資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
24.2.2 直線和圓的位置關系 學案
（一）學習目標：
1.使學生掌握切線長的概念，切線長定理，三角形內切圓的概念
2.學生經歷探究切線長定理的過程，培養學生觀察、概括的邏輯思維能力
3.學生在探索切線長定理的過程中，學會運用數形結合的思想解決
（二）學習重難點：
學習重點：切線長的概念及切線長定理
學習難點：切線長定理的探究及運用
閱讀課本，識記知識：
1．直線和圓的三種位置關系：
　　(1) 相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．
　　(2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．
　　(3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關系的判定和性質．
　　直線與圓的位置關系能否像點與圓的位置關系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？
　　由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉化為直線和點(圓心)的位置關系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．
　　　　　　　　
　　如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么
　　
知識要點：
這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關系所具有的性質；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關系的判定．
【例1】 如圖，為的直徑，是的切線，切點為C，連接，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了切線的性質，圓的性質等知識，連接，利用切線的性質得，再利用半徑相等得，進而得出答案．
【詳解】解：連接，
∵是的切線，切點為C，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
故選：A．
【例2】 如圖，一個等邊三角形的邊長與它的一邊相外切的圓的周長相等，當這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉，直至回到原出發位置時，則這個圓共轉了（　?。?br/>A．圈 B．圈 C．圈 D．圈
【答案】A
【分析】本題考查切線的性質，根據直線與圓的位置關系，求出圓心轉動過的路程即可．
【詳解】解：∵等邊三角形的邊長與它的一邊相外切的圓的周長相等，
∴圓在三角形的邊上轉動了3圈，
∵在每個頂點處，轉動的角度是，
∴在三個頂點處轉動，即在三個頂點共轉1圈．
則這個圓共轉了4圈．
故選A．
選擇題
1．如圖，是的弦，與相切于點A．連接，，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查切線的性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
由“與相切于點A”得出，根據等邊對等角得出．求出及，進而即可解決問題．
【詳解】解：與相切于點A，
，
，
，
．
∵，
，
．
故選：C．
2．如圖，P為外一點，，分別切于A，B兩點，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查切線性質、四邊形的內角和定理，根據切線性質得到，再根據四邊形的內角和為即可求解．
【詳解】解：∵P為外一點，，分別切于A，B兩點，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
3．如圖，點A，B，C在上，且，，是切線，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了圓周角定理和切線的性質；
根據圓周角定理和切線的性質求出，，再根據四邊形的內角和是計算即可．
【詳解】解：連接，，
∵，
∴，
∵，是切線，
∴，
∴，
故選：D．
4．如圖，為外一點，分別切于，切于點，分別交于點，若，則的周長（　?。?br/>A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本題考查了切線長定理，根據切線長定理可得，，然后利用三角形周長的定義和等線段代換得到的周長，熟練掌握切線長定理是解此題的關鍵．
【詳解】解：分別切于，切于點，
，，
的周長
故選：B．
5．如圖，、、分別與相切于點A，B，E，與、分別相交于C，D兩點，若，則的度數為（　　）
A．50° B．62° C．66° D．70°
【答案】C
【分析】由、、分別切于A、B、E，交、于C、D兩點，根據切線長定理即可得：，，然后由等邊對等角與三角形外角的性質，可求得，，繼而求得答案．
【詳解】解：∵、、分別切于A、B、E，交、于C、D兩點，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
即，，
∵，
∴．
故選：C．
【點睛】此題考查了切線長定理、等腰三角形的性質、三角形外角的性質以及三角形內角和定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．
6．已知的直徑為，若直線l與只有一個交點，那么圓心O到這條直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系．熟練掌握直線與圓只有一個交點，則直線與圓相切，圓心到這條直線的距離為半徑長是解題的關鍵．
根據直線與圓只有一個交點，則直線與圓相切，圓心到這條直線的距離為半徑長求解作答即可．
【詳解】解：由直線與圓的位置關系，可知直線l與相切，
∴圓心O到這條直線的距離為，
故選：B．
7．如圖，的圓心M在一次函數位于第一象限中的圖象上，與y軸交于C、D兩點，若與x軸相切，且，則半徑是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
【答案】C
【分析】如圖，設與軸相切于，連接，過點作于，連接，設，根據切線的性質及垂徑定理可得，，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案．
【詳解】如圖，設與軸相切于，連接，過點作于，連接，
∵的圓心M在一次函數位于第一象限中的圖象上，
∴設，
∵與軸相切于，，
∴軸，，，
∵，，
∴，
在中，，即，
解得：，，
∴或，
∴半徑是或6，
故選：C．
【點睛】本題考查一次函數圖形上點的坐標特征、切線的性質、垂徑定理及勾股定理，熟練掌握垂徑定理，正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵．
8．如圖，在中，與相切于點A，連接交于點C，點D為上的點，連接．若，則為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．先根據切線的性質得到，再利用互余計算出，接著根據圓周角定理得到，然后根據平行線的性質得到的度數．
【詳解】解：∵與相切于點A，
，
，
，
，
，
，
．
故選：B．
9．的半徑是6，點O到直線a的距離為5，則直線a與的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．內含
【答案】C
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，圓的半徑與圓心到直線的距離的大小關系決定了其位置關系，設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，當時，直線和圓相交；當時，直線和圓相切；當時，直線和圓相離，熟練掌握其判斷方法是解題的關鍵．
【詳解】解：∵的半徑是6，點O到直線a的距離為5，，
∴直線a與的位置關系為相交．
故選：C．
10．如圖，在平面直角坐標系中，圓心為的動圓經過點且始終與軸相切，切點為，與軸交于點C，連接、、．則有個結論∶；； ， 其中正確的個數是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】D
【分析】此題考查了圓周角定理，兩點間的距離和勾股定理，連接，，延長交于點，連接，則，根據兩點間的距離得；由軸得即可判斷；由圓周角定理即可判斷，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用．
【詳解】連接，，
則有，
∴，，
∴，整理得：，故正確；
∵，
∴軸，
∴，
∴，故正確；
延長交于點，連接，
∵，
∴，
∴，
∵為直徑，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，故正確；
綜上正確，共個，
故選：．
填空題
11．如圖，切于點A，B，點C是上一點，且，則 .
【答案】/度
【分析】本題主要考查切線定理，圓周角定理；連接、，由題意易得，則有，進而根據圓周角定理可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接、，
、都為的切線，
，
，
，
；
故答案為：．
12．如圖，，是的兩條切線，切點為，，若，，則的半徑為 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線的性質，根據切線的性質和矩形的判定和性質定理即可得到結論．
【詳解】解：，是的兩條切線，切點為，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
的半徑為3，
故答案為：3．
13．已知是的直徑，點P是延長線上的一個動點，過P作的切線，切點為C，的平分線交于點D，則等于 ．
【答案】
【分析】本題主要考查切線的性質、角平分線的性質、外角的性質，連接，根據題意，可知，，可推出，即．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，平分，
∴，
∵為的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
故答案為：．
14．如圖，在中，，，，則的內切圓半徑 ．
【答案】1
【分析】本題考查了切線長定理，圓的切線的性質，正方形的判定與性質，熟練掌握切線長定理是解答本題的關鍵，首先利用切線的性質證明四邊形是正方形，得到，再利用切線長定理得到，，最后由列方程即可求解．
【詳解】設的內切圓與、、分別相切于點D、E、F，
，，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得 ．
故答案為：1．
15．如圖，四邊形內接于，是的直徑，過點C作的切線交的延長線于點P，若，則 ．
【答案】115
【分析】本題考查了切線的性質，圓內接四邊形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．連接，根據切線的性質和圓內接四邊形的性質即可得到答案．
【詳解】解：連接，
是的切線，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
三、解答題
16．如圖，在中，，以為直徑作交于點，過點作，垂足為，且交的延長線于點．
(1)求證：是的切線．
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查的是切線的判定和性質，等腰三角形的性質，的直角三角形的性質，掌握本題的輔助線作法是解題的關鍵．
（1）作輔助線，根據等腰三角形三線合一得，根據三角形的中位線可得，所以得，從而得結論；
（2）根據等腰三角形三線合一的性質證得，由的直角三角形的性質即可求得．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線．
（2），，
∴，
，
∴．
17．17．如圖，在中，，點為邊上一點，以點為圓心，長為半徑的圓與邊相交于點，連接，且．
(1)求證：為的切線；
(2)若，，求半徑的長．
【答案】(1)見解析
(2)半徑的長為3
【分析】此題考查的是切線的判定與性質、直角三角形的性質．
（1）連接，利用圓周角定理可以得到，然后根據切線的判定方法可得結論；
（2）設半徑為，在直角三角形中，根據勾股定理列方程即可求出半徑．
【詳解】（1）證明：連接，如圖，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，即，
是半徑，
是的切線；
（2）解：，
，
設半徑為，則，
在直角三角形中，
，即，
．
半徑的長為3．
18.如圖，四邊形是圓的內接四邊形，將繞點旋轉至
(1)證明∶點，，三點共線；
(2)若，圓的半徑為，求弦的長；
(3)如題圖，若，試探究弦，，之間的數量關系，并證明．
【答案】(1)證明，如下
(2)
(3)，見解析
【分析】（1）根據圓內接四邊形的性質，則，再根據旋轉的性質，則，根據等量代換，即可證明點，，三點共線；
（2）根據旋轉的性質，則，根據圓內接四邊形的性質，所對的圓周角為，則所對的圓周角為，根據勾股定理，即可求出；
（3）連接，作，的 垂直平分線并延長交于點，過點作交于點，根據圓內接四邊形的性質，點是圓心；旋轉的性質，則，，根據三角形的內角和的性質，平角的性質，點，，三點共線，求得是直徑；根據，則，根據等腰三角形的性質，勾股定理，垂徑定理，求出；再根據勾股定理，則，在中，，，即可求出弦，，之間的數量關系．
【詳解】（1）∵四邊形是圓的內接四邊形，
∴，
∵繞點旋轉得到，
∴，
∴，
∴點，，三點共線．
（2）∵繞點旋轉得到，
∴，
∵四邊形是圓的內接四邊形，
∴所對的圓周角為，
∴所對的圓周角為，即，
∵圓的半徑為，
∴，
∴，
因為，
所以．
（3）
證明如下：
連接，作，的 垂直平分線并延長交于點，過點作交于點，
∵四邊形是圓的內接四邊形，
∴點是圓心，
∵繞點旋轉得到，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵點，，三點共線，
∴是直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
解得：
∴；
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查圓與幾何的綜合，解題的關鍵是掌握圓的基本性質，垂徑定理，圓內接四邊形的性質和定理，勾股定理，等腰三角形的性質，旋轉的性質．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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24.2.2 直線和圓的位置關系 學案
（一）學習目標：
1.使學生掌握切線長的概念，切線長定理，三角形內切圓的概念
2.學生經歷探究切線長定理的過程，培養學生觀察、概括的邏輯思維能力
3.學生在探索切線長定理的過程中，學會運用數形結合的思想解決
（二）學習重難點：
學習重點：切線長的概念及切線長定理
學習難點：切線長定理的探究及運用
閱讀課本，識記知識：
1．直線和圓的三種位置關系：
　　(1) 相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．
　　(2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．
　　(3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關系的判定和性質．
　　直線與圓的位置關系能否像點與圓的位置關系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？
　　由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉化為直線和點(圓心)的位置關系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．
　　　　　　　　
　　如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么
　　
知識要點：
這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關系所具有的性質；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關系的判定．
【例1】 如圖，為的直徑，是的切線，切點為C，連接，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了切線的性質，圓的性質等知識，連接，利用切線的性質得，再利用半徑相等得，進而得出答案．
【詳解】解：連接，
∵是的切線，切點為C，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
故選：A．
【例2】 如圖，一個等邊三角形的邊長與它的一邊相外切的圓的周長相等，當這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉，直至回到原出發位置時，則這個圓共轉了（　?。?br/>A．圈 B．圈 C．圈 D．圈
【答案】A
【分析】本題考查切線的性質，根據直線與圓的位置關系，求出圓心轉動過的路程即可．
【詳解】解：∵等邊三角形的邊長與它的一邊相外切的圓的周長相等，
∴圓在三角形的邊上轉動了3圈，
∵在每個頂點處，轉動的角度是，
∴在三個頂點處轉動，即在三個頂點共轉1圈．
則這個圓共轉了4圈．
故選A．
選擇題
1．如圖，是的弦，與相切于點A．連接，，若，則的度數是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．如圖，P為外一點，，分別切于A，B兩點，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，點A，B，C在上，且，，是切線，則為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，為外一點，分別切于，切于點，分別交于點，若，則的周長（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．如圖，、、分別與相切于點A，B，E，與、分別相交于C，D兩點，若，則的度數為（　　）
A．50° B．62° C．66° D．70°
6．已知的直徑為，若直線l與只有一個交點，那么圓心O到這條直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，的圓心M在一次函數位于第一象限中的圖象上，與y軸交于C、D兩點，若與x軸相切，且，則半徑是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
8．如圖，在中，與相切于點A，連接交于點C，點D為上的點，連接．若，則為（　?。?br/>A． B． C． D．
9．的半徑是6，點O到直線a的距離為5，則直線a與的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．內含
10．如圖，在平面直角坐標系中，圓心為的動圓經過點且始終與軸相切，切點為，與軸交于點C，連接、、．則有個結論∶；； ， 其中正確的個數是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
填空題
11．如圖，切于點A，B，點C是上一點，且，則 .
12．如圖，，是的兩條切線，切點為，，若，，則的半徑為 ．
13．已知是的直徑，點P是延長線上的一個動點，過P作的切線，切點為C，的平分線交于點D，則等于 ．
14．如圖，在中，，，，則的內切圓半徑 ．
15．如圖，四邊形內接于，是的直徑，過點C作的切線交的延長線于點P，若，則 ．
三、解答題
16．如圖，在中，，以為直徑作交于點，過點作，垂足為，且交的延長線于點．
(1)求證：是的切線．
(2)若，，求的長．
17．如圖，在中，，點為邊上一點，以點為圓心，長為半徑的圓與邊相交于點，連接，且．
(1)求證：為的切線；
(2)若，，求半徑的長．
18.如圖，四邊形是圓的內接四邊形，將繞點旋轉至
(1)證明∶點，，三點共線；
(2)若，圓的半徑為，求弦的長；
(3)如題圖，若，試探究弦，，之間的數量關系，并證明．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
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