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專題1.4 充分條件與必要條件【六大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 命題的概念】 1
【題型2 判斷命題的真假】 2
【題型3 充分條件、必要條件及充要條件的判定】 5
【題型4 充分條件、必要條件及充要條件的探索】 6
【題型5 由充分條件、必要條件求參數】 8
【題型6 充要條件的證明】 9
【知識點1 命題】
命題及相關概念
【題型1 命題的概念】
【例1】（2023·江蘇·高一假期作業）下列語句為真命題的是（　　）
A．
B．四條邊都相等的四邊形為矩形
C．
D．今天是星期天
【解題思路】先根據命題的定義判斷是否是命題，然后再判斷真假即可
【解答過程】對于A，因為此語句不能判斷真假，所以不是命題，所以A錯誤，
對于B，此語句是命題，而在平面內四條邊都相等的四邊形是菱形，所以B錯誤，
對于C，是命題，且是真命題，所以C正確，
對于D，因為此語句不能判斷真假，所以不是命題，所以D錯誤，
故選：C.
【變式1-1】（2023·江蘇·高一假期作業）以下語句：①；②；③；④，其中命題的個數是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
【解題思路】根據命題的定義進行判斷.
【解答過程】①是命題，且是假命題；②、③不能判斷真假，不是命題；④不是陳述句，不是命題．
故選：B.
【變式1-2】（2023·高一課時練習）下列語句中：①；②；③有一個根為0；④高二年級的學生；⑤今天天氣好熱！⑥有最小的質數嗎？其中是命題的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【解題思路】根據命題的定義即可求解.
【解答過程】命題是能判斷真假的陳述句，
由于⑤⑥不是陳述句，故不是命題，
②④無法判斷真假，故不是命題，
①③可以判斷真假且是陳述句，故是命題，
故選：D.
【變式1-3】（2022·高一課時練習）給出下列語句：①．②3比5大．③這是一棵大樹．④求證：是無理數．⑤二次函數的圖象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命題的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】根據命題的定義逐個分析判斷即可.
【解答過程】命題是指可以判斷真假的陳述句，所以②⑥是命題，
①不能判斷真假，不是命題；
③“大樹”沒有界定標準，不能判斷真假，不是命題；
④是祈使句，不是命題；
⑤是感嘆句，不是命題．
故選：A.
【題型2 判斷命題的真假】
【例2】（2023·江蘇·高一假期作業）下列命題中真命題有（　　）
①是一元二次方程；
②函數的圖象與x軸有一個交點；
③互相包含的兩個集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
【解題思路】對于①，舉反例即可判斷；對于②，令，求解即可判斷；對于③，根據包含關系即可判斷；對于④，根據空集不是本身的真子集即可判斷.
【解答過程】①中，當時，是一元一次方程，①錯誤；
②中，令，則，所以函數的圖象與x軸有一個交點，②正確；
③中，互相包含的兩個集合相等，③正確；
④中，空集不是本身的真子集，④錯誤．
故選：B.
【變式2-1】（2022秋·重慶·高一校考期中）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【解題思路】ABC選項舉出反例即可判斷，D選項結合不等式的性質即可判斷.
【解答過程】A選項：若，滿足，但是，因此是假命題，故A錯誤；
B選項：若，，滿足，但是，因此是假命題，故B錯誤；
C選項：若，，滿足，但是，因此是假命題，故C錯誤；
D選項：因為，則，且，因此，因此是真命題，故D正確，
故選：D.
【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業）下列命題：
①矩形既是平行四邊形又是圓的內接四邊形;
②菱形是圓的內接四邊形且是圓的外切四邊形;
③方程的判別式大于0;
④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據矩形以及菱形的性質即可判斷①②，根據一元二次方程的判別式即可判斷③，根據三角形全等的判斷即可判斷④，根據集合的關系即可判斷⑤.
【解答過程】對于①，矩形是平行四邊形，同時矩形有外接圓，故正確;
對于②，菱形不一定有外接圓，故錯誤，
對于③，方程的判別式為，故正確，
對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯誤，
對于⑤，,故正確;
故選：C．
【變式2-3】（2023秋·上海黃浦·高一校考階段練習）設，關于的方程組.對于命題：①存在a，使得該方程組有無數組解；②對任意a，該方程組均有一組解，下列判斷正確的是（　　）
A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題
【解題思路】通過解方程組的知識求得正確答案.
【解答過程】由得，則，，所以，
則，解得，
所以關于的方程組有唯一解.
所以①為假命題，②為真命題.
故選：D.
【知識點2 充分、必要與充要條件】
1．充分條件與必要條件
命題真假 “若p,則q”是真命題 "若p,則q"是假命題
推出關系及符號表示 由p通過推理可得出q，記作：p q 由條件p不能推出結論q，記作：
條件關系 p是q的充分條件
q是p的必要條件 p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．
數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．
2．充要條件
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p q，又有q p，記作p q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．
如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p q，那么p與q互為充要條件．
【注】：“ ”的傳遞性
若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p q，q s，則有p s，即p是s的充要條件．
3．充分、必要與充要條件的判定
(1)如果既有p q，又有q p，則p是q的充要條件，記為p q.
(2)如果p 且q ，則p是q的既不充分也不必要條件.
(3)如果p q且q ，則稱p是q的充分不必要條件.
(4)如p 且q p，則稱p是q的必要不充分條件.
(5)設與命題p對應的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應的集合為B={x|q(x)}，
若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
若A=B，則p是q的充要條件.
【題型3 充分條件、必要條件及充要條件的判定】
【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模擬預測）“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
【解題思路】根據分數不等式求解答范圍，即可根據集合間的關系求解.
【解答過程】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
【變式3-1】（2023·全國·高一假期作業）已知集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【解題思路】由求得或，然后即可得出答案.
【解答過程】由可得，解得或.
所以“”是“”的充分非必要條件.
故選：A.
【變式3-2】（2023·江蘇·高一假期作業）已知實數a，b，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【解題思路】根據不等式的性質結合充分條件和必要條件的定義進行判斷．
【解答過程】為充要條件．
故選：C.
【變式3-3】（2020秋·上海浦東新·高一校考階段練習）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，現有下列命題：① 是的充要條件；② 是的充分不必要條件；③ 是的必要不充分條件；④ 是的充分不必要條件；正確的命題序號是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【解題思路】根據條件及充分條件和必要條件的的確定之間的關系，然后逐一判斷命題①②③④即可.
【解答過程】因為是的充分不必要條件，所以， ，
因為是的充分條件，所以，
因為是的必要條件，所以，
因為是的必要條件，所以，
因為，，所以，又，
所以是的充要條件；命題①正確，
因為，，，所以，
若，則，，，故，與 矛盾，
所以 ，
所以是的充分不必要條件，命題②正確；
因為，，所以，是的充分條件，命題③錯誤；
因為，，所以，又，
所以是的充要條件，命題④錯誤；
故選：B.
【題型4 充分條件、必要條件及充要條件的探索】
【例4】（2023·高一課時練習）關于x的方程有實根的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據一元一次方程的求解即可判斷，由充分條件的定義即可求解.
【解答過程】由，要使方程有實根，則，
故是方程有實根的一個充分條件，
故選：B.
【變式4-1】（2023春·山西運城·高二校考階段練習）若，則“”的一個充分不必要條件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據充分不必要條件的概念，逐項判斷，即可得出結果.
【解答過程】由，推不出，排除AB；
由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要條件，排除C；
，反之不成立，D正確；
故選：D．
【變式4-2】（2022秋·江蘇連云港·高一校考期中）使或}成立的一個充分不必要條件是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【解題思路】根據充分不必要條件的定義和集合間的包含關系判斷可得答案.
【解答過程】對于A，因為或 或，故錯誤；
對于B，因為或 或，故正確；
對于C，因為或 或，故錯誤；
對于D，因為不是或的真子集，故錯誤.
故選：B.
【變式4-3】（2023春·陜西商洛·高二校考階段練習）不等式“在上恒成立”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先計算已知條件的等價范圍，再利用充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.
【解答過程】因為“不等式在上恒成立”，所以等價于二次方程的判別式，即.
所以A選項, 是充分不必要條件，A正確；
B選項中，不可推導出，B不正確；
C選項中，不可推導出，故C不正確；
D選項中，不可推導出，故D不正確.
故選：A.
【題型5 由充分條件、必要條件求參數】
【例5】（2023春·湖南長沙·高二校聯考期中）已知，如果是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據充分必要條件的定義結合集合的包含關系求解.
【解答過程】，即或，又是的充分不必要條件，
所以，即的取值范圍是.
故選:A.
【變式5-1】（2022秋·青海西寧·高一校考階段練習）“一元二次方程有兩個不相等的正實根”的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．或
【解題思路】先求出一元二次方程有兩個不相等的正實根時的取值范圍，再根據充要條件的定義即可求解.
【解答過程】解：一元二次方程有兩個不相等的正實根，
設兩根分別為：，
故，
解得：，
故“一元二次方程有兩個不相等的正實根”的充要條件是.
故選：B.
【變式5-2】（2022·高一單元測試）若p：是q：（）的必要而不充分條件，則實數a的值為（ ）
A． B．或 C． D．或
【解題思路】根據題意確定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到關于a的等式，求得答案.
【解答過程】p：，即或，q：∵，∴，
由題意知p：是q：（）的必要而不充分條件，
則，或，解得，或，
故選：D.
【變式5-3】（2022秋·山東濰坊·高一校考階段練習）若“-1A． B．
C． D．
【解題思路】先化簡不等式為m-1【解答過程】不等式-1由題意得“所以，且，
所以，且等號不能同時成立，解得.
故選：B.
【題型6 充要條件的證明】
【例6】（2023·全國·高一假期作業）已知，是實數，求證：成立的充要條件是.
【解題思路】根據充要條件的定義分別證明充分性和必要性即可得到結論．
【解答過程】解：先證明充分性：
若，則成立．
所以“”是“”成立的充分條件；
再證明必要性：
若，則，
即，
，
，
，
，
即成立．
所以“”是“”成立的必要條件.
綜上：成立的充要條件是．
【變式6-1】（2023·全國·高一假期作業）已知都是非零實數，且，求證：的充要條件是.
【解題思路】根據充要條件的定義進行證明即可．
【解答過程】（1）必要性：由，得，即，
又由，得，所以.
（2）充分性：由及，
得，即.
綜上所述，的充要條件是.
【變式6-2】（2023·全國·高一假期作業）求證：等式對任意實數恒成立的充要條件是.
【解題思路】利用充分性和必要性的定義證明即可.
【解答過程】充分性：
若，則等式顯然對任意實數恒成立，充分性成立；
必要性：由于等式對任意實數恒成立，
分別將，，代入可得，
解得，必要性成立，
故等式對任意實數恒成立的充要條件是.
【變式6-3】（2023·江蘇·高一假期作業）設，求證成立的充要條件是．
【解題思路】分為充分性和必要性兩種情況來進行證明即可，充分性：若，則成立；必要性：若，則；證明過程結合去絕對值的方法和的性質即可得證
【解答過程】①充分性：若，則有和兩種情況，當時，不妨設，則，
，∴等式成立．
當時，，或，，
當，時，，，∴等式成立，
當，時，，，∴等式成立．
綜上，當時，成立．
②必要性：若且，則，
即，
∴，∴．
綜上可知，是等式成立的充要條件．專題1.4 充分條件與必要條件【六大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 命題的概念】 1
【題型2 判斷命題的真假】 2
【題型3 充分條件、必要條件及充要條件的判定】 3
【題型4 充分條件、必要條件及充要條件的探索】 4
【題型5 由充分條件、必要條件求參數】 4
【題型6 充要條件的證明】 5
【知識點1 命題】
命題及相關概念
【題型1 命題的概念】
【例1】（2023·江蘇·高一假期作業）下列語句為真命題的是（　　）
A．
B．四條邊都相等的四邊形為矩形
C．
D．今天是星期天
【變式1-1】（2023·江蘇·高一假期作業）以下語句：①；②；③；④，其中命題的個數是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
【變式1-2】（2023·高一課時練習）下列語句中：①；②；③有一個根為0；④高二年級的學生；⑤今天天氣好熱！⑥有最小的質數嗎？其中是命題的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【變式1-3】（2022·高一課時練習）給出下列語句：①．②3比5大．③這是一棵大樹．④求證：是無理數．⑤二次函數的圖象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命題的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【題型2 判斷命題的真假】
【例2】（2023·江蘇·高一假期作業）下列命題中真命題有（　　）
①是一元二次方程；
②函數的圖象與x軸有一個交點；
③互相包含的兩個集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
【變式2-1】（2022秋·重慶·高一校考期中）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業）下列命題：
①矩形既是平行四邊形又是圓的內接四邊形;
②菱形是圓的內接四邊形且是圓的外切四邊形;
③方程的判別式大于0;
④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2-3】（2023秋·上海黃浦·高一校考階段練習）設，關于的方程組.對于命題：①存在a，使得該方程組有無數組解；②對任意a，該方程組均有一組解，下列判斷正確的是（　　）
A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題
【知識點2 充分、必要與充要條件】
1．充分條件與必要條件
命題真假 “若p,則q”是真命題 "若p,則q"是假命題
推出關系及符號表示 由p通過推理可得出q，記作：p q 由條件p不能推出結論q，記作：
條件關系 p是q的充分條件
q是p的必要條件 p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．
數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．
2．充要條件
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p q，又有q p，記作p q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．
如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p q，那么p與q互為充要條件．
【注】：“ ”的傳遞性
若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p q，q s，則有p s，即p是s的充要條件．
3．充分、必要與充要條件的判定
(1)如果既有p q，又有q p，則p是q的充要條件，記為p q.
(2)如果p 且q ，則p是q的既不充分也不必要條件.
(3)如果p q且q ，則稱p是q的充分不必要條件.
(4)如p 且q p，則稱p是q的必要不充分條件.
(5)設與命題p對應的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應的集合為B={x|q(x)}，
若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
若A=B，則p是q的充要條件.
【題型3 充分條件、必要條件及充要條件的判定】
【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模擬預測）“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
【變式3-1】（2023·全國·高一假期作業）已知集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【變式3-2】（2023·江蘇·高一假期作業）已知實數a，b，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【變式3-3】（2020秋·上海浦東新·高一校考階段練習）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，現有下列命題：① 是的充要條件；② 是的充分不必要條件；③ 是的必要不充分條件；④ 是的充分不必要條件；正確的命題序號是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【題型4 充分條件、必要條件及充要條件的探索】
【例4】（2023·高一課時練習）關于x的方程有實根的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023春·山西運城·高二校考階段練習）若，則“”的一個充分不必要條件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2022秋·江蘇連云港·高一校考期中）使或}成立的一個充分不必要條件是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【變式4-3】（2023春·陜西商洛·高二校考階段練習）不等式“在上恒成立”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【題型5 由充分條件、必要條件求參數】
【例5】（2023春·湖南長沙·高二校聯考期中）已知，如果是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2022秋·青海西寧·高一校考階段練習）“一元二次方程有兩個不相等的正實根”的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．或
【變式5-2】（2022·高一單元測試）若p：是q：（）的必要而不充分條件，則實數a的值為（ ）
A． B．或 C． D．或
【變式5-3】（2022秋·山東濰坊·高一校考階段練習）若“-1A． B．
C． D．
【題型6 充要條件的證明】
【例6】（2023·全國·高一假期作業）已知，是實數，求證：成立的充要條件是.
【變式6-1】（2023·全國·高一假期作業）已知都是非零實數，且，求證：的充要條件是.
【變式6-2】（2023·全國·高一假期作業）求證：等式對任意實數恒成立的充要條件是.
【變式6-3】（2023·江蘇·高一假期作業）設，求證成立的充要條件是．

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