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專題1.3 集合的基本運算【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 并集的運算】 2
【題型2 根據并集結果求集合或參數】 2
【題型3 交集的運算】 2
【題型4 根據交集結果求集合或參數】 3
【題型5 補集的運算】 4
【題型6 交、并、補集的混合運算】 4
【題型7 集合混合運算中的求參問題】 5
【題型8 Venn圖表達集合的關系和運算】 5
【知識點1 并集與交集】
1．并集的概念及表示
自然語言 符號語言 圖形語言
由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B}
2.交集的概念及表示
自然語言 符號語言 圖形語言
由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B}
【注】(1)兩個集合的并集、交集還是一個集合．
(2)對于A∪B，不能認為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合．因為A與B可能有公共元素，每一個公共元素只能算一個元素．
(3)A∩B是由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．
【題型1 并集的運算】
【例1】（2023·高一單元測試）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023春·河北邯鄲·高二統考期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·遼寧大連·統考三模）已知集合，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·四川綿陽·模擬預測）已知集合，，則中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【題型2 根據并集結果求集合或參數】
【例2】（2023·湖北荊門·校考模擬預測）已知集合，，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2-1】（2023·江蘇·高一假期作業）設集合，，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2-2】（2023·北京·校考模擬預測）已知集合，若，則集合B可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023春·江西景德鎮·高二校考期中）設集合，，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 交集的運算】
【例3】（2023春·廣東深圳·高二統考期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023春·陜西西安·高二統考期末）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023秋·江蘇宿遷·高一統考期末）已知集合，，則的子集的個數為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【變式3-3】（2023·山東濟寧·統考三模）若集合，，則集合中的元素個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【題型4 根據交集結果求集合或參數】
【例4】（2023·云南·校聯考模擬預測）已知集合，，若，則（ ）
A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【變式4-1】（2023春·陜西寶雞·高二統考期末）已知集合，，若，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式4-2】（2023·廣東·高三專題練習）已知集合，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023春·山西·高三校聯考階段練習）已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【知識點2 補集與全集】
1．全集
(1)定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．
(2)符號表示：全集通常記作U.
2．補集
定義 文字
語言 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合
A的所有元素組成的集合稱為集合A相
對全集U的補集，簡稱為集合A的補集，
記作 UA
符號
語言 UA={x|x∈U,且x A}
圖形
語言
性質 (1)
(2)
【注】 UA的三層含義：
(1) UA表示一個集合；
(2)A是U的子集，即A U；
(3) UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合．
【題型5 補集的運算】
【例5】（2023春·天津河北·高二統考期末）已知集合，，則集合（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2023·貴州·校聯考模擬預測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023秋·廣東廣州·高一校考期末）已知全集,且,則集合的真子集的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式5-3】（2023·全國·校聯考三模）已知全集，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 交、并、補集的混合運算】
【例6】（2023春·天津南開·高二校考期末）集合，，則=（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2023春·天津南開·高二統考期末）若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2023春·江蘇南通·高一統考期末）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·高一課時練習）已知全集， ， ， ，則（ ）
A． B． C． D．
【題型7 集合混合運算中的求參問題】
【例7】（2022秋·廣西欽州·高一校考期中）設全集，集合，若，則的值為（ ）
A．4 B．2 C．2或4 D．1或2
【變式7-1】（2023·江蘇無錫·江蘇省校考模擬預測）已知集合，，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2022秋·河南濮陽·高三校聯考階段練習）已知集合，，且，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2022·云南·校考模擬預測）設集合，，，若點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【知識點3 Venn圖表達集合的關系和運算】
如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結果的Venn圖表示.
【題型8 Venn圖表達集合的關系和運算】
【例8】（2023·廣東·校聯考模擬預測）已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B．
C． D．
【變式8-1】（2023·湖南邵陽·邵陽市校考模擬預測）如圖，集合均為的子集，表示的區域為（ ）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，是全集，，，是的三個子集，則圖中陰影部分表示（ ）

A． B．
C． D．
【變式8-3】（2023·四川成都·校考模擬預測）已知集合，，且，都是全集的子集，則下圖韋恩圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B．
C． D．專題1.3 集合的基本運算【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 并集的運算】 2
【題型2 根據并集結果求集合或參數】 2
【題型3 交集的運算】 4
【題型4 根據交集結果求集合或參數】 5
【題型5 補集的運算】 7
【題型6 交、并、補集的混合運算】 8
【題型7 集合混合運算中的求參問題】 9
【題型8 Venn圖表達集合的關系和運算】 11
【知識點1 并集與交集】
1．并集的概念及表示
自然語言 符號語言 圖形語言
由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B}
2.交集的概念及表示
自然語言 符號語言 圖形語言
由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B}
【注】(1)兩個集合的并集、交集還是一個集合．
(2)對于A∪B，不能認為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合．因為A與B可能有公共元素，每一個公共元素只能算一個元素．
(3)A∩B是由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．
【題型1 并集的運算】
【例1】（2023·高一單元測試）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接利用并集的定義求解.
【解答過程】因為集合，
所以 .
故選：A.
【變式1-1】（2023春·河北邯鄲·高二統考期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出集合，再由并集的定義求出.
【解答過程】由，又，
可知.
故選：D.
【變式1-2】（2023·遼寧大連·統考三模）已知集合，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由集合的包含關系判定即可.
【解答過程】集合與集合的關系不能用元素與集合的關系來表示，故C、D錯誤，而說明中元素都在集合中，故.
故選：B.
【變式1-3】（2023·四川綿陽·模擬預測）已知集合，，則中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】應用并運算求，即可得元素個數.
【解答過程】由題設，所以，故其中元素共有4個.
故選：B.
【題型2 根據并集結果求集合或參數】
【例2】（2023·湖北荊門·校考模擬預測）已知集合，，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據并集的結果，分類討論當、時集合A、B的情況，即可求解.
【解答過程】，
當即時，，不符合題意；
當即時，，此時.
所以.
故選：B.
【變式2-1】（2023·江蘇·高一假期作業）設集合，，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】利用集合的并集運算求解.
【解答過程】因為集合，，且，
所以.
故選：D.
【變式2-2】（2023·北京·校考模擬預測）已知集合，若，則集合B可以是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據并集定義計算，選出正確答案.
【解答過程】，A錯誤；
，B錯誤；
，C錯誤；
，D正確.
故選：D.
【變式2-3】（2023春·江西景德鎮·高二校考期中）設集合，，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據，可得，再分和兩種情況討論即可.
【解答過程】因為，所以，
當，即時，，符合題意；
當時，
則，解得，
綜上所述實數的取值范圍為.
故選：C.
【題型3 交集的運算】
【例3】（2023春·廣東深圳·高二統考期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據集合交集的概念與運算，準確運算，即可求解.
【解答過程】由集合，
根據集合交集的概念與運算，可得.
故選：B.
【變式3-1】（2023春·陜西西安·高二統考期末）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先化簡集合，然后根據交集的定義計算.
【解答過程】由題意，，，
根據交集的運算可知，.
故選：A.
【變式3-2】（2023秋·江蘇宿遷·高一統考期末）已知集合，，則的子集的個數為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解題思路】根據交集的運算可得.
【解答過程】由集合，得，故子集的個數為，
故選：C.
【變式3-3】（2023·山東濟寧·統考三模）若集合，，則集合中的元素個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】用列舉法表示集合，再根據交集的定義求出，即可判斷.
【解答過程】因為，
又，
所以，即集合中含有個元素.
故選：C.
【題型4 根據交集結果求集合或參數】
【例4】（2023·云南·校聯考模擬預測）已知集合，，若，則（ ）
A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【解題思路】根據集合的并集的結果分類討論求參數.
【解答過程】由于，則.
若，則，此時符合題意.
若，則或2,
時，，此時不合題意；
時，符合題意，
因此或2，
故選:C.
【變式4-1】（2023春·陜西寶雞·高二統考期末）已知集合，，若，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】根據交集結果得到，或，檢驗后得到答案.
【解答過程】因為，所以，或，
當時，，滿足集合元素的互異性，滿足要求；
當時，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；
當時，，，與集合元素的互異性矛盾，舍去.
故選：A.
【變式4-2】（2023·廣東·高三專題練習）已知集合，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由求得，即可求.
【解答過程】由題意可知，，即，所以，
所以.
故選：D.
【變式4-3】（2023春·山西·高三校聯考階段練習）已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】化簡集合，由條件可得，根據集合關系列不等式求的取值范圍.
【解答過程】因為，
所以，即，
因為，所以，又，
所以，
故實數的取值范圍是.
故選：A.
【知識點2 補集與全集】
1．全集
(1)定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．
(2)符號表示：全集通常記作U.
2．補集
定義 文字
語言 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合
A的所有元素組成的集合稱為集合A相
對全集U的補集，簡稱為集合A的補集，
記作 UA
符號
語言 UA={x|x∈U,且x A}
圖形
語言
性質 (1)
(2)
【注】 UA的三層含義：
(1) UA表示一個集合；
(2)A是U的子集，即A U；
(3) UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合．
【題型5 補集的運算】
【例5】（2023春·天津河北·高二統考期末）已知集合，，則集合（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據補集的定義求解即可.
【解答過程】因為，，
所以.
故選：A.
【變式5-1】（2023·貴州·校聯考模擬預測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先求出集合、，再根據補集的定義計算可得.
【解答過程】因為，，
所以.
故選：B.
【變式5-2】（2023秋·廣東廣州·高一校考期末）已知全集,且,則集合的真子集的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】求出集合后,寫出集合的真子集,數出個數即可.
【解答過程】解:由題知, ,
所以,
所以集合的真子集有:
,
共3個.
故選:B.
【變式5-3】（2023·全國·校聯考三模）已知全集，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據補集的概念結合元素與集合的關系即可得答案.
【解答過程】因為，所以.
又，所以.
所以，故ABD錯誤，C正確.
故選：C.
【題型6 交、并、補集的混合運算】
【例6】（2023春·天津南開·高二校考期末）集合，，則=（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由交集與補集的定義求解即可.
【解答過程】因為集合，所以，所以.
故選：B.
【變式6-1】（2023春·天津南開·高二統考期末）若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】用列舉法表示全集，再利用補集、交集的定義求解作答.
【解答過程】依題意，，而，，
則，
所以.
故選：A.
【變式6-2】（2023春·江蘇南通·高一統考期末）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據集合的交并補運算即可求解.
【解答過程】,,,,
故選:C.
【變式6-3】（2023·高一課時練習）已知全集， ， ， ，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意畫出圖，即可得出答案.
【解答過程】由題意畫出圖如下，

可得：，，，.
故選：D.
【題型7 集合混合運算中的求參問題】
【例7】（2022秋·廣西欽州·高一校考期中）設全集，集合，若，則的值為（ ）
A．4 B．2 C．2或4 D．1或2
【解題思路】由可知，由此即可解出，則可求出，再由可知，由此即可求出答案.
【解答過程】因為
所以
所以解得：，
或
所以，
所以，
所以解得：或，
且解得：且
所以.
故選：B.
【變式7-1】（2023·江蘇無錫·江蘇省校考模擬預測）已知集合，，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求得，得到，結合題意得到不等式，即可求解.
【解答過程】由集合，，
可得，
因為，所以，解得，即實數的取值范圍是.
故選：C.
【變式7-2】（2022秋·河南濮陽·高三校聯考階段練習）已知集合，，且，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出集合A的補集，再由可求出實數m的取值范圍
【解答過程】∵，∴，
∵，∴．
故選：C．
【變式7-3】（2022·云南·校考模擬預測）設集合，，，若點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據列不等式組，由此化簡求得的最小值.
【解答過程】、，
由于，
所以，，
所以，即的最小值為.
故選：C.
【知識點3 Venn圖表達集合的關系和運算】
如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結果的Venn圖表示.
【題型8 Venn圖表達集合的關系和運算】
【例8】（2023·廣東·校聯考模擬預測）已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】利用集合的交并補的定義，結合圖即可求解.
【解答過程】因為或，或，
所以或或或，
或或或.
由題意可知陰影部分對于的集合為，
所以，
或.
故選：D.
【變式8-1】（2023·湖南邵陽·邵陽市校考模擬預測）如圖，集合均為的子集，表示的區域為（ ）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【解題思路】根據集合間的運算分析判斷.
【解答過程】因為表示除集合B以外的所有部分，即為Ⅰ和Ⅱ，
所以表示與集合A的公共部分，即為Ⅱ.
故選：B.
【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，是全集，，，是的三個子集，則圖中陰影部分表示（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】根據集合的運算判斷各選項對應的區域，由此判斷結論.
【解答過程】如圖所示，對于A，對應的是區域1；
對于B，對應的是區域2；
對于C，對應的是區域3；
對于D，對應的是區域4．
故選：B．

【變式8-3】（2023·四川成都·校考模擬預測）已知集合，，且，都是全集的子集，則下圖韋恩圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】依題意圖中陰影部分表示的集合為，根據交集、補集的定義計算可得.
【解答過程】因為，，
所以，圖中陰影部分表示的集合為，
所以.
故選：C.

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