資源簡介

銜接點03 因式分解
1、熟練掌握提公因式法和公式法
2、能靈活應用十字相乘法
3、了解分組分解法
一、初中知識再現(xiàn)
1、因式分解定義
把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種運算叫做因式分解.
2、提公因式法
（1）如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。如:
（2）概念內(nèi)涵:
①因式分解的最后結果應當是“積”；
②公因式可能是單項式,也可能是多項式；
③提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律,即:
3、公式法：
3.1公式法——平方差公式
兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：
特別說明：
（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.
（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.
（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.
3.2公式法——完全平方公式
兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
特別說明：
（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；
（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍. 右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.
（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.
4、十字相乘法
4.1十字相乘法
利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.
對于二次三項式，若存在 ，則
特別說明：
（1）在對分解因式時，要先從常數(shù)項的正、負入手，若，則,同號(若，則,異號)，然后依據(jù)一次項系數(shù)的正負再確定,的符號
（2）若中的,為整數(shù)時，要先將分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數(shù)之和能否等于，直到湊對為止.
4.2首項系數(shù)不為1的十字相乘法
在二次三項式中，如果二次項系數(shù)可以分解成兩個因數(shù)之積，即，常數(shù)項可以分解成兩個因數(shù)之積，即，把排列如下：
按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式的一次項系數(shù)，即，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即.
特別說明：
（1）分解思路為“看兩端，湊中間”
（2）二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.
5、分組分解法
對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.
6、求根公式法
對于一元二次方程，當時，一元二次方程有兩個實數(shù)根，記為：.此時對應的二次三項式可分解為：.
二、高中相關知識
1、乘法公式中的立方和、立方差公式：
①
②
2、因式分解中的立方和、立方差公式
①
②
對點特訓一：提公因式法因式分解
典型例題
例題1．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）將多項式提公因式后，另一個因式為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了提公因式法分解因式，先利用提公因式法法進行因式分解，即可確定公因式和另一個因式．
【詳解】解：
，
∴公因式是，另一個因式為．
故選：B
例題2．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）若，，則 ．
【答案】15
【分析】本題主要考查了分解因式和代數(shù)式求值綜合．解決問題的關鍵是熟練掌握提公因式法分解因式，整體代入法求代數(shù)式的值．
先提取公因式，然后把，代入整式即可得出答案．
【詳解】∵，，
∴
．
故答案為：15．
精練
1．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）把多項式分解因式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】本題考查了提公因式法分解因式等知識，利用提公因式法將分解為，問題得解．
【點睛】解：．
故選：C
2．（23-24七年級下·湖南懷化·期中）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法成為解題的關鍵．
（1）先提取公因式a，然后再運用完全平方公式因式分解即可；
（2）直接提取公因式即可解答．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：．
對點特訓二：運用公式法分解因式
典型例題
例題1．（23-24七年級下·湖南懷化·期中）【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數(shù)這一性質增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應用．
例1 用配方法因式分解：．
解：原式
．
請根據(jù)上述自主學習材料解決下列問題：
請用配方法分解因式：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了因式分解—配方法，熟練掌握完全平方公式與完全正確平方公式是解題的關鍵．
（1）仿例題中的配方法，根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可得求解；
（2）仿例題中的配方法，根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可求解．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
例題2．（23-24七年級下·江蘇常州·期中）把下列各式進行因式分解
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了提取公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．
（1）利用完全平方公式進行二次分解即可；
（2）利用平方差公式進行因式分解即可；
（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式進行二次分解即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
精練
1．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）把下列各式因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)先提取公因式，再套用公式分解即可．
(2) 先提取公因式，再套用公式分解即可．
(3)平方差公式分解即可．
(4)完全平方公式分解即可．
本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關鍵．
【詳解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
2．（23-24八年級上·山東濱州·期末）通過學習，我們知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，與此同時，某些多項式只用上述一種方法無法因式分解．下面是甲、乙兩位同學對多項式進行因式分解的過程．
甲： （先分成兩組） ． 乙： （先分成兩組） ．
兩位同學分解因式的方法叫做分組分解法，請你仔細觀察并對以下多項式進行因式分解．
(1)試用上述方法分解因式：．
(2)利用分解因式說明：因式能被9整除．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查因式分解．掌握分組分解法，是解題的關鍵．
（1）利用分組分解法進行求解即可；
（2）利用平方差公式法進行因式分解，根據(jù)結果進行說明即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
∴因式能被9整除．
對點特訓三：首項系數(shù)為“1”的二次三項式因式分解
典型例題
例題1．（2024·江西吉安·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本題考查因式分解，根據(jù)十字相乘法即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
例題2．（23-24七年級上·上海·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是熟練掌握十字相乘法進行因式分解．
【詳解】解：
∵，
∴．
故答案為：．
題型歸類練
1．（23-24九年級下·上海·階段練習）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查分解因式，利用十字相乘法求解即可．
【詳解】解：
故答案為：．
2．（23-24八年級上·重慶璧山·期末）因式分解的結果是 ．
【答案】
【分析】解：本題考查了公式法進行因式分解，掌握進行因式分解是解題的關鍵．
【詳解】，
故答案為：．
對點特訓四：首項系數(shù)“不為1”的二次三項式因式分解
典型例題
例題1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）若是多項式（m為系數(shù)）的一個因式，則m的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解的十字相乘法，利用十字相乘法很容易確定的值，解題的關鍵是熟練掌握十字相乘法．
【詳解】解：∵多項式分解因式后含有因式，
，
則，
故選：C．
例題2．（2023八年級上·全國·專題練習）十字相乘法分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查十字法因式分解的應用：
（1），從而運用十字相乘法可分解因式；
（2），從而運用十字相乘法可分解因式
【詳解】（1）
（2）
．
精練
1．（23-24七年級上·上海·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】原式先提取公因數(shù)2，再利用十字相乘法求出解即可．
【詳解】解：原式，
故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解—十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解題的關鍵．
2．（23-24八年級上·河南洛陽·期中）把下列多項式分解因式：
(1)．
【答案】(1)
【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做這個多項式的因式分解：
（1）運用十字相乘法進行因式分解，即可作答；
正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：．
對點特訓五：含參數(shù)的十字相乘法
典型例題
例題1．（23-24九年級上·浙江嘉興·期末）解下列關于x的不等式：
(1)．
【答案】當時，；當時，不等式無解；當時，．
【分析】本題考查利用因式分解法解一元二次不等式．
（1）將不等式左邊因式分解，再根據(jù)“兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負”即可轉化為一元一次不等式組，根據(jù)a的取值分類討論求解即可．
【詳解】（1），
不等式化為，
∴或
∴或，
當，即時，；
當，即時，不等式無解；
當，即時，．
例題2．（23-24八年級上·湖北黃石·階段練習）分解因式：
(1)
【答案】(1)
【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關鍵．
（1）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可；
【詳解】（1）解：
；
題型歸類練
1．（23-24八年級上·四川內(nèi)江·期中）因式分解
(1)
【答案】(1)
【分析】
本題考查了因式分解．
（1）運用十字相乘法分解因式即可．
熟練掌握各種分解因式的方法是解題的關鍵．
【詳解】（1）．
2．（23-24七年級上·上海閔行·期中）（1）因式分解：
【答案】（1）
【詳解】解：（1）原式．
【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．
對點特訓六：十字相乘法的綜合應用
典型例題
例題1．（23-24八年級上·云南保山·階段練習）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題．
如果一個整式等于整式與整式之積，則稱整式和整式為整式的因式．
如：①因為，所以和是的因式．
②若是的因式，則求常數(shù)的值的過程如下：
解：是的因式，
存在一個整式，使得．
當時，，此時．
將代入得，，解得．
(1)是的因式嗎？______（填“是”或“不是”）；
(2)若整式是的因式，求常數(shù)的值．
【答案】(1)不是
(2)
【分析】本題考查了因式分解-十字相乘法等和因式分解-分組分解法的應用，主要考查學生的理解能力和閱讀能力．
（1）根據(jù)因式分解-十字相乘法分解因式即可作出判斷；
（2）根據(jù)多項式乘法將等式展開有：，再將代入即可求解．
【詳解】（1）解：，
不是的因式，
故答案為：不是，
（2）解：∵整式是的因式，
存在一個整式，使得，
當時，，
此時．
將代入得，
，
解得：．
例題2．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）【提出問題】某數(shù)學活動小組對多項式乘法進行如下探究：
①；
②；
③．
通過以上計算發(fā)現(xiàn)，形如的兩個多項式相乘，其結果一定為(為整數(shù)
因為因式分解是與整式乘法是方向相反的變形，所以一定有，即可將形如的多項式因式分解成(為整數(shù)．
例如：．
【初步應用】（1）用上面的方法分解因式： ______；
【類比應用】（2）規(guī)律應用：若可用以上方法進行因式分解，則整數(shù)的所有可能值是______；
【拓展應用】（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】本題主要考查了因式分解及其應用，解題關鍵是熟練掌握利用十字相乘法進行分解因式．
（1）按照已知條件中方法進行分解因式即可；
（2）先找出乘積為的兩個整數(shù)有哪些，然后按照條件中的方法，求出的值即可；
（3）按照已知條件中的方法，先把分解成，然后把多項式進行第一次分解因式，再把分解成，分解成，進行第二次分解因式即可．
【詳解】解：（1）
，
，
故答案為：；
（2）∵，
∴，
，
，
，
∴或 或或 ，
整數(shù)的值可能是或，
故答案為：或；
（3），
，
，
，
．
精練
1．（2023八年級上·全國·專題練習）閱讀下列材料：
材料 將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成 ．
(1)根據(jù)材料 ，把分解因式．
(2)結合材料和材料，完成下面小題：
①分解因式：；
②分解因式：．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】本題考查了因式分解．掌握十字相乘法和完全平方公式進行因式分解是解題的關鍵．
（1）根據(jù)進行解答即可；
（2）①將看成一個整體，令，分解因式，然后再還原即可；②令，原式可變?yōu)椋矗M行因式分解可得，代換后進行因式分解即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，
∴；
（2）①解：令，
原式
∴；
②解：令，
原式
∴原式
，
∴．
2．（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運算法則推導得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當?shù)姆纸猓鐖D2，則．
根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)結合本題知識，分解因式：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關鍵是對相應的知識的掌握與運用．
（1）利用十字相乘法進行求解即可；
（2）利用十字相乘法進行求解即可；
（3）先分組，再利用十字相乘法進行求解即可．
【詳解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
對點特訓七：分組分解法（四項式，五項式，六項式等）
典型例題
例題1．（2024七年級下·江蘇·專題練習）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解的多項式，比如：四項的多項式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進行分組分解．
例1：“兩兩分組”：
解：原式
例2：“三一分組”：
解：原式
歸納總結：用分組分解法分解因式要先恰當分組，然后用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解．
請同學們在閱讀材料的啟發(fā)下，解答下列問題：
(1)分解因式：
①；
②．
(2)已知的三邊，，滿足，試判斷的形狀．
【答案】(1)①；②
(2)等腰三角形
【分析】本題考查了因式分解，三角形的三邊關系，等腰三角形的判定，熟練掌握因式分解的方法是解題關鍵．
（1）①先分組，然后用提公因式法進行因式分解即可得到答案；②先分組，然后利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解即可得到答案；
（2）先利用因式分解，得到，再根據(jù)三角形的三邊關系，得到，推出，即可判斷的形狀．
【詳解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：等腰三角形，理由如下：
，
，
，，是的三邊，
，
，
，
，
的形狀是等腰三角形．
例題2．（22-23八年級上·四川眉山·階段練習）在“探究性學習“小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解：
甲：
（分成兩組）
（直接提公因式）
．
乙：
（分成兩組）
（直接運用公式）
．
請你在他們的解法的啟發(fā)下，解答下面各題：
(1)因式分解：；
(2)已知，，求式子的值；
(3)已知的三邊長分別是a，b，c，且滿足，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)等邊三角形，理由見解析
【分析】本題主要考查了因式分解，等邊三角形的判定，解題的關鍵是根據(jù)題意進行拆項，將原等式重新分組后進行因式分解．
（1）分組，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）分組，利用提公因式法分解得到，再求得，整體代入求解即可；
（3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非負數(shù)的性質即可求解.
【詳解】（1）解
；
（2）解：
，
∵，，
∴，
∴原式；
（3）解：是等邊三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形．
精練
1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）在“探究性學習”小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解：
甲： （分成兩組） （直接提公因式） ， 乙： （分成兩組） （直接運用公式）
請在他們的解法啟發(fā)下解答下面各題：
(1)因式分解：；
(2)若，求式子的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本題考查因式分解的應用，解題的關鍵是明確題意，巧妙的運用分組分解因式解答問題．
（1）可先利用完全平方公式計算，再利用平方差公式因式分解；
（2）的公因式是，再次提公因式后代入數(shù)值計算即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴
2．（23-24八年級上·陜西商洛·期末）閱讀材料，拓展知識．
第一步：要把多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，并提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而可得：，這種方法稱為分組法．
第二步：理解知識，嘗試填空．
（1）______．
第三步：應用知識，解決問題．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提煉思想，拓展應用．
（3）已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且滿足，試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）這個三角形為等邊三角形，理由見解析
【分析】本題考查了因式分解的分組分解方法，等邊三角形的判定，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
（1）仿照例題，先分組，再利用提取公因式法分解即可；
（2）①先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
②先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
（3）移項后分解因式，可得出，則可得出答案．
【詳解】解：（1）
故答案為：；
（2）①
；
②
；
（3）這個三角形為等邊三角形．
理由如下：
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴這個三角形是等邊三角形．
對點特訓八：因式分解的應用
典型例題
例題1．（23-24七年級下·湖南郴州·期中）將幾個圖形拼成一個新圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，例如，由圖1可得等式．將若干張圖2所示的卡片進行拼圖，可以將二次三項式分解因式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查因式分解的應用，能夠根據(jù)所給的單項式畫出幾何圖形，畫出圖形，根據(jù)圖形因式分解即可，利用等積法進行因式分解是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖：
∴，
故選：C．
例題2．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）某種產(chǎn)品的原料提價，因而廠家決定對產(chǎn)品進行提價，現(xiàn)有兩種方案：
方案1：第一次提價的百分率為p，第二次提價的百分率為q．
方案2：第一、二次提價的百分率均為．
其中p、q是不相等的正數(shù)．設產(chǎn)品的原單價為a元時，上述兩種方案使該產(chǎn)品的單價變?yōu)椋?br/>(1)方案1：______；方案2：______；
(2)兩種方案中哪種提價多？請說明理由．
【答案】(1)，
(2)方案2提價最多
【分析】本題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是正確理解題意，得出每種方案提價后的單價．利用作差法比較大小．
（1）根據(jù)各方案中的提價百分率，即可提出提價后的單價；
（2）用作差法即可進行比較．
【詳解】（1）解：方案1：提價后的單價：，
方案2：提價后的單價：，
故答案為：，．
（2）解：
，
∵，
∴，則，
∴，
∴提價最多的是方案2．
精練
1．（23-24八年級下·安徽宿州·期中）父親今年x歲，兒子今年y歲，父親比兒子大26歲，并且，請你求出父親和兒子今年各多少歲？
【答案】40歲，14歲
【分析】本題考查了因式分解的應用，根據(jù)題意得到，將變形為，整體代入求出，即可求出，問題得解．
【詳解】解：由題意，得，
∵，
∴，
解得，
∴．
答：父親今年40歲，兒子今年14歲．
2．（23-24八年級下·陜西西安·期中）數(shù)形結合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想．我們可用此思想，來探索因式分解的一些方法．

(1)探究一：將圖的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項式的因式分解______．
(2)探究二：類似地，我們借助一個棱長為的大正方體進行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為______．再將圖中的幾何體分割成三個長方體、、，如圖所示，則根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，長方體的體積為．類似地，表示出長方體的體積為______，長方體的體積為______．當用兩種不同的方法表示圖中幾何體的體積時，就可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為______．
(3)問題應用：利用上面的結論，解決問題：已知，，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）圖中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖中陰影部分的面積等于長為、寬為的長方形的面積，由此即可得；
（）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積，長方體的體積公式，再結合結論即求解；
（）由，，求出，然后代入求值即可；
本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識點，熟練掌握利用不同的方法表示同一個幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關鍵．
【詳解】（1）圖中陰影部分的面積為，圖中陰影部分的面積為
∵拼圖前后圖形的面積不變，
，
∴可得一個多項式的分解因式為，
故答案為：；
（2）由題意，得到的幾何體的體積為，
∵，，，
∴長方體的體積為，
∵，，，
∴長方體的體積為，
∴，
則可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為，
故答案為：；；；；
（3）∵，，
∴，
∴
，
．
一、單選題
1．（2024·河南駐馬店·一模）下列等式，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了整式的運算，解題關鍵是掌握整式運算法則，準確進行計算；
根據(jù)完全平方公式、平方差公式、冪的運算，因式分解判斷即可．
【詳解】解：A. ，原選項不符合題意；
B. ，原選項符合題意；
C. ，原選項不符合題意；
D. ，原選項不符合題意；
故選：B．
2．（22-23八年級下·陜西咸陽·階段練習）已知，則的值是（ ）
A． B．24 C． D．10
【答案】A
【分析】本題考查因式分解的應用，代數(shù)式求值．
先運用提公因式法分解因式，再把已知整體代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴．
故選：A．
3．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了綜合提公因式、公式法，提公因式法，運用平方差公式進行因式分解．熟練掌握綜合提公因式、公式法，提公因式法，運用平方差公式進行因式分解的是解題的關鍵．
根據(jù)綜合提公因式、公式法，提公因式法，運用平方差公式進行因式分解對各選項進行判斷作答即可．
【詳解】解：A中，因式分解不徹底，故不符合要求；
B中，因式分解不徹底，故不符合要求；
C中，不是因式分解，故不符合要求；
D中，因式分解正確，故符合要求；
故選：D．
4．（23-24八年級上·河南南陽·期末）下列各式從左到右的變形中，因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了因式分解，分別對各項因式分解，再逐一判斷即可求解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
【詳解】解：、，該選項正確，符合題意；
、不是完全平方公式，不能因式分解，該選項錯誤，不合題意；
、，該選項錯誤，不合題意；
、，該選項錯誤，不合題意；
故選：．
5．（23-24八年級上·湖北孝感·期末）下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
利用提公因式法和公式法逐項判斷即可解答．
【詳解】解：A．，分解因式不徹底，故此選項不符合題意；
B．不符合分解因式的定義，故原選項不符合題意；
C．，故此選項不符合題意；
D．，因式分解正確，符合題意．
故選：D．
6．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）下列多項式分解因式結果不含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)因式分解是指將幾個單項式和的形式轉化為幾個單項式或多項式的積的形式，逐個判斷即可，熟練掌握把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解是解題的關鍵．
【詳解】解：、，含因式，不符合題意；
、，含因式，不符合題意；
、，不含因式，符合題意；
、，含因式，不符合題意；
故選：．
7．（23-24八年級上·重慶萬州·期末）在學習了因式分解后，勤奮的琪琪同學通過課余的時間對因式分解的其他方法進行了探究，如：分解因式.設，利用多項式相等得，，故可分解.此時，我們就說多項式既能被整除，也能被整除.根據(jù)上述操作原理，下列說法正確的個數(shù)為（ ）
（1）能被整除；
（2）若能被整除，則或；
（3）若能被整除，則，.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
本題考查了因式分解的應用，整式除法，解三元一次方程組；
（1）因式分解，即可判斷；
（2）因式分解，即可判斷；
（3）由因式分解可設，展開對比系數(shù)得方程組，解方程組，即可判斷；
理解因式分解，能對所給整式進行正確的因式分解是是解題的關鍵．
【詳解】解：（1），能被整除，結論正確；
（2），則或，結論正確；
（3）能被整除，
將整式因式分解后，
有一個因式為，
設
，
，
，
解得：，
結論正確；
綜上所述：（1）（2）（3）都正確，正確的個數(shù)為；
故選：D．
8．（23-24七年級上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了因式分解，根據(jù)提公因式法、公式法及十字相乘法的綜合運用，進行分解逐一判斷即可．
【詳解】解：A. ，該選項錯誤，不符合題意；
B. ，該選項正確，符合題意；
C. ，該選項錯誤，不符合題意；
D. ，該選項錯誤，不符合題意．
故選：B．
二、填空題
9．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）若多項式可分解為，則的值為 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，解題的關鍵是熟練掌握多項式乘以多項式的法則．先將的括號展開，求出a和b的值，代入求解即可．
【詳解】解：，
∵多項式可分解為，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：2．
10．（23-24八年級上·山東德州·期末）若，則 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值問題，要熟練掌握．題型可以簡單總結為以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡，該題屬于①，將代數(shù)式化簡再將已知條件代入計算．
【詳解】解：∵，
∴
，
故答案為：2．
三、解答題
11．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）利用平方差公式分解即可；
（）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解；
（）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解；
（）先把看成一個整體，先利用完全平方公式進行分解，然后用平方差公式進行二次分解即可；
本題考查了因式分解的綜合運用，涉及平方差公式、完全平方公式等知識，綜合運用提公因式法及公式法因式分解是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
；
（3）解：原式，
；
（4）解：原式，
，
，
．
12．（23-24八年級下·遼寧沈陽·階段練習）閱讀理解并解答：
我們把多項式，叫做完全平方式，在運用完全平方公式進行因式分解時，關鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式．同樣地，把一個多項式進行部分因式分解可以來解決求代數(shù)式值的最大（或最小）值問題．
(1)例如：①，
是非負數(shù)，即，，
則這個代數(shù)的最小值是2，這時相應的x的值是；
②，
是非負數(shù)，即，，
則這個代數(shù)式的最小值是__________，這時相應的x的值是__________；
(2)知識再現(xiàn)：當__________時，代數(shù)式的最小值是__________；
(3)知識運用：若，當__________時，y有最__________值（填“大”或“小”），這個值是__________；
(4)知識拓展：若，求的最小值．
【答案】(1)；2
(2)3；3
(3)1；大；
(4)
【分析】本題考查了完全平方公式的應用，掌握公式形式是解題關鍵．
（1）根據(jù)解答過程即可求解；
（2）根據(jù)即可求解；
（3）根據(jù)即可求解；
（4）由題意得，則，即可求解；
【詳解】（1）解：是非負數(shù)，即，，
則這個代數(shù)式的最小值是，這時相應的x的值是2
故答案為：；2
（2）解：，
是非負數(shù)，即，，
當時，代數(shù)式的最小值是
故答案為：3；3
（3）解：∵
是非負數(shù)，即，
，
∴
∴當時，y有最大值，這個值是，
故答案為：1；大；
（4）解：∵，
∴，
∴
是非負數(shù)，即，
∴
即：的最小值為銜接點03 因式分解
1、熟練掌握提公因式法和公式法
2、能靈活應用十字相乘法
3、了解分組分解法
一、初中知識再現(xiàn)
1、因式分解定義
把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種運算叫做因式分解.
2、提公因式法
（1）如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。如:
（2）概念內(nèi)涵:
①因式分解的最后結果應當是“積”；
②公因式可能是單項式,也可能是多項式；
③提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律,即:
3、公式法：
3.1公式法——平方差公式
兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：
特別說明：
（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.
（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.
（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.
3.2公式法——完全平方公式
兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
特別說明：
（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；
（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍. 右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.
（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.
4、十字相乘法
4.1十字相乘法
利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.
對于二次三項式，若存在 ，則
特別說明：
（1）在對分解因式時，要先從常數(shù)項的正、負入手，若，則,同號(若，則,異號)，然后依據(jù)一次項系數(shù)的正負再確定,的符號
（2）若中的,為整數(shù)時，要先將分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數(shù)之和能否等于，直到湊對為止.
4.2首項系數(shù)不為1的十字相乘法
在二次三項式中，如果二次項系數(shù)可以分解成兩個因數(shù)之積，即，常數(shù)項可以分解成兩個因數(shù)之積，即，把排列如下：
按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式的一次項系數(shù)，即，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即.
特別說明：
（1）分解思路為“看兩端，湊中間”
（2）二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.
5、分組分解法
對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.
6、求根公式法
對于一元二次方程，當時，一元二次方程有兩個實數(shù)根，記為：.此時對應的二次三項式可分解為：.
二、高中相關知識
1、乘法公式中的立方和、立方差公式：
①
②
2、因式分解中的立方和、立方差公式
①
②
對點特訓一：提公因式法因式分解
典型例題
例題1．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）將多項式提公因式后，另一個因式為（　　）
A． B． C． D．
例題2．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）若，，則 ．
精練
1．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）把多項式分解因式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年級下·湖南懷化·期中）分解因式：
(1)；
(2)．
對點特訓二：運用公式法分解因式
典型例題
例題1．（23-24七年級下·湖南懷化·期中）【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數(shù)這一性質增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應用．
例1 用配方法因式分解：．
解：原式
．
請根據(jù)上述自主學習材料解決下列問題：
請用配方法分解因式：
(1) ；
(2)．
例題2．（23-24七年級下·江蘇常州·期中）把下列各式進行因式分解
(1)
(2)
(3)
精練
1．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）把下列各式因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（23-24八年級上·山東濱州·期末）通過學習，我們知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，與此同時，某些多項式只用上述一種方法無法因式分解．下面是甲、乙兩位同學對多項式進行因式分解的過程．
甲： （先分成兩組） ． 乙： （先分成兩組） ．
兩位同學分解因式的方法叫做分組分解法，請你仔細觀察并對以下多項式進行因式分解．
(1)試用上述方法分解因式：．
(2)利用分解因式說明：因式能被9整除．
對點特訓三：首項系數(shù)為“1”的二次三項式因式分解
典型例題
例題1．（2024·江西吉安·一模）因式分解： ．
例題2．（23-24七年級上·上海·期末）因式分解： ．
題型歸類練
1．（23-24九年級下·上海·階段練習）分解因式： ．
2．（23-24八年級上·重慶璧山·期末）因式分解的結果是 ．
對點特訓四：首項系數(shù)“不為1”的二次三項式因式分解
典型例題
例題1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）若是多項式（m為系數(shù)）的一個因式，則m的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
例題2．（2023八年級上·全國·專題練習）十字相乘法分解因式：
(1)
(2)
精練
1．（23-24七年級上·上海·期末）因式分解： ．
2．（23-24八年級上·河南洛陽·期中）把下列多項式分解因式：
(1)．
對點特訓五：含參數(shù)的十字相乘法
典型例題
例題1．（23-24九年級上·浙江嘉興·期末）解下列關于x的不等式：
(1)．
例題2．（23-24八年級上·湖北黃石·階段練習）分解因式：
(1)
題型歸類練
1．（23-24八年級上·四川內(nèi)江·期中）因式分解
(1)
2．（23-24七年級上·上海閔行·期中）（1）因式分解：
對點特訓六：十字相乘法的綜合應用
典型例題
例題1．（23-24八年級上·云南保山·階段練習）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題．
如果一個整式等于整式與整式之積，則稱整式和整式為整式的因式．
如：①因為，所以和是的因式．
②若是的因式，則求常數(shù)的值的過程如下：
解：是的因式，
存在一個整式，使得．
當時，，此時．
將代入得，，解得．
(1)是的因式嗎？______（填“是”或“不是”）；
(2)若整式是的因式，求常數(shù)的值．
例題2．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）【提出問題】某數(shù)學活動小組對多項式乘法進行如下探究：
①；
②；
③．
通過以上計算發(fā)現(xiàn)，形如的兩個多項式相乘，其結果一定為(為整數(shù)
因為因式分解是與整式乘法是方向相反的變形，所以一定有，即可將形如的多項式因式分解成(為整數(shù)．
例如：．
【初步應用】（1）用上面的方法分解因式： ______；
【類比應用】（2）規(guī)律應用：若可用以上方法進行因式分解，則整數(shù)的所有可能值是______；
精練
1．（2023八年級上·全國·專題練習）閱讀下列材料：
材料 將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成 ．
(1)根據(jù)材料 ，把分解因式．
(2)結合材料和材料，完成下面小題：
①分解因式：；
②分解因式：．
2．（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運算法則推導得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當?shù)姆纸猓鐖D2，則．
根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)結合本題知識，分解因式：．
對點特訓七：分組分解法（四項式，五項式，六項式等）
典型例題
例題1．（2024七年級下·江蘇·專題練習）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解的多項式，比如：四項的多項式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進行分組分解．
例1：“兩兩分組”：
解：原式
例2：“三一分組”：
解：原式
歸納總結：用分組分解法分解因式要先恰當分組，然后用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解．
請同學們在閱讀材料的啟發(fā)下，解答下列問題：
(1)分解因式：
①；
②．
(2)已知的三邊，，滿足，試判斷的形狀．
例題2．（22-23八年級上·四川眉山·階段練習）在“探究性學習“小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解：
甲：
（分成兩組）
（直接提公因式）
．
乙：
（分成兩組）
（直接運用公式）
．
請你在他們的解法的啟發(fā)下，解答下面各題：
(1)因式分解：；
(2)已知，，求式子的值；
(3)已知的三邊長分別是a，b，c，且滿足，試判斷的形狀，并說明理由．
精練
1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）在“探究性學習”小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解：
甲： （分成兩組） （直接提公因式） ， 乙： （分成兩組） （直接運用公式）
請在他們的解法啟發(fā)下解答下面各題：
(1)因式分解：；
(2)若，求式子的值．
2．（23-24八年級上·陜西商洛·期末）閱讀材料，拓展知識．
第一步：要把多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，并提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而可得：，這種方法稱為分組法．
第二步：理解知識，嘗試填空．
（1）______．
第三步：應用知識，解決問題．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提煉思想，拓展應用．
（3）已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且滿足，試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．
對點特訓八：因式分解的應用
典型例題
例題1．（23-24七年級下·湖南郴州·期中）將幾個圖形拼成一個新圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，例如，由圖1可得等式．將若干張圖2所示的卡片進行拼圖，可以將二次三項式分解因式為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）某種產(chǎn)品的原料提價，因而廠家決定對產(chǎn)品進行提價，現(xiàn)有兩種方案：
方案1：第一次提價的百分率為p，第二次提價的百分率為q．
方案2：第一、二次提價的百分率均為．
其中p、q是不相等的正數(shù)．設產(chǎn)品的原單價為a元時，上述兩種方案使該產(chǎn)品的單價變?yōu)椋?br/>(1)方案1：______；方案2：______；
(2)兩種方案中哪種提價多？請說明理由．
精練
1．（23-24八年級下·安徽宿州·期中）父親今年x歲，兒子今年y歲，父親比兒子大26歲，并且，請你求出父親和兒子今年各多少歲？
2．（23-24八年級下·陜西西安·期中）數(shù)形結合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想．我們可用此思想，來探索因式分解的一些方法．

(1)探究一：將圖的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項式的因式分解______．
(2)探究二：類似地，我們借助一個棱長為的大正方體進行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為______．再將圖中的幾何體分割成三個長方體、、，如圖所示，則根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，長方體的體積為．類似地，表示出長方體的體積為______，長方體的體積為______．當用兩種不同的方法表示圖中幾何體的體積時，就可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為______．
(3)問題應用：利用上面的結論，解決問題：已知，，求的值．
一、單選題
1．（2024·河南駐馬店·一模）下列等式，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23八年級下·陜西咸陽·階段練習）已知，則的值是（ ）
A． B．24 C． D．10
3．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年級上·河南南陽·期末）下列各式從左到右的變形中，因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24八年級上·湖北孝感·期末）下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）下列多項式分解因式結果不含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24八年級上·重慶萬州·期末）在學習了因式分解后，勤奮的琪琪同學通過課余的時間對因式分解的其他方法進行了探究，如：分解因式.設，利用多項式相等得，，故可分解.此時，我們就說多項式既能被整除，也能被整除.根據(jù)上述操作原理，下列說法正確的個數(shù)為（ ）
（1）能被整除；
（2）若能被整除，則或；
（3）若能被整除，則，.
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（23-24七年級上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
9．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）若多項式可分解為，則的值為 ．
10．（23-24八年級上·山東德州·期末）若，則 ．
三、解答題
11．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．（23-24八年級下·遼寧沈陽·階段練習）閱讀理解并解答：
我們把多項式，叫做完全平方式，在運用完全平方公式進行因式分解時，關鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式．同樣地，把一個多項式進行部分因式分解可以來解決求代數(shù)式值的最大（或最小）值問題．
(1)例如：①，
是非負數(shù)，即，，
則這個代數(shù)的最小值是2，這時相應的x的值是；
②，
是非負數(shù)，即，，
則這個代數(shù)式的最小值是__________，這時相應的x的值是__________；
(2)知識再現(xiàn)：當__________時，代數(shù)式的最小值是__________；
(3)知識運用：若，當__________時，y有最__________值（填“大”或“小”），這個值是__________；
(4)知識拓展：若，求的最小值．

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