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物 理
第2章 機械能
2.1 功與功率
2.2 動能與動能定理
2.3 勢能與機械能守恒定律
2.1 功與功率
1．功的概念
一個物體受到力的作用，并且在力的方向上產生了位移，我們就說這個力對物體做了功．
2．功的計算
力學中規定，如果力的方向與物體的運動方向一致，功就等于力的大小和位移大小的乘積．如果用F 表示力的大小，用s 表示位移的大小，那么力F對物體做的功W 就可以表示為
2.1.1 功
功是標量，單位是焦耳，簡稱焦，用符號 J 表示．1 N的力使物體在力的方向上發生1 m的位移，所做的功就是1 J．
在實際生活中，物體的運動方向并不總是跟力的方向相同，而是會與力成一定的角度，如圖所示．
在這種情況下，我們通常把力分解成與位移方向一致的分力F1 和與位移方向垂直的分力F2，如圖所示．在物體發生位移 s 的過程中，由于分力F2 與位移垂直，物體在F2 方向沒有發生位移，因此F2 所做的功為0；分力F1 所做的功W 等于F1s，而F1＝ ，因此
3．正功和負功
功是標量，沒有方向，但有正負，其運算遵循代數運算法則．
當 ＝0時， ＝1， ，力的方向和位移的方向相同，力對物體做正功．
當0＜ ＜90°時， ＞0，W 為正值，力對物體做正功．
當 ＝90°時， ＝0，W＝0，力和位移方向垂直，力對物體不做功．
當90°＜ ＜180°時， ＜0，W 為負值，力對物體做負功．
當 ＝180°時， ＝ 1， ，力和位移方向相反，力對物體做負功．
【例題1】物體重98 N，在與水平方向成37°向上的拉力作用下沿水平面移動10 m．已知物體與水平面間的滑動摩擦系數為0.20，拉力的大小為100 N，求：（1）作用有物體上的各力對物體做的總功；（2）合力對物體做的功．
分析：物體在地面上水平移動時，受到重力G、支持力FN 、拉力F 和摩擦力Ff 4個力的作用，如圖所示．由于重力G 和支持力FN 的方向與物體的位移方向垂直，不做功，因此合力所做的功就是拉力F 和摩擦力Ff做功的代數和．
解：拉力F 做的功
摩擦力Ff 為
摩擦力做的功為
合力做的功
1．功率的概念
在物理學中，用功率來表示物體做功的快慢．一個力所做的功W 跟完成這些功所用時間 t 的比值，叫做功率．用P 表示功率，則有
功率是標量，它的單位是瓦特，簡稱瓦，用符號W來表示．
日常見到的各種電器都標有額定功率．額定功率就是機械在正常條件下可以長時間工作的最大功率．其實際工作時的功率往往小于額定功率．
2.1.2 功率
2．功率的計算
把 代入功率的公式，可得到 ，而 ，因此
即功率等于力和物體運動速度的乘積．
【例題2】 已知列車的總質量是500 t，額定功率600 kW，設列車在運動過程中所受阻力均為車重的0.010倍．求：（1）當列車以1.0 m/s，10 m/s的速度勻速行駛時，機車實際輸出的功率是多少？（2）列車的極限速度是多少？
分析：對列車進行受力分析，其受到牽引力、阻力、重力以及支持力的作用．重力和支持力垂直于列車前進方向，不做功．由于列車勻速前進，其各力平衡．因此列車的牽引力與阻力大小相等，方向相反．由公式就可計算出機車的實際輸出功率．所謂列車的極限速度，是指機車在額定功率下所能達到的最大速度vm．
解：（1）列車的牽引力為
根據公式，列車勻速前進時實際輸出功率為
（2）由（1）得知列車的牽引力F＝4.9×104 N，則
2.2 動能與動能定理
演示實驗2-1 動能與物體質量、速度的關系
如圖所示，讓小球A從光滑的導軌上滑下，撞擊靜止在水平面上的小球B，推動小球做功．
（1）讓小球A從不同高度滑下，高度越高，其速度越快，平面上的小球B被撞擊得越遠，A對B做功越多．
（2）增大小球A的質量，使其從同一高度滑下．可以看出，同一高度滑下的速度一樣，小球A的質量越大，小球B被撞擊得越遠，A對B做功越多．
1．速度
物體由于運動而具有的能量叫做動能．實驗表明，物體的質量越大，速度越大，它的動能就越大．在物理學中，用Ek 表示物體的動能，則有
動能是標量，單位與功的單位相同，都是焦耳，符號為J．
2.2.1 動能
【例題3】 我國發射的第一顆人造衛星，質量為173 kg，軌道速度為7.2 km/s，則這顆衛星的動能是多少？
解：根據動能的定義，衛星的動能是
如圖所示，設一個質量為m 的物體，初速度是v1，在恒定的水平力F的作用下，產生了水平位移s，物體的末速度變為v2．
在這一運動過程中，外力對物體做了功W，物體的動能發生了變化．其中，外力F 所做的功
又根據牛頓第二定律
2.2.2 動能定理
而
綜上即可得到
即合外力對物體做的功等于物體動能的增量，這個結論就叫做動能定理．
【例題4】 質量為3 kg的物體與水平地面之間的動摩擦因數μ 0.2，在大小為9 N的水平恒力F 作用下由靜止開始運動．當物體向前運動8 m后撤去恒力F，請問物體還能滑出多遠？（g＝10 m/s2）
分析：求物體還能滑出多遠，即求物體末速度為0時的位移．物體的運動過程可以分為兩個階段：合外力F合＝F f 的階段，以及撤去F 后，受力為f 的階段．分別對這兩個階段使用動能定理，即可以求出位移．
解：在外力F 作用下，對物體運動過程使用動能定理，假設在撤去F時物體的速度為v1，位移s1＝8 m，則
撤去外力F 后，對物體運動過程使用動能定理，若物體還能向前滑出位移為s2，則
二式相加，即可得到
即
2.3 勢能與機械能守恒定律
1．重力勢能
我們把物體由于被舉高而具有的能量叫做重力勢能．
2.3.1 勢能
我們知道動能是與物體質量和速度有關的能量，那么，物體的重力勢能又和什么因素有關呢？
演示實驗2-2 重力勢能與物體質量、高度的關系
如圖所示，在一個透明的玻璃容器內裝上沙子，準備不同質量的鐵球．將鐵球從某一高度釋放，觀察鐵球在沙子中的深度．
（1）用同一個鐵球在不同高度釋放，觀察鐵球落在沙子中的深度，可以看出鐵球的釋放高度越大，鐵球落在沙子中的深度越大．
（2）用不同質量的鐵球在同一高度釋放，觀察鐵球落在沙子中的深度，可以看出，質量越大的鐵球落在沙子中的深度越大．
實驗表明，物體所處的位置越高，質量越大，其勢能就越大．若物體質量為m，距地面高度為h，用Ep 表示物體在h 高度的重力勢能，則有
重力勢能也是標量，其單位與功的單位相同，在國際制單位中都寫作J．從公式中可以看出，物體距地面越高，重力勢能越大；反之，就越小．
【例題5】 某建筑工地使用的打樁機，在打樁的過程中需要將300 kg的重錘舉起到20 m的高處，那么重錘此時的重力勢能是多少？下落到距地面15 m的高處時其重力勢能減少了多少？落到地面上之后，其重力勢能是多少？
解：由公式可得，在20 m高處重錘的重力勢能
落到15 m處減少的重力勢能
落到地面上時，由于高度h3為0，所以重力勢能
2．彈性勢能
物體由于發生了彈性形變所具有的能量稱為彈性勢能．
如圖所示，用力F 將一根彈簧從 A 拉到 B，彈簧伸長了x．在彈性限度內，力F 越大，x 越長．但是，換用不同型號的彈簧，盡管拉伸量也是 x，但是所用的力卻不一樣．
可見，物體的彈性勢能與物體的形變程度有關，形變程度越大，彈性勢能越大；同時，彈性勢能也與物體自身的彈性情況有關，物體的彈性被稱為勁度系數或彈性系數．
彈性勢能可以寫作
其中，k 為勁度系數，x 為形變量．
1．機械能的相互轉化
豎直向上拋出一個小球，小球在上升過程中，重力做負功，其速度越來越小，其動能減小；而它的高度增加，其重力勢能增加，說明物體的動能轉化為重力勢能．
動能和勢能統稱為機械能．通常用 E 來表示．機械能可以從一種形式轉化為另一種形式．
2.3.2 機械能守恒定律
2．機械能守恒定律
演示實驗2-3 動能與勢能的相互轉化
如圖所示，把一個小球用細線懸掛起來，讓小球從一定高度的A點由靜止開始擺動，小球就會擺向另一端的B點．通過測量可以發現，B點與A點的高度相同．如果用尺子在P點擋住擺線，小球會擺到C點．通過測量可以發現，C點與A點、B點的高度仍然相同．
實驗表明，在小球下擺的過程中，重力勢能減小，動能增加，重力勢能轉化為動能；上擺的過程中，動能減小，重力勢能增加，動能轉化為重力勢能，最終擺回與初始位置等高的地方．在動能與重力勢能轉化的過程中，他們的總量保持不變．
在只有重力（或彈力）做功的情況下，物體的動能和重力勢能（彈性勢能）發生互相轉化，機械能的總量保持不變．這個結論叫做機械能守恒定律．
若一個質量為m的物體，從高度為h1的地方下落到高度為h2的地方，速度從v1增加到v2，如圖所示．在此過程中，物體減少的重力勢能等于其增加的動能，動能和重力勢能之和不變．用公式可表示為
【例題6】 某人把質量為1 kg的小球從距離地面10 m的地方斜向上拋出，小球拋出時的速度大小為5 m/s，不計空氣阻力，則小球落地時的速度是多少？（g取10 m/s2）
解：已知小球的質量m＝1 kg，初速度v1＝5 m/s，高度h1＝5 m，取地面為零勢能面，根據機械能守恒定律，則
解得
分析：由于不計空氣阻力，小球的運動過程只有重力做功，因此機械能守恒．根據機械能守恒定律即可求得小球落地速度．

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