資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
25.3 用頻率估計概率 學案
（一）學習目標：
1.理解每次試驗可能的結果不是有限個，或各種可能結果發生的可能性不相等時，可以利用統計頻率的方法估計概率．
2．會設計模擬試驗，能應用模擬試驗求概率.
3.經歷利用頻率估計概率的學習過程，學生明白在同樣條件下，大量重復試驗時，根據一個隨機事件發生的頻率所逐漸穩定到的常數，可以估計這個事件發生的概率．
4.會用頻率估計概率解決實際問題.
（二）學習重難點：
學習重點：利用頻率估計概率的理解和應用
學習難點：對利用頻率估計概率的理解
閱讀課本，識記知識：
(1)在我們的日常生活中存在著大量隨機事件我們已經學習了用列表法和畫樹狀圖法求某些隨機事件發生的概率，但是當試驗的所有可能結果不是有限個，或者各種可能結果發生的可能性不相等時，可通過用頻率估計某些隨機事件發生的概率的大小.
(2)隨機事件的概率雖然是隨機的、無法預測的，但隨著大量重復試驗次數的增加，隱含的規律逐漸顯現，事件發生的頻率逐漸穩定到某一個數值.正因為不確定現象發生的頻率有這種趨于穩定的特點，我們可以用平穩時的頻率估計這一隨機事件在每次試驗時發生的機會的大小.
(3)某一隨機事件發生的頻率無限地接近于理論概率.
一般地，在大量重復試驗下，隨機事件A發生的頻率。(這里n是總試驗次數，它必須相當大，m是在n次試驗中事件A發生的次數)會穩定到某個常數p.于是，我們用p這個常數表示事件A發生的概率，即P(A)=p
運用隨機事件出現的頻率估計隨機事件發生的概率大小的幾點注意用頻率估計事件發生的概率時，需要注意以下幾點：
(1)頻率和概率是兩個不同的概念，兩者既有區別又有聯系.事件的概率是一個確定的常數，而頻率是不確定的.當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定；當試驗次數增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩定在概率附近.
(2)通過試驗用頻率估計概率的大小，方法多種多樣，但無論選擇哪種方法，都必須保證試驗應在相同的條件下進行，否則結果會受到影響.在相同條件下，試驗的次數越多，就越有可能得到較準確的估計值，但每個人所得的值并不一定相同.
(3)頻率和概率在試驗中可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經常的.例如：隨機拋擲一枚1元硬幣時，理論上“落地后正面朝上”發生的概率為，可拋擲1000次硬幣，并不能保證落地后恰好有500次正面朝上，但經大量的重復試驗發現：“落地后正面朝上”發生的頻率就在一附近波動，
(4)事件的概率需要用穩定時的頻率來估計.它需要做大量的試驗才能較準確.需要注意的是，1次試驗的結果是隨機的、無法預測的，不受概率的影響。
(5)雖然用試驗的方法可以幫助我們估計隨機事件發生的機會的大小，但有時恰好沒有相關實物，或者用實物進行試驗困難很大時，我們就需要用替代物進行模擬試驗.
注意進行模擬試驗時應注意：①模擬試驗的多樣性，即同一試驗可以有多種多樣的替代物；②模擬試驗必須在相同的條件下進行。
【例1】 一個密閉不透明的盒子里有若干個紅球，在不允許將球倒出來的情況下，為估計紅球的個數，小強向其中放入20個白球，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復，共摸球500次，其中50次摸到白球，估計盒中大約有紅球（ ）
A．150 B．180 C．200 D．220
【答案】B
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，可根據“白球數量÷紅白球總數=白球所占比例”來列等量關系式，其中“紅白球總數=紅球個數+白球個數”，“白球所占比例=隨機摸到白球的次數÷總共摸球的次數”
【詳解】設盒子里有紅球x個，
解得：
經檢驗得是方程的解
答：盒中大約有紅球180個
故選：B
【例2】 在如圖所示的圖形中隨機撒一把豆子，計算落在A，B，C三個區域中的豆子數，若落在這三個區域中的豆子數依次為m，n，，則估計圖中a的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本題考查了幾何概率及頻率估計概率，根據落在三個區域的豆子數比等于各部分面積比，用各個區域面積比估計概率計算即可．
【詳解】解：區域面積為，區域面積為，
區域面積為，
又落在這三個區域中的豆子數依次為m，n，，
，即，
，
解得：（不合題意，舍去），
故選：B．
選擇題
1．小明和同學做“拋擲質地均勻的骰子（標有數字1，2，3，4，5，6）試驗”獲得的數據如下表：
拋擲次數 100 200 300 400 500
數字6朝上的頻數 20 35 49 60 85
若拋擲骰子的次數為1200，則“數字6朝上”的頻數最接近（ ）
A．180 B．200 C．210 D．240
【答案】B
【分析】本題考查了由頻率估計概率，在相同條件下，當試驗次數增加時，拋擲骰子得到“數字朝上”的頻率會穩定在其概率附近，據此即可求解．
【詳解】解：由頻率的穩定性可知，若拋擲骰子的次數為，則“數字朝上”的頻數最接近：
故選：B
2．在一個不透明的口袋中裝有3個紅球，5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發現，摸到白球的頻率穩定在0.25附近，則口袋中黑球的個數可能是（ ）
A．4 B．12 C．15 D．17
【答案】B
【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，根據大量反復試驗下頻率穩定值即概率得出是解題關鍵．由摸到白球的頻率穩定在25%附近得出口袋中得到白色球的概率，進而求出黑球個數即可．
【詳解】解：設黑球個數為x個，
∵摸到白色球的頻率穩定在0.25附近，
∴口袋中得到白色球的概率為0.25，
∴，
解得：，
經檢驗：是方程的解，
故黑球的個數為12個．
故選：B．
3．在一個不透明的布袋中裝有 10個黃、 白兩種顏色的球， 除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在0.3左右，則布袋中黃球可能有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．7個
【答案】B
【分析】本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關鍵是利用黃球的概率公式列方程求解得到黃球的個數．在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從比例關系入手，設出未知數列出方程求解．
【詳解】解：設袋中有黃球x個，
由題意得：，
解得：，
故選B．
4．在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和5個黃球，它們除顏色外沒有任何區別，搖勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球實驗發現，摸到黃球的頻率是，則估計口袋中的紅球大約有（ ）
A．10個 B．15個 C．20個 D．25個
【答案】C
【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，根據大量反復試驗下頻率的穩定值即為概率值得到摸到黃球的概率為，再根據概率計算公式求出球的總數即可得到答案．
【詳解】解：∵通過大量重復摸球實驗發現，摸到黃球的頻率是，
∴摸到黃球的概率為，
∵黃球有5個，
∴一共有個球，
∴估計口袋中的紅球大約有個，
故選C．
5．從一定高度拋一個瓶蓋1000次，落地后蓋面朝下的有550次，則下列說法錯誤的（　　）
A．蓋面朝下的頻數為550 B．該試驗總次數是1000
C．蓋面朝下的概率為 D．蓋面朝上的概率為
【答案】D
【分析】本題考查了利用頻率估計概率的知識，求頻率和頻數，根據題意可知蓋面朝下的頻數為550，試驗總次數為1000，根據頻率頻數總數求出蓋面朝上和朝下的頻率，再根據大量反復試驗下頻率穩定值即概率，求出蓋面朝上和朝下的概率即可得到答案．
【詳解】解：A、蓋面朝下的頻數是550，原說法正確，不符合題意；
B、該試驗總次數是1000，原說法正確，不符合題意；
C、蓋面朝下的頻率是，則蓋面朝下概率約為，原說法正確，不符合題意；
D、1000次試驗的蓋面朝上的頻率為，則蓋面朝上概率約為，原說法錯誤，符合題意；
故選：D．
6．在一個不透明的口袋中有紅球、白球共10個，它們除顏色外，其余完全相同．通過大量的摸球試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定在20%附近，估算口袋中紅球的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題主要考查根據頻率估算隨機事件的概率，根據大量實驗，隨機事件發生的頻率穩定在某個值附近，這個穩定值可以看做是隨機事件的發生的概率，由此即可求解，理解并掌握頻率估算概率的方法是解題的關鍵．
【詳解】解：根據題意，摸出紅球的頻率穩定在附近，
∴摸出紅球的概率是，
∴，
∴口袋中紅球的個數是個，
故選：．
7．口袋中有白球和紅球共10個，這些球除顏色外其它都相同．小明將口袋中的球攪勻后隨機從中摸出一個球，記下顏色后放回口袋中，小明繼續重復這一過程，共摸了100次，結果有40次是紅球，請你估計下一次操作拱到紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，大量反復試驗下，頻率的穩定值即為概率值，據此可得答案．
【詳解】解：由題意得，在反復試驗下，摸到紅球的頻率為，
∴摸到紅球的概率為，
∴估計下一次操作拱到紅球的概率是，
故選：B．
8．隨機拋擲一枚瓶蓋10000次，經過統計得到“正面朝上”的次數為4200次，則可以由此估計拋擲這枚瓶蓋出現“反面朝上”的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了利用頻率估計概率．根據隨機拋擲一枚瓶蓋次，“正面朝上”的次數為次可得“反面朝上”的次數，即可得．
【詳解】解：∵隨機拋擲一枚瓶蓋次，“正面朝上”的次數為次，
∴“反面朝上”的次數為（次），
∴這枚瓶蓋出現“反面朝上”的概率為：，
故選：C．
9．在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和6個黃球，它們只有顏色不同，搖勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球試驗發現，摸到黃球的頻率穩定在0.6，則估計口袋中大約有紅球（ ）
A．10個 B．8個 C．4個 D．2個
【答案】C
【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率，已知概率求數量．設口袋中紅球有x個，用黃球的個數除以球的總個數等于摸到黃球的頻率，據此列出關于x的方程，解之可得答案．
【詳解】解：設口袋中紅球有x個，
由題意得：，
解得，
經檢驗，是所列分式方程的解，
因此口袋中大約有紅球4個，
故選C．
10．一個口袋中有紅球、白球共10個，這些球除顏色外都相同．將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了100次球，發現有40次摸到白球．請你估計這個口袋中有（ ）個紅球．
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，根據大量反復試驗下頻率的穩定值即為概率值求出摸到白球的概率為，由此根據概率計算公式求出白球的數量，進而求出紅球的個數即可．
【詳解】解：由題意得，摸到白球的頻率為，即摸到白球的概率為，
∴口袋中有白球個，
∴估計這個口袋中有個紅球，
故選C．
填空題
11．十八世紀法國的博物學家C·布豐做過一個有趣的投針試驗．如圖，在一個平面上畫一組相距為的平行線，用一根長度為的針任意投擲在這個平面上，針與直線相交的概率為，可以通過這一試驗來估計的近似值．某數學興趣小組利用計算機模擬布豐投針試驗，取，得到試驗數據如下表：
試驗次數 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
相交頻數 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590
相交頻率
可以估計出針與直線相交的概率為 （精確到），由此估計的近似值為 （精確到）．
【答案】
【分析】本題主要考查利用頻率估計概率及近似數的計算，理解題意是解題關鍵．根據頻率估計概率即可；然后將其代入公式計算即可．
【詳解】解：根據試驗數據得：當試驗次數逐漸增大時，相交頻率接近于0.318，
相交的概率為0.318；
，
，
，
解得：，
故答案為：0.318；3.14
12．在“拋擲正六面體”的試驗中，正六面體的六個面分別標有數字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果試驗的次數增多，數字“1”朝上的頻率逐漸接近的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了利用頻率估計概率的知識，實驗次數越多，出現某個數的變化趨勢越接近于它所占總數的概率．根據概率公式直接求解即可．
【詳解】解：如果試驗的次數增多，出現數字“1”的頻率的變化趨勢是接近．
故答案為：．
13．某農科所為了深入踐行“綠水青山就是金山銀山”的理念，大力開展對植物生長的研究，該農科所在相同條件下做某植物種子發芽率的試驗，得到的結果如下表所示：
種子個數 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 …
發芽種子個數 94 188 281 349 435 531 625 719 812 902 …
發芽種子頻率（結果保留兩位小數） 0.94 0.94 0.94 0.87 0.87 0.89 0.89 0.90 0.90 0.90 …
根據頻率的穩定性，估計這種植物種子不發芽的有 顆．
【答案】
【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，熟記大量反復試驗下頻率穩定值即概率．由表格可知發芽種子頻率的穩定值為，所以發芽種子概率，不發芽種子概率，即可求解．
【詳解】解：由題可知：發芽種子概率，
所以不發芽種子概率，
故這種植物種子不發芽的有顆．
故答案為：．
14．二維碼具有信息容量大，容錯能力強，譯碼可靠性高，成本低，易制作等特性，如今已被大量應用于各大行業．如圖是一個邊長為的正方形二維碼，在正方形二維碼區域內隨機擲點，通過大量重復試驗，發現點落在黑色部分的頻率穩定在左右，由此可以估計該正方形二維碼黑色部分的總面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了由頻率估計概率及幾何概率，根據黑色部分面積與總面積的比等于即可求得黑色部分面積．
【詳解】解：由題意得：二維碼黑色部分的總面積為
故答案為：．
15．某批籃球的質量檢驗結果如下：
抽取的籃球數 100 200 400 600 800 1000 1200
優等品的頻數 93 190 390 564 746 931 1118
優等品的頻率
從這批籃球中，任意抽取一個籃球是優等品的概率的估計值約是 ．（精確到）
【答案】
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，首先通過實驗得到事件的頻率，然后用頻率估計概率即可解決問題．
由表中數據可判斷頻率在左右擺動，于是利于頻率估計概率可判斷任意抽取一只籃球是優等品的概率為．
【詳解】解：從這批籃球中，任意抽取一只籃球是優等品的概率的估計值是．
故答案為．
三、解答題
16．某水果公司新進了千克柑橘，銷售人員首先從所有的柑橘中隨機地抽取若干柑橘，進行了“柑橘損壞率”統計，并把獲得的數據記錄在下表中：
柑橘總質量（/千克） 損壞柑橘質量（/千克） 柑橘損壞的頻率（）
(1)寫出______ ______ ______精確到）.
(2)估計這批柑橘的損壞概率為______（精確到）.
(3)該水果公司以元每千克的成本進的這批柑橘，公司希望這批柑橘能夠獲得利潤元，那么在出售柑橘（已去掉損壞的柑橘）時，求出每千克大約定價為多少元時比較合適（精確到）.
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)元
【分析】本題考查了用頻率估計概率的知識以及一元一次方程的應用，用到的知識點為：頻率所求情況數與總情況數之比．得到售價的等量關系是解決問題的關鍵．
（）利用頻數計算方法去掉頻數即可；
（）大量重復試驗中頻率穩定值即為概率；
（）設每千克大約定價為元，根據“銷售額總成本利潤”列出關于的方程，解之即可．
【詳解】（1）解：，
，
，
故答案為：，，；
（2）解：柑橘完好的概率約為，
故答案為：；
（3）解：設每千克大約定價為元，
根據題意得，
解得，
答：在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，每千克大約定價為元比較合適．
17．小南發現操場中有一個不規則的封閉圖形（如圖），為了計算它的面積，他在封閉圖形內畫了一個半徑為的圓，在不遠處向封閉圖形內鄭石子，若石子落在封閉圖形外部，則重鄭．記錄結果如下：
石子落在圓內（含圓上）的次數 14 43 93 150
石子落在陰影部分的次數 19 85 186 300
根據以上數據，小南得到了封閉圖形的面積．
請根據以上信息，回答下列問題：
(1)估計石子落在陰影部分的概率___________；
(2)估計封閉圖形的面積，并寫出推理過程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：頻率＝所求情況數與總情況數之比．
（1）大量試驗時，頻率可估計概率；
（2）利用概率，求出圓的面積比總面積的值，計算出封閉圖形面積．
【詳解】（1）解：觀察表格得：
隨著投擲次數的增大，估計石子落在陰影部分的概率為；
（2）解：設封閉圖形的面積為a，根據題意得：，
解得：，
則封閉圖形的面積為．
18．在一個不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個，它們除顏色外其余都相同．某學習小組做摸球實驗，將球摚勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，下表是活動進行中的一組統計數據：
摸球的次數 500 1000 1500 2000 2500 3000
摸到白球的頻率 0.748 0.751 0.754 0.747 0.750 0.749
(1)當摸球次數很大時，摸到白球的頻率將會接近_______．（精確到）
(2)試估算口袋中白球有_____個．
(3)現有另一個不透明的口袋中裝有一紅一白兩個球，它們除顏色外其余都相同．一學生從兩個口袋中各摸出一個球，請利用畫樹狀圖或列表的方法計算這兩個球顏色相同的概率．
【答案】(1)
(2)3
(3)，理由見解析
【分析】（1）根據統計數據，當很大時，摸到白球的頻率接近．
（2）根據利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為，然后利用概率公式計算白球的個數．
（3）先利用畫樹狀圖法展示所有8種等可能的結果數，再找出兩個球顏色相同所占結果數，然后根據概率公式求解．
本題考查了如何利用頻率估計概率，列表法或樹狀圖法求概率，在解題時要注意頻率和概率之間的關系．
【詳解】（1）當摸球次數很大時，摸到白球的頻率將會接近；
故答案為：
（2）由（1）得摸到白球的概率率為，
所以可估計口袋中白球有（個）；
故答案為：3
（3）將第一個口袋中3個白球分別記為，畫樹狀圖如下：
共有8種等可能的結果，其中兩個球顏色相同的情況有4種．
∴兩個球顏色相同的的概率為
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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25.3 用頻率估計概率 學案
（一）學習目標：
1.理解每次試驗可能的結果不是有限個，或各種可能結果發生的可能性不相等時，可以利用統計頻率的方法估計概率．
2．會設計模擬試驗，能應用模擬試驗求概率.
3.經歷利用頻率估計概率的學習過程，學生明白在同樣條件下，大量重復試驗時，根據一個隨機事件發生的頻率所逐漸穩定到的常數，可以估計這個事件發生的概率．
4.會用頻率估計概率解決實際問題.
（二）學習重難點：
學習重點：利用頻率估計概率的理解和應用
學習難點：對利用頻率估計概率的理解
閱讀課本，識記知識：
(1)在我們的日常生活中存在著大量隨機事件我們已經學習了用列表法和畫樹狀圖法求某些隨機事件發生的概率，但是當試驗的所有可能結果不是有限個，或者各種可能結果發生的可能性不相等時，可通過用頻率估計某些隨機事件發生的概率的大小.
(2)隨機事件的概率雖然是隨機的、無法預測的，但隨著大量重復試驗次數的增加，隱含的規律逐漸顯現，事件發生的頻率逐漸穩定到某一個數值.正因為不確定現象發生的頻率有這種趨于穩定的特點，我們可以用平穩時的頻率估計這一隨機事件在每次試驗時發生的機會的大小.
(3)某一隨機事件發生的頻率無限地接近于理論概率.
一般地，在大量重復試驗下，隨機事件A發生的頻率。(這里n是總試驗次數，它必須相當大，m是在n次試驗中事件A發生的次數)會穩定到某個常數p.于是，我們用p這個常數表示事件A發生的概率，即P(A)=p
運用隨機事件出現的頻率估計隨機事件發生的概率大小的幾點注意用頻率估計事件發生的概率時，需要注意以下幾點：
(1)頻率和概率是兩個不同的概念，兩者既有區別又有聯系.事件的概率是一個確定的常數，而頻率是不確定的.當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定；當試驗次數增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩定在概率附近.
(2)通過試驗用頻率估計概率的大小，方法多種多樣，但無論選擇哪種方法，都必須保證試驗應在相同的條件下進行，否則結果會受到影響.在相同條件下，試驗的次數越多，就越有可能得到較準確的估計值，但每個人所得的值并不一定相同.
(3)頻率和概率在試驗中可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經常的.例如：隨機拋擲一枚1元硬幣時，理論上“落地后正面朝上”發生的概率為，可拋擲1000次硬幣，并不能保證落地后恰好有500次正面朝上，但經大量的重復試驗發現：“落地后正面朝上”發生的頻率就在一附近波動，
(4)事件的概率需要用穩定時的頻率來估計.它需要做大量的試驗才能較準確.需要注意的是，1次試驗的結果是隨機的、無法預測的，不受概率的影響。
(5)雖然用試驗的方法可以幫助我們估計隨機事件發生的機會的大小，但有時恰好沒有相關實物，或者用實物進行試驗困難很大時，我們就需要用替代物進行模擬試驗.
注意進行模擬試驗時應注意：①模擬試驗的多樣性，即同一試驗可以有多種多樣的替代物；②模擬試驗必須在相同的條件下進行。
【例1】 一個密閉不透明的盒子里有若干個紅球，在不允許將球倒出來的情況下，為估計紅球的個數，小強向其中放入20個白球，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復，共摸球500次，其中50次摸到白球，估計盒中大約有紅球（ ）
A．150 B．180 C．200 D．220
【答案】B
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，可根據“白球數量÷紅白球總數=白球所占比例”來列等量關系式，其中“紅白球總數=紅球個數+白球個數”，“白球所占比例=隨機摸到白球的次數÷總共摸球的次數”
【詳解】設盒子里有紅球x個，
解得：
經檢驗得是方程的解
答：盒中大約有紅球180個
故選：B
【例2】 在如圖所示的圖形中隨機撒一把豆子，計算落在A，B，C三個區域中的豆子數，若落在這三個區域中的豆子數依次為m，n，，則估計圖中a的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本題考查了幾何概率及頻率估計概率，根據落在三個區域的豆子數比等于各部分面積比，用各個區域面積比估計概率計算即可．
【詳解】解：區域面積為，區域面積為，
區域面積為，
又落在這三個區域中的豆子數依次為m，n，，
，即，
，
解得：（不合題意，舍去），
故選：B．
選擇題
1．小明和同學做“拋擲質地均勻的骰子（標有數字1，2，3，4，5，6）試驗”獲得的數據如下表：
拋擲次數 100 200 300 400 500
數字6朝上的頻數 20 35 49 60 85
若拋擲骰子的次數為1200，則“數字6朝上”的頻數最接近（ ）
A．180 B．200 C．210 D．240
2．在一個不透明的口袋中裝有3個紅球，5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發現，摸到白球的頻率穩定在0.25附近，則口袋中黑球的個數可能是（ ）
A．4 B．12 C．15 D．17
3．在一個不透明的布袋中裝有 10個黃、 白兩種顏色的球， 除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在0.3左右，則布袋中黃球可能有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．7個
4．在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和5個黃球，它們除顏色外沒有任何區別，搖勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球實驗發現，摸到黃球的頻率是，則估計口袋中的紅球大約有（ ）
A．10個 B．15個 C．20個 D．25個
5．從一定高度拋一個瓶蓋1000次，落地后蓋面朝下的有550次，則下列說法錯誤的（　　）
A．蓋面朝下的頻數為550 B．該試驗總次數是1000
C．蓋面朝下的概率為 D．蓋面朝上的概率為
6．在一個不透明的口袋中有紅球、白球共10個，它們除顏色外，其余完全相同．通過大量的摸球試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定在20%附近，估算口袋中紅球的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．口袋中有白球和紅球共10個，這些球除顏色外其它都相同．小明將口袋中的球攪勻后隨機從中摸出一個球，記下顏色后放回口袋中，小明繼續重復這一過程，共摸了100次，結果有40次是紅球，請你估計下一次操作拱到紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．隨機拋擲一枚瓶蓋10000次，經過統計得到“正面朝上”的次數為4200次，則可以由此估計拋擲這枚瓶蓋出現“反面朝上”的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和6個黃球，它們只有顏色不同，搖勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球試驗發現，摸到黃球的頻率穩定在0.6，則估計口袋中大約有紅球（ ）
A．10個 B．8個 C．4個 D．2個
10．一個口袋中有紅球、白球共10個，這些球除顏色外都相同．將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了100次球，發現有40次摸到白球．請你估計這個口袋中有（ ）個紅球．
A．2 B．3 C．6 D．8
填空題
11．十八世紀法國的博物學家C·布豐做過一個有趣的投針試驗．如圖，在一個平面上畫一組相距為的平行線，用一根長度為的針任意投擲在這個平面上，針與直線相交的概率為，可以通過這一試驗來估計的近似值．某數學興趣小組利用計算機模擬布豐投針試驗，取，得到試驗數據如下表：
試驗次數 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
相交頻數 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590
相交頻率
可以估計出針與直線相交的概率為 （精確到），由此估計的近似值為 （精確到）．
12．在“拋擲正六面體”的試驗中，正六面體的六個面分別標有數字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果試驗的次數增多，數字“1”朝上的頻率逐漸接近的值是 ．
13．某農科所為了深入踐行“綠水青山就是金山銀山”的理念，大力開展對植物生長的研究，該農科所在相同條件下做某植物種子發芽率的試驗，得到的結果如下表所示：
種子個數 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 …
發芽種子個數 94 188 281 349 435 531 625 719 812 902 …
發芽種子頻率（結果保留兩位小數） 0.94 0.94 0.94 0.87 0.87 0.89 0.89 0.90 0.90 0.90 …
根據頻率的穩定性，估計這種植物種子不發芽的有 顆．
14．二維碼具有信息容量大，容錯能力強，譯碼可靠性高，成本低，易制作等特性，如今已被大量應用于各大行業．如圖是一個邊長為的正方形二維碼，在正方形二維碼區域內隨機擲點，通過大量重復試驗，發現點落在黑色部分的頻率穩定在左右，由此可以估計該正方形二維碼黑色部分的總面積為 ．
15．某批籃球的質量檢驗結果如下：
抽取的籃球數 100 200 400 600 800 1000 1200
優等品的頻數 93 190 390 564 746 931 1118
優等品的頻率
從這批籃球中，任意抽取一個籃球是優等品的概率的估計值約是 ．（精確到）
三、解答題
16．某水果公司新進了千克柑橘，銷售人員首先從所有的柑橘中隨機地抽取若干柑橘，進行了“柑橘損壞率”統計，并把獲得的數據記錄在下表中：
柑橘總質量（/千克） 損壞柑橘質量（/千克） 柑橘損壞的頻率（）
(1)寫出______ ______ ______精確到）.
(2)估計這批柑橘的損壞概率為______（精確到）.
(3)該水果公司以元每千克的成本進的這批柑橘，公司希望這批柑橘能夠獲得利潤元，那么在出售柑橘（已去掉損壞的柑橘）時，求出每千克大約定價為多少元時比較合適（精確到）.
17．小南發現操場中有一個不規則的封閉圖形（如圖），為了計算它的面積，他在封閉圖形內畫了一個半徑為的圓，在不遠處向封閉圖形內鄭石子，若石子落在封閉圖形外部，則重鄭．記錄結果如下：
石子落在圓內（含圓上）的次數 14 43 93 150
石子落在陰影部分的次數 19 85 186 300
根據以上數據，小南得到了封閉圖形的面積．
請根據以上信息，回答下列問題：
(1)估計石子落在陰影部分的概率___________；
(2)估計封閉圖形的面積，并寫出推理過程．
18．在一個不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個，它們除顏色外其余都相同．某學習小組做摸球實驗，將球摚勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，下表是活動進行中的一組統計數據：
摸球的次數 500 1000 1500 2000 2500 3000
摸到白球的頻率 0.748 0.751 0.754 0.747 0.750 0.749
(1)當摸球次數很大時，摸到白球的頻率將會接近_______．（精確到）
(2)試估算口袋中白球有_____個．
(3)現有另一個不透明的口袋中裝有一紅一白兩個球，它們除顏色外其余都相同．一學生從兩個口袋中各摸出一個球，請利用畫樹狀圖或列表的方法計算這兩個球顏色相同的概率．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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