資源簡介

1．圓的方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圓心是C(a，b)，半徑長是r.特別地，圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2.
圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(2)由于圓的方程均含有三個參變量(a，b，r或D，E，F(xiàn))，
而確定這三個參數(shù)必須有三個獨(dú)立的條件，因此，三個獨(dú)立的條件可以確定一個圓．
(3)求圓的方程常用待定系數(shù)法，此時要善于根據(jù)已知條件的特征來選擇圓的方程．如果已知圓心或半徑長，或圓心到直線的距離，通常可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知圓經(jīng)過某些點(diǎn)，通常可用圓的一般方程．
2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
(1)點(diǎn)在圓上
①如果一個點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，那么該點(diǎn)在圓上．
②如果點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，那么點(diǎn)在圓上．
(2)點(diǎn)不在圓上
①若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足F(x，y)>0，則該點(diǎn)在圓外；若滿足
F(x，y)<0，則該點(diǎn)在圓內(nèi)．
②點(diǎn)到圓心的距離大于半徑則點(diǎn)在圓外；點(diǎn)到圓心的距離小于半徑則點(diǎn)在圓內(nèi)．
注意：若P點(diǎn)是圓C外一定點(diǎn)，則該點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最大距離：dmax＝|PC|＋r；最小距離：dmin＝|PC|－r.
3．直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相離、相切，其判斷方法有兩種：代數(shù)法(通過解直線方程與圓的方程組成的方程組，根據(jù)解的個數(shù)來判斷)、幾何法(由圓心到直線的距離d與半徑長r的大小關(guān)系來判斷)．
(1)當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為d＋r，最小距離為d－r，其中d為圓心到直線的距離．
(2)當(dāng)直線與圓相交時，圓的半徑長、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形．
(3)當(dāng)直線與圓相切時，經(jīng)常涉及圓的切線．
①若切線所過點(diǎn)(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則切線方程為x0x＋y0y＝r2；若點(diǎn)(x0，y0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，則切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切線所過點(diǎn)(x0，y0)在圓外，則切線有兩條．此時解題時若用到直線的斜率，則要注意斜率不存在的情況也可能符合題意．
(4)過直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)與圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交點(diǎn)的圓系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系數(shù)．
4．圓與圓的位置關(guān)系
兩個不相等的圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其判斷方法有兩種：代數(shù)法(通過解兩圓的方程組成的方程組，根據(jù)解的個數(shù)來判斷)、幾何法(由兩圓的圓心距d與半徑長r，R的大小關(guān)系來判斷)．
(1)求相交兩圓的弦長時，可先求出兩圓公共弦所在直線的方程，再利用相交兩圓的幾何性質(zhì)和勾股定理來求弦長．
(2)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點(diǎn)的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
5．空間直角坐標(biāo)系
(1)建立的空間直角坐標(biāo)系要遵循右手法則，空間上的任意一點(diǎn)都與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)一一對應(yīng)．
(2)空間中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之間的距離
|P1P2|＝.
(3)可利用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”的方法來求空間直角坐標(biāo)系下的對稱點(diǎn)．
題型一　求圓的方程
求圓的方程主要是聯(lián)想圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法解題．采用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟為：
(1)選擇圓的方程的某一形式；(2)由題意得a，b，r(或D，E，F(xiàn))的方程(組)；(3)解出a，b，r(或D，E，F(xiàn))；(4)代入圓的方程．
例1　有一圓與直線l：4x－3y＋6＝0相切于點(diǎn)A(3,6)，且經(jīng)過點(diǎn)B(5,2)，求此圓的方程．
解　方法一　設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心為C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，
得
解得a＝5，b＝，r2＝.
∴圓的方程為(x－5)2＋2＝.
方法二　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心為C，由CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圓上，
得解得
∴所求圓的方程為：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
方法三　設(shè)圓心為C，則CA⊥l，又設(shè)AC與圓的另一交點(diǎn)為P，則CA方程為y－6＝－(x－3)，
即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，∴kBP＝，
∴直線BP的方程為x－2y－1＝0.
解方程組得
∴P(7,3)．∴圓心為AP中點(diǎn)，半徑為|AC|＝.∴所求圓的方程為(x－5)2＋2＝.
跟蹤演練1　已知圓經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，圓心在直線2x＋y＝0上且與直線x－y－1＝0相切，求圓的方程．
解　方法一　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
其圓心為.
∵圓過點(diǎn)A(2，－1)，∴5＋2D－E＋F＝0，①
又圓心在直線2x＋y＝0上，
∴2·＋＝0，即2D＋E＝0.②
將y＝x－1代入圓方程得
2x2＋(D＋E－2)x＋(1－E＋F)＝0.
Δ＝(D＋E－2)2－8(1－E＋F)＝0.③
將①②代入③中，得(－D－2)2－8(1－2D－5)＝0，
即D2＋20D＋36＝0，∴D＝－2或D＝－18.
代入①②，得或
故所求圓的方程為x2＋y2－2x＋4y＋3＝0
或x2＋y2－18x＋36y＋67＝0.
方法二　設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
∵圓心在直線y＝－2x上，∴b＝－2a，
即圓心為(a，－2a)．
又圓與直線x－y－1＝0相切，且過點(diǎn)(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，
解得a＝1或a＝9.
∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝，
故所求圓的方程為：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，
或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
題型二　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
(1)直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)，切線問題更是重中之重，判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主，解題時應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡化解題過程．
(2)解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征，利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對值的大小來確定兩圓的位置關(guān)系，以及充分利用它的幾何圖形的形象直觀性來分析問題．
例2　如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直線l過點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；
(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解　(1)由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l被圓C1截得的弦長為2，所以d＝＝1.由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝，從而k(24k＋7)＝0.
即k＝0或k＝－，所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)設(shè)點(diǎn)P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l1的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l2的方程為y－b＝－(x－a)．因?yàn)閳AC1和圓C2的半徑相等，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即
＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
從而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝
－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因?yàn)閗的取值范圍有無窮多個，
所以或
解得或
這樣點(diǎn)P只可能是點(diǎn)P1或點(diǎn)P2.
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1和P2滿足題目條件．
跟蹤演練2　已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l過點(diǎn)P(2,3)且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求直線l的方程．
解　(1)當(dāng)直線l存在斜率時，設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.
作示意圖如圖，作MC⊥AB于C.
在Rt△MBC中，
|BC|＝，|MB|＝2，
故|MC|＝＝1，
由點(diǎn)到直線的距離公式得＝1，
解得k＝.
所以直線l的方程為3x－4y＋6＝0.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x＝2，
且|AB|＝2，所以適合題意．
綜上所述，直線l的方程為3x－4y＋6＝0或x＝2.
題型三　與圓有關(guān)的最值問題
在解決有關(guān)直線與圓的最值和范圍問題時，最常用的方法是函數(shù)法，把要求的最值或范圍表示為某個變量的關(guān)系式，用函數(shù)或方程的知識，尤其是配方的方法求出最值或范圍；除此之外，數(shù)形結(jié)合的思想方法也是一種重要方法，直接根據(jù)圖形和題設(shè)條件，應(yīng)用圖形的直觀位置關(guān)系得出要求的范圍．
例3　已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任一點(diǎn)．
(1)求的最大值與最小值；
(2)求x－2y的最大值與最小值．
解　(1)顯然可以看作是點(diǎn)
P(x，y)與點(diǎn)Q(1,2)連線的斜率．令＝k，如圖所示，則其最大、最小值分別是過點(diǎn)Q(1,2)的圓C的兩條切線的斜率．
對上式整理得kx－y－k＋2＝0，
∴＝1，∴k＝.
故的最大值是，最小值是.
(2)令u＝x－2y，則u可視為一組平行線，當(dāng)直線和圓C有公共點(diǎn)時，u的范圍即可確定，且最值在直線與圓相切時取得．
依題意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.
跟蹤演練3　當(dāng)曲線y＝1＋與直線y＝k(x－2)＋4有兩個相異交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　曲線y＝1＋是以(0,1)為圓心，2為半徑的半圓(如圖)，直線y＝k(x－2)＋4是過定點(diǎn)(2,4)的直線．
設(shè)切線PC的斜率為k0，則切線PC的方程為y＝k0(x－2)＋4，圓心(0,1)到直線PC的距離等于半徑2，即＝2，k0＝.
直線PA的斜率為k1＝.
所以，實(shí)數(shù)k的取值范圍是題型四　分類討論思想
分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想之一，是歷年高考的重點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)就是將整體問題化為部分問題來解決，化成部分問題后，從而增加了題設(shè)的條件．在用二元二次方程表示圓時要分類討論，在求直線的斜率問題時，用斜率表示直線方程時都要分類討論．
例4　已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－4，－3)，且被圓(x＋1)2＋
(y＋2)2＝25截得的弦長為8，求直線l的方程．
解　圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圓心為(－1，－2)，半徑r＝5.
①當(dāng)直線l的斜率不存在時，則l的方程為x＝－4，由題意可知直線x＝－4符合題意．
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＋3＝k(x＋4)，
即kx－y＋4k－3＝0.
由題意可知2＋2＝52，
解得k＝－，即所求直線方程為4x＋3y＋25＝0.
綜上所述，滿足題設(shè)的l方程為x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
跟蹤演練4　如圖，已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點(diǎn)B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.
(1)求圓A的方程；
(2)當(dāng)|MN|＝2時，求直線l的方程．
解　(1)設(shè)圓A的半徑為r.
由于圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2.
∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x＝－2符合題意；
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.連接AQ，則AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，
∴|AQ|＝＝1，
則由|AQ|＝＝1，得k＝.
直線方程為3x－4y＋6＝0.
綜上，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.
初中我們從平面幾何的角度研究過圓的問題，本章則主要是利用圓的方程從代數(shù)角度研究了圓的性質(zhì)，如果我們能夠?qū)烧哂袡C(jī)地結(jié)合起來解決圓的問題，將在處理圓的有關(guān)問題時收到意想不到的效果．
圓是非常特殊的幾何圖形，它既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，它的許多幾何性質(zhì)在解決圓的問題時往往起到事半功倍的作用，所以在實(shí)際解題中常用幾何法，充分結(jié)合圓的平面幾何性質(zhì)．那么，我們來看經(jīng)常使用圓的哪些幾何性質(zhì)：
(1)圓的切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑；切點(diǎn)與圓心的連線垂直于切線；切線在切點(diǎn)處的垂線一定經(jīng)過圓心；圓心、圓外一點(diǎn)及該點(diǎn)所引切線的切點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的三個頂點(diǎn)等等．
(2)直線與圓相交的弦的有關(guān)性質(zhì)：相交弦的中點(diǎn)與圓心的連線垂直于弦所在直線；弦的垂直平分線(中垂線)一定經(jīng)過圓心；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形的三邊，滿足勾股定理．
(3)與直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)：直徑是圓的最長的弦；圓的對稱軸一定經(jīng)過圓心；直徑所對的圓周角是直角．4．3　空間直角坐標(biāo)系
4．3.1　空間直角坐標(biāo)系
4．3.2　空間兩點(diǎn)間的距離公式
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置.2.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式．
[知識鏈接]
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，兩點(diǎn)間的距離為.
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
1．空間直角坐標(biāo)系
(1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念
①空間直角坐標(biāo)系：從空間某一定點(diǎn)引三條兩兩垂直，且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
②相關(guān)概念：點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸．通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面．
(2)右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)
空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x，y，z)．其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)．
3．空間兩點(diǎn)間的距離公式
(1)在空間中，點(diǎn)P(x，y，z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離|OP|＝.
(2)在空間中，P1(x1，y1，z1)與P2(x2，y2，z2)的距離
|P1P2|＝.
4．空間中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式
在空間直角坐標(biāo)系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是.
要點(diǎn)一　求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)
例1　建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出底邊長為2，高為3的正三棱柱的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
解　以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為y軸，以射線OA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
由題意知，AO＝×2＝，從而可知各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，
C1(0，－1,3)．
規(guī)律方法　1.題目若未給出坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系時應(yīng)遵循以下原則：
(1)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)；
(2)充分利用幾何圖形的對稱性．
2．求某點(diǎn)的坐標(biāo)時，一般先找這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影(或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號)確定第三個坐標(biāo)．
跟蹤演練1　畫一個正方體ABCDA1B1C1D1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以棱AB，AD，AA1所在的直線為坐標(biāo)軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系．
(1)求各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求棱C1C中點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)求面AA1B1B對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)．
解　建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，且正方體的棱長為1.
(1)各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，
A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)．
(2)棱CC1的中點(diǎn)為M.
(3)面AA1B1B對角線交點(diǎn)為N.
要點(diǎn)二　求空間中對稱點(diǎn)的坐標(biāo)
例2　在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2,1,4)．
(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．
解　(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P1(－2，－1，－4)．
(2)由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P2(－2,1，－4)．
(3)設(shè)對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
規(guī)律方法　任意一點(diǎn)P(x，y，z)，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)是
P1(－x，－y，－z)；關(guān)于x軸(橫軸)對稱的點(diǎn)是P2(x，－y，－z)；關(guān)于y軸(縱軸)對稱的點(diǎn)是P3(－x，y，－z)；關(guān)于z軸(豎軸)對稱的點(diǎn)是P4(－x，－y，z)；關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)是P5(x，y，－z)；關(guān)于yOz平面對稱的點(diǎn)是P6(－x，y，z)；關(guān)于xOz平面對稱的點(diǎn)是P7(x，－y，z)．
求對稱點(diǎn)的問題可以用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”的口訣來記憶．
跟蹤演練2　求點(diǎn)A(1,2，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy及x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．
解　如圖所示，過點(diǎn)A作AM⊥坐標(biāo)平面xOy交平面于點(diǎn)M，并延長到點(diǎn)C，使AM＝CM，則點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對稱，且點(diǎn)C(1,2,1)．
過點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N并延長到點(diǎn)B，使AN＝NB，
則點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對稱且點(diǎn)B(1，－2,1)．
∴點(diǎn)A(1,2，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對稱的點(diǎn)為C(1,2,1)；
點(diǎn)A(1,2，－1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為B(1，－2,1)．
(本題也可直接利用點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸對稱的規(guī)律寫出)
要點(diǎn)三　空間中兩點(diǎn)之間的距離
例3　已知△ABC的三個頂點(diǎn)A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．
(1)求△ABC中最短邊的邊長；
(2)求AC邊上中線的長度．
解　(1)由空間兩點(diǎn)間距離公式得
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴△ABC中最短邊是|BC|，其長度為.
(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
∴AC邊上中線的長度為 ＝.
規(guī)律方法　解決空間中的距離問題就是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入距離公式計(jì)算，其中確定點(diǎn)的坐標(biāo)或合理設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
跟蹤演練3　已知兩點(diǎn)P(1,0,1)與Q(4,3，－1)．
(1)求P、Q之間的距離；
(2)求z軸上的一點(diǎn)M，使|MP|＝|MQ|.
解　(1)|PQ|＝＝.
(2)設(shè)M(0,0，z)由|MP|＝|MQ|，
得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，
∴z＝－6.∴M(0,0，－6).
1．點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的(　　)
A．y軸上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限內(nèi)
答案　C
解析　點(diǎn)(2,0,3)的縱坐標(biāo)為0，所以該點(diǎn)在xOz平面上．
2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,4,5)與Q(3，－4，－5)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是(　　)
A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于xOy平面對稱
C．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D．以上都不對
答案　A
解析　點(diǎn)P(3,4,5)與Q(3，－4，－5)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，而縱、豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱．
3．已知點(diǎn)A(x,1,2)和點(diǎn)B(2,3,4)，且|AB|＝2，則實(shí)數(shù)x的值是(　　)
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
答案　D
解析　由題意得＝2解得x＝－2或x＝6.
4．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，則線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
答案　(4,0，－1)
解析　設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，
則x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，
∴中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0，－1)．
5．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,0,1)與點(diǎn)B(2,1，－1)間的距離為________．
答案　
解析　|AB|＝＝.
1.結(jié)合長方體的長寬高理解點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)，培養(yǎng)立體思維，增強(qiáng)空間想象力．
2．學(xué)會用類比聯(lián)想的方法理解空間直角坐標(biāo)系的建系原則，切實(shí)體會空間中點(diǎn)的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式同平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式的區(qū)別和聯(lián)系．
3．在導(dǎo)出空間兩點(diǎn)間的距離公式中體會轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，突出了化空間為平面的解題思想．
一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1．空間兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，則A，B兩點(diǎn)的位置關(guān)系是(　　)
A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱
C．關(guān)于z軸對稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對稱
答案　B
解析　由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知關(guān)于y軸對稱．
2．在長方體ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，則對角線AC1的長為(　　)
A．9 B. C．5 D．2
答案　B
解析　由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝.
3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,7,6)，則點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在坐標(biāo)平面xOz上的射影的坐標(biāo)為(　　)
A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)
C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)
答案　C
解析　點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是M′(－4,7，－6)，點(diǎn)M′在坐標(biāo)平面xOz上的射影是(－4,0，－6)．
4. 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1，A1C的中點(diǎn)E到AB的中點(diǎn)F的距離為(　　)
A.a B.a
C．a(chǎn) D.a
答案　B
解析　由題意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，
∴E，則|EF|＝
＝a.
5．已知點(diǎn)A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)則|AB|的最小值是(　　)
A．3 B．3
C．2 D．2
答案　B
解析　|AB|2＝(2a－1)2＋(－7－a)2＋(－2＋5)2
＝5a2＋10a＋59
＝5(a＋1)2＋54.
∴a＝－1時，|AB|2的最小值為54.
∴|AB|min＝＝3.
6．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點(diǎn)P在z軸上，且|PA|＝|PB|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
答案　(0,0,3)
解析　設(shè)P(0,0，c)，由題意得
＝
解之得c＝3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,3).
7. 如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，點(diǎn)M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C的中點(diǎn)，求M、N兩點(diǎn)間的距離．
解　根據(jù)已知條件可得|A1C1|＝2，
由|MC1|＝2|A1M|，可得
|A1M|＝，如圖所示，
以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AA1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則M，C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N為CD1的中點(diǎn)可得N(1,2,2)．
∴|MN|＝ ＝.
二、能力提升
8．△ABC在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則BC邊上的中線的長是(　　)
A. B．2 C. D．3
答案　C
解析　BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,1,0)，
又A(0,0,1)，∴|AM|＝＝.
9．在空間直角坐標(biāo)系中，一定點(diǎn)P到三個坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　設(shè)P(x，y，z)，由題意可知
∴x2＋y2＋z2＝.∴＝.
10．點(diǎn)B是點(diǎn)A(2，－3,5)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)，則|AB|＝________.
答案　10
解析　∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(2，－3，－5)，
∴|AB|＝＝10.
11. 如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分別是棱AB，B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，求DE，EF的長度．
解　以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(xiàn)(1,0,0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
三、探究與創(chuàng)新
12．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足為E，求B1E的長．
解　如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y,0)，
在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，直線AC的方程為＋＝1，
即2x＋y－4＝0，又DE⊥AC，直線DE的方程為x－2y＝0.
由得∴E(，，0)．
∴|B1E|＝ ＝，
即B1E的長為.
13．已知正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD與平面ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動，點(diǎn)N在BF上移動，若CM＝BN＝a(0求：(1)MN的長；
(2)a為何值時，MN的長最小．
解　(1)∵面ABCD⊥面ABEF，
面ABCD∩面ABEF＝AB，AB⊥BE，BE 平面ABEF，∴BE⊥面ABCD.
∴AB、BC、BE兩兩垂直．
過點(diǎn)M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分別為G、H，連接NG，易證NG⊥AB.
∵CM＝BN＝a，∴CH＝MH＝BG＝GN＝a，
∴以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以BA、BE、BC所在直線為x軸、y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則M、N.
∴|MN|＝
＝＝ (0(2)∵|MN|＝，
故當(dāng)a＝時，|MN|min＝，
這時M、N恰好為AC1BF的中點(diǎn)．4．1　圓的方程
4．1.1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn).2.會根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
[知識鏈接]
1．平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓．
2．確定一個圓的基本要素是圓心和半徑．
3．平面上兩點(diǎn)間的距離公式d＝.
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
1．圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)圓的定義
平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓．
其中定點(diǎn)是圓的圓心；定長是圓的半徑．
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系，即點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法：
(1)幾何法：將所給的點(diǎn)M與圓心C的距離跟半徑r比較：
若|CM|＝r，則點(diǎn)M在圓上；
若|CM|>r，則點(diǎn)M在圓外；
若|CM|(2)代數(shù)法：可利用圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2來確定：
點(diǎn)M(m，n)在圓C上 (m－a)2＋(n－b)2＝r2；
點(diǎn)M(m，n)在圓C外 (m－a)2＋(n－b)2>r2；
點(diǎn)M(m，n)在圓C內(nèi) (m－a)2＋(n－b)2要點(diǎn)一　點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
例1　已知點(diǎn)A(1,2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解　由題意，得點(diǎn)A在圓C上或圓C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，
∴a的取值范圍是∪(0，＋∞)．
規(guī)律方法　判斷點(diǎn)P(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系有幾何法與代數(shù)法兩種，對于幾何法，主要是利用點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較大小．
對于代數(shù)法，主要是把點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，具體判斷方法如下：
①當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2②當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2時，點(diǎn)在圓上，
③當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2時，點(diǎn)在圓外．
跟蹤演練1　點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(　　)
A．在圓外 B．在圓內(nèi)
C．在圓上 D．不確定
答案　A
解析　把點(diǎn)P(m2,5)代入圓的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故點(diǎn)P在圓外．
要點(diǎn)二　求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2　求過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解　方法一　設(shè)點(diǎn)C為圓心，
∵點(diǎn)C在直線x＋y－2＝0上，
∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,2－a)．
又∵該圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝1.
∴圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑長r＝|CA|＝2.
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二　由已知可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，∴AB的垂直平分線的方程為y－0＝1·(x－0)，即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點(diǎn)，
由得即圓心為(1,1)，圓的半徑為＝2，
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
規(guī)律方法　直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，一般先從確定圓的兩個要素入手，即首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
跟蹤演練2　以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
答案　D
解析　∵點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，
∴以A、B為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(1,2)，
半徑r＝＝5.
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.
要點(diǎn)三　圓的方程的綜合應(yīng)用
例3　已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點(diǎn)A(1,0)，B(5,0)，
(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)P(x，y)為圓C上任意一點(diǎn)，求P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值．
解　(1)由已知，得C(3,0)r＝＝2，
∴所求方程為(x－3)2＋y2＝4.
(2)圓心C到直線x－y＋1的距離
d＝＝2.
∴P到直線的最大距離為2＋2，最小距離為2－2.
規(guī)律方法　解答例3應(yīng)用了圓的性質(zhì)，即圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，解題過程中用數(shù)形結(jié)合的思想能有效地找到解題的捷徑，即過圓心作已知直線的垂線，便于求解．
跟蹤演練3　已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(0，－1)，B(0,1)，設(shè)P是圓C上的動點(diǎn)，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
解　設(shè)P(x，y)，
則d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值為2×16＋2＝34.
最大值為2×36＋2＝74.
1．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是(　　)
A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2,3)， D．(2，－3)，
答案　D
解析　由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)為(2，－3)，半徑為.
2．以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝
答案　B
解析　以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝4.
3．若直線y＝ax＋b通過第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　(－a，－b)為圓的圓心，由直線經(jīng)過第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)得解．
4．已知兩圓C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，則兩圓圓心間的距離為________．
答案　5
解析　C1圓心為(5,3)，C2圓心為(2，－1)，則d＝＝5.
5．若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
答案　x2＋(y－1)2＝1
解析　由題意知圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1.
1.確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組求a，b，r或直接求出圓心(a，b)和半徑r.另外依據(jù)題意適時運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)解題可以化繁為簡，提高解題效率．
2．討論點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以從代數(shù)特征(點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足圓的方程)或幾何特征(點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系)去考慮，其中利用幾何特征較為直觀、快捷．
一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案　D
解析　由題意可知，圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故選D.
2．已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
答案　D
解析　圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為點(diǎn)(0,3)，
又因?yàn)橹本€l與直線x＋y＋1＝0垂直，
所以直線l的斜率k＝1.
由點(diǎn)斜式得直線l：y－3＝x－0，化簡得x－y＋3＝0.
3．與圓(x－3)2＋(y＋2)2＝4關(guān)于直線x＝－1對稱的圓的方程為(　　)
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－3)2＋y2＝4
答案　A
解析　已知圓的圓心(3，－2)關(guān)于直線x＝－1的對稱點(diǎn)為(－5，－2)，∴所求圓的方程為(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.
4．若點(diǎn)(4a－1,3a＋2)不在圓(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，則a的取值范圍是(　　)
A．－C．－≤a≤ D．－1≤a≤1
答案　D
解析　由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.
∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1.
5．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程為________________．
答案　x2＋(y－2)2＝1
解析　設(shè)圓心(0，b)，設(shè)圓的方程為(x－0)2＋(y－b)2＝1，
把(1,2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.
∴圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.
6．已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋y2＝1上，則
的最大值為________．
答案　1＋
解析　的幾何意義是圓上的點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(1,1)的距離，因此最大值為＋1.
7．已知直線l與圓C相交于點(diǎn)P(1,0)和點(diǎn)Q(0,1)．
(1)求圓心所在的直線方程；
(2)若圓C的半徑為1，求圓C的方程．
解　(1)PQ的方程為x＋y－1＝0，
PQ中點(diǎn)M，kPQ＝－1，
所以圓心所在的直線方程為y＝x.
(2)由條件設(shè)圓的方程為：(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由圓過P，Q點(diǎn)得：
解得或
所以圓C方程為：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
二、能力提升
8．已知一圓的圓心為點(diǎn)A(2，－3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則圓的方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案　B
解析　如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，圓的半徑r＝＝.
故所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
9．若實(shí)數(shù)x，y滿足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，則x2＋y2的最小值為(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　B
解析　由幾何意義可知最小值為14－＝1.
10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝，則t＝的取值范圍是________．
答案　t≤－或t≥
解析　
y＝表示上半圓，t可以看作動點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(－1，－3)連線的斜率．如圖：
A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，
則kAB＝，kAC＝－，
∴t≤－或t≥.
11．平面直角坐標(biāo)系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四點(diǎn)，這四點(diǎn)能否在同一個圓上？為什么？
解　能．設(shè)過A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入有
　解得
∴圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝5.
將D(－1,2)代入上式圓的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D點(diǎn)坐標(biāo)適合此圓的方程．
故A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上．
三、探究與創(chuàng)新
12．求圓(x－)2＋(y＋1)2＝關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱的圓的方程．
解　圓(x－)2＋(y＋1)2＝的圓心為M(，－1)．
設(shè)所求圓的圓心為(m，n)，它與(，－1)關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，
∴∴
∴所求圓的圓心坐標(biāo)為(－2，)，半徑r＝.
∴對稱圓的方程是(x＋2)2＋(y－)2＝.
13．已知點(diǎn)A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
解　設(shè)P(x，y)，則x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2
＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值為88，
最小值為72.4．2.2　圓與圓的位置關(guān)系
4．2.3　直線與圓的方程的應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.掌握圓與圓的位置關(guān)系及判定方法.2.能利用直線與圓的位置關(guān)系解決簡單的實(shí)際問題.3.體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．
[知識鏈接]
1．判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法為代數(shù)法、幾何法．
2．兩圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
1．圓與圓位置關(guān)系的判定
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：
位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
圖示
d與r1、r2的關(guān)系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進(jìn)行判斷．
消元,一元二次方程
2．用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”
要點(diǎn)一　與兩圓相切有關(guān)的問題
例1　求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋y＝0相切于點(diǎn)M(3，－)的圓的方程．
解　設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
則＝r＋1，①
＝，②
＝r.③
聯(lián)立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4，r＝6，即所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
規(guī)律方法　兩圓相切時常用的性質(zhì)有：
(1)設(shè)兩圓的圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1、r2，
則兩圓相切
(2)兩圓相切時，兩圓圓心的連線過切點(diǎn)(兩圓若相交時，兩圓圓心的連線垂直平分公共弦)．
跟蹤演練1　求與圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于點(diǎn)A(4，－1)且半徑為1的圓的方程．
解　設(shè)所求圓的圓心為P(a，b)，則
＝1.①
(1)若兩圓外切，則有＝1＋2＝3，②
聯(lián)立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圓的方程為
(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若兩圓內(nèi)切，則有＝|2－1|＝1，③
聯(lián)立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圓的方程為
(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
綜上所述，所求圓的方程為
(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
要點(diǎn)二　與兩圓相交有關(guān)的問題
例2　已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．
解　設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，
①－②得：3x－4y＋6＝0.
∵A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在的直線方程．
易知圓C1的圓心(－1,3)，半徑r1＝3.
又C1到直線AB的距離為d＝＝.
∴|AB|＝2＝2＝.
即兩圓的公共弦長為.
規(guī)律方法　1.兩圓相交時，公共弦所在的直線方程
若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦長的求法
(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長．
(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．
跟蹤演練2　求過兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交點(diǎn)，且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
解　設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0.
圓心為，由題意得
－＋－4＝0，∴λ＝－7.
∴圓的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
要點(diǎn)三　直線與圓的方程的應(yīng)用
例3　一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報，臺風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？
解　以臺風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)，其中取10 km為單位長度，
則受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓的方程為x2＋y2＝9，
港口所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)，
輪船的初始位置所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,0)，
則輪船航線所在直線l的方程為＋＝1，
即4x＋7y－28＝0.
圓心(0,0)到航線4x＋7y－28＝0的距離
d＝＝，而半徑r＝3，∴d>r，
∴直線與圓外離，所以輪船不會受到臺風(fēng)的影響．
規(guī)律方法　解決直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾個方面：
跟蹤演練3　臺風(fēng)中心從A地以20千米/時的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為(　　)
A．0.5小時 B．1小時
C．1.5小時 D．2小時
答案　B
解析　以臺風(fēng)中心A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則臺風(fēng)中心在直線y＝x上移動，又B(40,0)到y(tǒng)＝x的距離為d＝20，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即臺風(fēng)中心從E到F時，B城市處于危險區(qū)內(nèi)，時間為t＝＝1小時．故選B.
1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系為(　　)
A．外離 B．相交
C．外切 D．內(nèi)切
答案　B
解析　圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長r1＝1；圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑長r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝2．圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A．(1,0)和(0,1) B．(1,0)和(0，－1)
C．(－1,0)和(0，－1) D．(－1,0)和(0,1)
答案　C
解析　由
解得或
3．圓x2＋y2－2x－5＝0和圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交點(diǎn)為A、B，則線段AB的垂直平分線方程為(　　)
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案　A
解析　直線AB的方程為：4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分線斜率為－1，過圓心(1,0)，方程為y＝－(x－1)，即兩圓連心線．
4．兩圓x2＋y2＝r2與(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，則r的值是(　　)
A. B. C．5 D.
答案　D
解析　由題意可知＝2r，
∴r＝.
5．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是________．
答案　x＋3y＝0
解析　 2x＋6y＝0，
即x＋3y＝0.
1.判斷圓與圓位置關(guān)系的方式通常有代數(shù)法和幾何法兩種，其中幾何法較簡便易行、便于操作．
2．直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實(shí)踐以及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，要善于利用其解決一些實(shí)際問題，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；要有意識用坐標(biāo)法解決幾何問題，用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的思維過程：
一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　)
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離
答案　B
解析　兩圓圓心坐標(biāo)分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝.
∵3－22．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m等于(　　)
A．21 B．19 C．9 D．－11
答案　C
解析　圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圓C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵兩圓外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
3．一輛卡車寬1.6米，要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形隧道，則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距地面的高度不得超過(　　)
A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米
答案　B
解析　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．如圖設(shè)蓬頂距地面高度為h，則A(0.8，h－3.6)，
半圓所在圓的方程為：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6)．代入得0.82＋h2＝3.62.
∴h＝4≈3.5(米)．
4．已知半徑為1的動圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動圓圓心的軌跡方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
答案　D
解析　設(shè)動圓圓心為(x，y)，若動圓與已知圓外切，則＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若動圓與已知圓內(nèi)切，則＝4－1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
5．圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4相切，則m的值為________．
答案　－5，－2，－1,2
解析　圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圓心為(－2，m)，半徑長為3，圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(m，－1)，半徑長為2.當(dāng)C1、C2外切時有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5；當(dāng)C1、C2內(nèi)切時有＝3－2，即m2＋3m＋2＝0解得m＝－1或m＝－2.
6．兩圓x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦長為
________.
答案　
解析　由
②－①得兩圓的公共弦所在的直線方程為x－y－3＝0，
∴圓x2＋y2＝5的圓心到該直線的距離為
d＝＝，
設(shè)公共弦長為l，∴l(xiāng)＝2＝.
7．求圓心為(2,1)且與已知圓x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直線經(jīng)過點(diǎn)(5，－2)的圓的方程．
解　設(shè)所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
已知圓的方程為x2＋y2－3x＝0，②
②－①得公共弦所在直線的方程為x＋2y－5＋r2＝0，又此直線經(jīng)過點(diǎn)(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.
二、能力提升
8．設(shè)兩圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于(　　)
A．4 B．4 C．8 D．8
答案　C
解析　∵兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且都經(jīng)過點(diǎn)(4,1)，
∴兩圓圓心均在第一象限且橫、縱坐標(biāo)相等．
設(shè)兩圓的圓心分別為(a，a)，(b，b)，
則有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b為方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的兩個根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
9．以圓C1：x2＋y2＋4x＋1＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦為直徑的圓的方程為(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.2＋2＝
D.2＋2＝
答案　B
解析　兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為x－y＝0，因此所求圓的圓心的橫、縱坐標(biāo)相等，排除C，D選項(xiàng)，畫圖(圖略)可知所求圓的圓心在第三象限，排除A.故選B.
10．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．
答案　(x－2)2＋(y－2)2＝2
解析　
曲線化為(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圓心C1(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離為d＝＝5.過點(diǎn)C1且垂直于x＋y－2＝0的直線為y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圓的圓心C2在直線y＝x上，如圖所示，圓心C2到直線x＋y－2＝0的距離為＝，則圓C2的半徑長為.設(shè)C2的坐標(biāo)為(x0，y0)，則＝，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圓心坐標(biāo)為(2,2)，
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.
11．求過點(diǎn)A(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點(diǎn)的圓的方程．
解　方法一　將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，則圓心坐標(biāo)為(－5，－5)，所以經(jīng)過此圓心和原點(diǎn)的直線方程為x－y＝0.
設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由題意得解得
于是所求圓的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
方法二　由題意知所求的圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(0,6)，所以圓心一定在直線y＝3上，又由方法一知圓心在直線x－y＝0上，所以由得圓心坐標(biāo)為(3,3)．
所以r＝＝3，故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18.
三、探究與創(chuàng)新
12．已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道？假設(shè)貨車的最大寬度為a m，那么要正常駛?cè)朐撍淼溃涇嚨南薷邽槎嗌伲?br/>解　以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓的直徑AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，那么半圓的方程為x2＋y2＝16(y≥0)．
將x＝2.7代入，得y＝＝<3，
所以，在離中心線2.7 m處，隧道的高度低于貨車的高度．因此，貨車不能駛?cè)脒@個隧道．
將x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝.
所以，貨車要正常駛?cè)脒@個隧道，最大高度(即限高)為m.
13．求圓心在直線x－y－4＝0上，且過兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程．
解　方法一　設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程為
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，所以圓心坐標(biāo)為(，)．
又圓心在直線x－y－4＝0上，所以－－4＝0，即λ＝－.
所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二　由得兩圓公共弦所在直線的方程為y＝x，由
解得
所以兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)分別為A(－1，－1)、B(3,3)，線段AB的垂直平分線所在直線的方程為y－1＝－(x－1)．
由得
所以所求圓的圓心為(3，－1)，半徑為＝4.
所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.4．1.2　圓的一般方程
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.正確理解圓的方程的形式及特點(diǎn)，會由一般式求圓心和半徑.2.會在不同條件下求圓的一般式方程．
[知識鏈接]
1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.
2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，可以利用代數(shù)法與幾何法進(jìn)行判斷．
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
1．圓的一般方程的定義
(1)當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，其圓心為，半徑為.
(2)當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點(diǎn).
(3)當(dāng)D2＋E2－4F<0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何圖形．
2．由圓的一般方程判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
已知點(diǎn)M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．則其位置關(guān)系如下表：
位置關(guān)系 代數(shù)關(guān)系
點(diǎn)M在圓外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
點(diǎn)M在圓上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
點(diǎn)M在圓內(nèi) x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
要點(diǎn)一　圓的一般方程的概念
例1　下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
解　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2與y2的系數(shù)不相同，
∴它不能表示圓．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy這樣的項(xiàng)．
∴它不能表示圓．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化為(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圓．
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化為2＋y2＝2，
∴它表示以為圓心，為半徑長的圓．
規(guī)律方法　二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，應(yīng)滿足的條件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.
跟蹤演練1　如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圓的方程，則實(shí)數(shù)k的范圍是________．
答案　
解析　由題意可知(－2)2＋12－4k>0，
即k<.
要點(diǎn)二　求圓的一般方程
例2　已知△ABC的三個頂點(diǎn)為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、圓心坐標(biāo)和外接圓半徑．
解　方法一　設(shè)△ABC的外接圓方程為
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圓上，
∴
∴
∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴圓心坐標(biāo)為(1，－1)，外接圓半徑為5.
方法二　設(shè)△ABC的外接圓方程為
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圓上，
∴
解得即外接圓的圓心為(1，－1)，半徑為5，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展開易得其一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
方法三　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A為直角的直角三角形．
∴圓心是線段BC的中點(diǎn)，
坐標(biāo)為(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
展開得一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
規(guī)律方法　應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時：
(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.
(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.
跟蹤演練2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圓的方程．
解　設(shè)三角形ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由題意得解得
即三角形ABC的外接圓方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
要點(diǎn)三　求動點(diǎn)的軌跡方程
例3　等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2)，底邊一個端點(diǎn)是B(3,5)，求另一個端點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．
解　設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)．
依題意，得|AC|＝|AB|.由兩點(diǎn)間距離公式，得
＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，又因?yàn)锳、B、C為三角形的三個頂點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)不共線．即點(diǎn)B、C不能重合且B、C不能為圓A的一直徑的兩個端點(diǎn)．
因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能重合，所以點(diǎn)C不能為(3,5)．
又因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能為一直徑的兩個端點(diǎn)，
所以≠4，且≠2，即點(diǎn)C不能為(5，－1)．
故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去點(diǎn)(3,5)和(5，－1))，它的軌跡是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，
為半徑的圓，但除去(3,5)和(5，－1)兩點(diǎn)．
規(guī)律方法　求與圓有關(guān)的軌跡問題常用的方法．
(1)直接法：根據(jù)題目的條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，并找出動點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式．
(2)定義法：當(dāng)列出的關(guān)系式符合圓的定義時，可利用定義寫出動點(diǎn)的軌跡方程．
(3)相關(guān)點(diǎn)法：若動點(diǎn)P(x，y)隨著圓上的另一動點(diǎn)Q(x1，y1)運(yùn)動而運(yùn)動，且x1，y1可用x，y表示，則可將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圓的方程，即得動點(diǎn)P的軌跡方程．
跟蹤演練3　已知直角△ABC的兩個頂點(diǎn)A(－1,0)和B(3,0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程．
解　方法一　設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，
因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，
所以x≠3且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝.
且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為
x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
方法二　△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，
所以x≠3且x≠－1.
由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為
x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
答案　D
解析　－＝2，－＝－3，∴圓心坐標(biāo)是(2，－3)．
2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一個圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)
A．k≤ B．k＝
C．k≥ D．k<
答案　D
解析　方程表示圓 1＋1－4k>0 k<.
3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的圖形為(　　)
A．以(a，b)為圓心的圓
B．以(－a，－b)為圓心的圓
C．點(diǎn)(a，b)
D．點(diǎn)(－a，－b)
答案　D
解析　原方程可化為：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示點(diǎn)(－a，－b)．
4．圓x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直徑為3，則m的值為________．
答案　
解析　因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
∴r＝＝，∴m＝.
5．圓C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝________.
答案　3
解析　圓心(1,2)到直線3x＋4y＋4＝0的距離為＝3.
1.圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，來源于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在應(yīng)用時，注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化及表示圓的條件．
2．圓的方程可用待定系數(shù)法來確定，在設(shè)方程時，要根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)出恰當(dāng)?shù)姆匠蹋员愫喕忸}過程．
3．對于曲線的軌跡問題，要作簡單的了解，能夠求出簡單的曲線的軌跡方程，并掌握求軌跡方程的一般步驟．
一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1．已知圓x2＋y2－4x＋2y－4＝0，則圓心坐標(biāo)，半徑的長分別是(　　)
A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3
C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，9
答案　A
解析　圓x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
故其圓心坐標(biāo)為(2，－1)，半徑的長為3.
2．若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為，則a的值為(　　)
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
答案　C
解析　由圓的方程得圓心坐標(biāo)為(1,2)．再由點(diǎn)到直線的距離公式得＝，解得a＝2或a＝0.
3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲線關(guān)于直線y＝x對稱，那么必有(　　)
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
答案　A
解析　方程所表示的曲線為圓，由已知，圓關(guān)于直線y＝x對稱，所以圓心在直線y＝x上，即點(diǎn)在直線y＝x上，所以D＝E.故選A.
4．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC的面積最小值是(　　)
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
答案　A
解析　直線AB的方程為x－y＋2＝0，圓心到直線AB的距離為d＝＝，
所以，圓上任意一點(diǎn)到直線AB的最小距離為－1，
S△ABC＝×|AB|×
＝×2×
＝3－.
5．當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點(diǎn)C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為(　　)
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
答案　C
解析　直線(a－1)x－y＋a＋1＝0可化為(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
由得C(－1,2)．
∴圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
6．點(diǎn)P(x0，y0)是圓x2＋y2＝16上的動點(diǎn)，點(diǎn)M是OP(O為原點(diǎn))的中點(diǎn)，則動點(diǎn)M的軌跡方程是________．
答案　x2＋y2＝4
解析　設(shè)M(x，y)，則即
又P(x0，y0)在圓上，
∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.
7．設(shè)圓的方程為x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑；
(2)若此圓的一條弦AB的中點(diǎn)為P(3,1)，求直線AB的方程．
解　(1)將x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圓心坐標(biāo)為C(2,0)，半徑為r＝3.
(2)設(shè)直線AB的斜率為k.
由圓的幾何性質(zhì)可知：CP⊥AB，
∴kCP·k＝－1.
又kCP＝＝1，∴k＝－1.
∴直線AB的方程為y－1＝－(x－3)，
即：x＋y－4＝0.
二、能力提升
8．圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對稱，則ab的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對稱，則圓心在直線上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，ab的取值范圍是，故選A.
9．已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是(　　)
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝2
答案　A
解析　設(shè)P(x，y)，則PM⊥PN.
又kPM＝＝(x≠－2)，
kPN＝＝(x≠2)，
∵kPM·kPN＝－1，∴·＝－1，
即x2－4＋y2＝0，即x2＋y2＝4(x≠±2)．
當(dāng)x＝2時，不能構(gòu)成以MN為斜邊的直角三角形，
因此不成立．同理當(dāng)x＝－2時也不成立．
故點(diǎn)P的軌跡方程是x2＋y2＝4(x≠±2)．
10．光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)，經(jīng)y軸反射到圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________．
答案　6－2
解析　∵A(1,1)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為A′(－1,1)，
∴所求的最短路程為|A′C|－2，
|A′C|＝＝6.
∴所求的最短路程為6－2.
11．已知定點(diǎn)A(2,0)，圓x2＋y2＝1上有一個動點(diǎn)Q，若線段AQ的中點(diǎn)為P，求動點(diǎn)P的軌跡．
解　設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，Q(x1，y1)，
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式有即
∵x＋y＝1，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝1，
∴動點(diǎn)P的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝.
∴動點(diǎn)P的軌跡為以(1,0)為圓心，為半徑的圓．
三、探究與創(chuàng)新
12．已知一圓過P(4，－2)、Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的方程．
解　方法一　設(shè)圓的方程為：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
將P、Q的坐標(biāo)分別代入①，得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的兩根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤聯(lián)立成的方程組，
得或.
故所求方程為：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二　求得PQ的中垂線方程為x－y－1＝0.①
∵所求圓的圓心C在直線①上，
故設(shè)其坐標(biāo)為(a，a－1)，
又圓C的半徑r＝|CP|＝ .②
由已知圓C截y軸所得的線段長為4，而圓C到y(tǒng)軸的距離為|a|.
r2＝a2＋2，代入②并將兩端平方，
得a2－6a＋5＝0，
解得a1＝1，a2＝5.
∴r1＝，r2＝.
故所求圓的方程為：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
13．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的圖形是圓．
(1)求t的取值范圍；
(2)求其中面積最大的圓的方程；
(3)若點(diǎn)P(3,4t2)恒在所給圓內(nèi)，求t的取值范圍．
解　(1)已知方程可化為(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，
由二次函數(shù)的圖象解得－(2)由(1)知r＝＝ ，
∴當(dāng)t＝∈(－，1)時，rmax＝，此時圓的面積最大，
所對應(yīng)的圓的方程是(x－)2＋(y＋)2＝.
(3)當(dāng)且僅當(dāng)32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·(4t2)＋16t4＋9<0時，
點(diǎn)P恒在圓內(nèi)，∴8t2－6t<0，∴0一、選擇題
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－3,4,0)與點(diǎn)B(2，－1,6)的距離是(　　)
A．2 B．2 C．9 D.
答案　D
解析　由空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式得：
|AB|＝＝.
2．點(diǎn)A(2a，a－1)在以點(diǎn)C(0,1)為圓心，半徑為的圓上，則a的值為(　　)
A．±1 B．0或1
C．－1或 D．－或1
答案　D
解析　由題意，得圓的方程為x2＋(y－1)2＝5，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓的方程可得a＝1或a＝－.
3．已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
答案　B
解析　由題意知點(diǎn)在圓外，則a2＋b2>1，圓心到直線的距離d＝<1，故直線與圓相交．
4．過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為(　　)
A. B．2 C. D．2
答案　D
解析　直線方程為y＝x，圓的方程化為x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圓心(0,2)到直線y＝x的距離為d＝1，∴半弦長為＝，∴弦長為2.
5．圓心在x軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(2,1)的圓的方程是(　　)
A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1
答案　A
解析　設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則由題意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圓的方程是(x－2)2＋y2＝1.
6．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于2的點(diǎn)有(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
答案　B
解析　(3,3)到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝＝2，而圓的半徑為3，故符合題意的點(diǎn)有2個．
7．若圓C與圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1關(guān)于原點(diǎn)對稱，則圓C的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
答案　A
解析　方法一　因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(－x，－y)，所以圓C為(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
方法二　已知圓的圓心是(－2,1)，半徑是1，
所以圓C的圓心是(2，－1)，半徑是1.
所以圓C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
8．過點(diǎn)P(－2,4)作圓O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l，直線m：ax－3y＝0與直線l平行，則直線l與m的距離為(　　)
A．4 B．2 C. D.
答案　A
解析　P為圓上一點(diǎn)，則有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，∴kl＝.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l(xiāng)與m的距離為＝4.
9．圓C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圓C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切線有(　　)
A．2條 B．3條
C．4條 D．0條
答案　B
解析　由x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，得圓心和半徑分別為O1(－2，2)，r1＝1.由x2＋y2－4x－10y＋13＝0，得圓心和半徑分別為O2(2,5)，r2＝4.
因?yàn)閐＝5，r1＋r2＝5，即r1＋r2＝d，所以兩圓外切，由平面幾何知識得兩圓有3條公切線．
10．若P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則弦AB所在直線的方程是(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0
答案　C
解析　設(shè)圓心為C，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)且AB⊥CP，kCP＝＝－1，∴kAB＝1，直線AB的方程為y＋1＝x－2即x－y－3＝0.
二、填空題
11．若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________________．
答案　(x－2)2＋2＝
解析　因?yàn)閳A的弦的垂直平分線必過圓心且圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m)．又因?yàn)閳A與直線y＝1相切，所以＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－，所以圓的方程為(x－2)2＋2＝.
12．若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案　1≤m≤121
解析　由x2＋y2＋6x－8y－11＝0得(x＋3)2＋(y－4)2＝36，所以兩圓的圓心距d＝＝5，當(dāng)兩圓有公共點(diǎn)時，它們只能是內(nèi)切、外切或相交，因此圓心距d應(yīng)滿足|r2－r1|≤d≤r1＋r2，即|－6|≤5≤＋6，從而1≤≤11，即1≤m≤121.
13．以原點(diǎn)O為圓心且截直線3x＋4y＋15＝0所得弦長為8的圓的方程是________．
答案　x2＋y2＝25
解析　原點(diǎn)O到直線的距離d＝＝3，設(shè)圓的半徑為r，∴r2＝32＋42＝25，∴圓的方程是x2＋y2＝25.
14．過點(diǎn)M(3,2)作圓O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切線方程是________________．
答案　y＝2或5x－12y＋9＝0
解析　由圓的方程可知，圓心為(－2,1)，半徑為1，顯然所求直線斜率存在，設(shè)直線的方程為y－2＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋2＝0，由＝1，
解得k＝0或k＝，所以所求直線的方程為y＝2和5x－12y＋9＝0.
三、解答題
15．已知圓C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l的方程為y＝x＋m，求當(dāng)m為何值時，
(1)直線平分圓；
(2)直線與圓相切．
解　(1)∵直線平分圓，所以圓心在直線上，即有m＝0.
(2)∵直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，
∴d＝＝＝2，m＝±2.
即m＝±2時，直線l與圓相切．
16．已知△ABC的邊AB長為2a，若BC邊上的中線為定長m，求頂點(diǎn)C的軌跡．
解　如圖：以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(－a,0)，B(a,0)，設(shè)C(x，y)，BC的中點(diǎn)為D(x0，y0)則x0＝，y0＝，①
∵|AD|＝m，∴|x0＋a|2＋y＝m2，②
將①代入②并整理，得(x＋3a)2＋y2＝4m2，
∵點(diǎn)C不能在x軸上，∴y≠0.
綜上，點(diǎn)C的軌跡是以(－3a,0)為圓心，以2m為半徑的圓，挖去(－3a＋2m,0)和(－3a－2m,0)兩點(diǎn)．
17．在三棱柱ABOA′B′O′中，∠AOB＝90°，側(cè)棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C為線段O′A的中點(diǎn)，在線段BB′上求一點(diǎn)E，使|EC|最小．
解　如圖所示，以三棱柱的O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OO′所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，O′(0,0,2)．
由C為線段O′A的中點(diǎn)得C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,1)，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2，z)，根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式得
|EC|＝
＝，
故當(dāng)z＝1時，|EC|取得最小值為，此時E(0,2,1)為線段BB′的中點(diǎn)．
18．已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．
(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
(2)設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為120°，求弦AB的長．
解　(1)直線l可變形為y－1＝m(x－1)，
因此直線l過定點(diǎn)D(1,1)，
又＝1<，
所以點(diǎn)D在圓C內(nèi)，則直線l與圓C必相交．
(2)由題意知m≠0，所以直線l的斜率k＝m，
又k＝tan 120°＝－，即m＝－.
此時，圓心C(0,1)到直線l：x＋y－－1＝0的距離d＝＝，
又圓C的半徑r＝，
所以|AB|＝2＝2＝.4.2　直線、圓的位置關(guān)系
4．2.1　直線與圓的位置關(guān)系
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解直線和圓的三種位置關(guān)系.2.會用代數(shù)與幾何兩種方法判斷直線和圓的位置關(guān)系．
[知識鏈接]
1．直線的點(diǎn)斜式方程為y－y0＝k(x－x0)，直線恒過定點(diǎn)(x0，y0)．
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(其中D2＋E2－4F>0)
3．點(diǎn)(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
直線與圓的位置關(guān)系及判斷
位置關(guān)系 相交 相切 相離
公共點(diǎn)個數(shù) 2個 1個 0個
判定方法 幾何法：設(shè)圓心到 直線的距離d＝ dr
代數(shù)法：由 消元得到一元二次 方程的判別式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
圖形
要點(diǎn)一　直線與圓的位置關(guān)系的判斷
例1　已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時，圓與直線
(1)有兩個公共點(diǎn)；
(2)只有一個公共點(diǎn)；
(3)沒有公共點(diǎn)．
解　方法一　將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴當(dāng)Δ>0，即m>0或m<－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點(diǎn)；
當(dāng)Δ＝0，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點(diǎn)；
當(dāng)Δ<0，即－方法二　已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圓心為C(2,1)，半徑r＝2.
圓心C(2,1)到直線mx－y－m－1＝0的距離
d＝＝.
當(dāng)d<2，即m>0或m<－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點(diǎn)；
當(dāng)d＝2，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點(diǎn)；
當(dāng)d>2，即－規(guī)律方法　直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法：
(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．
(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．
(3)直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系．
跟蹤演練1　已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點(diǎn)P(3,0)的直線，則(　　)
A．l與C相交 B．l與C相切
C．l與C相離 D．以上三個選項(xiàng)均有可能
答案　A
解析　將點(diǎn)P(3,0)代入圓的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴點(diǎn)P(3,0)在圓內(nèi)．
∴過點(diǎn)P的直線l必與圓C相交．
要點(diǎn)二　圓的切線問題
例2　過點(diǎn)A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線的方程．
解　因?yàn)?4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以點(diǎn)A在圓外．
(1)若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，
則切線方程為y＋3＝k(x－4)．即kx－y－3－4k＝0，
因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－.
所以切線方程為y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
(2)若直線斜率不存在，
圓心C(3,1)到直線x＝4的距離也為1，
這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x＝4.
綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.
規(guī)律方法　1.過一點(diǎn)P(x0，y0)求圓的切線方程問題，首先要判斷該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓外，切線有兩條，一般設(shè)點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)用待定系數(shù)法求解，但要注意斜率不存在的情況，若點(diǎn)在圓上，則切線有一條，用切線垂直于過切點(diǎn)的半徑求切線的斜率，再由點(diǎn)斜式可直接得切線方程．
2．一般地圓的切線問題，若已知切點(diǎn)則用k1·k2＝－1(k1，k2分別為切線和圓心與切點(diǎn)連線的斜率)列式，若未知切點(diǎn)則用d＝r(d為圓心到切線的距離，r為半徑)列式．
跟蹤演練2　求過點(diǎn)(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的直線方程．
解　由題意知切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5.
解得k＝或k＝－.
∴所求切線方程為y＋7＝(x－1)
或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
要點(diǎn)三　圓的弦長問題
例3　求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長．
解　方法一　由
得交點(diǎn)A(1,3)，B(2,0)，
∴弦AB的長為|AB|＝＝.
方法二　由
消去y得x2－3x＋2＝0.
設(shè)兩交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.
∴|AB|＝
＝
＝＝
＝＝，
即弦AB的長為.
方法三　圓C：x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋(y－1)2＝5，其圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑r＝，
點(diǎn)(0,1)到直線l的距離為d＝＝，
所以半弦長為＝＝＝，所以弦長|AB|＝.
規(guī)律方法　求直線與圓相交時弦長的兩種方法：
(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有2＋d2＝r2.
即|AB|＝2.
(2) 代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則|AB|＝
＝|x1－x2|
＝ |y1－y2|，其中k為直線l的斜率．
跟蹤演練3　直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　)
A．1 B．2 C．4 D．4
答案　C
解析　圓的方程可化為C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圓心為C(1,2)，半徑r＝.如圖所示，取弦AB的中點(diǎn)P，連接CP，則CP⊥AB，
圓心C到直線AB的距離d＝|CP|＝＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝＝2，故直線被圓截得的弦長|AB|＝4.
1．直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關(guān)系是(　　)
A．過圓心 B．相切
C．相離 D．相交但不過圓心
答案　D
解析　圓心(1，－1)到直線3x＋4y＋12＝0的距離d＝＝2．直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m(m>0)相切，則m的值為(　　)
A．0或2 B．2 C. D．無解
答案　B
解析　由圓心到直線的距離d＝＝，解得m＝2.
3．設(shè)A、B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點(diǎn)，則|AB|等于(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　D
解析　直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心C(0,0)，
則|AB|＝2.
4．由點(diǎn)P(1,3)引圓x2＋y2＝9的切線的長是________．
答案　1
解析　點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為|PO|＝，∵r＝3，
∴切線長為＝1.
5．過原點(diǎn)的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為________．
答案　2x－y＝0
解析　設(shè)所求直線方程為y＝kx，即kx－y＝0.由于直線kx－y＝0被圓截得的弦長等于2，圓的半徑是1，因此圓心到直線的距離等于 ＝0，即圓心(1,2)位于直線kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直線方程是2x－y＝0.
1.判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法中，幾何法要結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行判斷，一般計(jì)算較簡單．而代數(shù)法則是通過解方程組進(jìn)行消元，計(jì)算量大，不如幾何法簡捷．
2．一般地，在解決圓和直線相交時，應(yīng)首先考慮圓心到直線的距離，弦長的一半，圓的半徑構(gòu)成的直角三角形．還可以聯(lián)立方程組，消去y，組成一個一元二次方程，利用方程根與系數(shù)的關(guān)系表達(dá)出弦長l＝·＝|x1－x2|.
3．研究圓的切線問題時要注意切線的斜率是否存在．過一點(diǎn)求圓的切線方程時，要考慮該點(diǎn)是否在圓上．當(dāng)點(diǎn)在圓上時，切線只有一條；當(dāng)點(diǎn)在圓外時，切線有兩條．
一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案　B
解析　由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，
圓心為(－1,1)，半徑r＝.
圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為d＝＝.
由r2＝d2＋()2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
2．圓x2＋y2＝4上的點(diǎn)到直線x－y＋2＝0的距離的最大值為(　　)
A．2＋ B．2－
C. D．0
答案　A
解析　圓心(0,0)到直線x－y＋2＝0的距離d＝，∴所求最大距離為2＋.
3．直線l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y＝0的位置關(guān)系是(　　)
A．相離 B．相切或相交
C．相交 D．相切
答案　C
解析　l過定點(diǎn)A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴點(diǎn)A在圓上，∵直線x＝1過點(diǎn)A且為圓的切線，又l斜率存在，
∴l(xiāng)與圓一定相交，故選C.
4．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直線l：x－y＋3＝0，當(dāng)直線l被圓C截得的弦長為2時，a等于(　　)
A. B．2－
C.－1 D.＋1
答案　C
解析　因?yàn)閳A的半徑為2，且截得弦長的一半為，所以圓心到直線的距離為1，即＝1，解得a＝±－1，因?yàn)閍>0，所以a＝－1，故選C.
5．已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a等于(　　)
A．－ B．1 C．2 D.
答案　C
解析　由題意知圓心為(1,0)，由圓的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，可設(shè)圓的切線方程為x＋ay＋c＝0，由切線x＋ay＋c＝0過點(diǎn)P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.
6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________．
答案　
解析　圓心為(2，－1)，半徑r＝2.
圓心到直線的距離d＝＝，
所以弦長為2＝2 ＝.
7．求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿足：
(1)相交；(2)相切；(3)相離．
解　圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為(x－3)2＋y2＝4，
故圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離d＝，
圓的半徑r＝2.
(1)若相交，則d所以m<－2或m>2；
(2)若相切，則d＝r，即＝2，所以m＝±2；
(3)若相離，則d>r，即>2，
所以－2二、能力提升
8．在圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直線x＋y＋1＝0的距離為的點(diǎn)共有(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
答案　C
解析　圓心為(－1，－2)，半徑r＝2，而圓心到直線的距離d＝＝，故圓上有3個點(diǎn)滿足題意．
9．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2，則k的取值范圍是(　　)
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
答案　A
解析　設(shè)圓心為C，弦MN的中點(diǎn)為A，當(dāng)|MN|＝2時，
|AC|＝＝＝1.∴當(dāng)|MN|≥2時，圓心C到直線y＝kx＋3的距離d≤1.
∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.
∴－≤k≤0.
10．若直線l：y＝x＋b與曲線C：y＝有兩個公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．
答案　[1，)
解析　如圖所示，y＝是一個以原點(diǎn)為圓心，長度1為半徑的半圓，
y＝x＋b是一個斜率為1的直線，要使直線與半圓有兩個交點(diǎn)，連接A(－1,0)和B(0,1)，直線l必在AB以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個臨界位置直線l的b值，當(dāng)直線l與AB重合時，b＝1；當(dāng)直線l與半圓相切時，b＝.所以b的取值范圍是[1，)．
11．(1)圓C與直線2x＋y－5＝0切于點(diǎn)(2,1)，且與直線2x＋y＋15＝0也相切，求圓C的方程；
(2)已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程．
解　(1)設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵兩切線2x＋y－5＝0與2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②
又∵過圓心和切點(diǎn)的直線與過切點(diǎn)的切線垂直，
∴＝，③
由①②③解得
∴所求圓C的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m，m)．
∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，
∴圓心到直線y＝x的距離為＝|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
三、探究與創(chuàng)新
12．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)求證不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；
(2)求直線被圓C截得的弦長最小時的l的方程．
(1)證明　因?yàn)閘的方程為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以解得
即l恒過定點(diǎn)A(3,1)．
因?yàn)閳A心為C(1,2)，|AC|＝<5(半徑)，
所以點(diǎn)A在圓C內(nèi)，
從而直線l與圓C恒交于兩點(diǎn)．
(2)解　由題意可知弦長最小時，l⊥AC.
因?yàn)閗AC＝－，所以l的斜率為2.
又l過點(diǎn)A(3,1)，所以l的方程為2x－y－5＝0.
13．已知曲線C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.
(1)證明不論a取何實(shí)數(shù)，曲線C必過定點(diǎn)；
(2)當(dāng)a≠2時，證明曲線C是一個圓，且圓心在一條直線上；
(3)若曲線C與x軸相切，求a的值．
(1)證明　曲線C的方程可變形為(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.
由解得
點(diǎn)(4，－2)滿足C的方程，故曲線C過定點(diǎn)(4，－2)．
(2)證明　配方得(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2，
∵當(dāng)a≠2時，5(a－2)2>0，∴C的方程表示圓心是(2a，－a)，半徑是|a－2|的圓．
設(shè)圓心坐標(biāo)為(x，y)，則有
消去a得y＝－x，
故圓心必在直線y＝－x上．
(3)解　由題意知|a－2|＝|a|，解得a＝.

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