資源簡介

章末檢測
一、選擇題
1．已知直線l的方程為y＝－x＋1，則直線l的傾斜角為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．135°
答案　D
解析　由題意可知，直線l的斜率為－1，故由tan 135°＝－1，可知直線l的傾斜角為135°.
2．已知點A(0,4)，B(4,0)在直線l上，則l的方程為(　　)
A．x＋y－4＝0 B．x－y－4＝0
C．x＋y＋4＝0 D．x－y＋4＝0
答案　A
解析　由截距式方程可得l的方程為＋＝1，即x＋y－4＝0.
3．點(1,1)到直線x＋y－1＝0的距離為(　　)
A．1 B．2 C. D.
答案　C
解析　由點到直線的距離公式得d＝＝.
4．已知直線l1：ax－y－2＝0和直線l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，則實數a的值為(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案　A
解析　l1的斜率為a，l2的斜率為a＋2，
∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝－1.
∴a2＋2a＋1＝0即a＝－1.
5．已知直線mx＋ny＋1＝0平行于直線4x＋3y＋5＝0，且在y軸上的截距為，則m，n的值分別為(　　)
A．4和3 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
答案　C
解析　由題意知：－＝－，即3m＝4n，且有－＝，∴n＝－3，m＝－4.
6．和直線3x－4y＋5＝0關于x軸對稱的直線方程為(　　)
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
答案　A
解析　設所求直線上的任一點為(x，y)，則此點關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y)，因為點(x，－y)在直線3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.
7．兩點A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)關于直線4x＋3y＝11對稱，則a，b的值分別為(　　)
A．－1,2 B．4，－2
C．2,4 D．4,2
答案　D
解析　A、B關于直線4x＋3y＝11對稱，則kAB＝，
即＝，①
且AB中點在已知直線上，代入得
2(b＋2)＋3＝11，②
解①②組成的方程組得故選D.
8. 如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，則光線所經過的路程是(　　)
A．2 B．6
C．3 D．2
答案　A
解析　由題意知點P關于直線AB的對稱點為D(4,2)，關于y軸的對稱點為C(－2,0)，則光線所經過的路程PMN的長為|CD|＝2.
9．當a為任意實數時，直線(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒過的定點是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3)
C. D．(－2,0)
答案　B
解析　將直線方程變為：a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，則直線恒過兩直線x＋2＝0與－x－y＋1＝0的交點，
解方程組得
即直線過定點(－2,3)．
10．已知點M(1,0)和N(－1,0)，直線2x＋y＝b與線段MN相交，則b的取值范圍為(　　)
A．[－2,2] B．[－1,1]
C. D．[0,2]
答案　A
解析　直線可化成y＝－2x＋b，當直線過點M時，可得b＝2；當直線過點N時，可得b＝－2.所以要使直線與線段MN相交，b的取值范圍為[－2,2]．
二、填空題
11．過點(1,3)且在x軸的截距為2的直線方程是________．
答案　3x＋y－6＝0
解析　由題意設所求直線的方程為＋＝1，
又點(1,3)滿足該方程，故＋＝1，
∴b＝6.
即所求直線的方程為＋＝1，
化為一般式得3x＋y－6＝0.
12．經過兩條直線2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交點，且垂直于直線3x－2y＋4＝0的直線方程為________．
答案　2x＋3y－2＝0
解析　由方程組得交點A(－2,2)，因為所求直線垂直于直線3x－2y＋4＝0，故所求直線的斜率k＝－，由點斜式得所求直線方程為y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.
13．已知直線l與直線y＝1，x－y－7＝0分別相交于P、Q兩點，線段PQ的中點坐標為(1，－1)，那么直線l的斜率為________．
答案　－
解析　設P(x,1)，則Q(2－x，－3)，將Q坐標代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0.
∴x＝－2，∴P(－2,1)，
∴kl＝－.
14．在平面直角坐標系內，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點的坐標是________．
答案　(2,4)
解析　設平面上任一點M，因為|MA|＋|MC|≥|AC|，當且僅當A，M，C共線時取等號，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，當且僅當B，M，D共線時取等號，連接AC，BD交于一點M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，則點M為所求．
又kAC＝＝2，∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
又kBD＝＝－1，
∴直線BD的方程為y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②
由①②得∴∴M(2,4)．
三、解答題
15．已知兩條直線l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，當m為何值時，l1與l2
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解　當m＝0時，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.
當m＝2時，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，
∴l1與l2相交．
當m≠0且m≠2時，由＝得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3.
故(1)當m≠－1且m≠3且m≠0時，l1與l2相交．
(2)當m＝－1或m＝0時，l1∥l2.
(3)當m＝3時，l1與l2重合．
16．直線l經過兩直線l1：2x－y＋4＝0與l2：x－y＋5＝0的交點，且與直線x－2y－6＝0垂直．
(1)求直線l的方程；
(2)若點P(a,1)到直線l的距離為，求實數a的值．
解　(1)由得交點為(1,6)，
又直線l垂直于直線x－2y－6＝0，
所以直線l的斜率為k＝－2.
故直線l的方程為y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
(2)由于P(a,1)到直線l的距離等于，
則＝，解得a＝1或a＝6.
17．(1)已知直線y＝x－1的傾斜角為α，另一直線l的傾斜角β＝2α，且過點M(2，－1)，求l的方程；
(2)已知直線l過點P(－2,3)，且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，求直線l的方程．
解　(1)∵已知直線的斜率為，即tan α＝，
∴α＝30°.∴直線l的斜率k＝tan 2α＝tan 60°＝.
又l過點(2，－1)，∴l的方程為y－(－1)＝(x－2)，即x－y－2－1＝0.
(2)顯然，直線l與兩坐標軸不垂直，否則不構成三角形，設l的斜率為k，則k≠0，則l的方程為y－3＝k(x＋2)．
令x＝0，得y＝2k＋3；
令y＝0，得x＝－－2.
于是直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為|(2k＋3)·(－－2)|＝4，即(2k＋3)(＋2)＝±8，
解得k＝－或k＝－.
∴l的方程為y－3＝－(x＋2)，或y－3＝－(x＋2)．
即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
18．已知三條直線l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直線l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距離是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件：
①P是第一象限的點；②P點到l1的距離是P點到l2的距離的；③P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是∶，若能，求出P點的坐標；若不能，說明理由．
解　(1)∵l2為2x－y－＝0，
∴l1與l2的距離為d＝＝.
∵a>0，∴a＝3.
(2)設點P(x0，y0)滿足②，則P點在與l1、l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上且＝·，
即c＝或c＝，∴有2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.若點P滿足條件③，由點到直線的距離公式有：
＝·，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
∴x0－2y0＋4＝0，或3x0＋2＝0.
∵P點在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．
聯立方程
解得(舍去)
由得
∴P(，)即為同時滿足條件的點．1．直線的傾斜角與斜率
(1)傾斜角與斜率從“形”和“數”兩方面刻畫了直線的傾斜程度，但傾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是傾斜度的直接體現；斜率k是實數(k∈(－∞，＋∞))，是傾斜程度的間接反映．在解題的過程中，用斜率往往比用傾斜角更方便．
(2)傾斜角與斜率的對應關系：當α＝90°時，直線的斜率不存在；當α≠90°時，斜率k＝tan α，且經過兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率kAB＝.
(3)當α由0°→90°→180°(不含180°)變化時，k由0(含0)逐漸增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐漸增大到0(不含0)．
2．直線的五種方程及比較
名稱 方程 常數的幾何意義 適用條件
點斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直線上的一個定點，k是斜率 直線不垂直于x軸
斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直線在y軸上的截距 直線不垂直于x軸
兩點式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直線上的兩個定點 直線不垂直于x軸和y軸
截距式 ＋＝1 a，b分別是直線在x軸，y軸上的非零截距 直線不垂直于x軸和y軸，且不過原點
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0) A，B，C為系數 任何情況
特殊直線 x＝a(y軸：x＝0) 垂直于x軸且過點(a,0) 斜率不存在
y＝b(x軸：y＝0) 垂直于y軸且過點(0，b) 斜率k＝0
解題時要根據題目條件靈活選擇，注意其適用條件：點斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直線，兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直和過原點的直線，一般式雖然可以表示任何直線，但要注意A2＋B2≠0，必要時要對特殊情況進行討論．
3．兩直線的平行與垂直
直線方程 l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行的等價條件 l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2 A1B2－A2B1＝0， 且B1C2－B2C1≠0
垂直的等價條件 l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1⊥l2 A1A2＋B2B1＝0
由兩直線的方程判斷兩條直線是否平行或垂直時，要注意條件的限制；同時已知平行或垂直關系求直線的方程或確定方程的系數關系時，要根據題目條件設出合理的直線方程．
4．距離問題
類型 已知條件 公式
兩點間的距離 A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝
點到直線的距離 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0 d＝
兩條平行直線間的距離 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同時為0) d＝
學習時要注意特殊情況下的距離公式，并注意利用它的幾何意義，解題時往往將代數運算與幾何圖形直觀分析相結合．
5．直線系方程
直線系方程是解析幾何中直線方程的基本內容之一，它把具有某一共同性質的直線族表示成一個含參數的方程，然后根據直線所滿足的其他條件確定出參數的值，進而求出直線方程．直線系方程的常見類型有：
(1)過定點P(x0，y0)的直線系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是參數，直線系中未包括直線x＝x0)，也就是平常所提到的直線的點斜式方程；
(2)平行于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：
Ax＋By＋λ＝0(λ是參數，λ≠C)；
(3)垂直于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：
Bx－Ay＋λ＝0(λ是參數)；
(4)過兩條已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ是參數，當λ＝0時，方程變為A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直線l1；當λ≠0時，方程表示過直線l1和l2的交點，但不含直線l2)．
6．“對稱”問題的解題策略
對稱問題主要有兩大類：一類是中心對稱，一類是軸對稱．
(1)中心對稱
①兩點關于點對稱，設P1(x1，y1)，P(a，b)，則P1(x1，y1)關于P(a，b)對稱的點為P2(2a－x1,2b－y1)，即P為線段P1P2的中點．特別地，P(x，y)關于原點對稱的點為P′(－x，－y)．
②兩直線關于點對稱，設直線l1，l2關于點P對稱，這時其中一條直線上任一點關于點P對稱的點在另一條直線上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距離相等．
(2)軸對稱
①兩點關于直線對稱，設P1，P2關于直線l對稱，則直線P1P2與l垂直，且線段P1P2的中點在l上，這類問題的關鍵是由“垂直”和“平分”列方程．
②兩直線關于直線對稱，設l1，l2關于直線l對稱．
當三條直線l1，l2，l共點時，l上任意一點到l1，l2的距離相等，并且l1，l2中一條直線上任意一點關于l對稱的點在另外一條直線上；
當l1∥l2∥l時，l1與l間的距離等于l2與l間的距離．
題型一　直線的傾斜角和斜率
傾斜角和斜率分別從“形”和“數”兩個方面刻畫了直線的傾斜程度．傾斜角α與斜率k的對應關系和單調性是解題的易錯點，應引起特別重視．
(1)對應關系
①α≠90°時，k＝tan α.
②α＝90°時，斜率不存在．
(2)單調性
當α由0°→90°→180°(不含180°)變化時，k由0(含0)逐漸增大到＋∞，然后由－∞逐漸增大到0(不含0)．
經過A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)兩點的直線的斜率公式k＝(x1≠x2)，應注意其適用的條件x1≠x2，當x1＝x2時，直線斜率不存在．
例1　(1)如圖所示，直線l1的傾斜角α1＝30°，直線l1與l2垂直，求l1，l2的斜率．
(2)已知直線l過點P(－1,2)，且與以A(－2，－3)，B(3,0)為端點的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍．
解　(1)由圖形可知，α2＝α1＋90°，則k1，k2可求．
直線l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝.
∵直線l2的傾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴直線l2的斜率k2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝
－tan 60°＝－.
(2)∵P(－1,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，
∴kPA＝＝5，kPB＝＝－.
當l由PA變化到與y軸平行時，其傾斜角為α增至90°，斜率變化范圍為[5，＋∞)，
當l由與y軸平行變化到PB的位置時，其傾斜角由90°增至β，斜率變化范圍為.
∴直線l的斜率的取值范圍是∪[5，＋∞)．
跟蹤演練1　求經過A(m,3)、B(1,2)兩點的直線的斜率，并指出傾斜角α的取值范圍．
解　當m＝1時，直線斜率不存在，此時直線的傾斜角為：α＝90°.
當m≠1時，由斜率公式可得k＝＝，
(1)當m>1時，k＝>0，所以直線的傾斜角的取值范圍是0°<α<90°.
(2)當m<1時，k＝<0，所以直線的傾斜角的取值范圍是90°<α<180°.
題型二　直線的方程
(1)求直線方程的主要方法是待定系數法，要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉化，能根據條件靈活選用方程，當不能確定某種方程條件具備時要另行討論條件不滿足的情況．
(2)運用直線系方程的主要作用在于能使計算簡單．
例2　過點P(－1,0)，Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們在x軸上截距之差的絕對值為1，求這兩條直線的方程．
解　(1)當兩條直線的斜率不存在時，兩條直線的方程分別為x＝－1，x＝0，它們在x軸上截距之差的絕對值為1，滿足題意；
(2)當直線的斜率存在時，設其斜率為k，則兩條直線的方程分別為y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.
令y＝0，分別得x＝－1，x＝－.
由題意得＝1，即k＝1.
則直線的方程為y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
綜上可知，所求的直線方程為x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
跟蹤演練2　將直線的方程x－2y＋6＝0：
(1)化成斜截式，并指出它的斜率與在y軸上的截距；
(2)化成截距式，并指出它在x軸、y軸上的截距．
解　(1)將原方程移項得2y＝x＋6，兩邊同除以2，得斜截式y＝x＋3，因此它的斜率k＝，在y軸上的截距為3.
(2)將原方程移項得x－2y＝－6，兩邊同除以－6，得截距式＋＝1.由方程可知，直線在x軸、y軸上的截距分別為－6,3.
題型三　直線的位置關系
兩條直線的位置關系有相交(特例垂直)、平行、重合三種，主要考查兩條直線的平行和垂直．通常借助直線的斜截式方程來判斷兩條直線的位置關系．解題時要注意分析斜率是否存在，用一般式方程來判斷，可以避免討論斜率不存在的情況．
例3　已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分別滿足下列條件的a、b的值．
(1)直線l1過點(－3，－1)，并且直線l1與直線l2垂直；
(2)直線l1與直線l2平行，并且坐標原點到l1、l2的距離相等．
解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0，①
又點(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率為1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分別表示為
l1∶(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原點到l1與l2的距離相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝.
因此或
跟蹤演練3　已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)試判斷l1與l2是否平行；
(2)l1⊥l2時，求a的值．
解　(1)若l1∥l2，
則
∴a＝－1.
∴a＝－1時，l1∥l2.
(2)當l2的斜率不存在時，a＝1.
則l2：x＝0，l1：x＋2y＋6＝0.
顯然l1與l2不垂直．
當l2斜率存在時，a≠1.
則k2＝，k1＝－.
∵l1⊥l2，
∴k1·k2＝·＝－1.
∴a＝.
題型四　分類討論思想
分類討論思想其實質就是將整體問題化為部分問題來解決．在解題過程中，需選定一個標準，根據這個標準劃分成幾個能用不同形式解決的小問題，從而使問題得到解決．
在本章中涉及到分類討論的問題主要是由直線的斜率是否存在及直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式的局限性引起的分類討論問題．
例4　設直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程．
解　①當2－a＝0，即a＝2時，直線經過原點，滿足條件，此時直線的方程為：3x＋y＝0.
②當a＝－1時，直線在x軸上無截距，不符合題意，故當a≠－1且a≠2時，由題意得：
＝a－2，解得：a＝0.
此時直線的方程為：x＋y＋2＝0.
綜上，所求直線方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
跟蹤演練4　直線l經過點P(2,3)，且在x，y軸上的截距互為相反數，試求該直線的方程．
解　①當截距都為0時，直線過原點，此時k＝，
所以直線方程為y＝x.
②當截距都不為0時，根據題意，
設所求直線的方程為＋＝1.
∵直線過點P(2,3)，∴＋＝1，
得a＝－1.∴直線方程為x－y＋1＝0.
綜上，所求直線方程為x－y＋1＝0或y＝x.
1.在平面解析幾何中，用代數知識解決幾何問題時應首先挖掘出幾何圖形的幾何條件，把它們進一步轉化為代數方程之間的關系求解．
2．關于對稱問題，要充分利用“垂直平分”這個基本條件，“垂直”是指兩個對稱點的連線與已知直線垂直，“平分”是指：兩對稱點連成線段的中點在已知直線上，可通過這兩個條件列方程組求解．
3．涉及直線斜率問題時，應從斜率存在與不存在兩方面考慮，防止漏掉情況．3.2.3　直線的一般式方程
[學習目標]　1.掌握直線的一般式方程.2.了解關于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)都表示直線，且直線方程都可以化為Ax＋By＋C＝0的形式.3.會進行直線方程不同形式的轉化．
[知識鏈接]
1．過點A(x0，y0)分別垂直于x軸、y軸的直線方程為：x＝x0，y＝y0.
2．直線的點斜式方程：y－y0＝k(x－x0)．
直線的兩點式方程：＝(x1≠x2，y1≠y2)．
[預習導引]
1．在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關于x，y的二元一次方程；任何關于x，y的二元一次方程都表示一條直線．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同時為0)叫做直線方程的一般式．
2．對于直線Ax＋By＋C＝0，當B≠0時，其斜率為－，在y軸上的截距為－；當B＝0時，在x軸上的截距為－；當AB≠0時，在兩軸上的截距分別為－，－.
3．直線一般式方程的結構特征
(1)方程是關于x，y的二元一次方程．
(2)方程中等號的左側自左向右一般按x，y，常數的先后順序排列．
(3)x的系數一般不為分數和負數．
(4)雖然直線方程的一般式有三個參數，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程.
要點一　直線的一般式與其他形式的轉化
例1　(1)下列直線中，斜率為－，且不經過第一象限的是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
(2)直線x－5y＋9＝0在x軸上的截距等于(　　)
A. B．－5 C. D．－3
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)將一般式化為斜截式，斜率為－的有：B、C兩項．
又y＝－x＋14過點(0,14)即直線過第一象限，
所以只有B項正確．
(2)令y＝0則x＝－3.
規律方法　(1)一般式化為斜截式的步驟：
①移項得By＝－Ax－C；
②當B≠0時，得斜截式：y＝－x－.
(2)一般式化為截距式的步驟：
方法一：
①把常數項移到方程右邊，得Ax＋By＝－C；
②當C≠0時，方程兩邊同除以－C，得＋＝1；
③化為截距式：＋＝1.
方法二：
①令x＝0求直線在y軸上的截距b；
②令y＝0求直線在x軸上的截距a；
③代入截距式方程＋＝1.
由于直線方程的斜截式和截距式是唯一的，而兩點式和點斜式不唯一，因此，通常情況下，一般式不化為兩點式和點斜式．
跟蹤演練1　已知直線l經過點A(－5,6)和點B(－4,8)，求直線l的一般式方程和截距式方程，并畫出圖形．
解　因為直線l經過點A(－5,6)，B(－4,8)，
所以由兩點式，得＝，
整理得2x－y＋16＝0，化為截距式得＋＝1，
所以直線l的一般式方程為2x－y＋16＝0，截距式方程為＋＝1.
圖形如圖所示：
要點二　直線方程的應用
例2　已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：
(1)過點(－1,3)，且與l平行；
(2)過點(－1,3)，且與l垂直．
解　方法一　l的方程可化為y＝－x＋3，
∴l的斜率為－.
(1)∵l′與l平行，∴l′的斜率為－.
又∵l′過點(－1,3)，
由點斜式知方程為y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′與l垂直，∴l′的斜率為，又l′過點(－1,3)，
由點斜式可得方程為y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
方法二　(1)由l′與l平行，可設l′的方程為3x＋4y＋m＝0.將點(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.
(2)由l′與l垂直，可設l′的方程為4x－3y＋n＝0.
將(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.
規律方法　一般地，直線Ax＋By＋C＝0中系數A、B確定直線的斜率，因此，與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0，與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋n＝0.這是經常采用的解題技巧．
跟蹤演練2　已知A(2,2)和直線l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)過點A和直線l平行的直線方程；
(2)過點A和直線l垂直的直線方程．
解　(1)將與直線l平行的方程設為3x＋4y＋C1＝0，
又過點A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.
所求直線方程為3x＋4y－14＝0.
(2)將與l垂直的直線方程設為4x－3y＋C2＝0，
又過點A(2,2)，
所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，
所以直線方程為4x－3y－2＝0.
要點三　由含參一般式方程求參數的值或取值范圍
例3　(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一條直線，則實數m滿足________．
(2)當實數m為何值時，直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
①傾斜角為45°；②在x軸上的截距為1.
(1)答案　m≠－3
解析　若方程不能表示直線，則m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
解方程組得m＝－3，
所以m≠－3時，方程表示一條直線．
(2)解　①因為已知直線的傾斜角為45°，
所以此直線的斜率是1，
所以－＝1，
所以
解得所以m＝－1.
②因為已知直線在x軸上的截距為1，
令y＝0得x＝，
所以＝1，
所以
解得
所以m＝－或m＝2.
規律方法　已知含參的直線的一般式方程求參數的值或范圍的步驟
跟蹤演練3　已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)證明：直線l過定點；
(2)若直線不經過第四象限，求k的取值范圍．
(1)證明　直線l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴無論k取何值，直線總經過定點(－2,1)．
(2)解　由方程知，當k≠0時直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經過第四象限，則必須有解之得k>0；
當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k≥0.
故k的取值范圍為{k|k≥0}.
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A、B應滿足的條件為(　　)
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
答案　D
解析　方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A、B不能同時為0，即A2＋B2≠0.
2．已知ab<0，bc<0，則直線ax＋by＝c通過(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
答案　C
解析　由ax＋by＝c，得y＝－x＋，
∵ab<0，∴直線的斜率k＝－>0，
直線在y軸上的截距<0.
由此可知直線通過第一、三、四象限．
3．在直角坐標系中，直線x＋y－3＝0的傾斜角是(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
答案　C
解析　直線斜率k＝－，所以傾斜角為150°，故選C.
4．已知直線(a－2)x＋ay－1＝0與直線2x＋3y＋5＝0平行，則a的值為(　　)
A．－6 B．6 C．－ D.
答案　B
解析　由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且當a＝6時兩直線平行，故選B.
1.根據兩直線的一般式方程判定兩直線平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，則k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，則還要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法：
一般地，設直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
這種判定方法避開了斜率存在和不存在兩種情況的討論，可以減小因考慮不周而造成失誤的可能性．
2．根據兩直線的一般式方程判定兩直線垂直的方法
(1)若一個斜率為零，另一個不存在，則垂直；若兩個都存在斜率，化成斜截式后，則k1k2＝－1.
(2)一般地，設l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
第二種方法可避免討論，減小失誤．
一、基礎達標
1．直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角為45°，則m的值為(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
答案　D
解析　由已知得m2－4≠0，且＝1，
解得：m＝3或m＝2(舍去)．
2．直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，若直線l過原點和二、四象限，則(　　)
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
答案　D
解析　通過直線的斜率和截距進行判斷．
3．已知直線ax＋by－1＝0在y軸上的截距為－1，且它的傾斜角是直線x－y－＝0的傾斜角的2倍，則a，b的值分別為(　　)
A.，1 B.，－1
C．－，1 D．－，－1
答案　D
解析　原方程化為＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且x－y－＝0的傾斜角為60°，∴k＝tan 120°，∴a＝－，故選D.
4．直線ax＋3my＋2a＝0(m≠0)過點(1，－1)，則直線的斜率k等于(　　)
A．－3 B．3
C. D．－
答案　D
解析　由點(1，－1)在直線上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直線方程為ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－.
5．已知直線(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x軸上的截距為3，則該直線在y軸上的截距為________．
答案　－
解析　把(3,0)代入已知方程得：(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6.∴直線方程為－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－.
6．直線l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是________________．
答案　(－∞，－)∪(0，＋∞)
解析　當a＝－1時，直線l的傾斜角為90°，符合要求；
當a≠－1時，直線l的斜率為－，只要－>1或者－<0即可，
解得－10.
綜上可知，實數a的取值范圍是
(－∞，－)∪(0，＋∞)．
7．已知直線l1：ax＋(1－a)y＝3與l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．
解　方法一　當a＝1時，l1為x＝3，l2為y＝，
故l1⊥l2.
當a＝－時，l1的方程為－x＋y＝3，l2的方程為－x＝2，顯然l1，l2不垂直．當a≠1且a≠－時，由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－3.綜上所述，當a＝1或a＝－3時，l1⊥l2.
方法二　因為l1⊥l2，
所以a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2＋2a－3＝0.
解得a＝1或a＝－3.
故當a＝1或a＝－3時，l1⊥l2.
二、能力提升
8．直線l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐標系中的圖形大致是(　　)
答案　C
解析　將l1與l2的方程化為斜截式得：
y＝ax＋b，y＝bx＋a，
根據斜率和截距的符號可得選C.
9．若直線l1：x＋ay－2＝0與直線l2：2ax＋(a－1)y＋3＝0互相垂直，則a的值為________．
答案　0或－1
解析　a＝0時，l1：x＝2，l2：y＝3，顯然l1⊥l2；
a＝1時，l1：x＋y－2＝0，l2：x＝－，
顯然l1和l2不垂直；
a≠0，且a≠1時，則k1＝－，k2＝.
由l1⊥l2得－·＝－1，解得a＝－1.
故a的值為0或－1.
10．已知兩條直線a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都過點A(2,3)，則過兩點P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直線方程為________________．
答案　2x＋3y＋4＝0
解析　由條件知易知兩點P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直線2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0為所求．
11．根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：
(1)斜率為，且經過點A(5,3)；
(2)過點B(－3,0)，且垂直于x軸；
(3)斜率為4，在y軸上的截距為－2；
(4)在y軸上的截距為3，且平行于x軸；
(5)經過C(－1,5)，D(2，－1)兩點；
(6)在x軸，y軸上截距分別是－3，－1.
解　(1)由點斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0.
(2)x＝－3，即x＋3＝0.
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(4)y＝3，即y－3＝0.
(5)由兩點式方程得＝，
即2x＋y－3＝0.
(6)由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0.
三、探究與創新
12．求滿足下列條件的直線方程：
(1)過點A(1，－4)，與直線2x＋3y＋5＝0平行；
(2)過點A(1，－4)，與直線2x－3y＋5＝0垂直．
解　(1)設所求直線方程為2x＋3y＋C1＝0，則由題意得2×1＋3×(－4)＋C1＝0，解得C1＝10，
所以所求直線方程為2x＋3y＋10＝0.
(2)設所求直線方程為3x＋2y＋C2＝0，則
由題意得3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得C2＝5，
所以所求直線方程為3x＋2y＋5＝0.
13．(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值．
(2)當a為何值時，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解　方法一　(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①當m＝0時，顯然l1與l2不平行．
②當m≠0時，l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值為2或－3.
(2)由題意知，直線l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1時，直線l1：3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0顯然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－時，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
當l1⊥l2時，k1·k2＝－1，
即(－)·(－)＝－1，
∴a＝－1.
綜上可知，當a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.
方法二　(1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
當m＝－3時，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
顯然l1與l2不重合，∴l1∥l2.
同理當m＝2時，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
顯然l1與l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值為2或－3.
(2)由題意知直線l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，
將a＝±1代入方程，均滿足題意．
故當a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.3.3　直線的交點坐標與距離公式3.1.2　兩條直線平行與垂直的判定
[學習目標]　1.能根據兩條直線的斜率判定兩條直線是否平行或垂直.2.能根據兩條直線平行或垂直的關系確定兩條直線斜率的關系．
[知識鏈接]
1．直線的傾斜角的取值范圍為[0°，180°)．
2．經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的斜率k＝(x1≠x2)．
[預習導引]
1．兩條直線平行與斜率的關系
(1)如圖①設兩條不重合的直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，若l1∥l2，則k1＝k2；反之，若k1＝k2，則l1∥l2.
(2)如圖②若兩條不重合的直線的斜率不存在，則這兩條直線也平行．
2．兩條直線垂直與斜率的關系
(1)如圖①，如果兩條直線都有斜率且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直．即k1k2＝－1 l1⊥l2，l1⊥l2 k1k2＝－1.
(2)如圖②，若l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關系是垂直．
要點一　兩條直線平行關系的判定與應用
例1　根據下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2的位置關系．
(1)l1經過點A(2,1)，B(－3,5)，l2經過點C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的傾斜角為60°，l2經過點M(3,2)，N(－2，－3)．
解　(1)由題意知k1＝＝－，
k2＝＝－.
因為k1＝k2，且A，B，C，D四點不共線，所以l1∥l2.
(2)由題意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝.
因為k1＝k2，
所以l1∥l2或l1與l2重合．
規律方法　1.判斷兩直線是否平行，應首先看兩直線的斜率是否存在，即看兩點的橫坐標是否相等，若存在再看斜率是否相等．
2．判斷斜率是否相等實際是看傾斜角是否相等，歸根結底是充分利用兩直線平行的條件．
跟蹤演練1　根據給定的條件，判斷直線l1與直線l2的位置關系．
(1)l1平行于y軸，l2經過點P(0，－2)，Q(0,5)；
(2)l1經過點E(0,1)，F(－2，－1)，l2經過點G(3,4)，H(2,3)．
解　(1)由題意知l1的斜率不存在，且不是y軸，l2的斜率也不存在，恰好是y軸，所以l1∥l2.
(2)由題意知k1＝＝1，k2＝＝1，
雖然k1＝k2，但是E，F，G，H四點共線，所以l1與l2重合．
要點二　兩條直線垂直關系的判定與應用
例2　判斷下列各組中的直線l1與l2是否垂直：
(1)l1經過點A(－1，－2)，B(1,2)，l2經過點M(－2，－1)，N(2,1)；
(2)l1的斜率為－10，l2經過點A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1經過點A(3,4)，B(3,100)，l2經過點M(－10,40)，N(10,40)．
解　(1)直線l1的斜率k1＝＝2，直線l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1與l2不垂直．
(2)直線l1的斜率k1＝－10，直線l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.
(3)l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸．
直線l2的斜率k2＝＝0，則l2∥x軸．
故l1⊥l2.
規律方法　使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟：
(1)一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進行第二步；
(2)二用：就是將點的坐標代入斜率公式；
(3)三求值：計算斜率的值，進行判斷．尤其是點的坐標中含有參數時，應用斜率公式要對參數進行討論．
跟蹤演練2　已知直線l1⊥l2，若直線l1的傾斜角為30°，則直線l2的斜率為________．
答案　－
解析　由題意可知直線l1的斜率k1＝tan 30°＝，
設直線l2的斜率為k2，則k1·k2＝－1，
∴k2＝－.
要點三　平行與垂直關系的綜合應用
例3　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點，若順次連接ABCD四點，試判定圖形ABCD的形狀．
解　由題意知A，B，C，D四點在坐標平面內的位置，
如圖，由斜率公式可得
kAB＝＝，
kCD＝＝，
kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，
所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD與BC不平行．
又因為kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四邊形ABCD為直角梯形．
規律方法　1.利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數形結合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率關系進行判定．
2．由幾何圖形的形狀求參數(一般是點的坐標)時，要根據圖形的特征確定斜率之間的關系，既要考慮斜率是否存在，又要考慮到圖形可能出現的各種情形．
跟蹤演練3　已知△ABC的頂點A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值．
解　若∠A為直角，則AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；
若∠B為直角，則AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝3；
若∠C為直角，則AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2.
綜上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
1．已知A(2,0)，B(3,3)，直線l∥AB，則直線l的斜率k等于(　　)
A．－3 B．3
C．－ D.
答案　B
解析　因為直線l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.
2．已知直線l1的斜率為0，且l1⊥l2，則l2的傾斜角為(　　)
A．0° B．135°
C．90° D．180°
答案　C
解析　∵kl1＝0且l1⊥l2，
∴kl2不存在，直線l2的傾斜角為90°.
3．下列說法正確的有(　　)
①若兩直線斜率相等，則兩直線平行；
②若l1∥l2，則k1＝k2；
③若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交；
④若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
答案　A
解析　當k1＝k2時，l1與l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在時，不正確；④同①也不正確．只有③正確．
4．過點(，)，(0,3)的直線與過點(，)，(2,0)的直線的位置關系為(　　)
A．垂直 B．平行
C．重合 D．以上都不正確
答案　A
解析　過點(，)，(0,3)的直線的斜率k1＝＝－；過點(，)，(2,0)的直線的斜率k2＝＝＋.因為k1·k2＝－1，所以兩條直線垂直．
5．直線l1的斜率為2，直線l2上有三點M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，則x＝________，y＝________.
答案　－1　7
解析　∵l1⊥l2，且l1的斜率為2，則l2的斜率為－，
∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.
1.兩直線平行或垂直的判定方法.
斜率 直線
斜率均不存在 平行或重合
一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在 垂直
斜率均存在 相等 平行
積為－1 垂直
2.在兩條直線平行或垂直關系的判斷中體會分類討論的思想．
一、基礎達標
1．已知l1⊥l2，直線l1的傾斜角為45°，則直線l2的傾斜角為(　　)
A．45° B．135° C．－45° D．120°
答案　B
解析　由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，
知l2的斜率k2＝－1，∴l2的傾斜角為135°.
2．經過兩點A(2,3)，B(－1，x)的直線l1與斜率為－1的直線l2平行，則實數x的值為(　　)
A．0 B．－6 C．6 D．3
答案　C
解析　直線l1的斜率k1＝＝，由題意可知＝－1，∴x＝6.
3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點的三角形是(　　)
A．銳角三角形
B．鈍角三角形
C．以A點為直角頂點的直角三角形
D．以B點為直角頂點的直角三角形
答案　C
解析　kAB＝＝－，kAC＝＝，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A為直角．
4．已知 ABCD的三個頂點的坐標分別是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，則頂點D的坐標為(　　)
A．(3,4) B．(4,3) C．(3,1) D．(3,8)
答案　A
解析　設D(m，n)，由題意得AB∥DC，AD∥BC，則有
kAB＝kDC，kAD＝kBC，
∴解得
∴點D的坐標為(3,4)．
5．已知直線l1的傾斜角為45°，直線l2∥l1，且l2過點A(－2，－1)和B(3，a)，則a的值為________．
答案　4
解析　∵l2∥l1，且l1的傾斜角為45°，
∴kl2＝kl1＝tan 45°＝1，即＝1，∴a＝4.
6．已知直線l1經過點A(0，－1)和點B，直線l2經過點M(1,1)和點N(0，－2)，若l1與l2沒有公共點，則實數a的值為________．
答案　－6
解析　由題意得l1∥l2，∴kl1＝kl2.
∵kl1＝kAB＝＝－，kl2＝kMN＝＝3，
∴－＝3，∴a＝－6.
7．當m為何值時，過兩點A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直線：
(1)傾斜角為135°；
(2)與過兩點(3,2)，(0，－7)的直線垂直；
(3)與過兩點(2，－3)，(－4,9)的直線平行．
解　(1)由kAB＝＝－1，解得m＝－或1.
(2)由kAB＝，且＝3，
且＝－，解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.
二、能力提升
8．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為(　　)
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1
答案　D
解析　當AB與CD斜率均不存在時，m＝0，此時AB∥CD，當kAB＝kCD時，m＝1，此時AB∥CD.
9．若點P(a，b)與Q(b－1，a＋1)關于直線l對稱，則l的傾斜角為(　　)
A．135° B．45° C．30° D．60°
答案　B
解析　kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，
∴l的斜率為1，傾斜角為45°.
10．若不同兩點P，Q的坐標分別為(a，b)，(3－b,3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________．
答案　－1
解析　由兩點的斜率公式可得：kPQ＝＝1，
所以線段PQ的垂直平分線的斜率為－1.
11．已知直線l1經過點A(3，m)，B(m－1,2)，直線l2經過點C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
解　由題意知直線l2的斜率存在且k2＝＝－.
(1)若l1∥l2，則直線l1的斜率也存在，由k1＝k2，
得＝－，解得m＝1或m＝6，
經檢驗，當m＝1或m＝6時，l1∥l2.
(2)若l1⊥l2.
當k2＝0時，此時m＝0，l1斜率存在，不符合題意；
當k2≠0時，直線l2的斜率存在且不為0，則直線l1的斜率也存在，則k1·k2＝－1，即－·＝－1，
解得m＝3或m＝－4，
所以當m＝3或m＝－4時，l1⊥l2.
三、探究與創新
12．已知△ABC三個頂點坐標分別為A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三邊的高所在直線的斜率．
解　由斜率公式可得kAB＝＝，
kBC＝＝0，kAC＝＝5.
由kBC＝0知直線BC∥x軸，
∴BC邊上的高線與x軸垂直，其斜率不存在．
設AB、AC邊上高線的斜率分別為k1、k2，
由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝－，k2＝－.
∴BC邊上的高所在直線的斜率不存在；
AB邊上的高所在直線的斜率為－；
AC邊上的高所在直線的斜率為－.
13．已知四邊形ABCD的頂點A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形．
解　(1)當∠A＝∠D＝90°時，如圖①所示，
∵四邊形ABCD為直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB.易求得m＝2，n＝－1.
(2)當∠A＝∠B＝90°時，如圖②所示，
∵四邊形ABCD為直角梯形，
∴AD∥BC且AB⊥BC.
∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，
∴?解得m＝，n＝－.
綜上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.3．3.3　點到直線的距離
3．3.4　兩條平行直線間的距離
[學習目標]　1.掌握點到直線的距離公式，會用公式解決有關問題.2.掌握兩平行線之間的距離公式，并會求兩平行線之間的距離．
[知識鏈接]
1．已知點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩點間的距離|P1P2|＝.
2. 如圖，平面上點P到直線l的距離是指從點P到直線l的垂線段的長．
[預習導引]
1．點到直線的距離
(1)概念：過一點向直線作垂線，則該點與垂足之間的距離，就是該點到直線的距離．
(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離
d＝.
2．兩平行直線間的距離
(1)概念：夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離．
(2)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝.
要點一　點到直線的距離
例1　求點P(3，－2)到下列直線的距離：
(1)y＝x＋；
(2)y＝6；
(3)x＝4.
解　(1)把方程y＝x＋寫成3x－4y＋1＝0，由點到直線的距離公式得d＝＝.
(2)方法一　把方程y＝6寫成0·x＋y－6＝0，由點到直線的距離公式得d＝＝8.
方法二　因為直線y＝6平行于x軸，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因為直線x＝4平行于y軸，所以d＝|4－3|＝1.
規律方法　1.求點到直線的距離，首先要把直線方程化成一般式方程，然后再套用點到直線的距離公式．
2．當點與直線有特殊位置關系時，也可以用公式求解，但是這樣會把問題變復雜了，要注意數形結合．
3．幾種特殊情況的點到直線的距離：
(1)點P0(x0，y0)到直線y＝a的距離d＝|y0－a|；
(2)點P0(x0，y0)到直線x＝b的距離d＝|x0－b|.
跟蹤演練1　若點(a,2)到直線l：y＝x－3的距離是1，則a＝________.
答案　5±
解析　直線l：y＝x－3可變形為x－y－3＝0.
由點(a,2)到直線l的距離為1，得＝1，
解得a＝5±.
要點二　兩平行線間的距離
例2　求兩平行線l1：2x－y－1＝0與l2：4x－2y＋3＝0之間的距離．
解析　方法一　在直線l1：2x－y－1＝0上任取一點，不妨取點P(0，－1)
則點P到直線l2：4x－2y＋3＝0的距離為
d＝＝.
∴l1與l2間的距離為.
方法二　將直線l2的方程化為：
2x－y＋＝0.
又l1的方程為：2x－y－1＝0，
∴C1＝－1，C2＝，
又A＝2，B＝－1，
由兩平行直線間的距離公式得：
d＝＝.
規律方法　1.針對這個類型的題目一般有兩種思路：
(1)利用“化歸”思想將兩平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離．
(2)利用兩條平行直線間距離公式d＝.
2．當兩直線都與x軸(或y軸)垂直時，可利用數形結合來解決．
(1)兩直線都與x軸垂直時，l1：x＝x1，l2：x＝x2，
則d＝|x2－x1|；
(2)兩直線都與y軸垂直時，l1：y＝y1，l2：y＝y2，
則d＝|y2－y1|.
跟蹤演練2　求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且與直線l距離為3的直線方程．
解　∵與l平行的直線方程為5x－12y＋b＝0，
根據兩平行直線間的距離公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33.
∴所求直線方程為：5x－12y＋45＝0
或5x－12y－33＝0.
要點三　距離公式的綜合應用
例3　已知直線l經過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點．
(1)若點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；
(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值．
解　方法一　聯立
得交點P(2,1)，
當直線斜率存在時，設l的方程為y－1＝k(x－2)，
即kx－y＋1－2k＝0，
∴＝3，
解得k＝，
∴l的方程為y－1＝(x－2)，
即4x－3y－5＝0.
而直線斜率不存在時直線x＝2也符合題意，
故所求l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2.
方法二　經過兩已知直線交點的直線系方程為
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，
解得λ＝2或，
∴l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)由
解得交點P(2,1)，
過P任意作直線l，設d為A到l的距離，
則d≤|PA|(當l⊥PA時等號成立)，
∴dmax＝|PA|＝.
規律方法　1.經過一已知點且到另一已知點的距離為定值的直線有且僅有兩條．一定要注意直線斜率是否存在．
2．數形結合、運動變化的思想方法在解題中經常用到．當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍．
跟蹤演練3　兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，如果兩條平行直線間的距離為d，求：
(1)d的變化范圍；
(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．
解　(1)如圖，當兩條平行直線與AB垂直時，兩平行直線間的距離最大，為d＝|AB|＝＝3，當兩條平行線各自繞點B，A逆時針旋轉時，距離逐漸變小，越來越接近于0，所以0(2)當d取最大值3時，
兩條平行線都垂直于AB，
所以k＝－＝－＝－3，
故所求的直線方程分別為
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
1．點(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　d＝＝.
2．兩條平行線l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0間的距離為(　　)
A．3 B．2
C．1 D.
答案　C
解析　d＝＝1.
3．若點(1，a)到直線x－y＋1＝0的距離是，則實數a為(　　)
A．－1 B．5
C．－1或5 D．－3或3
答案　C
解析　由點到直線的距離公式：得＝，
∴a＝－1或5，故選C.
4．點(5，－3)到直線x＋2＝0的距離等于(　　)
A．7 B．5 C．3 D．2
答案　A
解析　直線x＋2＝0，即x＝－2為平行于y軸的直線，所以點(5，－3)到x＝－2的距離d＝|5－(－2)|＝7.
5．分別過點A(－2,1)和點B(3，－5)的兩條直線均垂直于x軸，則這兩條直線間的距離是________．
答案　5
解析　d＝|3－(－2)|＝5.
1.應用點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為零)距離公式d＝的前提是直線方程為一般式．特別地，當直線方程A＝0或B＝0時，上述公式也適用，且可以應用數形結合思想求解．
2．兩條平行線間的距離處理方法有兩種：
一是轉化為點到直線的距離，其體現了數學上的轉化與化歸思想．
二是直接套用公式d＝，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此時直線l1與l2的方程為一般式且x，y的系數分別相同．
一、基礎達標
1．兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　l1的方程可化為9x＋12y－6＝0，
由平行線間的距離公式得d＝＝.
2．到直線3x－4y－11＝0的距離為2的直線方程為(　　)
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
答案　B
解析　設所求的直線方程為3x－4y＋c＝0.由題意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故選B.
3．點P(a,0)到直線3x＋4y－6＝0的距離大于3，則實數a的取值范圍為(　　)
A．a>7 B．a<－3
C．a>7或a<－3 D．a>7或－3答案　C
解析　根據題意，得>3，解得a>7或a<－3.
4．已知兩點A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m等于(　　)
A．0或 B.或－6 C．－或 D．0或－
答案　B
解析　由題意知直線mx＋y＋3＝0與AB平行或過線段AB的中點，則有－m＝或m×＋＋3＝0，所以m＝或m＝－6.
5．傾斜角為60°，且與原點的距離是5的直線方程為__________________________．
答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0
解析　因為直線斜率為tan 60°＝，可設直線方程為y＝x＋b，化為一般式得x－y＋b＝0.由直線與原點距離為5，得＝5 |b|＝10.所以b＝±10.
所以直線方程為x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
6．若點P在直線x＋y－4＝0上，O為原點，則|OP|的最小值是________．
答案　2
解析　|OP|的最小值，即為點O到直線x＋y－4＝0的距離．
d＝＝2.
7．直線l過原點，且點(2,1)到l的距離為1，求l的方程．
解　由題意可知，直線l的斜率一定存在．
又直線l過原點，設其方程為y＝kx，即kx－y＝0.
由點(2,1)到l的距離為1，得＝1.
解得k＝0或k＝.∴直線l的方程為y＝0或4x－3y＝0.
二、能力提升
8．直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線方程是(　　)
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
答案　D
解析　方法一　設所求直線的方程為2x＋3y＋C＝0，
由題意可知＝.
∴C＝－6(舍)或C＝8.
故所求直線的方程為2x＋3y＋8＝0.
方法二　令(x0，y0)為所求直線上任意一點，則點(x0，y0)關于(1，－1)的對稱點為(2－x0，－2－y0)，此點在直線2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直線方程為2x＋3y＋8＝0.
9．兩平行線分別經過點A(5,0)，B(0,12)，它們之間的距離d滿足的條件是(　　)
A．0C．0答案　B
解析　當兩平行線與AB垂直時，兩平行線間的距離最大，為|AB|＝13，所以010．若實數x，y滿足關系式x＋y＋1＝0，則式子S＝的最小值為________．
答案　
解析　方法一　∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，
∴上式可看成是一個動點M(x，y)到一個定點N(1,1)的距離．
即為點N與直線l：x＋y＋1＝0上任意一點M(x，y)的距離．
∴S＝|MN|的最小值應為點N到直線l的距離，即
|MN|min＝d＝＝.
方法二　∵x＋y＋1＝0，∴y＝－x－1，
∴S＝＝＝ ，∴x＝－時，Smin＝＝.
11．求直線3x－y－4＝0關于點P(2，－1)對稱的直線l的方程．
解　方法一　設直線l上任一點為M(x，y)，則此點關于點P(2，－1)的對稱點為M1(4－x，－2－y)，且M1在直線3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
方法二　在直線3x－y－4＝0上任取兩點A(0，－4)，B(1，－1)，則點A(0，－4)關于點P(2，－1)的對稱點為A1(4,2)，點B(1，－1)關于點P(2，－1)對稱點為B1(3，－1)，由兩點式方程，可得直線l的方程為3x－y－10＝0.
方法三　直線l與已知直線平行，可設l的方程為3x－y＋m＝0，點P(2，－1)到直線3x－y－4＝0的距離d＝，由于點P(2，－1)到兩直線距離相等，
所以＝，解得m＝－10或m＝－4(舍去)，
所以直線l的方程為3x－y－10＝0.
三、探究與創新
12．已知點P(a，b)在線段AB上運動，其中A(1,0)，B(0,1)．試求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范圍．
解　由(a＋2)2＋(b＋2)2聯想兩點間距離公式，設Q(－2，－2)，又P(a，b)則|PQ|＝，于是問題轉化為|PQ|的最大、最小值．
如圖所示：當P與A或B重合時，|PQ|取得最大值：
＝.
當PQ⊥AB時，|PQ|取得最小值，此時|PQ|為Q點到直線AB的距離，由A、B兩點坐標可得直線AB的方程為x＋y－1＝0.
則Q點到直線AB的距離d＝＝＝，∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
13．已知直線l：3x－y－1＝0及點A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)試在l上求一點P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)試在l上求一點Q，使||AQ|－|BQ||最大．
解　(1)如圖①，設點C關于l的對稱點為C′(a，b)，則＝－，且3·－－1＝0，解得C′(－1,1)，所以直線AC′的方程為y＝1.由得l與直線AC′的交點P(，1)，此時|AP|＋|CP|取最小值為5.
(2)如圖②，設點B關于l的對稱點為B′(m，n)，則＝－，且3·－－1＝0，解得B′(3,3)，所以直線AB′的方程為2x＋y－9＝0，由得AB′與l的交點Q(2,5)，此時||AQ|－|BQ||取最大值為.3．2.2　直線的兩點式方程
[學習目標]　1.掌握直線方程的兩點式的形式，了解其適用范圍.2.了解直線方程截距式的形式，特征及其適用范圍.3.會用中點坐標公式求兩點的中點坐標．
[知識鏈接]
1．直線的點斜式方程為y－y0＝k(x－x0)．
2．直線的斜截式方程為y＝kx＋b.
3．經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的斜率k＝(x1≠x2)．
[預習導引]
1．兩點確定一條直線．經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2，y1≠y2的直線方程＝，叫做直線的兩點式方程．
2．直線l與x軸交點A(a,0)；與y軸交點B(0，b)，其中a≠0，b≠0，則得直線方程＋＝1，叫做直線的截距式方程．
3．若點P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)且線段P1P2的中點M的坐標為(x，y)，則.
要點一　直線的兩點式方程
例1　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC邊的方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．
解　(1)∵BC邊過兩點B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由兩點式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC邊的方程為2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)設BC的中點為M(x0，y0)，
則x0＝＝，y0＝＝－3.
∴M，
又BC邊上的中線經過點A(－3,2)．
∴由兩點式得＝，即10x＋11y＋8＝0.
故BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.
規律方法　(1)首先要鑒別題目條件是否符合直線方程相應形式的要求，對含有字母的則需分類討論；(2)注意問題敘述的異同，例1中第一問是表示的線段，所以要添加范圍；第二問則表示的是直線．
跟蹤演練1　已知△ABC三個頂點坐標A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三條邊所在的直線方程．
解　∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B兩點橫坐標相同，
∴直線AB與x軸垂直，故其方程為x＝2.
∵A(2，－1)，C(4,1)，由直線方程的兩點式可得直線AC的方程為＝，
即x－y－3＝0.
同理可由直線方程的兩點式得直線BC的方程為＝，即x＋2y－6＝0.
要點二　直線的截距式方程
例2　求過點(4，－3)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線l的方程．
解　設直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b.
①當a≠0，b≠0時，設l的方程為＋＝1.
∵點(4，－3)在直線上，∴＋＝1，
若a＝b，則a＝b＝1，直線的方程為x＋y－1＝0.
若a＝－b，則a＝7，b＝－7，直線的方程為x－y－7＝0.
②當a＝b＝0時，直線過原點，且過點(4，－3)，
∴直線的方程為3x＋4y＝0.
綜上知，所求直線l的方程為x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
規律方法　(1)當直線與兩坐標軸相交時，一般可考慮用截距式表示直線方程，用待定系數法求解．
(2)選用截距式時一定要注意條件，直線不能過原點．
跟蹤演練2　求過定點P(2,3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程．
解　設直線的兩截距都是a，則有
①當a＝0時，直線為y＝kx，將P(2,3)代入得k＝，
∴l：3x－2y＝0；
②當a≠0時，直線設為＋＝1，即x＋y＝a，
把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.
∴直線l的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
1．過兩點(－2,1)和(1,4)的直線方程為(　　)
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案　A
解析　代入兩點式得直線方程＝，
整理得y＝x＋3.
2．經過P(4,0)，Q(0，－3)兩點的直線方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　C
解析　因為由點坐標知直線在x軸，y軸上截距分別為4，－3，所以直線方程為＋＝1.
3．經過M(3,2)與N(6,2)兩點的直線方程為(　　)
A．x＝2 B．y＝2
C．x＝3 D．x＝6
答案　B
解析　由M，N兩點的坐標可知，直線MN與x軸平行，所以直線方程為y＝2，故選B.
4．求過點P(－2,3)且與兩坐標軸圍成的三角形面積為12的直線的條數．
解　設過點P(－2,3)且與兩坐標軸圍成的三角形面積為12的直線的斜率為k，則有直線的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，它與坐標軸的交點分別為M(0，2k＋3)、N.
再由12＝|OM|·|ON|＝|2k＋3|×|－2－|，可得|4k＋＋12|＝24，即4k＋＋12＝24，或4k＋＋12＝－24.解得k＝或k＝或k＝，
故滿足條件的直線有3條．
5．求過點M(3，－4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程．
解　①若直線過原點，則k＝－，
∴y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直線不過原點，設＋＝1，即x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，
∴x＋y＋1＝0.
故直線方程為4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
1.求直線的兩點式方程的策略以及注意點
(1)當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不垂直于坐標軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程．
(2)由于減法的順序性，一般用兩點式求直線方程時常會將字母或數字的順序錯位而導致錯誤．在記憶和使用兩點式方程時，必須注意坐標的對應關系．
2．截距式方程應用的注意事項
(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數法確定其系數即可．
(2)選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直．
(3)要注意截距式直線方程的逆向應用．
3．對稱問題的解決
(1)點關于點對稱，可用線段的中點坐標公式．
(2)線關于點對稱，可設線上任一點及其對稱點化為點關于點對稱，結合代入法解決．
(3)點關于線對稱，運用對稱點的中點在對稱軸直線上、對稱點連線與對稱軸垂直這兩個條件，通過解方程組求解．
(4)線關于線對稱，轉化為點關于線對稱，結合代入法解決.
一、基礎達標
1．一條直線不與坐標軸平行或重合，則它的方程(　　)
A．可以寫成兩點式或截距式
B．可以寫成兩點式或斜截式或點斜式
C．可以寫成點斜式或截距式
D．可以寫成兩點式或截距式或斜截式或點斜式
答案　B
解析　由于直線不與坐標軸平行或重合，所以直線的斜率存在，且直線上任意兩點的橫坐標及縱坐標都不相同，所以直線能寫成兩點式或斜截式或點斜式．由于直線在坐標軸上的截距有可能為0，所以直線不一定能寫成截距式．故選B.
2．直線＋＝1過第一、二、三象限，則(　　)
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案　C
解析　因為直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且經過第一、二、三象限，故a<0，b>0.
3．以A(1,3)，B(－5,1)為端點的線段的垂直平分線方程是(　　)
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
答案　B
解析　kAB＝＝，AB的中點坐標為(－2,2)，
所以所求方程為：y－2＝－3(x＋2)，化簡為3x＋y＋4＝0.
4．已知△ABC三頂點坐標A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M為AB中點，N為AC中點，則中位線MN所在直線方程為(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
答案　A
解析　由中點坐標公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由兩點式可得直線MN的方程為＝，即2x＋y－8＝0.
5．兩條直線l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐標系中的圖象可以是(　　)
答案　A
解析　化為截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判斷a，b，確定l2的位置，知A項符合．
6．已知A(3,0)，B(0,4)，動點P(x0，y0)在線段AB上移動，則4x0＋3y0的值等于________．
答案　12
解析　AB所在直線方程為＋＝1，則＋＝1，即4x0＋3y0＝12.
7．過點P(1,3)的直線l分別與兩坐標軸交于A、B兩點，若P為AB的中點，則直線l的截距式方程是____________________．
答案　＋＝1
解析　設A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中點可得m＝2，n＝6，
即A、B的坐標分別為(2,0)、(0,6)．
則l的方程為＋＝1.
二、能力提升
8．過點M(1，－2)的直線與x軸、y軸分別交于P，Q兩點，若M恰為線段PQ的中點，則直線PQ的方程為(　　)
A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0
答案　B
9．垂直于直線3x－4y－7＝0，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6的直線在x軸上的截距是________．
答案　3或－3
解析　設直線方程是4x＋3y＋d＝0，分別令x＝0和y＝0，得直線在兩坐標軸上的截距分別是－，－，∴6＝×|－|×|－|＝，∴d＝±12，則直線在x軸上的截距為3或－3.
10．已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動點P(x，y)，則xy的最大值是________．
答案　3
解析　直線AB的方程為＋＝1，
設P(x，y)，則x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即當P點坐標為時，xy取得最大值3.
11．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的方程并化為截距式方程；
(2)BC邊的中線所在直線的方程并化為截距式方程．
解　(1)平行于BC邊的中位線就是AB、AC中點的連線．因為線段AB、AC中點坐標為，，
所以這條直線的方程為＝，整理得，6x－8y－13＝0，化為截距式方程為－＝1.
(2)因為BC邊上的中點為(2,3)，所以BC邊上的中線所在直線的方程為＝，
即7x－y－11＝0，化為截距式方程為－＝1.
三、探究與創新
12．某小區內有一塊荒地ABCDE，今欲在該荒地上劃出一塊長方形地面(不改變方位)進行開發(如圖所示)．問如何設計才能使開發的面積最大？最大開發面積是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)
解　以BC所在直線為x軸，AE所在直線為y
軸建立平面直角坐標系(如圖)，由已知可知A(0,60)，
B(90,0)，
∴AB所在直線的方程為
＋＝1，
即y＝60(1－)．
∴y＝60－x.
從而可設P(x,60－x)，其中0∴所開發部分的面積為S＝(300－x)(240－y)．
故S＝(300－x)(240－60＋x)
＝－x2＋20x＋54 000(0∴當x＝－＝15且y＝60－×15＝50時，
S取最大值為－×152＋20×15＋54 000＝54 150(m2)．
因此點P距AE 15 m，距BC 50 m時所開發的面積最大，最大面積為54 150 m2.
13．已知直線l：y＝－x＋1，試求：
(1)點P(－2，－1)關于直線l的對稱點坐標；
(2)直線l1：y＝x－2關于直線l對稱的直線l2的方程；
(3)直線l關于點A(1,1)對稱的直線方程．
解　(1)設點P關于直線l的對稱點為P′(x0，y0)，則線段PP′的中點M在直線l上，且PP′⊥l.
∴解得
即P′點的坐標為(，)．
(2)方法一　由
得l與l1的交點A(2,0)，
在l1上任取一點B(0，－2)，設B關于l的對稱點B′為(x0，y0)，則
即∴
即B′(，)，∴l2的斜率為kAB′＝＝7.
∴l2的方程為y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0.
方法二　直線l1：y＝x－2關于直線l對稱的直線為l2，則l2上任一點P1(x，y)關于l的對稱點P1′(x′，y′)一定在直線l1上，反之也成立．
由
得把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0，
即直線l2的方程為7x－y－14＝0.
(3)設直線l關于點A(1,1)的對稱直線為l′，直線l上任一點P2(x1，y1)關于點A的對稱點P2′(x，y)一定在直線l′上，反之也成立．
由得
將(x1，y1)代入直線l的方程得：x＋2y－4＝0，
∴直線l′的方程為x＋2y－4＝0.3．2　直線的方程
3．2.1　直線的點斜式方程
[學習目標]　1.掌握直線的點斜式方程和直線的斜截式方程.2.結合具體實例理解直線的方程和方程的直線概念及直線在y軸上的截距的含義.3.會根據斜截式方程判斷兩直線的位置關系．
[知識鏈接]
1．兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l1∥l2 k1＝k2.特別地，當直線l1、l2的斜率都不存在時，l1與l2的關系為平行．
2．兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率存在并設為k1，k2，則l1⊥l2 k1·k2＝－1.特別地，當直線l1，l2一條斜率為0，另一條斜率不存在時，l1與l2的關系為垂直．
[預習導引]
1．直線的點斜式方程
名稱 已知條件 示意圖 方程 使用范圍
點斜式 點P(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在的直線
2.直線l在坐標軸上的截距
(1)直線在y軸上的截距：直線l與y軸的交點(0，b)的縱坐標b.
(2)直線在x軸上的截距：直線l與x軸的交點(a,0)的橫坐標a.
3．直線的斜截式方程
名稱 已知條件 示意圖 方程 使用范圍
斜截式 斜率k和在y軸上的截距b y＝kx＋b 斜率存在的直線
要點一　直線的點斜式方程
例1　求滿足下列條件的直線的點斜式方程．
(1)過點P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)過點P(3，－4)，且與x軸平行；
(3)過P(－2,3)，Q(5，－4)兩點．
解　(1)∵直線過點P(－4,3)，斜率k＝－3，
由直線方程的點斜式得直線方程為y－3＝－3(x＋4)．
(2)與x軸平行的直線，其斜率k＝0，由直線方程的點斜式可得直線方程為y－(－4)＝0×(x－3)，
即y＋4＝0.
(3)過點P(－2,3)，Q(5，－4)的直線的斜率
kPQ＝＝＝－1.
又∵直線過點P(－2,3)，即x＋y－1＝0.
∴直線的點斜式方程為
y－3＝－(x＋2)．
規律方法　1.求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．
2．點斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．
跟蹤演練1　(1)過點(－1,2)，且傾斜角為135°的直線方程為________．
(2)已知直線l過點A(2,1)且與直線y－1＝4x－3垂直，則直線l的方程為________．
答案　(1)x＋y－1＝0　(2)x＋4y－6＝0
解析　(1)k＝tan 135°＝－1，
由直線的點斜式方程得
y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
(2)方程y－1＝4x－3可化為y－1＝4，
由點斜式方程知其斜率k＝4.又因為l與直線y－1＝4x－3垂直，所以直線l的斜率為－.又因為l過點A(2,1)，所以直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋4y－6＝0.
要點二　直線的斜截式方程
例2　根據條件寫出下列直線的斜截式方程．
(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；
(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；
(3)傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3.
解　(1)由直線方程的斜截式可知，
所求直線方程為y＝2x＋5.
(2)∵傾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程為y＝－x－2.
(3)∵直線的傾斜角為60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直線與y軸的交點到原點的距離為3，
∴直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直線方程為y＝x＋3或y＝x－3.
規律方法　1.本例(3)在求解過程中，常因混淆截距與距離的概念，而漏掉解“y＝x－3”．
2．截距是直線與x軸(或y軸)交點的橫(或縱)坐標，它是個數值，可正、可負、可為零．
跟蹤演練2　寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y軸上的截距是－3；
(2)傾斜角是60°，在y軸上的截距是5；
(3)傾斜角是30°，在y軸上的截距是0.
解　(1)由直線方程的斜截式可得，
所求直線方程為y＝3x－3.
(2)由題意可知，直線的斜率k＝tan 60°＝，所求直線的方程為y＝x＋5.
(3)由題意可知所求直線的斜率k＝tan 30°＝，
由直線方程的斜截式可知，直線方程為y＝x.
要點三　直線過定點問題
例3　求證：不論m為何值，直線l：y＝(m－1)x＋2m＋1總過第二象限．
證明　方法一　直線l的方程可化為y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直線l過定點(－2,3)，
由于點(－2,3)在第二象限，故直線l總過第二象限．
方法二　直線l的方程可化為m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴無論m取何值，直線l總經過點(－2,3)．
∵點(－2,3)在第二象限，∴直線l總過第二象限．
規律方法　本例兩種證法是證明直線過定點的基本方法，方法一體現了點斜式的應用，方法二體現了代數方法處理恒成立問題的基本思想．
跟蹤演練3　已知直線y＝(3－2k)x－6不經過第一象限，求k的取值范圍．
解　由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則得k≥.
所以，k的取值范圍是.
1．已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則(　　)
A．直線經過點(－1,2)，斜率為－1
B．直線經過點(2，－1)，斜率為－1
C．直線經過點(－1，－2)，斜率為－1
D．直線經過點(－2，－1)，斜率為1
答案　C
解析　∵方程可變形為y＋2＝－(x＋1)，
∴直線過點(－1，－2)，斜率為－1.
2．直線y－2＝－(x＋1)的傾斜角及在y軸上的截距分別為(　　)
A．60°，2 B．120°，2－
C．60°，2－ D．120°，2
答案　B
解析　∵該直線的斜率為－，當x＝0時，y＝2－，
∴其傾斜角為120°，在y軸上的截距為2－.
3．直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限，則有(　　)
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案　B
解析　∵直線經過一、三、四象限，
∴圖形如圖所示，由圖知，k>0，b<0.
4．斜率為4，經過點(2，－3)的直線方程是________．
答案　4x－y－11＝0
5．已知直線l的傾斜角是直線y＝x＋1的傾斜角的2倍，且過定點P(3,3)，則直線l的方程為________．
答案　x＝3
解析　直線y＝x＋1的斜率為1，所以傾斜角為45°，又所求直線的傾斜角是已知直線傾斜角的2倍，所以所求直線的傾斜角為90°，其斜率不存在．又直線過定點P(3,3)，所以直線l的方程為x＝3.
1.建立點斜式方程的依據是：直線上任一點與這條直線上一個定點的連線的斜率相同，故有＝k，此式是不含點P1(x1，y1)的兩條反向射線的方程，必須化為y－y1＝k(x－x1)才是整條直線的方程．當直線的斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時方程為x＝x1.
2．斜截式方程可看作點斜式的特殊情況，表示過(0，b)點、斜率為k的直線y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等號的一端只是一個y，其系數是1；等號的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函數．如y＝c是直線的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直線的斜截式方程．
一、基礎達標
1．直線的點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　)
A．任何一條直線
B．不過原點的直線
C．不與坐標軸垂直的直線
D．不與x軸垂直的直線
答案　D
解析　點斜式方程適用的前提條件是斜率存在，故其可表示不與x軸垂直的直線．
2．經過點(－1,1)，斜率是直線y＝x－2的斜率的2倍的直線方程是(　　)
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)
答案　C
解析　由方程知，已知直線的斜率為，
∴所求直線的斜率是，由直線方程的點斜式可得方程為y－1＝(x＋1)，∴選C.
3．與直線y＝2x＋1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是(　　)
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
答案　D
解析　∵直線y＝2x＋1的斜率為2，
∴與其垂直的直線的斜率是－，
∴直線的斜截式方程為y＝－x＋4，故選D.
4．若經過原點的直線l與直線y＝x＋1的夾角為30°，則直線l的傾斜角是(　　)
A．0° B．60°
C．0°或60° D．60°或90°
答案　C
5．過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案　A
解析　直線x－2y－2＝0的斜率為，又所求直線過點(1,0)，故由點斜式方程可得，所求直線方程為y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
6．直線y＝kx＋2(k∈R)不過第三象限，則斜率k的取值范圍是________．
答案　(－∞，0]
解析　當k＝0時，直線y＝2不過第三象限；
當k>0時，直線過第三象限；
當k<0時，直線不過第三象限．
7．直線l1過點P(－1,2)，斜率為－，把l1繞點P按順時針方向旋轉30°角得直線l2，求直線l1和l2的方程．
解　直線l1的方程是y－2＝－(x＋1)．
即x＋3y－6＋＝0.
∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°.
如圖，l1繞點P按順時針方向旋轉30°，得到直線l2的傾斜角為α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，
∴l2的方程為y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－2＋＝0.
二、能力提升
8．方程y＝ax＋表示的直線可能是圖中的(　　)
答案　B
解析　直線y＝ax＋的斜率是a，在y軸上的截距.當a>0時，斜率a>0，在y軸上的截距>0，則直線y＝ax＋過第一、二、三象限，四個選項都不符合；當a<0時，斜率a<0，在y軸上的截距<0，則直線y＝ax＋過第二、三、四象限，僅有選項B符合．故正確答案為B.
9．直線y＝ax－3a＋2(a∈R)必過定點________．
答案　(3,2)
解析　∵y＝a(x－3)＋2，即y－2＝a(x－3)
∴直線過定點(3,2)．
10．已知直線y＝x＋k與兩坐標軸圍成的三角形的面積不小于1，則實數k的取值范圍是________．
答案　k≥1或k≤－1
解析　令y＝0，則x＝－2k.令x＝0，則y＝k，則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S＝|k|·|－2k|＝k2.
由題意知，三角形的面積不小于1，可得k2≥1，
所以k的取值范圍是k≥1或k≤－1.
11．已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC邊上的高所在的直線方程．
解　設BC邊上的高為AD，則BC⊥AD，
∴kAD·kBC＝－1，∴·kAD＝－1，解得kAD＝.
∴BC邊上的高所在的直線方程為y－0＝(x＋5)，
即y＝x＋3.
三、探究與創新
12．是否存在過點(－5，－4)的直線l，使它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5
解　假設存在過點(－5，－4)的直線l，使它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5.
由題意可知直線l的斜率一定存在且不為零，設直線的斜率為k(k≠0)，
則直線方程為y＋4＝k(x＋5)，則分別令y＝0，x＝0，
可得直線l與x軸的交點為(，0)，
與y軸的交點為(0,5k－4)．
因為直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，
所以||·|5k－4|＝5，
所以·(5k－4)＝±10，
即25k2－30k＋16＝0(無解)或25k2－50k＋16＝0，
所以k＝或k＝，所以存在直線l滿足題意，
直線l的方程為y＋4＝(x＋5)或y＋4＝(x＋5)，即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
13．已知直線l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求證：直線l恒過一個定點；
(2)當－3(1)證明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直線方程的點斜式可知，直線恒過定點(－2,1)．
(2)解　設函數f(x)＝kx＋2k＋1，顯然其圖象是一條直線(如圖所示)，
若使當－3需滿足
即
解得－≤k≤1.
所以，實數k的取值范圍是－≤k≤1.3．1　直線的傾斜角與斜率
3．1.1　傾斜角與斜率
[學習目標]　1.理解直線的傾斜角和斜率的概念.2.掌握求直線斜率的兩種方法.3.了解在平面直角坐標系中確定一條直線的幾何要素．
[預習導引]
1．直線的傾斜角
(1)定義：一條直線l與x軸相交，我們取x軸作為基準，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．一條直線與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.
(2)取值范圍：0°≤α<180°.
2．直線的斜率
定義 傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，記為k，即k＝tan_α.
取值范圍 當α＝0°時，k＝0； 當0°<α<90°時，k>0； 當90°<α<180°時，k<0； 當α＝90°時，斜率不存在.
3.斜率公式
直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(其中x1≠x2)．
要點一　直線的傾斜角
例1　設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．當0°≤α<135°時，傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，傾斜角為α－135°
答案　D
解析　根據題意，畫出圖形，如圖所示：
因為0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，
不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知：
當0°≤α<135°時，l1的傾斜角為α＋45°；
當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.故選D.
規律方法　1.解答本題要注意根據傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍解答．
2．求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論．
跟蹤演練1　一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°)，則其傾斜角為(　　)
A．α B．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
答案　D
解析　如圖，當l向上方向的部分在y軸左側時，傾斜角為90°＋α；當l向上方向的部分在y軸右側時，傾斜角為90°－α.故選D.
要點二　直線的斜率
例2　已知直線l過P(－2，－1)，且與以A(－4,2)，B(1,3)為端點的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍．
解　根據題中的條件可畫出圖形，如圖所示，
又可得直線PA的斜率kPA＝－，
直線PB的斜率kPB＝，
結合圖形可知當直線l由PB變化到與y軸平行的位置時，它的傾斜角逐漸增大到90°，故斜率的取值范圍為，
當直線l由與y軸平行的位置變化到PA位置時，它的傾斜角由90°增大到PA的傾斜角，故斜率的變化范圍是.
綜上可知，直線l的斜率的取值范圍是
∪.
規律方法　1.由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tan α(α≠90°)解決．
2．由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式
k＝(x1≠x2)求解．
3．涉及直線與線段有交點問題常數形結合利用公式求解．
跟蹤演練2　已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點．
(1)求直線l的斜率k的取值范圍；
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．
解　如圖所示，由題意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1，或k≥1.
(2)由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.
要點三　斜率公式的應用
例3　已知實數x，y滿足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
解　如圖所示，由于點(x，y)滿足關系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知點P(x，y)在線段AB上移動，并且A，B兩點的坐標可分別求得為(2,4)，(3,2)．
由于的幾何意義是直線OP的斜率，
且kOA＝2，kOB＝，
所以可求得的最大值為2，最小值為.
規律方法　若所求最值或范圍的式子可化為的形式，則聯想其幾何意義，利用圖形數形結合來求解．
跟蹤演練3　已知實數x，y滿足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，試求的最大值和最小值．
解　由的幾何意義可知，它表示經過定點P(－2，－3)與曲線段AB上任一點(x，y)的直線的斜率k，由圖可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A(1,2)，B(－1,4)．
則kPA＝＝，kPB＝＝7.
∴≤k≤7，∴的最大值為7，最小值為.
1．下圖中α能表示直線l的傾斜角的是(　　)
A．① B．①② C．①③ D．②④
答案　A
解析　結合直線l的傾斜角的概念可知①可以，選A.
2．已知直線l的傾斜角為30°，則直線l的斜率為(　　)
A. B.
C．1 D.
答案　A
解析　由題意可知，k＝tan 30°＝.
3．若過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為45°，則y等于(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
答案　C
解析　tan 45°＝kAB＝，
即＝1，所以y＝－1.
4．直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是(　　)
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
答案　C
解析　直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°，又直線l經過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是90°<α<180°.
5．如圖所示，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3之間的大小關系為________．
答案　k1解析　設l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則由圖可知0<α3<α2<90°<α1<180°，
所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k11.傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述并表現了直線對于x軸正方向的傾斜程度．
2．直線的斜率和傾斜角都反映了直線的傾斜程度，二者緊密相連，如下表：
直線情況
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范圍 0 k>0 不存在 k<0
k的增減情況 k隨α的增大而增大 k隨α的增大而增大
3.運用兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直線斜率k＝應注意的問題：
(1)斜率公式與P1，P2兩點的位置無關，而與兩點橫、縱坐標之差的順序有關(即x2－x1，y2－y1中x2與y2對應，x1與y1對應)．
(2)運用斜率公式的前提條件是“x1≠x2”，也就是直線不與x軸垂直，而當直線與x軸垂直時，直線的傾斜角為90°，斜率不存在．
一、基礎達標
1．下列說法中，正確的是(　　)
A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tan α
B．直線的斜率為tan α，則此直線的傾斜角為α
C．若直線的傾斜角為α，則sin α>0
D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90°時，斜率為tan α
答案　D
解析　對于A，當α＝90°時，直線的斜率不存在，故不正確；對于B，雖然直線的斜率為tan α，但只有0°≤α<180°時，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對于C，當直線平行于x軸時，α＝0°，sin α＝0，故C不正確，故選D.
2．若A、B兩點的橫坐標相等，則直線AB的傾斜角和斜率分別是(　　)
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
答案　C
解析　由于A、B兩點的橫坐標相等，所以直線與x軸垂直，傾斜角為90°，斜率不存在．故選C.
3．若過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，則y等于(　　)
A．1 B．5 C．－1 D．－5
答案　D
解析　由斜率公式可得：＝tan 135°，
∴＝－1，∴y＝－5.∴選D.
4．直線l過原點(0,0)，且不過第三象限，那么l的傾斜角α的取值范圍是(　　)
A．0°≤α≤90° B．90°≤α<180°
C．90°≤α<180°或α＝0° D．90°≤α≤135°
答案　C
解析　傾斜角的取值范圍為0°≤α<180°，直線過原點且不過第三象限，切勿忽略x軸和y軸．
5．斜率為2的直線經過點A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三點，則a、b的值分別為(　　)
A．4,0 B．－4，－3
C．4，－3 D．－4,3
答案　C
解析　由題意，得即
解得a＝4，b＝－3.
6．如果過點P(－2，m)和Q(m,4)的直線的斜率等于1，則m＝________.
答案　1
解析　由斜率公式知＝1，解得m＝1.
7．一條光線從A(3,2)發出，到x軸上的M點后，經x軸反射通過點B(－1,6)，則反射光線所在直線的斜率為__________．
答案　－2
解析　如圖所示，作A點關于x軸的對稱點A′，
所以點A′在直線MB上．
由對稱性可知A′(3，－2)，
所以光線MB所在直線的斜率為kA′B＝＝－2.
故反射光線所在直線的斜率為－2.
二、能力提升
8．已知點A(2,3)，B(－3，－2)，若直線l過點P(1,1)與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是(　　)
A．k≥2或k≤ B.≤k≤2
C．k≥ D．k≤2
答案　A
解析　直線PA的斜率kPA＝2，直線PB的斜率kPB＝，結合圖象，如圖所示，可知直線l的斜率k的取值范圍是k≥2或k≤.故選A.
9．若經過點P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數a的取值范圍為________．
答案　(－2,1)
解析　∵k＝且直線的傾斜角為鈍角，∴<0，
解得－210．直線l過點A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率的取值范圍是________．
答案　[0,2]
解析　如圖，當直線l在l1位置時，k＝tan 0°＝0；當直線l在l2位置時，k＝＝2.故直線l的斜率的取值范圍是[0,2]．
11．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四點在同一條直線上，求直線的斜率k及a、b的值．
解　由題意可知kAB＝＝2，
kAC＝＝，
kAD＝＝，
所以k＝2＝＝，
解得a＝4，b＝－3，
所以直線的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
三、探究與創新
12．已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)，
(1)求直線AB和AC的斜率；
(2)若點D在線段AB(包括端點)上移動時，求直線CD的斜率的變化范圍．
解　(1)由斜率公式得
kAB＝＝0，
kAC＝＝.
(2)如圖所示．
kBC＝＝.
設直線CD的斜率為k，當斜率k變化時，直線CD繞C點旋轉，當直線CD由CA逆時針方向旋轉到CB時，直線CD與AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由kCA增大到kCB，所以k的取值范圍為.
13．光線從點A(2,1)射到y軸上的點Q，經y軸反射后過點B(4,3)，試求點Q的坐標及入射光線的斜率．
解　方法一　設Q(0，y)，則由題意得kQA＝－kQB.
∵kQA＝，kQB＝，∴＝－.
解得y＝，即點Q的坐標為，
∴k入＝kQA＝＝－.
方法二　如圖，點B(4,3)關于y軸的對稱點為B′(－4,3)，
kAB′＝＝－，
由題意得，A、Q、B′三點共線．
從而入射光線的斜率為kAQ＝kAB′＝－.
設Q(0，y)，則k入＝kQA＝＝－.
解得y＝，即點Q的坐標為.3．3.1　兩條直線的交點坐標
3．3.2　兩點間的距離
[學習目標]　1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.2.會根據方程解的個數判定兩條直線的位置關系.3.掌握兩點間距離公式并會應用．
[知識鏈接]
直線的方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式，它們的表現形式分別為y－y0＝k(x－x0)、y＝kx＋b、＝、＋＝1及Ax＋By＋C＝0.
[預習導引]
1．兩條直線的交點
已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若兩直線的方程聯立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交；若方程組無解，則兩條直線平行．若方程組有無窮多個解，則兩條直線重合．
2．過定點的直線系方程
已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于點P(x0，y0)，則方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示過點P的直線系，不包括直線l2.
3．兩點間的距離
平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式
|P1P2|＝.
4．兩點間距離的特殊情況
(1)原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝.
(2)當P1P2∥x軸(y1＝y2)時，|P1P2|＝|x2－x1|.
(3)當P1P2∥y軸(x1＝x2)時，|P1P2|＝|y2－y1|.
要點一　兩直線的交點問題
例1　求經過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點且過坐標原點的直線l的方程．
解　方法一　由方程組
解得即l1與l2的交點坐標為(－2,2)．
∵直線過坐標原點，
∴其斜率k＝＝－1.
故直線方程為y＝－x，即x＋y＝0.
方法二　∵l2不過原點，∴可設l的方程為3x＋4y－2＋
λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.將原點坐標(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直線l的方程為5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
規律方法　1.方法一是解方程組方法，思路自然，但計算量稍大，方法二運用了交點直線系，是待定系數法，計算簡單，但要注意判斷原點(0,0)不能在直線2x＋y＋2＝0上．否則，會出現λ的取值不確定的情形．
2．過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系有兩種：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示過l1、l2交點的所有直線；
②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直線l2.
跟蹤演練1　求經過直線l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交點且平行于直線2x＋y－3＝0的直線方程．
解　方法一　由得
∴直線l1與l2的交點坐標為(0,1)，
再設平行于直線2x＋y－3＝0的直線方程為2x＋y＋c＝0，
把(0,1)代入所求的直線方程，得c＝－1，
故所求的直線方程為2x＋y－1＝0.
方法二　設過直線l1、l2交點的直線方程為
x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，
即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，
由題意可知，＝－2，解得λ＝，
所以所求直線方程為x＋y－＝0，
即2x＋y－1＝0.
要點二　兩點間距離公式的應用
例2　已知△ABC三頂點坐標A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，試判斷△ABC的形狀．
解　方法一　∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
則kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．
規律方法　1.判斷三角形的形狀，要采用數形結合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向．
2．在分析三角形的形狀時，要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考察是否為直角或等角；二是要考慮三角形邊的長度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理．
跟蹤演練2　已知點A(3,6)，在x軸上的點P與點A的距離等于10，求點P的坐標．
解　設點P的坐標為(x,0)，由|PA|＝10，
得＝10，解得：x＝11或x＝－5.
所以點P的坐標為(－5,0)或(11,0)．
要點三　坐標法的應用
例3　證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．
證明　
如圖所示，以頂點A為坐標原點，AB邊所在直線為x軸，建立直角坐標系，有A(0,0)．
設B(a,0)，D(b，c)，由平行四邊形的性質得點C的坐標為(a＋b，c)，因為|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.
規律方法　坐標法解決幾何問題時，關鍵要結合圖形的特征，建立平面直角坐標系．坐標系建立的是否合適，會直接影響問題能否方便解決．建系的原則主要有兩點：
(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于運算；
(2)如果條件中有互相垂直的兩條線，要考慮將它們作為坐標軸；如果圖形為中心對稱圖形，可考慮將中心作為原點；如果有軸對稱性，可考慮將對稱軸作為坐標軸．
跟蹤演練3　已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD.
求證：|AC|＝|BD|.
證明　如圖所示，建立直角坐標系，設A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，則點D的坐標是(a－b，c)．
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
1．直線x＋2y－2＝0與直線2x＋y－3＝0的交點坐標是(　　)
A．(4,1) B．(1,4)
C. D.
答案　C
解析　由方程組得
即直線x＋2y－2＝0與直線2x＋y－3＝0的交點坐標是.
2．已知M(2,1)，N(－1,5)，則|MN|等于(　　)
A．5 B.
C. D．4
答案　A
解析　|MN|＝＝5.
3．經過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點，且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
答案　A
解析　首先解得交點坐標為(1,6)，再根據垂直關系得斜率為－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
4．已知兩條直線l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1與l2相交，則實數a滿足的條件是________．
答案　a≠2
解析　l1與l2相交則有：≠，∴a≠2.
5．設點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是P(2，－1)，則|AB|等于________．
答案　2
解析　設A(x,0)，B(0，y)，∵AB中點P(2，－1)，
∴＝2，＝－1，
∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，
∴|AB|＝＝2.
1.方程組有唯一解的等價條件是A1B2－A2B1≠0.亦即兩條直線相交的等價條件是A1B2－A2B1≠0.直線A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線(不含l2)．
2．解析法又稱為坐標法，它就是通過建立直角坐標系，用坐標代替點、用方程代替曲線、用代數的方法研究平面圖形的幾何性質的方法．
3．兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝與兩點的先后順序無關，其反映了把幾何問題代數化的思想．
一、基礎達標
1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，則的值為(　　)
A. B.
C．3 D．2
答案　D
解析　由兩點間的距離公式，
得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，故＝＝2.
2．兩直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點在y軸上，那么k的值為(　　)
A．－24 B．6
C．±6 D．24
答案　C
解析　在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，將代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)為頂點的三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
答案　B
解析　∵|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，
∴三角形為等腰三角形．故選B.
4．已知直線mx＋4y－2＝0與2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足為(1，p)，則m－n＋p為(　　)
A．24 B．20
C．0 D．－4
答案　B
解析　由垂直性質可得2m－20＝0，m＝10.由垂足可得解得
∴m－n＋p＝20.
5．已知點A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，則a的值為________．
答案　1或－5
解析　由題意得＝5，
解得a＝1或a＝－5.
6．若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則k的取值范圍是________．
答案　
解析　由得由于交點在第一象限，故x>0，y>0，解得k>.
7．在直線l：3x－y＋1＝0上求一點P，使點P到兩點A(1，－1)，B(2,0)的距離相等．
解　方法一　設P點坐標為(x，y)，
由P在l上和點P到A，B的距離相等建立方程組
解得
所以P點坐標為(0,1)．
方法二　設P(x，y)，兩點A(1，－1)、B(2,0)連線所得線段的中垂線方程為x＋y－1＝0.①
又3x－y＋1＝0，②
解由①②組成的方程組得
所以所求的點為P(0,1)．
二、能力提升
8．兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點A，B，則|AB|的值為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　直線3ax－y－2＝0過定點A(0，－2)，直線(2a－1)x＋5ay－1＝0，過定點B，由兩點間的距離公式，得|AB|＝.
9．已知P1(a1，b1)與P2(a2，b2)是直線y＝kx＋1(k為常數)上兩個不同的點，則關于x和y的方程組的解的情況是(　　)
A．無論k，P1，P2如何，總是無解
B．無論k，P1，P2如何，總有唯一的解
C．存在k，P1，P2，使之恰有兩解
D．存在k，P1，P2，使之有無窮多解
答案　B
解析　由題意，得直線y＝kx＋1一定不過原點O，P1、P2是直線y＝kx＋1上不同的兩點，則OP1與OP2不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程組一定有唯一解．
10．若動點P的坐標為(x,1－x)，x∈R，則動點P到原點的最小值是________．
答案　
解析　由距離公式得＝＝，∴最小值為＝.
11．(1)求過兩直線3x＋y－1＝0與x＋2y－7＝0的交點且與第一條直線垂直的直線方程；
(2)求經過直線3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程．
解　(1)方法一　由
得即交點為(－1,4)．
∵第一條直線的斜率為－3，且兩直線垂直，
∴所求直線的斜率為.
∴由點斜式得y－4＝(x＋1)，
即x－3y＋13＝0.
方法二　設所求的方程為3x＋y－1＋λ(x＋2y－7)＝0，
即(3＋λ)x＋(1＋2λ)y－(1＋7λ)＝0，
由題意得3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0，
∴λ＝－2，代入所設方程得x－3y＋13＝0.
(2)設直線方程為3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.
由＝，得λ＝或λ＝.
故直線方程為x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
三、探究與創新
12．求證：不論m取什么實數，直線(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都經過一定點，并求出這個定點坐標．
解　方法一　對于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
解方程組得兩條直線的交點坐標為(2，－3)．
將點(2，－3)代入直線方程，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.
這表明不論m取什么實數，所給直線均經過定點(2，－3)．
方法二　將已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理為(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，有，
解得
所以不論m取什么實數，所給直線均經過定點(2，－3)．
13．某縣相鄰兩鎮在一平面直角坐標系下的坐標為A(1,2)，B(4,0)，一條河所在直線方程為l：x＋2y－10＝0，若在河邊l上建一座供水站P使之到A，B兩鎮的管道最省，問供水站P應建在什么地方？此時|PA|＋|PB|為多少？
解　
如圖所示，過A作直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，因為若P′(異于P)在直線l上，則|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.
因此，供水站只能在點P處，才能取得最小值．
設A′(a，b)，則AA′的中點在l上，且AA′⊥l，
即
解得即A′(3,6)．
所以直線A′B的方程為6x＋y－24＝0.
解方程組得
所以P點的坐標為.
故供水站應建在點P處，
此時|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝.

展開更多......

收起↑