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專題2.2 基本不等式【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 對基本不等式的理解】 1
【題型2 由基本不等式比較大小】 2
【題型3 利用基本不等式證明不等式】 2
【題型4 利用基本不等式求最值（無條件）】 4
【題型5 利用基本不等式求最值（有條件）】 4
【題型6 基本不等式的恒成立問題】 4
【題型7 基本不等式的有解問題】 5
【題型8 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】 5
【知識點(diǎn)1 兩個(gè)不等式】
1. 兩個(gè)不等式
不等式 內(nèi)容 等號成立條件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取“=”
叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
溫馨提示：“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<.
【題型1 對基本不等式的理解】
【例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
【變式1-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式中，等號成立的條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022秋·河南焦作·高一?？茧A段練習(xí)）給出下列條件：①；②；③，；④，.其中能使成立的條件有（ ）
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
【變式1-3】（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知，，且，則下列不等式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 由基本不等式比較大小】
【例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．則P、Q的大小關(guān)系為（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a、b為正實(shí)數(shù)，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023秋·遼寧·高一遼河油田第二高級中學(xué)?？计谀┤簦?，則，，，中最大的一個(gè)是（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 利用基本不等式證明不等式】
【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，，且，求證：.
【變式3-1】（2023秋·河南·高一校聯(lián)考期末）證明下列不等式，并討論等號成立的條件．
(1)若，則；
(2)若，則．
【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a，b，c均為正實(shí)數(shù).
(1)求證：.
(2)若，求證：.
【變式3-3】（2023秋·江西新余·高三統(tǒng)考期末）已知，，且，證明.
(1)；
(2)
【知識點(diǎn)2 基本不等式與最值】
1．基本不等式與最值
已知x，y都是正數(shù)，
(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值S2.
溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．
【題型4 利用基本不等式求最值（無條件）】
【例4】（2023春·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【變式4-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【變式4-2】（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)時(shí)， 的最小值為10，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【變式4-3】（2023春·湖南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【題型5 利用基本不等式求最值（有條件）】
【例5】（2023·重慶沙坪壩·重慶校考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．3
【變式5-2】（2023春·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為4
C．若，則的最大值為2
D．若，則的最大值為
【題型6 基本不等式的恒成立問題】
【例6】（2023春·四川成都·高二校考階段練習(xí)）已知對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
【變式6-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知不等式對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式6-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023春·重慶沙坪壩·高三?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 基本不等式的有解問題】
【例7】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）
【變式7-2】（2023春·山東德州·高二德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且有解，則的取值范圍是 ．
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足且有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【題型8 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】
【例8】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為400平方米的三級污水處理池，平面圖如圖所示.已知處理池外圈建造單價(jià)為每米200元，中間兩條隔墻建造單價(jià)每米250元，池底建造單價(jià)為每平方米80元.（隔墻與池底的厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋）試設(shè)計(jì)處理池的長與寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)；

【變式8-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，有一批材料長為24 m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長）的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成兩個(gè)面積相等的矩形，那么圍成的矩形場地的最大面積是多少？
【變式8-2】（2023春·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）已知某公司計(jì)劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共萬件（），其成本為（萬元/萬件），其廣告宣傳總費(fèi)用為萬元，若將其銷售價(jià)格定為萬元/萬件．
(1)將該批產(chǎn)品的利潤（萬元）表示為的函數(shù)；
(2)當(dāng)廣告宣傳總費(fèi)用為多少萬元時(shí)，該公司的利潤最大 最大利潤為多少萬元
【變式8-3】（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）某學(xué)校要建造一個(gè)長方體形的體育館，其地面面積為，體育館高，如果甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為：館頂每平方米的造價(jià)為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米250元，設(shè)體育館前墻長為米．
(1)當(dāng)前墻的長度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？
(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍．專題2.2 基本不等式【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 對基本不等式的理解】 1
【題型2 由基本不等式比較大小】 3
【題型3 利用基本不等式證明不等式】 4
【題型4 利用基本不等式求最值（無條件）】 6
【題型5 利用基本不等式求最值（有條件）】 7
【題型6 基本不等式的恒成立問題】 9
【題型7 基本不等式的有解問題】 11
【題型8 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】 13
【知識點(diǎn)1 兩個(gè)不等式】
1. 兩個(gè)不等式
不等式 內(nèi)容 等號成立條件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取“=”
叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
溫馨提示：“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<.
【題型1 對基本不等式的理解】
【例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
【解題思路】由均值不等式成立的前提條件是“一正、二定，三相等”，結(jié)合此條件即可得解.
【解答過程】解：由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提條件是各項(xiàng)均為正數(shù)，所以不等式成立的前提條件為，即.
故選：B.
【變式1-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式中，等號成立的條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用基本不等式的取等條件即可求解.
【解答過程】由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)等號成立，
故選：.
【變式1-2】（2022秋·河南焦作·高一?？茧A段練習(xí)）給出下列條件：①；②；③，；④，.其中能使成立的條件有（ ）
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
【解題思路】根據(jù)基本不等式可知，當(dāng)成立時(shí)，則，可知、同號，據(jù)此可得出結(jié)論.
【解答過程】由基本不等式可知，要使得成立，則，所以，、同號，所以①③④均可以.
故選：C.
【變式1-3】（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知，，且，則下列不等式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)基本不等式逐項(xiàng)判斷ABD，消元，化簡，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷C.
【解答過程】因?yàn)椋?，且?br/>由基本不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），A正確；
由基本不等式知，則，
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），B正確；
由題得，
由已知，故，所以，
故，C正確；
由基本不等式可得，
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），D錯(cuò)誤.
故選：D.
【題型2 由基本不等式比較大小】
【例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．則P、Q的大小關(guān)系為（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
【解題思路】由基本不等式可得，通過配方結(jié)合可得即可選得答案.
【解答過程】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
，當(dāng)時(shí)等號成立，
所以.
故選：C.
【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出，再結(jié)合可得出結(jié)果.
【解答過程】由已知，利用基本不等式得出，
因?yàn)椋瑒t，，
所以，，
∴.
故選：C.
【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a、b為正實(shí)數(shù)，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用基本不等式計(jì)算出.
【解答過程】因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
綜上：.
故選：B.
【變式2-3】（2023秋·遼寧·高一遼河油田第二高級中學(xué)?？计谀┤簦?，則，，，中最大的一個(gè)是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先利用均值不等式比較與的大小和與的大小，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)即可確定四個(gè)表達(dá)式中最大的一個(gè).
【解答過程】 ，，且，
，，，，
.
故選：D.
【題型3 利用基本不等式證明不等式】
【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，，且，求證：.
【解題思路】利用把化為，展開利用基本不等式求最值即可證明.
【解答過程】因?yàn)椋?，?br/>所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.
故原題得證.
【變式3-1】（2023秋·河南·高一校聯(lián)考期末）證明下列不等式，并討論等號成立的條件．
(1)若，則；
(2)若，則．
【解題思路】（1）利用基本不等式即可證明；
（2）討論和兩種情況，脫掉絕對值符號，結(jié)合基本不等式證明即可.
【解答過程】（1）證明：因?yàn)?，所以，?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．
（2）證明：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
綜上，若，則成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a，b，c均為正實(shí)數(shù).
(1)求證：.
(2)若，求證：.
【解題思路】（1）利用基本不等式證明即可；
（2）由利用基本不等式求最值即可.
【解答過程】（1）因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以；
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
∴.
【變式3-3】（2023秋·江西新余·高三統(tǒng)考期末）已知，，且，證明.
(1)；
(2)
【解題思路】（1）首先將不等式左邊進(jìn)行變形，利用公式，證明不等式；
（2）首先將不等式左邊變形為，再利用基本不等式證明.
【解答過程】（1），
因?yàn)?，，則，則，當(dāng)時(shí)等號成立，
所以；
（2）
而，當(dāng)時(shí)等號成立，
所以.
【知識點(diǎn)2 基本不等式與最值】
1．基本不等式與最值
已知x，y都是正數(shù)，
(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值S2.
溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．
【題型4 利用基本不等式求最值（無條件）】
【例4】（2023春·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【解題思路】先化簡為，再利用基本不等式即可求解.
【解答過程】，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以函數(shù)的最小值為.
故選：C.
【變式4-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【解題思路】直接根據(jù)基本不等式即可得結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)?，所以?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即函數(shù)的最小值為，
故選：B.
【變式4-2】（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)時(shí)， 的最小值為10，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【解題思路】應(yīng)用基本不等式求解最小值,再根據(jù)最小值求參即可.
【解答過程】當(dāng)時(shí)，
,
即，故.
故選:A.
【變式4-3】（2023春·湖南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【解題思路】利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而求解即可.
【解答過程】因?yàn)?，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以，
所以的最大值為2.
故選：D.
【題型5 利用基本不等式求最值（有條件）】
【例5】（2023·重慶沙坪壩·重慶?？寄M預(yù)測）已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】用表示后，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>由，得，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
故的最小值為.
故選：D.
【變式5-1】（2023春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．3
【解題思路】根據(jù)基本不等式的變形形式直接求解.
【解答過程】由題意得，，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號成立，
所以的最大值為.
故選：B.
【變式5-2】（2023春·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由，得到，再利用“1”的代換求解.
【解答過程】解：因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立．
故選：C.
【變式5-3】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為4
C．若，則的最大值為2
D．若，則的最大值為
【解題思路】直接使用基本不等式即可判斷A，C，D；若，則，展開后使用基本不等式即可判斷B.
【解答過程】∵，∴，∴，故A正確；
若，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故B正確；
若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故C正確；
若，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
【題型6 基本不等式的恒成立問題】
【例6】（2023春·四川成都·高二校考階段練習(xí)）已知對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
【解題思路】將已知轉(zhuǎn)化為對，不等式恒成立，利用基本不等式可知恒成立，即可得到答案.
【解答過程】對，不等式恒成立，可化為恒成立，
利用基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立
，即恒成立，即實(shí)數(shù)m的最大值不存在.
故選：D.
【變式6-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知不等式對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解題思路】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.
【解答過程】由已知可得若題中不等式恒成立，則只要的最小值大于等于9即可，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，，
或舍去，即
所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4.
故選：B.
【變式6-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二校考階段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，可算出，再將最小值代入，即可求解.
【解答過程】不等式恒成立
，，且
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號
，即
解得
故實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：A.
【變式6-3】（2023春·重慶沙坪壩·高三校考階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】結(jié)合條件，由可得，然后由可得答案.
【解答過程】因?yàn)?，所以?br/>所以由可得，
因?yàn)?，所以?br/>所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，
故選：B．
【題型7 基本不等式的有解問題】
【例7】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.
【解答過程】解：因?yàn)椋?，所以?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以，即，解得或，
所以的取值范圍是．
故選：C.
【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）
【解題思路】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以結(jié)合基本不等式求出的最小值，再解關(guān)于的不等式即可
【解答過程】因?yàn)?，且?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)的最小值為9，
因?yàn)橛薪?，所以，即?br/>解得或，
故選：A.
【變式7-2】（2023春·山東德州·高二德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且有解，則的取值范圍是 ．
【解題思路】根據(jù)已知表示出，若有解，則，表示出，然后利用基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.
【解答過程】由題知，因?yàn)椋?br/>所以，，
若有解，則即可，
因?yàn)?，都是正?shù)，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
故.
故答案為：.
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足且有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【解題思路】不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可.
【解答過程】由已知得：，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；
由題意：，
即，
解得：或，
故答案為：.
【題型8 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】
【例8】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為400平方米的三級污水處理池，平面圖如圖所示.已知處理池外圈建造單價(jià)為每米200元，中間兩條隔墻建造單價(jià)每米250元，池底建造單價(jià)為每平方米80元.（隔墻與池底的厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋）試設(shè)計(jì)處理池的長與寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)；

【解題思路】設(shè)污水池的長為米，總造價(jià)為元，寬為米，得到函數(shù)求解.
【解答過程】設(shè)污水池的長為米，總造價(jià)為元，則寬為米．
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．
所以設(shè)計(jì)污水池長為30米，寬為米時(shí)，總造價(jià)最低為56000元．
【變式8-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，有一批材料長為24 m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長）的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成兩個(gè)面積相等的矩形，那么圍成的矩形場地的最大面積是多少？
【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.（或者利用均值不等式求解）
【解答過程】由題意所示 ，，
∵，∴ ，
∴ ，
函數(shù)的對稱軸為，
∴當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，為 ，
（或者：由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.）
∴矩形面積最大為48平方米．
【變式8-2】（2023春·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）已知某公司計(jì)劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共萬件（），其成本為（萬元/萬件），其廣告宣傳總費(fèi)用為萬元，若將其銷售價(jià)格定為萬元/萬件．
(1)將該批產(chǎn)品的利潤（萬元）表示為的函數(shù)；
(2)當(dāng)廣告宣傳總費(fèi)用為多少萬元時(shí)，該公司的利潤最大 最大利潤為多少萬元
【解題思路】（1）根據(jù)利潤與成本及產(chǎn)量的關(guān)系直接列式；
（2）利用基本不等式求最值.
【解答過程】（1），；
（2），
，
，
當(dāng)即宣傳費(fèi)用為萬元時(shí)，利潤最大為萬元．
【變式8-3】（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）某學(xué)校要建造一個(gè)長方體形的體育館，其地面面積為，體育館高，如果甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為：館頂每平方米的造價(jià)為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米250元，設(shè)體育館前墻長為米．
(1)當(dāng)前墻的長度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？
(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)題意求出報(bào)價(jià)的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可得解；
（2）根據(jù)題意可知對任意的恒成立，分離參數(shù)可得對任意的恒成立，分類常數(shù)結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【解答過程】（1）因?yàn)轶w育館前墻長為米，地面面積為，
所以體育館的左右兩側(cè)墻的長度均為米，
設(shè)甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為元，
所以，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以當(dāng)前墻的長度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元；
（2）根據(jù)題意可知對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
所以對任意的恒成立，
因?yàn)椋?br/>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以，
故當(dāng)時(shí)，無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功．

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