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專題2.1 等式性質與不等式性質【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 不等關系的建立】 1
【題型2 利用作差法比較大小】 3
【題型3 利用作商法比較大小】 4
【題型4 利用作差法比較大小的應用】 5
【題型5 利用不等式的性質判斷正誤】 8
【題型6 利用不等式的性質證明不等式】 10
【題型7 利用不等式的性質求取值范圍】 12
【知識點1 不等關系】
1．不等關系的建立
在用不等式(組)表示實際問題中的不等關系時，先通過審題，設出未知量，找出其中的不等關系，再將不等關系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．
【題型1 不等關系的建立】
【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示為“x<2 000”
B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”
C．某變量x至少為a可表示為“x>a”
D．小明的身高x cm，小華的身高y cm，則小明比小華矮表示為“x>y”
【解題思路】根據數量的大小關系，判斷不等式使用是否正確，選出正確答案.
【解答過程】對于A，某人收入x不高于2000元可表示為，A錯誤；
對于B，變量y不超過a可表示為，B正確；
對于C，變量x至少為a可表示為，C錯誤；
對于D，小明身高，小華身高，小明比小華矮表示為，D錯誤.
故選：B.
【變式1-1】（2023·高一課時練習）某醫院工作人員所需某種型號的口罩可以外購，也可以自己生產．其中外購的單價是每個1.2元，若自己生產，則每月需投資固定成本2000元，并且每生產一個口罩還需要材料費和勞務費共0.8元．設該醫院每月所需口罩個，則自己生產口罩比外購口罩較合算的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題設條件可得關于的不等式，求解后可得正確的選項.
【解答過程】由，得，即，
故選：B．
【變式1-2】（2022秋·黑龍江雙鴨山·高一校考期中）完成一項裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現有工人工資預算2000元，設木工人，瓦工人，則請工人滿足的關系式是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據工資預算以及工人工資列出不等式.
【解答過程】依題意，請工人滿足的關系式是，
即.
故選：D.
【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點100米以外（含100米）為安全區．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區，導火索的長度x（單位：厘米）應滿足的不等式為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】計算出導火索燃燒的時間也即人跑到100米外安全區至少需要的時間，列出不等關系，即可求得答案.
【解答過程】由題意知導火索的長度x（單位：厘米），故導火索燃燒的時間為秒，
人在此時間內跑的路程為米，由題意可得．
故選：B．
【知識點2 比較大小】
1．兩個實數大小的比較
如果a－b是正數，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負數，那么ab a－b>0，a＝b a－b＝0，a從上述基本事實可知，要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的差與0的大小．
【題型2 利用作差法比較大小】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知a>0，b>0，M＝，N＝，則M與N的大小關系為（　　）
A．M>N B．M【解題思路】平方后作差比較大小即可.
【解答過程】，
∴M故選：B.
【變式2-1】（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．與的大小無法判斷
【解題思路】根據作差法比較大小即可.
【解答過程】因為，
所以，故.
故選：A.
【變式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一統考期末）已知，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用作差法判斷即可.
【解答過程】因為，則，所以，所以，
又，所以，
所以.
故選：D.
【變式2-3】（2023·江蘇·高一假期作業）已知，，為不全相等的實數，，，那么與的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用作差法判斷即可.
【解答過程】因為，
所以，
當且僅當時取等號,
，，為不全相等的實數，因此等號不成立，即，
．
故選：A.
【題型3 利用作商法比較大小】
【例3】（2023·全國·高一假期作業）已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的關系隨c而定
【解題思路】應用作商法比較的大小關系即可.
【解答過程】由題設，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故選：C.
【變式3-1】（2022秋·山東泰安·高一校考期中）設，，則（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】首先配方判斷、均大于零，然后作商即可比較大小.
【解答過程】，
，
則
.
故，當且僅當時，取等號，
故選：D.
【變式3-2】（2023·江蘇·高一假期作業）若，則、、、中最小的是 .
【解題思路】利用作商法以及不等式的性質求解即可.
【解答過程】因為，所以，，
因為，，所以，
即
故答案為：.
【變式3-3】（2021·全國·高一專題練習），則的大小關系為 ≥ ．
【解題思路】用作商法比較的大小關系，化簡即可得結果.
【解答過程】因為， 則
由
所以，
故答案為：.
【題型4 利用作差法比較大小的應用】
【例4】（2023·高一課時練習）某單位計劃組織員工參觀花博會需租車前往．甲租車公司：“如領隊買全票一張，其余人可享受7.5折優惠”．乙租車公司：“你們屬團體票，按原價的8折優惠”．這兩家租車公司的單人全票價、車型都是一樣的，試根據該單位參觀的人數，選擇一下租車公司．
【解題思路】設該單位員工有n人()，全票價為x元，再用及表示出選甲、乙車需花的總費用，然后作差比較即可得解.
【解答過程】設該單位員工有n人()，全票價為元，坐甲車需花元，坐乙車需花元，
則，，
因為，
因為，
所以當時，；當時，；當時，．
因此，當單位去參觀的人數為5人時，兩家租車公司收費相同；多于5人時，選甲租車公司更優惠；少于5人時，選乙租車公司更優惠．
【變式4-1】（2022·上海·高二專題練習）有甲、乙兩位股民，分兩次同時以a，b兩種不同價格（單位：元/股）買入同一種股票；甲的買入方式為：每次買入10000元的股票：乙的買入方式為：每次買入股票2000股；請根據兩人所買股票的平均每股價格，判斷哪一位的買入方式比較合算？
【解題思路】根據平均價格的計算公式，分別計算出甲和乙所買股票的平均每股價格，再用作差法進行比較即可求得答案.
【解答過程】甲所買股票的平均每股價格：，
乙所買股票的平均每股價格：，
作差得，，
即，故甲買入的方式比較合算.
【變式4-2】（2023秋·廣東·高一統考期末）一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于10%，而且這個比值越大，采光效果越好．設某所公寓的窗戶面積與地板面積分別為，．
(1)若這所公寓的窗戶面積與地板面積的總和為，求這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米；
(2)若同時增加窗戶面積和地板面積各，判斷這所公寓的采光效果是否變好了，并說明理由．
【解題思路】（1）設公寓窗戶面積與地板面積分別為，則，化簡得即得解；
（2）設a和b分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積，再比較和的大小即得解.
【解答過程】（1）設公寓窗戶面積與地板面積分別為，則，
所以，所以，所以.
所以這所公寓的窗戶面積至少為20平方米.
（2）設a和b分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得：，
則.
因為，所以.
又因為，所以.
因此，即.
所以窗戶和地板同時增加相等的面積，住宅的采光條件變好了.
【變式4-3】（2023·江蘇·高一假期作業）下列關于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；
(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.
【解題思路】由題意建立不等式，利用作差法比較大小即可得證.
【解答過程】（1）設糖水b克，含糖a克，糖水濃度為，加入m克糖，即證明不等式 (其中a，b，m為正實數，且b＞a)成立．
不妨用作差比較法，證明如下：
＝.
∵a，b，m為正實數，且，，
∴，即.
（2）設原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為，且，求證： (其中).
證明：，且b＞a＞0，d＞c＞0，
，即，
，
即，
，
即
（3）設原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為，加入m克水，求證： (其中b＞a＞0，m＞0).
證明：，
.
【知識點3 等式性質與不等式性質】
1．等式的基本性質
性質1　如果a＝b，那么b＝a；
性質2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性質3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性質
(1)如果a>b，那么bb.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【題型5 利用不等式的性質判斷正誤】
【例5】（2023春·福建·高二統考學業考試）已知，則下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由不等式的性質可判斷A；由特值法可判斷BCD.
【解答過程】對于A，，由不等式的性質可得，故A正確；
對于B，，取，所以，故B不正確；
對于C，，若，則，故C不正確；
對于D，，取，故D不正確.
故選：A.
【變式5-1】（2023春·上海寶山·高一統考期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用不等式的性質，逐項判斷作答.
【解答過程】由，得，A正確；
由，得，則，B錯誤；
由，得，C錯誤；
由，得，即，D錯誤.
故選：A.
【變式5-2】（2023春·江蘇揚州·高一統考開學考試）對于實數a，b，c，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則．
【解題思路】ABD選項，由做差法可判斷大小；C選項，分三種情況討論即可判斷大小.
【解答過程】A選項，，故A錯誤；
B選項，，因不清楚的正負情況，故B錯誤；
C選項，當時，；
當時，，
當時，，
綜上，故C正確；
D選項，，故D錯誤.
故選：C.
【變式5-3】（2023秋·河南省直轄縣級單位·高二校考階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【解題思路】舉反例排除ABC；利用作差法即可判斷D.
【解答過程】A選項，當時，，故A錯誤；
B選項，當，，，時，，，故B錯誤；
C選項，當，，，時，，故C錯誤；
D選項，若，，則，即，故D正確．
故選：D.
【題型6 利用不等式的性質證明不等式】
【例6】（2023·全國·高一假期作業）證明下列不等式：
(1)已知，求證
(2)已知，求證：．
【解題思路】（1）（2）利用不等式的基本性質即可證明．
【解答過程】（1）證明：，，
，，
又因為，即，
所以.
（2）證明：，，；
又，，；
.
【變式6-1】（2023·全國·高一假期作業）（1）已知，且，證明：．
（2）證明：．
【解題思路】(1)利用不等式的性質證明即可；
(2)等價于證明+ +，對不等式兩邊同時平方后只需證明 ，再平方即可證明.
【解答過程】證明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以 ，
即 ；所以 ，即 ．
（2）要證，
只需證 ，
即證；
即證 ，
即證；即證，顯然成立；
所以．
【變式6-2】（2022秋·內蒙古呼和浩特·高一統考期中）證明不等式．
(1)，bd＞0，求證：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．
【解題思路】（1）作差后，根據條件結合不等式的性質證明；
（2）先用作差法證明，然后根據不等式的性質證明即可得到.
【解答過程】（1）證明：，
因為，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）證明：因為a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
則，，
即有，成立；
因為，，所以，，
又，所以，成立.
所以，有.
【變式6-3】（2023·高一課時練習）利用不等式的性質證明下列不等式：
(1)若，，則；
(2)若，，則．
【解題思路】（1）可知，而，即可得證；
（2）可知，而，即可得證；
【解答過程】（1）證明： ，
，
又，
；
（2）證明：，
，
又，
．
【題型7 利用不等式的性質求取值范圍】
【例7】（2023·全國·高三專題練習）已知－1【解題思路】由不等式的基本性質求解即可.
【解答過程】設3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），
則，所以，即.
又∵－1∴，即，
∴3x＋2y的取值范圍為.
【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習）若實數x、y滿足，，則的取值范圍是？
【解題思路】根據題意以整體，結合不等式的性質分析運算.
【解答過程】設，
由題意可得，解得，
所以，
由，可得，
所以，即，
故的取值范圍是.
【變式7-2】（2023·全國·高一假期作業）實數、滿足，.
(1)求實數、的取值范圍；
(2)求的取值范圍．
【解題思路】（1）由，根據不等式的性質計算可得；
（2）求出，再利用不等式的性質得解.
【解答過程】（1）解：由，，
則，所以，所以，即，
即實數的取值范圍為．
因為，
由，
所以，所以，
所以，
∴，
即實數的取值范圍為．
（2）解：設，
則，解得，
∴，
∵，．
∴，，
∴，
即的取值范圍為．
【變式7-3】（2023·高一課時練習）已知實數分別滿足，，.
（1）分別求與的取值范圍；
（2）若試分別求及的取值范圍.
【解題思路】（1）根據不等式的性質即可求出與的取值范圍；
（2）根據不等式的性質結合即可求解.
【解答過程】（1），,
,
, .
（2）由條件則.
又因為，
從而可得；
由 .
，
又因為，
從而.專題2.1 等式性質與不等式性質【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 不等關系的建立】 1
【題型2 利用作差法比較大小】 2
【題型3 利用作商法比較大小】 2
【題型4 利用作差法比較大小的應用】 3
【題型5 利用不等式的性質判斷正誤】 4
【題型6 利用不等式的性質證明不等式】 5
【題型7 利用不等式的性質求取值范圍】 6
【知識點1 不等關系】
1．不等關系的建立
在用不等式(組)表示實際問題中的不等關系時，先通過審題，設出未知量，找出其中的不等關系，再將不等關系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．
【題型1 不等關系的建立】
【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示為“x<2 000”
B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”
C．某變量x至少為a可表示為“x>a”
D．小明的身高x cm，小華的身高y cm，則小明比小華矮表示為“x>y”
【變式1-1】（2023·高一課時練習）某醫院工作人員所需某種型號的口罩可以外購，也可以自己生產．其中外購的單價是每個1.2元，若自己生產，則每月需投資固定成本2000元，并且每生產一個口罩還需要材料費和勞務費共0.8元．設該醫院每月所需口罩個，則自己生產口罩比外購口罩較合算的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022秋·黑龍江雙鴨山·高一校考期中）完成一項裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現有工人工資預算2000元，設木工人，瓦工人，則請工人滿足的關系式是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點100米以外（含100米）為安全區．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區，導火索的長度x（單位：厘米）應滿足的不等式為（ ）
A． B． C． D．
【知識點2 比較大小】
1．兩個實數大小的比較
如果a－b是正數，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負數，那么ab a－b>0，a＝b a－b＝0，a從上述基本事實可知，要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的差與0的大小．
【題型2 利用作差法比較大小】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知a>0，b>0，M＝，N＝，則M與N的大小關系為（　　）
A．M>N B．M【變式2-1】（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．與的大小無法判斷
【變式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一統考期末）已知，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·江蘇·高一假期作業）已知，，為不全相等的實數，，，那么與的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 利用作商法比較大小】
【例3】（2023·全國·高一假期作業）已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的關系隨c而定
【變式3-1】（2022秋·山東泰安·高一校考期中）設，，則（ ）．
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·江蘇·高一假期作業）若，則、、、中最小的是 .
【變式3-3】（2021·全國·高一專題練習），則的大小關系為 ．
【題型4 利用作差法比較大小的應用】
【例4】（2023·高一課時練習）某單位計劃組織員工參觀花博會需租車前往．甲租車公司：“如領隊買全票一張，其余人可享受7.5折優惠”．乙租車公司：“你們屬團體票，按原價的8折優惠”．這兩家租車公司的單人全票價、車型都是一樣的，試根據該單位參觀的人數，選擇一下租車公司．
【變式4-1】（2022·上海·高二專題練習）有甲、乙兩位股民，分兩次同時以a，b兩種不同價格（單位：元/股）買入同一種股票；甲的買入方式為：每次買入10000元的股票：乙的買入方式為：每次買入股票2000股；請根據兩人所買股票的平均每股價格，判斷哪一位的買入方式比較合算？
【變式4-2】（2023秋·廣東·高一統考期末）一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于10%，而且這個比值越大，采光效果越好．設某所公寓的窗戶面積與地板面積分別為，．
(1)若這所公寓的窗戶面積與地板面積的總和為，求這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米；
(2)若同時增加窗戶面積和地板面積各，判斷這所公寓的采光效果是否變好了，并說明理由．
【變式4-3】（2023·江蘇·高一假期作業）下列關于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；
(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.
【知識點3 等式性質與不等式性質】
1．等式的基本性質
性質1　如果a＝b，那么b＝a；
性質2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性質3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性質
(1)如果a>b，那么bb.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【題型5 利用不等式的性質判斷正誤】
【例5】（2023春·福建·高二統考學業考試）已知，則下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023春·上海寶山·高一統考期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023春·江蘇揚州·高一統考開學考試）對于實數a，b，c，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則．
【變式5-3】（2023秋·河南省直轄縣級單位·高二校考階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【題型6 利用不等式的性質證明不等式】
【例6】（2023·全國·高一假期作業）證明下列不等式：
(1)已知，求證
(2)已知，求證：．
【變式6-1】（2023·全國·高一假期作業）（1）已知，且，證明：．
（2）證明：．
【變式6-2】（2022秋·內蒙古呼和浩特·高一統考期中）證明不等式．
(1)，bd＞0，求證：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．
【變式6-3】（2023·高一課時練習）利用不等式的性質證明下列不等式：
(1)若，，則；
(2)若，，則．
【題型7 利用不等式的性質求取值范圍】
【例7】（2023·全國·高三專題練習）已知－1【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習）若實數x、y滿足，，則的取值范圍是？
【變式7-2】（2023·全國·高一假期作業）實數、滿足，.
(1)求實數、的取值范圍；
(2)求的取值范圍．
【變式7-3】（2023·高一課時練習）已知實數分別滿足，，.
（1）分別求與的取值范圍；
（2）若試分別求及的取值范圍.

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