資源簡介

概率與統(tǒng)計試題分析與備考建議
一、高考對本章知識的要求
【考試內(nèi)容】
理　　　科
文　　　科
隨機事件的概率；
等可能性事件的概率；
互斥事件有一個發(fā)生的概率；
相互獨立事件同時發(fā)生的概率；
獨立重復(fù)試驗；
離散型隨機變量的分布列，
離散型隨機變量的期望值與方差；
抽樣方法，總體分布的估計，正態(tài)分布，線性回歸；
隨機事件的概率；
等可能性事件的概率；
互斥事件有一個發(fā)生的概率；
相互獨立事件同時發(fā)生的概率；
獨立重復(fù)試驗；
抽樣方法；
總體分布的估計；
總體期望值和方差的估計
【考試要求】
理　　　科
文　　　科
1.了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和
隨機事件概率的意義．
2.了解等可能性事件的概率的意義，會
用排列組合的基本公式計算一些等可能性事
件的概率.
3.了解互斥事件、相互獨立事件的意義，
會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事
件的概率乘法公式計算一些事件的概率．
4.會計算事件在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率．
5.了解離散型隨機變量的意義，會求出某
些簡單的離散型隨機變量的分布列；
6.了解離散型隨機變量的期望、方差的意
義,會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望
值、方差；
7.會用隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本；
8，會用樣本頻率分布去估計總體分布；
9，了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)；
10，了解線性回歸的方法和簡單應(yīng)用；
1.了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義．
2.了解等可能性事件的概率的意義，會用
排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率.
3.了解互斥事件與相互獨立事件的意義，
會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率．
4.會計算事件在n次獨立重復(fù)試驗中恰好
發(fā)生k次的概率．
5.了解隨機抽樣,了解分層抽樣的意義，會
用它們對簡單實際問題進行抽樣．
6，會用樣本頻率分布估計總體分布．
7，會用樣本估計總體期望值和方差．
二、大綱解讀
和去年相比，2009年高考大綱在本節(jié)無什么變化，試題難度要求可能與往年相當，即“總體難度適當”. 在概率與統(tǒng)計這節(jié)中文理科差異比較大，
三、近兩年高考各試卷概率與統(tǒng)計考查情況統(tǒng)計
2007年高考各地的19套試卷中，有16道概率解答題，一般是以實際背景為載體進行考查，也有一道題是以二次方程根的情況為載體，主要是考查三種概率，即：等可能事件的概率、獨立事件的概率、獨立重復(fù)實驗的概率、分布列與期望.北京、湖北卷涉及到抽樣統(tǒng)計問題，廣東卷涉及頻率分布直方圖和線性回歸方程的應(yīng)用問題（文理相同，共17分）．
2008年新課改高考試題統(tǒng)計
省份
選擇題號
填空題號
解答題號
分值
考查內(nèi)容
全國Ⅰ
20
12
概率，（理）期望
寧夏、
海南
16
19
17
莖葉圖、（理）分布列、期望、方差，
（文）統(tǒng)計，古典概型
江蘇
2、6、7
10
古典概型、幾何概型、統(tǒng)計
全國Ⅱ
6
18（文19）
17（文12）
古典概型、對立（互斥）事件、二項分布、期望
山東
7、8
18
22
古典概型、互斥事件、二項分布、期望（文）統(tǒng)計
廣東
3
文11
18（文19）
17
理：抽樣、分布列、期望
文：頻率分布直方圖、抽樣、概率
四、我省試題回顧
2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科
19．（本小題滿分12分）
A、B兩位同學各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設(shè)表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù).（1）求的取值范圍；（2）求的數(shù)學期望E.
19．解：（1）設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，
則，可得：
（2）
2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）(文科數(shù)學)
12．為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學生數(shù)為b，則a, b的值分別為（ ）
A．0,27,78 B．0,27,83 C．2.7,78 D．2.7,83
19．（本小題滿分12分）
A、B兩位同學各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止.求擲硬幣的次數(shù)不大于7次時游戲終止的概率.
19．解：（1）設(shè)表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)，
設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則，可得：
2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）
10、將7個人（含甲、乙）分成三個組，一組3人，另兩組2 人，不同的分組數(shù)為a，甲、乙分到同一組的概率為p，則a、p的值分別為（ A ）
A.a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=
解：a＝＝105
甲、乙分在同一組的方法種數(shù)有
(1)若甲、乙分在3人組，有＝15種
(2)若甲、乙分在2人組，有＝10種，故共有25種，所以P＝
故選A
18、（本小題滿分12分）
某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個白球，1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出2個紅球可獲得獎金50元，現(xiàn)有甲，乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令(表示甲，乙摸球后獲得的獎金總額。求：
（1）(的分布列 （2）(的的數(shù)學期望
18、解：（1）(的所有可能的取值為0，10，20，50，60
分布列為
(
0
10
20
50
60
P
(2)E(＝3(3
2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）數(shù)學（文史類）
8.袋中有40個小球,其中紅色球16個、藍色球12個、白色球8個、黃色球4個,從中隨機抽取10個球作成一個樣本,則這個樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為( A )
A. B. C. D.
18、（本小題滿分12分）
某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個白球，1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球獲得二等獎；摸出2個紅球獲得一等獎，現(xiàn)有甲，乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次.求：
（1）甲，乙兩人都沒有中獎的概率; （2）甲，乙兩人中至少有一人獲二等獎的概率.
2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學
10．將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d, 當d=0時,6種; 當d=1時,(1,2,3);(2,3,4);(3,4,5);(4,5,6)共4種;當d=-1時,同理4種; 當d=2時,2種, 當d=-2時,2種 .,
19．（本小題滿分12分）
某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，．
（1）求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；
（2）經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數(shù)為，求隨機變量的期望．
19．解：分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件，，，
（1）設(shè)表示第一次燒制后恰好有一件合格，則
．
（2）解法一：因為每件工藝品經(jīng)過兩次燒制后合格的概率均為，
所以，故．
解法二：分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件，則
，
所以，，
，．
于是，．
2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）文科數(shù)學
6．一袋中裝有大小相同，編號分別為的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號和不小于15的概率為（　D　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
19．（本小題滿分12分）
栽培甲、乙兩種果樹，先要培育成苗，然后再進行移栽．已知甲、乙兩種果樹成苗的概率分別為，，移栽后成活的概率分別為，．
（1）求甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苗的概率；
（2）求恰好有一種果樹能培育成苗且移栽成活的概率．
19．解：分別記甲、乙兩種果樹成苗為事件，；分別記甲、乙兩種果樹苗移栽成活為事件，，，，，．
（1）甲、乙兩種果樹至少有一種成苗的概率為
；
（2）解法一：分別記兩種果樹培育成苗且移栽成活為事件，
則，．
恰好有一種果樹培育成苗且移栽成活的概率為
．
解法二：恰好有一種果樹栽培成活的概率為
．
2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）
(文理11題)電子鐘一天顯示的時間是從00:00到23:59的每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻的四個數(shù)字之和為23的概率為
A． B． C． D．
【解析】一天顯示的時間總共有種，和為23總共有4種（為：09:59，18:59，19:49，19:58），故所求概率為．選C.
(理18題)因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施。若實施方案一，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5。若實施方案二，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6。實施每種方案，第二年與第一年相互獨立。令表示方案實施兩年后柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)．
（1）寫出的分布列；
（2）實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？
（3）不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達不到、恰好達到、超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元。問實施哪種方案的平均效益更大？
【解析】（1）的所有取值為
的所有取值為,
、的分布列分別為：
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（2）令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，
,
可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大。
（3）令表示方案所帶來的效益，則
10
15
20
P
0.35
0.35
0.3
10
15
20
P
0.5
0.18
0.32
所以可見，方案一所帶來的平均效益更大。
(文科18題)因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴重受損，為此有關(guān)專家提出一種拯救果樹的方案，該方案需分兩年實施且相互獨立．該方案預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分別是0.3、0.3、0.4．
（1）求兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達到災(zāi)前產(chǎn)量的概率；
（2）求兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率.
【解析】類理科18
（1）令A(yù)表示兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達到災(zāi)前產(chǎn)量這一事件
．
（2）令B表示兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，
．
五、試題特點
立足基礎(chǔ)，信守兩綱，調(diào)整結(jié)構(gòu)，穩(wěn)中求變.
體現(xiàn)常規(guī)，適度創(chuàng)新，突出實際應(yīng)用和能力立意
高考對于概率與統(tǒng)計部分內(nèi)容的考查，難度要求不高，以中檔題或中檔偏易題為主，這些題目大都屬于中低檔題，考查的重點是等可能事件的概率、對立事件的概率、互斥事件至少有一個發(fā)生的概率、獨立事件同時發(fā)生的概率以及隨機變量的分布列、期望和方差；多數(shù)試題來源于生活、趣味性強、時代氣息濃厚、人文特點鮮明，注重了題目的公平公正性；近幾年概率統(tǒng)計的試題逐漸加強了與其它知識的綜合，與算法、二次方程、函數(shù)導數(shù)、數(shù)列和向量等知識的綜合。
概率與統(tǒng)計知識在高考的考查中，基本上都是1道小題以及1道解答題，其中小題較容易，解答題逐漸取代了90年代興起的應(yīng)用題，其難度不大，但有一定的靈活性，對題目的背景和題意理解要求較高，如08年重慶理5題(5分)為容易題，考查正態(tài)分布的計算及密度曲線性質(zhì)、08年湖南文12題(12分)為中檔題，考查樣本的識別與抽樣、08年安徽高考理科第19題(12分)是中檔題，考查幾種事件的交匯、08年福建理20題(12分)中等難度，考查概率的計算與離散隨機變量的分布列及期望，等等.
五、《概率與統(tǒng)計》命題趨勢預(yù)測
高考對概率與統(tǒng)計考查特點是基礎(chǔ)全面，多數(shù)高考試題的難度與課本中習題的難度相當，但在高考試卷中分值所占比例超過所占總課時比例，概率與實際生活密切相關(guān)，是高考考查的重點.在解答題中，如果題目再靠后的話，將可能出現(xiàn)概率與其它知識點相結(jié)合的綜合題，如概率與不等式綜合:概率與二次函數(shù)綜合； 概率與數(shù)列求和綜合；概率與線性規(guī)劃綜合等有一定的難度。
隨機變量是理科高考的必考內(nèi)容.其中理科離散型隨機變量的分布列、期望與方差是熱點.題型以解答題為主，以選擇題、填空題為輔.理科可能還會增加對正態(tài)分布和線性回歸的考查，其中線性回歸方面的試題，由于計算量的限制，多會以選擇題或填空題出現(xiàn)。
預(yù)計在09年高考中解答題仍可能是文科題重點考查古典概率，互斥事件的概率，獨立事件的概率，獨立重復(fù)事件的概率等，考查應(yīng)用意識和實踐能力；理科重點考查隨機變量的分布列與期望，互斥事件有一個發(fā)生的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率，獨立重復(fù)事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有關(guān)優(yōu)化決策能力。理科重點在統(tǒng)計問題、古典概型、幾何概型、離散性隨機變量分布列、期望與方差，要注意正態(tài)分布、線性回歸及二點分布、二項分布和超幾何分布等內(nèi)容。文科重點是頻率分布表為載體的統(tǒng)計問題、古典概型、幾何概型，題目的計算量不會太大；
六、備考建議
1．借助課本，構(gòu)建主干知識網(wǎng)絡(luò)
突出知識結(jié)構(gòu)、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展，是一個知識積累、梳理的過程。如果說新授課是抓知識點的落實，那么復(fù)習課的重點就是注重各部分知識在個自發(fā)展過程中的縱橫聯(lián)系，理清脈絡(luò)，抓住起
支撐作用的主干，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。以課本知識為出發(fā)點，重視教材的基礎(chǔ)作用，緊扣課本上的概念，深刻理解當中的內(nèi)涵，熟練掌握它的應(yīng)用。
2．借助典型習題，落實基礎(chǔ)，提高能力
高考對概率與統(tǒng)計部分的難度要求不高，所以更加突出基礎(chǔ)，要求學生對基本概念要清晰，對于一些基本題型要熟練。變通一些重要的數(shù)學例題和習題，落實基礎(chǔ)，訓練技能，提高綜合能力。
3．關(guān)注社會的熱點，重視實際問題的背景
設(shè)置情境，考查學生運用概率統(tǒng)計解決實際問題的能力，是高考對本章知識的重點考查。從近三年的湖南省的高考題可以看出，高考題的立意新，并與社會的熱點問題聯(lián)系較多，所以要重視數(shù)學在生產(chǎn)，生活及科學中的應(yīng)用，要重視學生創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)。
七、復(fù)習備考中的幾個典型例題
【例1】某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.
方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；
方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.
假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是0.5，0.6，0.9，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.求：
(Ⅰ)該應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率；
(Ⅱ)該應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率.
解：記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A，B,C，
則P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.
(Ⅰ) 應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率
p1=P(A·B·)+P(·B·C)+P(A··C)+P(A·B·C)=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.
(Ⅱ) 應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率
p2=P(A·B)+P(B·C)+ P(A·C)=×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9) =0.43
【例2】把圓周分成四等份，是其中一個分點，動點在四個分點上按逆時針方向前進。現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻的正四面體，它的四個面上分別寫有1、2、3、4四個數(shù)字。點出發(fā)，按照正四面體底面上數(shù)字前進幾個分點，轉(zhuǎn)一周之前連續(xù)投擲。（1）求點恰好返回點的概率；（2）在點轉(zhuǎn)一周恰能返回點的所有結(jié)果中，用隨即變量表示點能返回點的投擲次數(shù)，求的分數(shù)列和期望。
解(1)投擲一次正四面體，底面上每個數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，概率為，則：
①若投擲一次能返回A點，則底面數(shù)字應(yīng)為4，此時概率為；
②若投擲兩次能返回A點，則底面數(shù)字一次為（1，3），（3，1），（2，2）三種結(jié)果，其概率為；
③若投三次，則底面數(shù)字一次為（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三種結(jié)果，其概率為；
④若投四次，則底面數(shù)字為（1，1，1，1），其概率為；
則能返回A點的概率為：
（2）的分布列為：
1
2
3
4


所以，期望
正解:, ,,,
【例3】北京奧運會開幕式門票是通過網(wǎng)上中國銀行預(yù)訂，然后采取抽簽方法確定哪些人中簽，現(xiàn)知道某地區(qū)有16人參加預(yù)訂，其中有2個人中簽，但不清楚是哪2個人，現(xiàn)在通過逐個進行詢問直到問出2個人中簽為止，設(shè)ξ是詢問出2個中簽者過程中已詢問預(yù)訂人數(shù)，試求：（1）求ξ＝4的概率； （2）求Eξ．
解.（1）設(shè)試問到2個中簽時ξ＝4為事件A，由P(A)＝＝
（2）當ξ≤13時，P(ξ＝k)＝＝；當ξ＝14時，表示“前13個有一個中簽且第14個中簽”,或“前14人都沒中簽,”,P(ξ＝14)＝＋＝；當ξ＝15時，表示“前14個有一個中簽且第15個沒中簽”,或“前14有一人中簽第15人中簽,”即“前14人中只有1人中簽”,所以P(ξ＝15)＝＋＝=；
∵Eξ＝·＋14×＋15×＝( ＋C＋…＋)＋＝
【例4】一種電腦屏幕保護畫面，只有符號“○”和“×”，隨機地反復(fù)地出，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“○”和“×”之一，其中出現(xiàn)“○”的概率為P，出現(xiàn)“×”的概率為，若第k次出現(xiàn)“○”， 則記，出現(xiàn)“×”，則記，令（1）當時，求;
（2）當P=且的概率.
解：（1）先求的概率，，∵6次變化中出現(xiàn)“0”有4次，“X”有2次，故的概率 ………… （4分）
的概率為 ………….6分）
(3)當時，即前八秒出現(xiàn)“0”有5次和“X”3次，又已知1，2，3，4），若第一、三秒出現(xiàn)“0”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“0”3次，若第一、二秒出現(xiàn)“0”，第三秒出現(xiàn)“X”，則后五秒可出現(xiàn)“0”3次。
故 (或) ………… （12分）

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