
　
解　由三視圖可知該幾何體為四棱錐，對應空間幾何體如圖：
1．下列說法正確的是(　　)
A．任何物體的三視圖都與物體的擺放位置有關
B．任何物體的三視圖都與物體的擺放位置無關
C．有的物體的三視圖與物體的擺放位置無關
D．正方體的三視圖一定是三個全等的正方形
答案　C
解析　對于A，球的三視圖與物體擺放位置無關，故A錯；對于B，D，正方體的三視圖與擺放位置有關，故B，D錯；故選C.
2．如圖，網格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　)
A．三棱錐 B．三棱柱
C．四棱錐 D．四棱柱
答案　B
解析　如圖，幾何體為三棱柱．
3．一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不可以是(　　)
A．球 B．三棱錐
C．正方體 D．圓柱
答案　D
解析　不論圓柱如何放置，其三視圖的形狀都不會完全相同，故選D.
4．一圖形的投影是一條線段，這個圖形不可能是________．
①線段；②直線；③圓；④梯形；⑤長方體．
答案　②⑤
解析　線段、圓、梯形都是平面圖形，且在有限范圍內，投影都可能為線段；長方體是三維空間圖形，其投影不可能是線段；直線的投影，只能是直線或點．
5．如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的正視圖是邊長為4的正方形，則此正三棱柱的側視圖的面積為(　　)
A．8 B．4 C．2 D．16
答案　A
解析　由正視圖可知三棱柱的高為4，底面邊長為4，所以底面正三角形的高為2，所以側視圖的面積為4×2＝8.故選A.
1.理解平行投影和中心投影的概念時，可以從一束光線去照射一個物體所形成的影子，研究兩者的不同之處．另外應注意平行投影的性質，尤其注意圖形中的直線或線段不平行于投影線的情況．
2．空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質，由空間幾何體可畫出它的三視圖，同樣由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間的相互轉化，可以培養我們的幾何直觀能力和空間想象能力．
一、基礎達標
1．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是(　　)
A．棱柱 B．棱臺
C．圓柱 D．圓臺
答案　D
解析　先觀察俯視圖，再結合正視圖和側視圖還原空間幾何體．
由俯視圖是圓環可排除A，B，由正視圖和側視圖都是等腰梯形可排除C，故選D.
2．已知一個幾何體是由上、下兩部分構成的一個組合體，其三視圖如圖所示，則這個組合體的上、下兩部分分別是(　　)
A．上部是一個圓錐，下部是一個圓柱
B．上部是一個圓錐，下部是一個四棱柱
C．上部是一個三棱錐，下部是一個四棱柱
D．上部是一個三棱錐，下部是一個圓柱
答案　A
解析　由幾何體的三視圖可知，該組合體的上部是一個圓錐，下部是一個圓柱．
3．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
答案　D
解析　①的三個視圖都是相同的，都是正方形；②的正視圖與側視圖相同，都是等腰三角形，俯視圖不同；③的三個視圖各不相同；④的正視圖與側視圖相同，都是等腰三角形，俯視圖不同．故選D.
4．某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　)
答案　D
解析　由于該幾何體的正視圖和側視圖相同，且上部分是一個矩形，矩形中間無實線和虛線，因此俯視圖不可能是D.
5．如圖所示為一個幾何體的三視圖，則該幾何體為(　　)
A．圓柱與圓臺 B．四棱柱與四棱臺
C．圓柱與四棱臺 D．四棱柱與圓臺
答案　B
6．若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三棱柱的高(兩底面之間的距離)和底面邊長分別是________和________．
答案　2　4
解析　三棱柱的高同側視圖的高，側視圖的寬度恰為底面正三角形的高，故底邊長為4.
7．如圖所示的螺栓是由棱柱和圓柱構成的組合體，試畫出它的三視圖．
解　三視圖如圖所示．
二、能力提升
8．用□表示1個立方體，用表示2個立方體疊加，用表示3個立方體疊加，那么如圖所示，由7個立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是圖中的(　　)
答案　B
9．一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為(　　)
答案　C
解析　正視圖中小長方形在左上方，對應俯視圖應該在左側，排除B、D，側視圖中小長方形在右上方，排除A，故選C.
10．由小正方體木塊搭成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體由________塊小正方體木塊搭成．
答案　7
解析　小木塊的排列方式如圖所示．由圖知，幾何體由7塊小正方體木塊搭成．
11．已知一個幾何體的三視圖如圖，試根據三視圖想象物體的原形，并試著畫出實物草圖．
解　由三視圖知，該物體下部為長方體、上部為一個與長方體等高的圓柱，且圓柱的底面相切于長方體的上底面，由此可畫出實物草圖如圖．
三、探究與創新
12．如圖所示是一些立體圖形的視圖，但觀察的方向不同，試說明其可能是哪一種幾何體的視圖，并畫出立體圖形的草圖．
解　從柱、錐、臺、球和三視圖各方面綜合考慮．
(1)是一個圓，可能為球的正視圖、側視圖、俯視圖，也可能是圓柱的俯視圖，其直觀圖如下圖中①所示．
(2)是一個三角形，可能是棱錐的俯視圖、圓錐的正視圖、側視圖，也可能是三棱柱的俯視圖，其直觀圖如下圖中②所示．
(3)是一個矩形，可能為四棱柱的正視圖、側視圖、俯視圖，也可能是圓柱的正視圖、側視圖，其直觀圖如下圖中③所示．
13．一個物體由幾塊相同的正方體組成，其三視圖如圖所示，試據圖回答下列問題：
(1)該物體有多少層？
(2)該物體的最高部分位于哪里？
(3)該物體一共由幾個小正方體構成？
解　(1)該物體一共有兩層，從正視圖和側視圖都可以看出來．
(2)該物體最高部分位于左側第一排和第二排．
(3)從側視圖及俯視圖可以看出，該物體前后一共三排，第一排左側2個，右側1個；第二排左側2個，右側沒有；第三排左側1個，右側1個．該物體一共由7個小正方體構成．1.2.3　空間幾何體的直觀圖
[學習目標]　1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.2.用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖．
[知識鏈接]
1．一般地，在一個幾何體的三視圖中，側視圖與正視圖高一樣；俯視圖與正視圖長一樣；側視圖與俯視圖寬一樣．
2．畫三視圖是用平行投影的方法畫出來的．
3．梯形的面積S＝(a＋b)h(其中a、b為兩底長，h為高)．
[預習導引]
1．直觀圖的概念
(1)定義：把空間圖形(平面圖形和立體圖形的統稱)畫在平面內，使得既富有立體感，又能表達出主要部分的位置關系和度量關系的圖形叫做直觀圖．
(2)說明：在立體幾何中，空間幾何體的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形．
2．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
(1)畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．
(2)畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．
(3)取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．
3．立體圖形直觀圖的畫法
畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面x′O′y′垂直的軸O′z′，且平行于O′z′的線段長度不變．其他同平面圖形的畫法．
要點一　畫水平放置的平面圖形的直觀圖
例1　畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．
解　畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，畫對應的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
　　　
(2)以O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y軸上取O′E′＝OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.
(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．
規律方法　1.本題巧借等腰梯形的對稱性建系使“定點”、“畫圖”簡便易行．
2．在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當的直角坐標系是關鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來完成．
跟蹤演練1　用斜二測畫法畫如圖所示邊長為4 cm的水平放置的正三角形的直觀圖．
解　(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸．
(2)畫對應的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.
在x′軸上取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′軸上取O′A′＝OA，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示．
要點二　由直觀圖還原平面圖形
例2　如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面圖形的面積為(　　)
A.a2 B．2a2
C．a2 D．2a2
答案　B
解析　由直觀圖還原出原圖，如圖，所以S＝a·2a＝2a2.
規律方法　由直觀圖還原平面圖形關鍵有兩點：
(1)平行x′軸的線段長度不變，平行y′軸的線段擴大為原來的2倍；
(2)對于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點可通過作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置．
跟蹤演練2　一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面積為，則原梯形的面積為(　　)
A．2 B.
C．2 D．4
答案　D
解析　如圖，由斜二測畫法原理知，原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長度是一樣的，不一樣的是兩個梯形的高，
原梯形的高OC是直觀圖中O′C′長度的2倍，O′C′的長度是直觀圖中梯形的高的倍，
由此知原梯形的高OC的長度是直觀圖中梯形高的2倍，故其面積是梯形O′A′B′C′面積的2倍，梯形O′A′B′C′的面積為，所以原梯形的面積是4.
要點三　空間幾何體的直觀圖
例3　如圖所示，由下列幾何體的三視圖畫出直觀圖．
解　(1)畫軸．畫x′軸、y′軸和z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如圖①所示．
(2)畫底面．按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.
(3)畫側棱．過點A、B、C、D、E分別作z′軸的平行線，
并在這些平行線上分別截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正視圖的高．
(4)成圖，順次連接A′、B′、C′、D′、E′，去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖②所示．
規律方法　1.畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關的點，最后連點成圖便可．
2．直觀圖畫法口訣可以總結為：“一斜、二半、三不變”．
跟蹤演練3　由如圖所示幾何體的三視圖畫出直觀圖．
解　(1)畫軸．如圖，畫出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)畫底面．作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖△ABC.
(3)畫側棱．過A，B，C各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取線段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
(4)成圖，順次連接A′，B′，C′，并加以整理(擦去輔助線，將遮擋部分用虛線表示)，得到的圖形就是所求的幾何體的直觀圖．
1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是(　　)
A．原來相交的仍相交 B．原來垂直的仍垂直
C．原來平行的仍平行 D．原來共點的仍共點
答案　B
解析　根據斜二測畫法，原來垂直的未必垂直．
2．關于用斜二測畫法得直觀圖，下列說法正確的是(　　)
A．等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形
B．正方形的直觀圖為平行四邊形
C．梯形的直觀圖可能不是梯形
D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形
答案　B
3. 如圖所示為一個平面圖形的直觀圖，則它的實際形狀四邊形ABCD為(　　)
A．平行四邊形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
答案　D
解析　因為∠D′A′B′＝45°，由斜二測畫法規則知∠DAB＝90°，又因四邊形A′B′C′D′為平行四邊形，所以原四邊形ABCD為矩形．
4. 如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長為________．
答案　10
解析　由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四邊形OPQR的周長為2×(3＋2)＝10.
5. 如圖所示的直觀圖△A′O′B′，其平面圖形的面積為________．
答案　6
解析　由直觀圖可知其對應的平面圖形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，
∴S△AOB＝OA·OB＝6.
1.斜二測畫法是聯系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據它們之間的可逆關系尋找它們的聯系；在求直觀圖的面積時，可根據斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形．兩者之間關系為：＝.
2．在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實夾角大小．
一、基礎達標
1．用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中∠A′等于(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
答案　C
解析　在畫直觀圖時，∠A′的兩邊依然分別平行于x′軸、y′軸，而∠x′O′y′＝45°或135°.
2. 如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，A′B′∥y′軸，則原圖中△ABC是(　　)
A．銳角三角形
B．直角三角形
C．鈍角三角形
D．任意三角形
答案　B
解析　∵A′B′∥y′，所以由斜二測畫法可知在原圖形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．
3．如圖為一平面圖形的直觀圖的大致圖形，則此平面圖形可能是(　　)
答案　C
解析　根據該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個直角梯形，且在直觀圖中平行于y′軸的邊與底邊垂直．
4. 如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在原△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是(　　)
A．AB B．AD
C．BC D．AC
答案　D
解析　還原△ABC，即可看出△ABC為直角三角形，故其斜邊AC最長．
5．下列說法正確的個數是(　　)
①相等的角在直觀圖中對應的角仍然相等；②相等的線段在直觀圖中對應的線段仍然相等；③最長的線段在直觀圖中對應的線段仍最長；④線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　①②③錯誤，④正確．
6. 水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實際長度為________．
答案　
解析　將直觀圖△A′B′C′復原，其平面圖形為Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜邊AB＝5，所以AB邊上的中線長為.
7．畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．
解　(1)過點C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖(1)所示，畫出對應的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(2)所示．
(2)如圖(2)所示，在x′軸上取點B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點D′，使得O′D′＝OD；過E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝EC.
(3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形O′B′C′D′就是所求的直觀圖．
二、能力提升
8．如圖，在斜二測畫法下，兩個邊長為1的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是(　　)
答案　C
9. 一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面圖形的面積為________．
答案　2＋
解析　過A作AE⊥BC，垂足為E，
又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，∴原平面圖形是梯形且上下兩底邊長分別為1和1＋，高為2，
∴原平面圖形的面積為××2＝2＋.
10. 在如圖直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2 cm，則在xOy坐標系中原四邊形OABC為________(填形狀)，面積為________ cm2.
答案　矩形　8
解析　由題意，結合斜二測畫法可知，四邊形OABC為矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，
∴四邊形OABC的面積S＝2×4＝8 cm2.
11．用斜二測畫法畫棱長為2 cm的正方體ABCDA′B′C′D′的直觀圖．
解　畫法：(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)畫底面．以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝2 cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1 cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.
(3)畫側棱．過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正方體的直觀圖，如圖②.
三、探究與創新
12．用斜二測畫法畫出正六棱柱(底面為正六邊形，側面為矩形的棱柱)的直觀圖(尺寸自定)．
解　(1)畫軸．畫Ox軸，Oy軸，Oz軸，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如圖(1)．
(2)畫底面．以O為中心，在xOy平面內，畫出正六邊形的直觀圖ABCDEF.
(3)畫側棱．過A，B，C，D，E，F各點，分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′，使它們都等于側棱的長．
(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，并擦去輔助線，遮擋住的部分改為虛線，就得到正六棱柱的直觀圖，如圖(2)．
13．在水平放置的平面α內有一個邊長為1的正方形A′B′C′D′，如圖，其中的對角線A′C′在水平位置，已知該正方形是某個四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形的真實圖形并求出其面積．
解　四邊形ABCD的真實圖形如圖所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′為正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四邊形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，
∴S四邊形ABCD＝AC·AD＝2.章末檢測
一、選擇題
1．一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是(　　)
答案　B
解析　該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點在底面的投影距左右兩邊距離相等，因此選B.
2．下列說法中正確的是(　　)
A．有兩個面平行，其余各面都是三角形的幾何體叫棱柱
B．有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺
C．有一個面是多邊形，其余各面都是五邊形的幾何體叫棱錐
D．棱臺各側棱的延長線交于一點
答案　D
解析　A不正確，棱柱的各個側面為四邊形；B不正確，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐而得到的，其側棱的延長線必交于一點，故D正確．C不正確，不符合棱錐的定義．
3．下列幾何體中，正視圖、側視圖、俯視圖都相同的幾何體的序號是(　　)
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(3)(4) D．(1)(4)
答案　D
解析　正方體的三視圖都相同都是正方形，球的三視圖都相同都為圓面．
4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是(　　)
答案　D
解析　先觀察俯視圖，再結合正視圖和側視圖還原為空間幾何體．由俯視圖是圓環可排除A，B，C，進一步將已知三視圖還原為幾何體，可得選項D.
5. 如圖所示的正方體中，M、N分別是AA1、CC1的中點，作四邊形D1MBN，則四邊形D1MBN在正方體各個面上的正投影圖形中，不可能出現的是(　　)
答案　D
解析　四邊形D1MBN在上下底面的正投影為A；在前后面上的正投影為B；在左右面上的正投影為C；故答案為D.
6．已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為(　　)
A. B．4π C．2π D.
答案　D
解析　正四棱柱的外接球的球心為上下底面的中心連線的中點，
所以球的半徑r＝ ＝1，
球的體積V＝r3＝.故選D.
7. 如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，則△OAB的面積為(　　)
A．6 B．3
C．6 D．12
答案　D
解析　由斜二測畫法規則可知，△OAB為直角三角形，且兩直角邊長分別為4和6，故面積為12.
8．一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(　　)
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
答案　A
解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示．
因此該幾何體的表面積為6×(4－)＋2××()2＝21＋.故選A.
9．已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是(　　)
A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3
答案　B
解析　此幾何體為一個長方體ABCDA1B1C1D1被截去了一個三棱錐ADEF，如圖所示，
其中這個長方體的長、寬、高分別為6、3、6，故其體積為6×3×6＝108(cm3)．三棱錐的三條棱AE、AF、AD的長分別為4、4、3，故其體積為××4＝8(cm3)，所以所求幾何體的體積為108－8＝100(cm3)．
10．已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　利用三棱錐的體積變換求解．由于三棱錐S－ABC與三棱錐O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S－ABC的高是三棱錐O－ABC高的2倍，所以三棱錐S－ABC的體積也是三棱錐O－ABC體積的2倍．
在三棱錐O－ABC中，其棱長都是1，如圖所示，
S△ABC＝×AB2＝，
高OD＝ ＝，
∴VS－ABC＝2VOABC＝2×××＝.
二、填空題
11．底面直徑和高都是4 cm的圓柱的側面積為________cm2.
答案　16π
解析　∵圓柱的底面半徑為r＝×4＝2(cm)．
∴S側＝2π×2×4＝16π(cm2)．
12．設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側面積相等，且＝，則的值是________．
答案　
解析　設兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，
由＝，得＝，則＝.
由圓柱的側面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝.
13．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)
A．12 B．18
C．24 D．30
答案　C
解析　由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由正視圖和側視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱)截取得到的．在長方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示．在圖(1)中，V棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30，V棱錐P－A1B1C1＝S△A1B1C1·PB1＝××4×3×3＝6.故幾何體ABC－PA1C1的體積為30－6＝24.故選C.
14．已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長為，則以O為球心，OA為半徑的球的表面積為________．
答案　24π
解析　V四棱錐OABCD＝××h＝，得h＝，
∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.
∴S球＝4πOA2＝24π.
三、解答題
15．如圖所示，四棱錐VABCD的底面為邊長等于2 cm的正方形，頂點V與底面正方形中心的連線為棱錐的高，側棱長VC＝4 cm，求這個正四棱錐的體積．
解　如圖，連接AC、BD相交于點O，連接VO，
∵AB＝BC＝2 cm，
在正方形ABCD中，
求得CO＝ cm，
又在直角三角形VOC中，
求得VO＝ cm，
∴VVABCD＝SABCD·VO＝×4×＝(cm3)．
故這個正四棱錐的體積為 cm3.
16．如圖，正方體ABCDA′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個三棱錐．求：
(1)三棱錐A′BC′D的表面積與正方體表面積的比值；
(2)三棱錐A′BC′D的體積．
解　(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方體，
∴六個面都是正方形，
∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴S三棱錐A′－BC′D＝4××(a)2＝2a2，S正方體＝6a2，
∴＝.
(2)顯然，三棱錐A′ABD、C′BCD、DA′D′C′、BA′B′C′是完全一樣的，
∴V三棱錐A′BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′ABD
＝a3－4××a2×a＝a3.
17．如果一個幾何體的正視圖與側視圖都是全等的長方形，邊長分別是4 cm與2 cm，如圖所示，俯視圖是一個邊長為4 cm的正方形．
(1)求該幾何體的全面積；
(2)求該幾何體的外接球的體積．
解　(1)由題意可知，該幾何體是長方體，
底面是正方形，邊長是4，高是2，
因此該幾何體的全面積是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，即幾何體的全面積是64 cm2.
(2)由長方體與球的性質可得，長方體的體對角線是球的直徑，記長方體的體對角線為d，球的半徑是r，
d＝＝＝6(cm)，
所以球的半徑為r＝3(cm)．
因此球的體積V＝πr3＝×27π＝36π(cm3)，
所以外接球的體積是36π cm3.
18. 如圖所示，有一塊扇形鐵皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下來一個扇形環ABCD，作圓臺形容器的側面，并且余下的扇形OCD內剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺形容器的下底面(大底面)．
試求：(1)AD的長；
(2)容器的容積．
解　(1)設圓臺上、下底面半徑分別為r、R，AD＝x，
則OD＝72－x，由題意得
，∴.即AD應取36 cm.
(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，
圓臺的高h＝＝＝6.
∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π·6·(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．
即容器的容積為504πcm3.1．1　空間幾何體的結構
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
[學習目標]　1.通過對實物模型的觀察，歸納認知簡單多面體——棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.2.能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來判斷、描述現實生活中的實物模型．
[知識鏈接]
觀察下列圖片，你知道這些圖片所表示的物體在幾何中分別叫什么名稱嗎？
答　(1)、(8)為圓柱；(2)為長方體；(3)、(6)為圓錐；(4)、(10)為圓臺；(5)、(7)、(9)為棱柱；(11)、(12)為球；(13)、(16)為棱臺；(14)、(15)為棱錐．
[預習導引]
1．空間幾何體
(1)概念：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體．
(2)多面體與旋轉體
多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體(如圖)，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點．
2．幾種常見的多面體
多面體 定義 圖形及表示 相關概念
棱柱 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱. 如圖可記作：棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′ 底面(底)：兩個互相平行的面. 側面：其余各面． 側棱：相鄰側面的公共邊． 頂點：側面與底面的公共頂點.
棱錐 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐. 如圖可記作，棱錐SABCD 底面(底)：多邊形面． 側面：有公共頂點的各個三角形面． 側棱：相鄰側面的公共邊． 頂點：各側面的公共頂點．
棱臺 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺. 如圖可記作：棱臺ABCDA′B′C′D′ 上底面：原棱錐的截面． 下底面：原棱錐的底面． 側面：其余各面. 側棱：相鄰側面的公共邊． 頂點：側面與上(下)底面的公共頂點.
要點一　棱柱的結構特征
例1　下列關于棱柱的說法：
(1)所有的面都是平行四邊形；
(2)每一個面都不會是三角形；
(3)兩底面平行，并且各側棱也平行；
(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱．
其中正確的序號是________．
答案　(3)(4)
解析　(1)錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；
(2)錯誤，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正確，由棱柱的定義易知；
(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以說法正確的序號是(3)(4)．
規律方法　棱柱的結構特征：
(1)兩個面互相平行；
(2)其余各面是四邊形；
(3)相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．
求解時，首先看是否有兩個平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征．
跟蹤演練1　下列關于棱柱的說法錯誤的是(　　)
A．所有的棱柱兩個底面都平行
B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰面的公共邊互相平行
C．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱
D．棱柱至少有五個面
答案　C
解析　對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤．
要點二　棱錐、棱臺的結構特征
例2　下列關于棱錐、棱臺的說法：
(1)棱臺的側面一定不會是平行四邊形；
(2)棱錐的側面只能是三角形；
(3)由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
(4)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．
其中正確說法的序號是________．
答案　(1)(2)(3)
解析　(1)正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形；
(2)正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形；
(3)正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
(4)錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．
規律方法　判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法
(1)舉反例法：
結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．
(2)直接法：
棱錐 棱臺
定底面 只有一個面是多邊形，此面即為底面 兩個互相平行的面，即為底面
看側棱 相交于一點 延長后相交于一點
跟蹤演練2　棱臺不具有的性質是(　　)
A．兩底面相似 B．側面都是梯形
C．側棱長都相等 D．側棱延長后相交于一點
答案　C
解析　由棱臺的概念(棱臺的產生過程)可知A，B，D都是棱臺具有的性質，而側棱長不一定相等．
要點三　多面體的表面展開圖
例3　畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖．
解　表面展開圖如圖所示：
規律方法　多面體表面展開圖問題的解題策略：
(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結合多面體的幾何特征，發揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面，便可得到其表面展開圖．
(2)已知展開圖：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖．
跟蹤演練3　一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，A、B、C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，∠ABC＝________
答案　60°
解析　將平面圖形翻折，折成空間圖形，如圖．
1．三棱錐的四個面中可以作為底面的有(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
答案　D
解析　由于三棱錐的每一個面均可作為底面，應選D.
2．棱柱的側面都是(　　)
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．矩形
答案　B
解析　由棱柱的性質可知，棱柱的側面都是四邊形．
3．如圖所示，不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是(　　)
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
答案　C
解析　可選擇陰影三角形作為底面進行折疊，發現①②可折成正四面體，③④不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體．
4．下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐，________是棱臺(僅填相應序號)．
答案　①③④　⑥　⑤
解析　結合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺．
5. 如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后將水槽傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體的形狀是________．
答案　四棱柱
解析　由于傾斜角度較小，所以傾斜后水槽中水形成的幾何體的形狀應為四棱柱．
1．棱柱、棱錐、棱臺的關系
在運動變化的觀點下，棱柱、棱錐、棱臺之間的關系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例)．
2．(1)各種棱柱之間的關系
①棱柱的分類
棱柱
②常見的幾種四棱柱之間的轉化關系
(2)棱柱、棱錐、棱臺在結構上既有區別又有聯系，具體見下表：
名稱 底面 側面 側棱 高 平行于底面的截面
棱柱 斜棱柱 平行且全等的兩個多邊形 平行四邊形 平行且相等 與底面全等
直棱柱 平行且全等的兩個多邊形 矩形 平行、相等且垂直于底面 等于側棱 與底面全等
正棱柱 平行且全等的兩個正多邊形 全等的矩形 平行、相等且垂直于底面 等于側棱 與底面全等
棱錐 正棱錐 一個正多邊形 全等的等腰三角形 有一個公共頂點且相等 過底面中心 與底面相似
其他棱錐 一個多邊形 三角形 有一個公共頂點 與底面相似
棱臺 正棱臺 平行且相似的兩個正多邊形 全等的等腰梯形 相等且延長后交于一點 與底面相似
其他棱臺 平行且相似的兩個多邊形 梯形 延長后交于一點 與底面相似
一、基礎達標
1．在棱柱中滿足(　　)
A．只有兩個面平行
B．所有面都平行
C．所有面都是平行四邊形
D．兩底面平行，且各側棱也相互平行
答案　D
解析　由棱柱的定義可得只有D成立．
2．四棱柱有幾條側棱，幾個頂點(　　)
A．四條側棱、四個頂點 B．八條側棱、四個頂點
C．四條側棱、八個頂點 D．六條側棱、八個頂點
答案　C
解析　四棱柱有四條側棱、八個頂點(可以結合正方體觀察求得)．
3．下列說法中，正確的是(　　)
A．有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐
B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
C．棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形
D．棱臺的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
答案　A
4．觀察如圖所示的四個幾何體，其中判斷不正確的是(　　)
A．①是棱柱 B．②不是棱錐
C．③不是棱錐 D．④是棱臺
答案　B
解析　結合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺，③不是棱錐，故B錯誤．
5．某同學制作了一個對面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個正方體禮品盒的表面展開圖應該為(　　)
答案　A
解析　兩個不能并列相鄰，B、D錯誤；兩個不能并列相鄰，C錯誤，故選A.也可通過實物制作檢驗來判定．
6．下列說法正確的有________．
①棱柱的側面都是平行四邊形；
②棱錐的側面為三角形，且所有側面都有一個公共點；
③棱臺的側面有的是平行四邊形，有的是梯形；
④棱臺的側棱所在直線均相交于同一點；
⑤多面體至少有四個面．
答案　①②④⑤
解析　棱柱是由一個平面多邊形沿某一方向平移而形成的幾何體，因而側面是平行四邊形，故①對．
棱錐是由棱柱的一個底面收縮為一個點而得到的幾何體，因而其側面均是三角形，且所有側面都有一個公共點，故②對．
棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截后，截面與底面之間的部分，因而其側面均是梯形，且所有的側棱延長后均相交于一點(即原棱錐的頂點)，故③錯④對．⑤顯然對．
因而正確的有①②④⑤.
7. 如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體的構成？有幾個面、幾個頂點、幾條棱？
解　這個幾何體是由兩個同底面的四棱錐組合而成的八面體．
有8個面，都是全等的正三角形；有6個頂點；有12條棱．
二、能力提升
8．在正五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數共有(　　)
A．20 B．15 C．12 D．10
答案　D
解析　正五棱柱任意不相鄰的兩條側棱可確定一個平面，每個平面可得到正五棱柱的兩條對角線，5個平面共可得到10條對角線，故選D.
9．在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何體的4個頂點，這些幾何體是________．(寫出所有正確結論的編號)
①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體．
答案　①③④⑤
解析　在正方體ABCD－A1B1C1D1上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何體的4個頂點，這些幾何體是：①矩形，如四邊形ACC1A1；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，如A－A1BD；④每個面都是等邊三角形的四面體，如A－CB1D1；⑤每個面都是直角三角形的四面體，如A－A1DC，
所以填①③④⑤
10．如圖，M是棱長為2 cm的正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點，沿正方體表面從點A到點M的最短路程是________cm.
答案　
解析　由題意，若以BC為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2 cm,3 cm，故兩點之間的距離是 cm.若以BB1為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1,4，故兩點之間的距離是 cm.故沿正方體表面從點A到點M的最短路程是 cm.
11. 如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A、B、C重合，重合后記為點P.
問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？
(2)這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？
(3)每個面的三角形面積為多少？
解　(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐．
(2)這個幾何體共有4個面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，
S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
三、探究與創新
12．長方體ABCDA1B1C1D1(如圖所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，現有一甲殼蟲從A出發沿長方體表面爬行到C1來獲取食物，試畫出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值．
解　把長方體的部分面展開，如圖所示．
對甲、乙、丙三種展開圖利用勾股定理可得AC1的長分別為、、，由此可見乙是最短線路，所以甲殼蟲可以先在長方形ABB1A1內由A到E，再在長方形BCC1B1內由E到C1，也可以先在長方形AA1D1D內由A到F，再在長方形DCC1D1內由F到C1，其最短路程為.
13．如圖所示：已知三棱臺ABCA′B′C′.
(1)把它分成一個三棱柱和一個多面體，并用字母表示；
(2)把它分成三個三棱錐并用字母表示．
解　(1)如下圖(1)所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，多面體是B′C′BCC″B″.
(2)如下圖(2)所示：三個三棱錐分別是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.

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