資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
23.2.1 中心對稱 學案
（一）學習目標：
1.了解中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱點等概念及掌握這些概念解決一些問題．
2. 復習運用旋轉知識作圖，旋轉角度變化，設計出不同的美麗圖案來引入旋轉180°的特殊旋轉──中心對稱的概念，并運用它解決一些實際問題．
（二）學習重難點：
學習重點：利用中心對稱、對稱中心、關于中心對稱點的概念解決一些問題
學習難點：從一般旋轉中導入中心對稱
閱讀課本，識記知識：
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°后，和另一個圖形重合，那么叫做這兩個圖形關于這個點對稱也叫做這兩個圖形中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．
要點詮釋：
１、中心對稱是旋轉角為180°的旋轉對稱；
２、尋找對稱中心，只需分別聯結兩對對應點，所得兩條直線的交點就是對稱中心；
３、對稱點所連線段經過對稱中心，而且被對稱中心平分．
【例1】阿皮家有一臺顯示數字的電子鐘，當阿皮將電子鐘倒置時，鐘面顯示的數字是，那么此時的正確時間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將顯示的結果旋轉180°即可得到實際時間．
【詳解】將旋轉180°得到，
∴實際時間是16：21．
故選：A．
【點睛】本題考查了中心對稱的知識．作出相應的對稱圖形是解答本題的關鍵．
【例2】關于某一點成中心對稱的兩個圖形，連接所有對稱點的線段經過 ，被 平分，對應線段與對應角都 ．
【答案】 對稱中心 對稱中心 分別相等
【分析】根據中心對稱的性質即可得．
【詳解】解：關于某一點成中心對稱的兩個圖形，連接所有對稱點的線段經過對稱中心，被對稱中心平分，對應線段與對應角都分別相等，
故答案為：對稱中心，對稱中心，分別相等．
【點睛】本題考查了中心對稱，熟練掌握中心對稱的性質是解題關鍵．
選擇題
1．下列食品圖案中，是中心對稱圖形的是（　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據中心對稱圖形的概念判斷．
【詳解】根據中心對稱圖形定義
即尋找對稱中心，旋轉后與原圖重合
得A符合題意，B、C、D均不符合題意．
故選A．
【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉后與原圖重合．
2．下列說法錯誤的是（　　）
A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B．角平分線上的點到角的兩邊的距離相等
C．兩個全等的三角形，一定成中心對稱
D．等邊三角形是軸對稱圖形，且有三條對稱軸
【答案】C
【分析】由平行四邊形的判定，角平分線的性質，中心對稱的定義，等邊三角形的性質，即可判斷．
【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，故A不符合題意；
B、角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，正確，故B不符合題意；
C、兩個全等的三角形，不一定成中心對稱，故C符合題意；
D、等邊三角形是軸對稱圖形，且有三條對稱軸，正確，故D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定，角平分線的性質，等邊三角形的性質，中心對稱，掌握以上知識點是解題的關鍵．
3．小明想用圖形1通過作圖變換得到圖形2，下列這些變化中不可行的是（　　）
A．軸對稱變換 B．平移變換 C．旋轉變換 D．中心對稱變換
【答案】B
【分析】觀察本題中圖案的特點，根據對稱、平移、旋轉的特征進行判斷作答．
【詳解】解：圖形1通過軸對稱變換可以得到圖形2，故選項A不合題意；
圖形1沿某一直線方向移動不能與圖形2重合，故平移變換不可行，選項B符合題意；
圖形1將圖形繞著中心點旋轉180度的整數倍后均能與圖形1重合，旋轉變換和中心對稱變換可以．選項CD不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查圖形的對稱、平移、旋轉等變換．對稱有軸對稱和中心對稱，軸對稱的特點是一個圖形繞著一條直線對折，直線兩旁的圖形能夠完全重合；中心對稱的特點是一個圖形繞著一點旋轉180度后與另一個圖形完全重合，它是旋轉變換的一種特殊情況．平移是將一個圖形沿某一直線方向移動，得到的新圖形與原圖形的形狀、大小和方向完全相同．旋轉是指將一個圖形繞著一點轉動一個角度的變換．觀察時要緊扣圖形變換特點，認真判斷．
4．能把一個平行四邊形面積平分的直線有（ ）條
A．1條 B．2條 C．4條 D．無數條
【答案】D
【分析】根據過平行四邊形的中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩個部分解答．
【詳解】解：根據中心對稱的性質，過平行四邊形中心的直線都可以把平行四邊形分成面積相等的兩個部分，
所以，有無數條直線．
故選：D．
【點睛】本題考查了中心對稱的性質，平行四邊形的性質，熟記過平行四邊形中心的直線都可以把平行四邊形分成面積相等的兩個部分是解題的關鍵．
5．如圖，與關于點O成中心對稱，則下列結論不成立的是（ ）

點A與點是對稱點 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查中心對稱的定義和性質，掌握中心對稱的定義“把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心”，是求解本題的關鍵．
【詳解】解：A．∵與關于點O成中心對稱，
點A與是一組對稱點，故A正確，不符合題意；
B．∵對應點到對稱中心的距離相等，
∴，故B正確，不符合題意；
C．∵與是對應線段，
∴，故C正確，不符合題意；
D．與不是對應角，
∴不成立，故D符合題意．
故選：D．
6．在平面直角坐標系中，平行四邊形的對稱中心是坐標原點，頂點A、B的坐標分別是、，將平行四邊形沿x軸向左平移3個單位長度，則頂點C的對應點C1的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意平行四邊形的對稱中心是坐標原點，求出點C的坐標，再利用平移的性質求出點C1的坐標可得結論．
【詳解】解：∵平行四邊形的對稱中心是坐標原點，
∴頂點C的坐標是，
∵將平行四邊形沿x軸向左平移3個單位長度，
∴對應點C1的坐標是．
故選：A．
【點睛】本題考查中心對稱，平行四邊形的性質，坐標與圖形變化-平移等知識，解題的關鍵是熟練掌握中心對稱的性質，關于原點對稱的兩個點的坐標，橫縱坐標互為相反數．
7．如圖，兩個半圓分別以O，為圓心，它們關于某點成中心對稱，點A，B，，在同一直線上，則對稱中心為（ ）

A．點O B．點B C．線段的中點 D．線段的中點
【答案】D
【分析】由已知兩個圖形的位置，判斷它們是否中心對稱，可以把各對應點連線，看所有連線是否交于同一點．
【詳解】解：如圖：

作法：1．過點作交于點，過點作交于點，
2．連接交于點，
故點即為所求
證明：，，
是對稱點，是對稱點，
故的交點為對稱中心．
故選：D．
【點睛】本題考查了中心對稱，正確的作出圖形是解題的關鍵．
8．下列各圖中，四邊形是正方形，其中陰影部分兩個三角形成中心對稱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據成中心對稱的定義進行判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，
中陰影部分兩個三角形成中心對稱，
故選：A．
【點睛】本題考查了成中心對稱．解題的關鍵在于熟練掌握：如果把一個圖形繞某一點旋轉后能與另一個圖形重合，這兩個圖形成中心對稱．
9．如圖所示的是由個邊長為1的小正方形網格組成，每個小正方形的頂點稱為格點，的三個頂點，，均在格點上，將繞著邊的中點旋轉180°，下面說法不正確的是（ ）

A．各邊的中點都可通過網格確定
B．繞的中點旋轉后得到的三角形的頂點不在網格的格點上
C．旋轉前后的兩個三角形可形成平行四邊形
D．繞著各邊的中點旋轉后得到的三角形的頂點都在網格的格點上
【答案】B
【分析】將繞著邊的中點旋轉180°后根據選項依次作答．
【詳解】解：A．△ABC各邊的中點都可通過網格確定，故該選項正確，不符合題意；
B.將△ABC繞著邊的中點旋轉180°后如圖，

繞的中點旋轉后得到的三角形的頂點在網格的格點上，故該選項不正確，符合題意；
C. 旋轉前后的兩個三角形可形成平行四邊形
D. 根據中心對稱的性質可得，繞著各邊的中點旋轉后得到的三角形的頂點都在網格的格點上
故選：B．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，旋轉變換等知識，解題的關鍵是掌握中心對稱的性質．
10．如圖，原點O為的對稱中心，軸，與y軸交于點，與x軸交于，．若將繞原點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第502次旋轉結束時，點A的對應點的坐標為( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，設與軸交于點，與軸交于點，利用中心對稱的性質確定的長度，利用平行四邊形的判定及性質可以得到，再根據確定點的坐標，由旋轉的周期性確定繞原點O順時針旋轉第502次旋轉結束時與位置重合，從而確定點與點重合， 即可得到點的對應點的坐標．
【詳解】連接，設與軸交于點，與軸交于點，

∵原點為的對稱中心，
∴點與點關于點對稱，
∵點，
∴，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵ ，點
∴，
即點，點
∵繞原點O順時針旋轉，每次旋轉90°，
∴，
，
即繞原點O順時針旋轉第502次旋轉結束時與位置重合，此時點與點重合，
∴點A的對應點的坐標為．
故選A．
【點睛】本題考查了圖形與坐標，旋轉的性質，中心對稱的性質，周期型規律問題，能準確確定點的坐標及在第502次旋轉結束時所在的位置是解決本題的關鍵．
填空題
11．如圖，與關于點成中心對稱，若點A的坐標為，則點的坐標為 ．

【答案】
【分析】根據中心對稱的性質，為的中點，即可求解．
【詳解】解：與關于點成中心對稱，點A的坐標為，
設，
依題意，，
解得：，
點的坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了中心對稱的性質，掌握中心對稱的性質是解題的關鍵．
12.如圖，在中，，點E在上，是的對稱中心，是正方形的對稱中心，若，則的取值范圍 ．
【答案】
【分析】本題主要考查對稱中心，三角形中位線的性質，連接，，，可知是的中位線，，當點E在線段上時，取最小值，當點E在線段的延長線上時，取最大值，由此可解．
【詳解】解：如圖，連接，，，
是的對稱中心，是正方形的對稱中心，
點O是的中點，點是的中點，
是的中位線，
，
點E在上，
當點E在線段上時，取最小值，最小值為，
當點E在線段的延長線上時，取最大值，最小值為，
，四邊形是正方形，
，
，即，
，
即．
故答案為：．
13．如圖，是等腰三角形的底邊中線，，，與關于點中心對稱，連接，則的長是 ．
【答案】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質以及中心對稱，根據等腰三角形的性質可得，根據與關于點中心對稱，可得，再根據勾股定理可得的長．
【詳解】解：∵是等腰三角形的底邊中線，
∴，
∴，
∵與關于點中心對稱，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
14．如圖，已知與關于點A成中心對稱，若，那么的長為 ．

【答案】10
【分析】本題主要考查了中心對稱的性質和全等三角形的性質，熟練掌握中心對稱的性質是解題的關鍵．
先根據中心對稱的性質得到，得到，進而可得出的長．
【詳解】解：與關于點A成中心對稱，
，
，
，
，
故答案為：10．
15.如圖，這是小聰設計的正方形花邊圖案，該圖案由正方形和三角形拼接組成（不重疊，無縫隙），它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．若圖中陰影面積的和為36，則圖中線段的長為 ．

【答案】
【分析】把圖形局部放大如圖所示：作于N，于M，連接交于P交于Q，延長交于H，設，則．由，，推出，，，設，由，可得，推出，根據，構建方程求出a即可解決問題．
【詳解】解：把圖形局部放大如圖所示，作于N，于M，連接交于P交于Q，延長交于H，設，則．
由題意得：是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，，，
設，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍棄），
∴，
故答案為．
【點睛】本題考查中心對稱，正方形的性質，解直角三角形，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
三、解答題
16．如圖， 的頂點坐標分別為，，．
(1)畫出繞點A逆時針旋轉后得到的；
(2)與關于原點O中心對稱， 請直接寫出點，，的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)的坐標為，的坐標為，的坐標為
【分析】本題考查作圖-旋轉變換．
（1）利用旋轉變換的性質分別作出B，C的對應點，再順次連接即可；
（2）利用中心對稱變換的性質分別作出A，B，C的對應點，寫出的坐標即可．
【詳解】（1）如圖，即為所求；
（2）如圖，的坐標為，的坐標為，的坐標為．
17．閱讀材料：對于中心對稱圖形，過對稱中心的任意一條直線都把這個圖形的面積分成相等的兩部分，如圖．

嘗試應用：將圖分成面積相等的兩部分不寫作法，保留作圖痕跡；

【答案】見解析
【分析】由平行四邊形的性質可知，對角線的交點為平行四邊的中心，的中心為圓心，結合中心對稱的知識，不難發現過中心的直線將圖形分割成面積相等的部分．本題側重考查中心對稱圖形，掌握其概念是解題關鍵．
【詳解】解：連接平行四邊形的中心和圓的圓心形成的直線，即為所求，如圖所示：

18．在下面的平面直角坐標系中：
(1)描出點、，并畫出；
(2)畫出關于原點對稱的圖形；
(3)在軸上有一點，使的值最小，請直接寫出點的坐標.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查了坐標與圖形、作圖—中心對稱圖形、軸對稱的性質、一次函數的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）先描出點、，再順次連接即可得出；
（2）根據關于原點對稱的點的性質得出對應點的位置，再順次連接即可得出答案
（3）作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，點即為所求，由軸對稱的性質可得：，，，此時的值最小，待定系數法求出直線的解析式，由此即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，即為所作，
；
（2）解：如圖，即為所作，
；
（3）解：如圖，作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，點即為所求，
，
由軸對稱的性質可得：，，
，此時的值最小，
設直線的解析式為，
將，代入解析式可得：，
解得：，
直線的解析式為，
在中，當時，，
．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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23.2.1 中心對稱 學案
（一）學習目標：
1.了解中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱點等概念及掌握這些概念解決一些問題．
2. 復習運用旋轉知識作圖，旋轉角度變化，設計出不同的美麗圖案來引入旋轉180°的特殊旋轉──中心對稱的概念，并運用它解決一些實際問題．
（二）學習重難點：
學習重點：利用中心對稱、對稱中心、關于中心對稱點的概念解決一些問題
學習難點：從一般旋轉中導入中心對稱
閱讀課本，識記知識：
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°后，和另一個圖形重合，那么叫做這兩個圖形關于這個點對稱也叫做這兩個圖形中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．
要點詮釋：
１、中心對稱是旋轉角為180°的旋轉對稱；
２、尋找對稱中心，只需分別聯結兩對對應點，所得兩條直線的交點就是對稱中心；
３、對稱點所連線段經過對稱中心，而且被對稱中心平分．
【例1】阿皮家有一臺顯示數字的電子鐘，當阿皮將電子鐘倒置時，鐘面顯示的數字是，那么此時的正確時間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將顯示的結果旋轉180°即可得到實際時間．
【詳解】將旋轉180°得到，
∴實際時間是16：21．
故選：A．
【點睛】本題考查了中心對稱的知識．作出相應的對稱圖形是解答本題的關鍵．【例2】關于某一點成中心對稱的兩個圖形，連接所有對稱點的線段經過 ，被 平分，對應線段與對應角都 ．
【答案】 對稱中心 對稱中心 分別相等
【分析】根據中心對稱的性質即可得．
【詳解】解：關于某一點成中心對稱的兩個圖形，連接所有對稱點的線段經過對稱中心，被對稱中心平分，對應線段與對應角都分別相等，
故答案為：對稱中心，對稱中心，分別相等．
【點睛】本題考查了中心對稱，熟練掌握中心對稱的性質是解題關鍵．
選擇題
1．下列食品圖案中，是中心對稱圖形的是（　）
A． B．
C． D．
2．下列說法錯誤的是（　　）
A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B．角平分線上的點到角的兩邊的距離相等
C．兩個全等的三角形，一定成中心對稱
D．等邊三角形是軸對稱圖形，且有三條對稱軸
3．小明想用圖形1通過作圖變換得到圖形2，下列這些變化中不可行的是（　　）
A．軸對稱變換 B．平移變換 C．旋轉變換 D．中心對稱變換
4．能把一個平行四邊形面積平分的直線有（ ）條
A．1條 B．2條 C．4條 D．無數條
5．如圖，與關于點O成中心對稱，則下列結論不成立的是（ ）

點A與點是對稱點 B．
C． D．
6．在平面直角坐標系中，平行四邊形的對稱中心是坐標原點，頂點A、B的坐標分別是、，將平行四邊形沿x軸向左平移3個單位長度，則頂點C的對應點C1的坐標是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，兩個半圓分別以O，為圓心，它們關于某點成中心對稱，點A，B，，在同一直線上，則對稱中心為（ ）

A．點O B．點B C．線段的中點 D．線段的中點
8．下列各圖中，四邊形是正方形，其中陰影部分兩個三角形成中心對稱的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如圖所示的是由個邊長為1的小正方形網格組成，每個小正方形的頂點稱為格點，的三個頂點，，均在格點上，將繞著邊的中點旋轉180°，下面說法不正確的是（ ）

A．各邊的中點都可通過網格確定
B．繞的中點旋轉后得到的三角形的頂點不在網格的格點上
C．旋轉前后的兩個三角形可形成平行四邊形
D．繞著各邊的中點旋轉后得到的三角形的頂點都在網格的格點上
10．如圖，原點O為的對稱中心，軸，與y軸交于點，與x軸交于，．若將繞原點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第502次旋轉結束時，點A的對應點的坐標為( )

A． B． C． D．
填空題
11．如圖，與關于點成中心對稱，若點A的坐標為，則點的坐標為 ．

12.如圖，在中，，點E在上，是的對稱中心，是正方形的對稱中心，若，則的取值范圍 ．
13．如圖，是等腰三角形的底邊中線，，，與關于點中心對稱，連接，則的長是 ．
14．如圖，已知與關于點A成中心對稱，若，那么的長為 ．

15.如圖，這是小聰設計的正方形花邊圖案，該圖案由正方形和三角形拼接組成（不重疊，無縫隙），它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．若圖中陰影面積的和為36，則圖中線段的長為 ．

三、解答題
16．如圖， 的頂點坐標分別為，，．
(1)畫出繞點A逆時針旋轉后得到的；
(2)與關于原點O中心對稱， 請直接寫出點，，的坐標．
17．閱讀材料：對于中心對稱圖形，過對稱中心的任意一條直線都把這個圖形的面積分成相等的兩部分，如圖．

嘗試應用：將圖分成面積相等的兩部分不寫作法，保留作圖痕跡；

18．在下面的平面直角坐標系中：
(1)描出點、，并畫出；
(2)畫出關于原點對稱的圖形；
(3)在軸上有一點，使的值最小，請直接寫出點的坐標.
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
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