資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
24.4 弧長和扇形面積 學案
（一）學習目標：
1.掌握弧長公式，扇形概念及公式。
2.在作圖過程中感受數學結合、轉化、類比的數學方法。
3.體會自主學習帶來的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：觀察圖象，得出弧長和扇形面積公式
學習難點：弧長和扇形面積公式的應用
閱讀課本，識記知識：
1.弧長公式（重點）
（1）圓周長公式：C＝2πR
（2）弧長公式：l（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R）
①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．
③題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示．
④正確區分弧、弧的度數、弧長三個概念，度數相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統一．
2.扇形面積公式（難點）
（1）圓面積公式：S＝πr2
（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．
（3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則
S扇形πR2或S扇形lR（其中l為扇形的弧長）
（4）求陰影面積常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割補法．
（5）求陰影面積的主要思路是將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積．
【例1】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AE的延長線與過點C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD＝36°，連接BC．
（1）求∠B的度數；
（2）若AB＝3，求的長．
【解答】：（1）連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）連接OE，
∵⊙O的直徑AB＝3，
∴OA＝1.5，
∵∠COE＝2∠CAE＝2×36°＝72°，
∴π．
【例2】平面直角坐標系內有點，將它繞原點順時針旋轉至點，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據旋轉的定義得到是以原點為圓心，圓心角為的扇形的弧長，根據弧長公式即可求解．此題考查了旋轉的性質、弧長公式，由題意得到是以點原點為圓心，圓心角為的扇形的弧長，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點，
∴，
由題意可知是以原點為圓心，圓心角為的扇形的弧長，
∴的長度為，
故選：D．
選擇題
1．已知圓錐的母線長為2，底面半徑為1，則該圓錐的側面展開圖的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查圓錐的側面積公式．根據圓錐的側面積公式，求解即可．
【詳解】解：根據題意得：該圓錐的側面展開圖的面積為．
故選：C
2．如圖，在圓形紙板上裁剪兩個扇面．具體操作如下：作的任意一條直徑，以點為圓心、長為半徑作圓，與相交于點、；以點為圓心、長為半徑作圓，與相交于點、；連結、、、，得到兩個扇形，并裁剪下來．若的半徑為，則剩余紙板（圖中陰影部分圖形）的面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查扇形的面積；通過拼補將陰影部分的面積轉化為扇形的面積是解題的關鍵．連接，，將圖中陰影部分面積拼補為扇形與扇形面積之和，進一步利用扇形的面積公式從而求出陰影部分的面積，即可求解．
【詳解】解：連接，，
，的面積與弓形，的面積相等，弓形，的面積與弓形，的面積相等，
圖中陰影部分的面積，
，
、是正三角形，
陰影部分的面積．
故選：B．
3．一弧長為厘米，半徑為厘米，此弧與兩條半徑圍成的扇形面積為___________平方厘米（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了扇形的扇形的面積．熟記扇形的面積公式是解題的關鍵．直接根據扇形的面積公式，依此進行計算．
【詳解】解：由題可得：，
故選：B．
4．如圖，是等腰直角三角形，，，點是斜邊上一點，且，將繞點逆時針旋轉，得到，交于點．其中點的運動路徑為弧，則弧的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了求弧長，等腰直角三角形的性質，勾股定理．如圖所示，過點C作于F，連接，先利用勾股定理得到，則，再求出，即可求出，，再根據弧長公式求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點C作于F，連接，
∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋轉的性質得，
∴弧的長度為，
故選：A．
5．一個扇形的半徑為，面積是，則扇形的圓心角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了扇形的面積公式；設扇形的圓心角為，根據扇形的面積公式列式求出n的值即可．
【詳解】解：設扇形的圓心角為，
由題意得：，
∴，
即扇形的圓心角為，
故選：D．
6．如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是，母線長是，制作50個這樣的煙囪帽至少需要鐵皮（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了圓錐求面積的實際應用，根據圓錐的側面展開是一個扇形，而扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，利用扇形的面積等于圓錐的側面積求出一個煙囪帽的面積，再乘以數量即可求解．解答本題的關鍵在于掌握圓錐與扇形相等量之間的轉化．
【詳解】一個圓錐的側面積為（），
∴50個煙囪需要鐵皮的面積為：．
故選：D．
7．如圖，正方形的邊長為6，以為直徑在正方形內部畫半圓，連接對角線，則陰影部分的面積是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【分析】本題考查了求不規則圖形的面積、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、圓的性質，設與半圓交于點，半圓的圓心為，連接，，證明得到弓形的面積弓形的面積，則，進行計算即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，設與半圓交于點，半圓的圓心為，連接，，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
弓形的面積弓形的面積，
，
故選：A．
8．如圖，在矩形中，已知，矩形在直線l上繞其右下角的頂點B 向右旋轉至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續向右旋轉至圖②位置，…，依次類推，這樣連續旋轉2020次后，頂點A在整個旋轉過程中所經過的路程之和是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了旋轉的性質，規律型：圖形的變化類，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
連接，根據矩形的性質可得，從而在中，利用勾股定理可得，然后利用弧長公式分別求出頂點A前四次旋轉經過的路程，再從中找到規律進行計算，即可解答．
【詳解】解：連接，

∵四邊形是矩形，
，
，
∴第一次旋轉頂點A經過的路程，
第二次旋轉頂點A經過的路程，
第三次旋轉頂點A經過的路程，
第四次旋轉頂點A經過的路程，
…
依次類推，每四次為一個循環，
，
∴連續旋轉2020次后，頂點A在整個旋轉過程中所經過的路程之和，
故選：D．
9．已知圓錐的高與母線夾角，則此圓錐側面展開圖的圓心角度數為（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】本題考查了圓錐的側面展開圖的扇形圓心角度數，設母線長為l，圓錐側面展開圖的圓心角度數為，底面圓半徑為r，先根據含30度角的直角三角形的性質得到，再利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等圓圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到，然后解關于n的方程即可．
【詳解】解：設母線長為l，圓錐側面展開圖的圓心角度數為，底面圓半徑為r，
∵圓錐的高與母線夾角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴此圓錐側面展開圖的圓心角度數為，
故選C．
10．如圖，把一塊含的直角三角板的一個銳角頂點A放在半徑為2的上，邊、分別與交于點、點，則位于三角板內部的弧的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，，根據圓周角定理得，根據弧長公式進行計算即可得．
本題主要考查了圓周角，圓弧長．解決問題的關鍵是熟練掌握圓周角定理，弧長公式．
【詳解】連接，，如圖所示，
∵在中，，
∴，
∵的半徑為2，
∴位于三角板內部的弧的長度為：．
故選：A．
填空題
11．如圖，矩形中，，以為直徑的半圓Ｏ與相切于點E，連接，則陰影部分的面積為 ．（結果保留π）
【答案】
【分析】連接交于點，根據切線的性質可得，可得到四邊形和四邊形為矩形，再證得，可得，從而得到陰影部分的面積，即可求解．
【詳解】解：連接交于點，如圖，
以為直徑的半圓與相切于點，
，
，
四邊形為矩形，
，
四邊形和四邊形為矩形，
，，
在和中，
，
，
，
陰影部分的面積．
故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質，矩形的性質，求不規則圖形面積，全等三角形的性質與判定等等，圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點，據此作出輔助線構造全等三角形求解即可．
12．如圖，把長為，寬為的矩形紙片分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
設圓錐的底面的半徑為，，則，，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到，解方程求出r，然后計算即可．
【詳解】解：設圓錐的底面的半徑為，則，，
根據題意得
，整理，得，
則， 即：
故答案為：．
13．如圖，是各邊長都大于2的三角形，分別以它的頂點為圓心，1為半徑畫弧（弧的端點分別在三角形相鄰兩邊上），則陰影部分的面積之和為 ．
【答案】
【分析】本題考查了扇形的面積，三角形內角和．由題意知，三條弧的半徑相同為1，圓心角的和為，然后代入扇形面積公式計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，三條弧的半徑相同為1，圓心角的和為，
∴陰影部分的面積之和為，
故答案為：．
14．如圖，在中，，，，將繞點O逆時針旋轉得到，點Q恰好落在斜邊上，則線段掃過的面積為 ；則點P經過的路徑長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形，解直角三角形和扇形的面積以及弧長計算等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．先證明是等邊三角形，求得，再運用勾股定理計算的長，運用扇形面積公式和弧長公式計算即可．
【詳解】．∵，，，繞點O逆時針旋轉得到，
∴，，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
線段掃過的面積為；
點P經過的路徑長為，
故答案為：，．
15．如圖，若圓錐的底面圓半徑為，圓錐的母線長為，且，則該圓錐側面展開的扇形的圓心角大小是 ．

【答案】/216度
【分析】本題考查圓錐側面積與扇形面積公式，將圓錐側面積通過兩種不同的方式表達出來，再結合即可求解．
【詳解】解：由題知，
整理，可得，
，
，
解得，
圓錐側面展開的扇形的圓心角大小是，
故答案為：．
三、解答題
16．在平面直角坐標系的位置如下圖，的頂點坐標分別為．

(1)畫出繞原點O順時針旋轉后的；
(2)并求出點A繞原點O旋轉到點的過程中，線段所掃過圖形的面積．（保留）
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉，勾股定理，求扇形面積等等：
（1）根據所給的旋轉方式結合網格的特點找到A、B、C對應點的位置，再順次連接即可；
（2）先利用勾股定理求出，由旋轉的性質可得，根據線段所掃過圖形的面積即為扇形的面積進行求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：∵，
∴，
由旋轉的性質可得，
∴點A繞原點O旋轉到點的過程中，線段所掃過圖形的面積．
17．如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中建立直角坐標系，的頂點均在格點上，點O為原點，點，．
(1)將繞點順時針旋轉90°后得到，請在圖中作出，并直接寫出點的坐標；
(2)求在旋轉過程中，線段掃過的圖形的面積．（結果保留）
【答案】(1)見解析，
(2)
【分析】本題考查了畫旋轉圖形，勾股定理，扇形的面積計算；
（1）根據旋轉的性質找出點A、B的對應點，順次連接即可得到，然后根據所作圖形可得點的坐標；
（2）先利用勾股定理求出，再根據線段掃過的圖形為扇形結合扇形的面積公式計算即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
由圖得：點的坐標為；
（2）∵，
∴線段掃過的圖形的面積為：．
18．在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為，，．
(1)畫出關于x軸對稱的；
(2)畫出關于原點O順時針旋轉后的；
(3)求在（2）變化中點C到經過的路徑長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)點C到經過的路徑長為
【分析】（1）根據軸對稱的性質找出點A、B、C的對應點的位置，順次連接即可；
（2）根據旋轉的性質找出點A、B、C的對應點的位置，順次連接即可；
（3）利用弧長公式計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）如圖，即為所求．
（3）∵，
∴點C到經過的路徑長為．
【點睛】本題考查了作圖—軸對稱和旋轉，勾股定理，弧長公式，熟練掌握軸對稱和旋轉的性質是解題的關鍵．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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24.4 弧長和扇形面積 學案
（一）學習目標：
1.掌握弧長公式，扇形概念及公式。
2.在作圖過程中感受數學結合、轉化、類比的數學方法。
3.體會自主學習帶來的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：觀察圖象，得出弧長和扇形面積公式
學習難點：弧長和扇形面積公式的應用
閱讀課本，識記知識：
1.弧長公式（重點）
（1）圓周長公式：C＝2πR
（2）弧長公式：l（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R）
①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．
③題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示．
④正確區分弧、弧的度數、弧長三個概念，度數相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統一．
2.扇形面積公式（難點）
（1）圓面積公式：S＝πr2
（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．
（3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則
S扇形πR2或S扇形lR（其中l為扇形的弧長）
（4）求陰影面積常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割補法．
（5）求陰影面積的主要思路是將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積．
【例1】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AE的延長線與過點C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD＝36°，連接BC．
（1）求∠B的度數；
（2）若AB＝3，求的長．
【解答】：（1）連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）連接OE，
∵⊙O的直徑AB＝3，
∴OA＝1.5，
∵∠COE＝2∠CAE＝2×36°＝72°，
∴π．
【例2】平面直角坐標系內有點，將它繞原點順時針旋轉至點，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據旋轉的定義得到是以原點為圓心，圓心角為的扇形的弧長，根據弧長公式即可求解．此題考查了旋轉的性質、弧長公式，由題意得到是以點原點為圓心，圓心角為的扇形的弧長，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點，
∴，
由題意可知是以原點為圓心，圓心角為的扇形的弧長，
∴的長度為，
故選：D．
選擇題
1．已知圓錐的母線長為2，底面半徑為1，則該圓錐的側面展開圖的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在圓形紙板上裁剪兩個扇面．具體操作如下：作的任意一條直徑，以點為圓心、長為半徑作圓，與相交于點、；以點為圓心、長為半徑作圓，與相交于點、；連結、、、，得到兩個扇形，并裁剪下來．若的半徑為，則剩余紙板（圖中陰影部分圖形）的面積為（　　）
A． B． C． D．
3．一弧長為厘米，半徑為厘米，此弧與兩條半徑圍成的扇形面積為___________平方厘米（　　）
A． B． C． D．
4．如圖，是等腰直角三角形，，，點是斜邊上一點，且，將繞點逆時針旋轉，得到，交于點．其中點的運動路徑為弧，則弧的長度為（ ）
A． B． C． D．
5．一個扇形的半徑為，面積是，則扇形的圓心角為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是，母線長是，制作50個這樣的煙囪帽至少需要鐵皮（ ）．
A． B． C． D．
7．如圖，正方形的邊長為6，以為直徑在正方形內部畫半圓，連接對角線，則陰影部分的面積是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
8．如圖，在矩形中，已知，矩形在直線l上繞其右下角的頂點B 向右旋轉至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續向右旋轉至圖②位置，…，依次類推，這樣連續旋轉2020次后，頂點A在整個旋轉過程中所經過的路程之和是（ ）

A． B． C． D．
9．已知圓錐的高與母線夾角，則此圓錐側面展開圖的圓心角度數為（　　）
A． B． C． D．3
10．如圖，把一塊含的直角三角板的一個銳角頂點A放在半徑為2的上，邊、分別與交于點、點，則位于三角板內部的弧的長度為（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．如圖，矩形中，，以為直徑的半圓Ｏ與相切于點E，連接，則陰影部分的面積為 ．（結果保留π）
12．如圖，把長為，寬為的矩形紙片分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則 ．
13．如圖，是各邊長都大于2的三角形，分別以它的頂點為圓心，1為半徑畫弧（弧的端點分別在三角形相鄰兩邊上），則陰影部分的面積之和為 ．
14．如圖，在中，，，，將繞點O逆時針旋轉得到，點Q恰好落在斜邊上，則線段掃過的面積為 ；則點P經過的路徑長為 ．
15．如圖，若圓錐的底面圓半徑為，圓錐的母線長為，且，則該圓錐側面展開的扇形的圓心角大小是 ．

三、解答題
16．在平面直角坐標系的位置如下圖，的頂點坐標分別為．

(1)畫出繞原點O順時針旋轉后的；
(2)并求出點A繞原點O旋轉到點的過程中，線段所掃過圖形的面積．（保留）
17．如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中建立直角坐標系，的頂點均在格點上，點O為原點，點，．
(1)將繞點順時針旋轉90°后得到，請在圖中作出，并直接寫出點的坐標；
(2)求在旋轉過程中，線段掃過的圖形的面積．（結果保留）
18．在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為，，．
(1)畫出關于x軸對稱的；
(2)畫出關于原點O順時針旋轉后的；
(3)求在（2）變化中點C到經過的路徑長．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
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