資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
24.2.1 點和圓的位置關系 學案
（一）學習目標：
1、理解并掌握點和圓的三種位置關系及數量間的關系，掌握過不在同一直線上的三點畫圓的方法。 過程與方法
通過生活中實際例子，探求點和圓的三種位置關系，從而滲透數形結合、分類討論等數學思想。
3、通過本節知識的學習，體驗點和圓的位置關系與生活中的射擊、投擲等活動緊密相連，感知數學就在身邊，從而更加熱愛生活，激發學生學習數學的興趣。
（二）學習重難點：
學習重點：點和圓的三種位置關系；過三點的圓
學習難點：點和圓的三種位置關系及數量關系
閱讀課本，識記知識：
（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外 d＞r
②點P在圓上 d＝r
①點P在圓內 d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
（3）符號“ ”讀作“等價于”，它表示從符號“ ”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
【例1】已知的半徑為4，點A到圓心O的距離為4，則點A與的位置關系是（ ）
A．點A在圓內 B．點A在圓上 C．點A在圓外 D．無法確定
【答案】B
【詳解】解：∵，，
∴，
∴點A在圓上
【例2】 以坐標原點為圓心，5為半徑作圓，則下列各點中，一定在內的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查點與圓的位置關系，計算圓心（坐標原點）到各個選項中點的距離，然后與半徑比較，當距離時，點在圓內，熟記兩點之間距離公式是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、坐標原點到的距離為，一定在內，符合題意；
B、坐標原點到的距離為，在上，不符合題意；
C、坐標原點到的距離為，在外，不符合題意；
D、坐標原點到的距離為，在外，不符合題意；
故選：A．
選擇題
1．已知的半徑長為2，若，則可以得到的正確圖形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了點與圓的位置關系，根據點到圓心的距離和圓的半徑的大小關系判斷點與圓的位置關系即可，解題的關鍵是正確理解根據數據判斷出點到圓心的距離和圓的半徑的大小關系．
【詳解】解：∵，的半徑長為2，
∴
∴點A在圓外.
故選：D.
2．已知的半徑為4，若，則點與圓的位置關系（ ）
A．在圓上 B．在圓內 C．在圓外 D．無法確定
【答案】B
【分析】本題考查點與圓的位置關系．根據題意將與半徑作比較可知半徑大，繼而得到本題答案．
【詳解】解：∵的半徑為4，，
∴，
∴點在圓內，
故選：B．
3．如圖，在中，，，，，以點A為圓心，為半徑畫圓，則點D與的位置關系是（）

A．點D在外 B．點D在上 C．點D在內 D．不能確定
【答案】C
【分析】本題根據點到圓心的距離和圓的半徑之間的數量關系，來判斷點和圓的位置關系．當時，點在圓外；當時，點在圓上；當時，點在圓內．
要確定點與圓的位置關系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關系，本題可由勾股定理等性質算出點與圓心的距離．
【詳解】解：根據勾股定理求得斜邊，
則，
∵，
∴點D在內．
故選：C．
4．在中，若兩條直角邊的長分別為6和8，則這個三角形的外接圓半徑為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理、三角形外接圓，根據勾股定理得出，再由直角三角形的外接圓的直徑是斜邊長即可得出答案，熟練掌握直角三角形的外接圓的直徑是斜邊長是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
在中，若兩條直角邊的長分別為6和8，即，，
，
，
是外接圓直徑，
這個三角形的外接圓半徑為，
故選：C．
5．平面內， 已知的半徑是， 線段， 則點P（ ）
A．在外 B．在上 C．在內 D．不能確定
【答案】C
【分析】本題考查點與圓的位置關系，當點與圓心的距離大于半徑時，點在圓外；當點與圓心的距離等于半徑時，點在圓上；當點與圓心的距離小于半徑時，點在圓內；由此判斷即可．
【詳解】解：的半徑是， 線段，
點P到圓心O的距離小于半徑，
點P在內，
故選C．
6．在同一平面內，已知的半徑為5，點A在外，則的長度可以等于（ ）
A．6 B．5 C．3 D．0
【答案】A
【分析】本題考查點與圓的位置關系，解答本題的關鍵是明確題意，求出的取值范圍．
根據題意可以求得的范圍，從而進行解答．
【詳解】的半徑為5，點A在外
∴的長度可以等于6．
故選：A．
7．雷達通過無線電的方法發現目標并測定它們的空間位置，現有一款監測半徑為的雷達，監測點的分布情況如圖，如果將雷達裝置設在P點，每一個小方格的邊長為，那么M、N、O、Q四個點中能被雷達監測到的點有（ ）個．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了點與圓的位置關系，以P為圓心5為半徑作圓，可得結論．
【詳解】解：根據題意，以P為圓心5為半徑作圓，，則過點，圖像如下：
觀察圖像可知，能被雷達監測到的點由N、O、Q三個．
故選：C．
8．如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1，A、兩點皆在格線的交點上，今在此方格紙格線的交點上另外找兩點、，使得的外心為，則的長度為（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，關鍵是掌握三角形的外心的性質．三角形外心的性質：三角形的外心到三角形三頂點的距離相等，由此得到，從而確定B、C的位置，然后利用勾股定理計算即可．
【詳解】解：∵的外心為O，
，
，
，
、是方格紙格線的交點，
、的位置如圖所示，
．
故選：D．
9．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．要確定圓的大小需知道其半徑．根據垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小．
【詳解】解：第①塊出現一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．
故選：A．
10．已知點是外一點，且的半徑為，則的長可能為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了點與圓的位置關系：若半徑為，點到圓心的距離為，則有當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．根據點在圓外，點到圓心的距離大于圓的半徑可對各選項進行判斷．
【詳解】解：點是外一點，
，
的長可能為，
故選：D．
填空題
11．如圖，在矩形中，，，是上的一動點（不與點重合）．連接，過點作，垂足為，則線段長的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了點與圓的位置關系，勾股定理，矩形的性質，三角形的三邊關系等知識，首先證明點的運動軌跡是以為直徑的 ，連接，利用三角形的三邊關系即可得出結論，解題的關鍵是正確尋找點的運動軌跡，利用三角形的三邊關系解決問題．
【詳解】解：∵，
∴，
∴點的運動軌跡是以為直徑的，連接，如圖，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最小值為，
故答案為：．
12．如圖，的半徑為4，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且、與x軸分別交于A、B兩點．若點A、點B關于原點O對稱，則當取最大值時，點A的坐標為 ．

【答案】
【分析】本題主要考查點與圓的位置關系，勾股定理，解題的關鍵是根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時點的位置．
由中知要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長交于點，當點位于位置時，取得最大值，據此求解可得．
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∵點、點關于原點對稱，
∴，
∴，
若要使取得最大值，則需取得最大值，
連接，并延長交于點，當點位于位置時，取得最大值，
過點作軸于點，

則、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即點A的坐標為，
故答案為：．
1 3．在中，若兩直角邊長為、，則它的外接圓的面積為 ．
【答案】/平方厘米
【分析】此題考查的是求三角形的外接圓的面積，掌握圓周角為直角所對的弦是直徑是解決此題的關鍵．
根據題意，寫出已知條件并畫出圖形，然后根據勾股定理即可求出，再根據圓周角為直角所對的弦是直徑即可得出結論．
【詳解】如圖，已知：，，
由勾股定理得： ，
∵，
∴是的直徑，
∴這個三角形的外接圓直徑是，半徑為，
∴面積為，
故答案為：．
14．在平面直角坐標系中，點，以原點為圓心，為半徑作．若在內，設線段的長度為，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，勾股定理，二次函數的最值問題，先求出，再利用勾股定理得到，根據二次函數的性質求出有最小值，再由點P在內得到，據此可得答案．
【詳解】解：∵在平面直角坐標系中，點，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴當時，有最小值，即有最小值，
∵在內，
∴，
∴
故答案為：．
15．如圖，是半的直徑，點C在半上，，．D是上的一個動點，連接，過點C作于E，連接．在點D移動的過程中，的最小值為 ．

【答案】cm
【分析】本題主要考查了勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是確定點E的運動軌跡是在以為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中的壓軸題．
如圖，取的中點為，連接、，在點D移動的過程中，點E在以為直徑的圓上運動，當、E、B三點共線時，的值最小，最小值為，利用勾股定理求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取的中點為，連接、，

，
，
，
在點D移動的過程中，點E在以為直徑的圓上運動，
是直徑，
，
在中，，
，
在中，，
，
當、E、B三點共線時，的值最小，最小值為：（cm），
故答案為：cm．
三、解答題
16．如圖，在 ，，尺規作圖：求作，使得經過三點． （保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】此題主要考查三角形的外接圓以及尺規作線段的垂直平分線，掌握直角三角形外接圓的圓心就是它的斜邊中點是解題的關鍵．作的垂直平分線，找到的中點，則以為直徑作圓就是三角形的外接圓．
【詳解】解：如圖所示，即為所求．
17.如圖在的方格中有一個格點（頂點都在格點上）．
(1)在圖1中畫出格點外接圓的圓心，并保留作圖痕跡．
(2)在圖2中找到一個格點，使得．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖﹣應用與設計作圖、三角形的外接圓與外心、等腰直角三角形，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）分別作線段，的垂直平分線，相交于點，則點即為外接圓的圓心；
（2）由圖可得，取格點，使，且，則，即．
【詳解】（1）如圖1，點即為所求；
（2）如圖2，點即為所求．
18．在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與軸交于點、（點在點的左邊），點是拋物對稱軸上的任意一點，過點作軸的垂線．
(1)求的值，并直接寫出該拋物線頂點的坐標；
(2)連結、、，則周長的最小值為 ．
(3)當該拋物線上到軸的距離是到直線的距離的2倍的點恰好有三個時，求與拋物線的交點坐標．
(4)連接、，當點是的外心時，直接寫出點的坐標．
【答案】(1)，該拋物線頂點的坐標為
(2)
(3)l與拋物線的交點坐標為
(4)
【分析】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到三角形外心的性質、點的對稱性、頂點的特性等，
（1）將點A的坐標代入拋物線表達式，即可求解；
（2）點C關于拋物線對稱軸得對稱點為點B，連接交拋物線的對稱軸于點P，則此時，周長最小，即可求解；
（3）當該拋物線上到x軸的距離是到直線l的距離的2倍的點恰好有三個時，此時拋物線上有一個點是拋物線的頂點，即可求解；
（4）由點A、B的坐標知，為等腰直角三角形，則的中垂線為一、三象限角平分線，即為，而的中垂線為拋物線的對稱軸，上述兩條直線的交點即為點P．
【詳解】（1）解：將點的坐標代入拋物線表達式得：，
解得：，
則拋物線的表達式為：，
該拋物線頂點的坐標為；
（2）如圖：點C關于拋物線對稱軸得對稱點為點B，連接交拋物線的對稱軸于點P，則此時周長最小，
理由如下：
拋物線的表達式為：，
令，解得：，，
，，
又，
為最小，
則周長的最小值，
故答案為：；
（3）當該拋物線上到x軸的距離是到直線l的距離的2倍的點恰好有三個時，此時拋物線上有
一個點是拋物線的頂點，則直線l在頂點和x軸的中間，
即直線l的表達式為：，
當時，，
解得：，
則l與拋物線的交點坐標為：；
（4）有點、的坐標可知，為等腰直角三角形，
則的中垂線為一、三象限的角平分線，即，而的中垂線為拋物線的對稱軸，
上述兩條直線的交點即為點P，
當時，，即外心為點．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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24.2.1 點和圓的位置關系 學案
（一）學習目標：
1、理解并掌握點和圓的三種位置關系及數量間的關系，掌握過不在同一直線上的三點畫圓的方法。 過程與方法
通過生活中實際例子，探求點和圓的三種位置關系，從而滲透數形結合、分類討論等數學思想。
3、通過本節知識的學習，體驗點和圓的位置關系與生活中的射擊、投擲等活動緊密相連，感知數學就在身邊，從而更加熱愛生活，激發學生學習數學的興趣。
（二）學習重難點：
學習重點：點和圓的三種位置關系；過三點的圓
學習難點：點和圓的三種位置關系及數量關系
閱讀課本，識記知識：
（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外 d＞r
②點P在圓上 d＝r
①點P在圓內 d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
（3）符號“ ”讀作“等價于”，它表示從符號“ ”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
【例1】已知的半徑為4，點A到圓心O的距離為4，則點A與的位置關系是（ ）
A．點A在圓內 B．點A在圓上 C．點A在圓外 D．無法確定
【答案】B
【詳解】解：∵，，
∴，
∴點A在圓上
【例2】 以坐標原點為圓心，5為半徑作圓，則下列各點中，一定在內的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查點與圓的位置關系，計算圓心（坐標原點）到各個選項中點的距離，然后與半徑比較，當距離時，點在圓內，熟記兩點之間距離公式是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、坐標原點到的距離為，一定在內，符合題意；
B、坐標原點到的距離為，在上，不符合題意；
C、坐標原點到的距離為，在外，不符合題意；
D、坐標原點到的距離為，在外，不符合題意；
故選：A．
選擇題
1．已知的半徑長為2，若，則可以得到的正確圖形可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知的半徑為4，若，則點與圓的位置關系（ ）
A．在圓上 B．在圓內 C．在圓外 D．無法確定
3．如圖，在中，，，，，以點A為圓心，為半徑畫圓，則點D與的位置關系是（）

A．點D在外 B．點D在上 C．點D在內 D．不能確定
4．在中，若兩條直角邊的長分別為6和8，則這個三角形的外接圓半徑為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．平面內， 已知的半徑是， 線段， 則點P（ ）
A．在外 B．在上 C．在內 D．不能確定
6．在同一平面內，已知的半徑為5，點A在外，則的長度可以等于（ ）
A．6 B．5 C．3 D．0
7．雷達通過無線電的方法發現目標并測定它們的空間位置，現有一款監測半徑為的雷達，監測點的分布情況如圖，如果將雷達裝置設在P點，每一個小方格的邊長為，那么M、N、O、Q四個點中能被雷達監測到的點有（ ）個．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1，A、兩點皆在格線的交點上，今在此方格紙格線的交點上另外找兩點、，使得的外心為，則的長度為（ ）
A．4 B．5 C． D．
9．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．已知點是外一點，且的半徑為，則的長可能為( )
A． B． C． D．
填空題
11．如圖，在矩形中，，，是上的一動點（不與點重合）．連接，過點作，垂足為，則線段長的最小值為 ．
12．如圖，的半徑為4，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且、與x軸分別交于A、B兩點．若點A、點B關于原點O對稱，則當取最大值時，點A的坐標為 ．

1 3．在中，若兩直角邊長為、，則它的外接圓的面積為 ．
14．在平面直角坐標系中，點，以原點為圓心，為半徑作．若在內，設線段的長度為，則的取值范圍是 ．
15．如圖，是半的直徑，點C在半上，，．D是上的一個動點，連接，過點C作于E，連接．在點D移動的過程中，的最小值為 ．

三、解答題
16．如圖，在 ，，尺規作圖：求作，使得經過三點． （保留作圖痕跡，不寫作法）
17.如圖在的方格中有一個格點（頂點都在格點上）．
18．在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與軸交于點、（點在點的左邊），點是拋物對稱軸上的任意一點，過點作軸的垂線．
(1)求的值，并直接寫出該拋物線頂點的坐標；
(2)連結、、，則周長的最小值為 ．
(3)當該拋物線上到軸的距離是到直線的距離的2倍的點恰好有三個時，求與拋物線的交點坐標．
(4)連接、，當點是的外心時，直接寫出點的坐標．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
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