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專題01 預備知識一：集合的概念
1、通過具體的實例，能根據(jù)集合中元素的確定性、互異性和無序性判斷某些元素的全體是否能組成集合，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).
2、知道元素與集合之間的關系，會用符號“”“ ”表示元素與集合的關系，能用常用數(shù)集的符號表示有關集合.
3、會根據(jù)具體問題的條件，用列舉法表示給定的集合；能概括給定數(shù)學對象的一般特征，并用描述法表示集合，提高語言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力，增強用集合表示數(shù)學對象的意識，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).
1．元素與集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母…表示．
(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母…表示．
(3)集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．
2．元素的特性
(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．
(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．
(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．
3．元素與集合的關系
(1)屬于：如果是集合的元素，就說屬于集合，記作．
(2)不屬于：如果不是集合的元素，就說不屬于集合，記作．
4．常用的數(shù)集及其記法
常用數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
數(shù)學符合 或
5．列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
6．描述法
(1)定義：一般地，設表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．
(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
對點特訓一：集合的基本概念
典型例題
例題1．（23-24高一上·新疆·階段練習）下列對象中不能構成一個集合的是（ ）
A．某校比較出名的教師 B．方程的根
C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)判斷各項描述是否能構成集合即可.
【詳解】A：比較出名的標準不清，故不能構成集合；
B：，方程根確定，可構成集合；
C：不小于3的自然數(shù)可表示為，可構成集合；
D：所有銳角三角形內(nèi)角和確定且各角范圍確定，可構成集合.
故選：A
例題2．（23-24高一上·廣東深圳·階段練習）給出下列表述：①聯(lián)合國常任理事國；②坪高全體游泳健將；③方程的實數(shù)根；④全國著名的歌手，以上能構成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】判斷元素是否具有確定性，判斷出答案.
【詳解】①聯(lián)合國常任理事國有5個國家，滿足確定性，可以構成集合；
②坪高全體游泳健將，元素不具有確定性，不能構成集合；
③方程的實數(shù)根，具有確定性，能構成集合；
④全國著名的歌手，元素不具有確定性，不能構成集合.
故選：A
精練
1．（23-24高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）下列元素的全體不能組成集合的是（ ）
A．中國古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流
C．方程的實數(shù)解 D．周長為的三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)集合中的元素的三要素即可判斷各個選項的正誤.
【詳解】中國古代四大發(fā)明可以構成一個集合，故A正確；
地球上的小河流不滿足集合元素的確定性，
即沒有標準說多小的河流算小河流，故B錯誤；
方程的實數(shù)解是，可以構成一個集合，故C正確；
周長為的所有三角形可以構成一個集合，故D正確；
故選：B.
2．（23-24高一上·云南保山·階段練習）下列各組對象能構成集合的是（ ）
A．著名的數(shù)學家 B．很大的數(shù)
C．聰明的學生 D．年保山市參加高考的學生
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的定義依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，對于“著名”沒有明確的標準，即對象不具有確定性，不能構成集合，A錯誤；
對于B，對于“很大”沒有明確的標準，即對象不具有確定性，不能構成集合，B錯誤；
對于C，對于“聰明”沒有明確的標準，即對象不具有確定性，不能構成集合，C錯誤；
對于D，年保山市參加高考的學生具有確定性，能構成集合，D正確.
故選：D.
對點特訓二： 判斷元素與集合的關系
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習）用符號“”或“”填空：
（1）若，則-1 A；
（2）若，則3 B；
（3）若，則8 C，9.1 C.
（4） ；
（5） ；
（6）2017 .
（7） ， ， ， ．
【答案】
【分析】結合自然數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集，實數(shù)集的元素特征，根據(jù)集合與元素的關系的定義判斷即可.
【詳解】（1），故；
（2），故；
（3），故；
（4），；
（5）
（6）因為2017不能被表示為的形式，所以；
（7）
例題2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）已知由實數(shù)組成的集合，，又滿足：若，則.
(1)能否是僅含一個元素的單元素集，試說明理由；
(2)中含元素個數(shù)一定是個嗎？若是，給出證明，若不是，說明理由.
【答案】(1)A不可能是單元素集合，理由見解析；
(2)A中所含元素個數(shù)一定是，證明見解析．
【分析】（1）由x與都在集合A中，結合集合A只含有一個元素，得，再判斷方程有無實數(shù)根，若有解則存在，若無解則不存在；
（2）A中所含元素個數(shù)一定是個．由，則，得到，然后推導出互不相等即可證明A中所含元素個數(shù)一定是個．
【詳解】（1）假設A中僅含一個元素，不妨設為a，則，有，
又A中只有一個元素，，即，
但此方程，即方程無實數(shù)根，
∴不存在這樣的實數(shù)a，故A不可能是單元素集合．
（2）中所含元素個數(shù)一定是個．
證明：，則，，而，
且，當時，，
，方程無解，；
當時，，，方程無解，；
當時，，，方程無解，，
中所含元素個數(shù)一定是個．
精練
1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）給出下列關系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據(jù)常見數(shù)集的含義即可求解.
【詳解】由于；；；，
故①錯誤；②正確；③錯誤；④錯誤，
故選：A．
2．（23-24高一上·河南南陽·階段練習）已知集合中的元素滿足，則下列選項正確的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】A
【分析】由元素和集合的關系判斷.
【詳解】由解得，
因為，，
故，且，
故選：A
對點特訓三：利用集合中元素的互異性求參數(shù)
典型例題
例題1．（多選）（23-24高一上·海南省直轄縣級單位·期中）若，則實數(shù)的可能取值為（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】ABD
【分析】分，，，求出實數(shù)，利用元素的互異性檢驗，得到答案.
【詳解】①若，即時，此時集合中的元素為，滿足題意；
②若，即時，，不滿足集合中元素的互異性；
③若，即，
當時，此時集合中的元素為，，滿足題意；
當時，此時集合中的元素為，滿足題意.
故選：ABD.
例題2．（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）已知集合中有三個元素：，，，集合中也有三個元素：0，1，．
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的值．
【答案】(1)的值為0或
(2)的值為
【分析】（1）若，則或，再結合集合中元素的互異性，能求出的值．
（2）當取0，1，時，都有，集合中的元素都有互異性，由此能求出實數(shù)的值．
【詳解】（1）集合中有三個元素：，，，，
或，
解得或，
當時，，，，成立；
當時，，，，成立．
的值為0或．
（2）集合中也有三個元素：0，1，，，
當取0，1，時，都有，
集合中的元素都有互異性，，，
．
實數(shù)的值為．
精練
1．（23-24高一上·山東煙臺·期中）若集合，且，則m的值為（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
【答案】B
【分析】根據(jù)集合的元素不重復可解得.
【詳解】因為，所以或，解得，或或，
當時，，又集合中不能有相同的元素，所以
故選：B
2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）由，4組成一個集合A，且A中含有3個元素，則實數(shù)a的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】逐個選項代入判斷是否滿足集合的互異性即可.
【詳解】對A，當時，，，不滿足題意；
對B，當時，，不滿足題意；
對C，當時，，，滿足題意；
對D，當時，，不滿足題意；
故選：C
對點特訓四：用列舉法表示集合
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽蕪湖·階段練習）方程組的解構成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解出方程組，再由列舉法表示出解集.
【詳解】由，解得，
所以方程組的解構成的集合是.
故選：D
例題2．（23-24高二下·遼寧阜新·期末）集合用列舉法表示為 .
【答案】
【分析】依題意逐個驗證即可.
【詳解】時，時，時，時，時，時，不合題意，
故滿足題意的有，
故答案為：.
精練
1．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,則 （用列舉法表示）.
【答案】
【分析】根據(jù)集合的元素特征直接列舉出即可.
【詳解】因為，，
所以.
故答案為：
2．（23-24高一上·陜西延安·階段練習）已知集合，且，則M等于 （用列舉法）
【答案】
【分析】根據(jù)列舉法列舉所以情況即可求.
【詳解】由于，所以是6的正因數(shù)，
當時，，符合，
當時，，符合，
當時，，符合，
當時，，符合，
綜上可得，
故答案為：
對點特訓五： 用描述法表示集合
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習）用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解組成的集合；
(2)被除余的正整數(shù)的集合；
(3)；
(4)平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的點組成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
（1）先確定集合中的代表元素是數(shù)x；再確定集合中代表元素滿足的條件即可解答.
（2）先確定集合中的代表元素是數(shù)x；再確定集合中代表元素滿足的條件即可解答.
（3）先確定集合中的代表元素是數(shù)x；再確定集合中代表元素滿足的條件即可解答.
（4）先確定集合中的代表元素是點；再確定集合中代表元素滿足的條件即可解答.
【詳解】（1）
因為不等式的解組成的集合為，
則集合中的元素是數(shù).
設代表元素為x，
則x滿足，
所以，即．
（2）
設被3除余2的數(shù)為x，
則．
又因為元素為正整數(shù)，
故．
所以被3除余2的正整數(shù)的集合
（3）
設偶數(shù)為x，
則．
但元素是2，4，6，8，10，
所以．
所以．
（4）
因為平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的點的橫坐標為負，縱坐標為正，即，
故第二象限內(nèi)的點的集合為．
例題2．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合；
(2)所有奇數(shù)組成的集合；
(3)平面直角坐標系中，拋物線上的點組成的集合；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）結合質(zhì)數(shù)的概念以及列舉法即可求解.
（2）由奇數(shù)的概念以及描述法即可求解.
（3）由描述法即可求解.
（4）用列舉法即可求解.
【詳解】（1）大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合.
（2）所有奇數(shù)組成的集合.
（3）平面直角坐標系中，拋物線上的點組成的集合.
（4）.
精練
1．（2024高一上·全國·專題練習）用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)奇數(shù)的集合；
(2)正偶數(shù)的集合；
(3)；
(4)不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)；
(4)
【分析】（1）（2）根據(jù)描述法寫出；
（3）根據(jù)描述法及列舉法求解；
（4）解一元一次不等式，利用描述法表示即可.
【詳解】（1）奇數(shù)的集合用描述法表示為：
（2）正偶數(shù)的集合用描述法表示為：
（3）．
（4）由解得，所以不等式的解集為．
2．（2024高一上·全國·專題練習）用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)一年中有31天的月份的全體；
(2)大于小于12.8的整數(shù)的全體；
(3)所有能被3整除的數(shù)的集合；
(4)方程的解集；
(5)不等式的解集；
(6)拋物線上的點組成的集合．
【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用列舉法表示集合；
（2）利用列舉法表示集合；
（3）利用描述法表示集合；
（4）利用列舉法表示集合；
（5）利用描述法表示集合；
（6）利用描述法表示點集合.
【詳解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月．
（2）．
（3）
（4）.
（5）.
（6）.
對點特訓六：集合中的含參問題
角度1：已知集合相等求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·江西·模擬預測）已知實數(shù)集合，若， 則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)得到，或，，然后解方程，再根據(jù)集合中元素的互異性得到，，最后計算即可.
【詳解】當，時，，或任意，（舍去）；
當，時，，，不成立，
所以，，.
故選：A.
例題2．（23-24高一上·江蘇無錫·期中）已知，，若集合，則的值為 ．
【答案】
【分析】利用集合中元素的互異性，以已知的0，1為突破口，分類討論求出，的值.
【詳解】∵，顯然，
所以，∴.
根據(jù)集合中元素的互異性得，∴.
∴
故答案為：
同類題型歸類練
1．（23-24高一上·重慶渝中·階段練習）已知集合，其中，則實數(shù) .
【答案】
【分析】由題意可得或，求出，進而求出，結合集合的互異性和，即可得出答案.
【詳解】①當時，解得，
當時，與集合元素的互異性矛盾，所以舍去；
當時，，
得到與矛盾，所以舍去；
②當時，解得，
當時，，
得到與矛盾，所以舍去；
當時，，
得到，符合題意，所以.
故答案為：.
2．（23-24高一上·河南鄭州·期中）含有三個實數(shù)的集合既可表示為，也可表示為，則的值為 ．
【答案】0
【分析】根據(jù)集合相等和元素的互異性，即可求解得值，得到答案.
【詳解】由題意，可得，
根據(jù)集合相等和元素的互異性，可得且，解得，
此時集合
所以.
故答案為.
角度2：已知集合元素個數(shù)求參數(shù)
典型例題
例題1．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知集合只有一個元素，則實數(shù)的值為（ ）
A．1或0 B．0 C．1 D．1或2
【答案】A
【分析】討論，當時，方程是一次方程，當時，二次方程只有一個解，，即可求.
【詳解】若集合只有一個元素，則方程只有一個解，
當時，方程可化為，滿足題意，
當時，方程只有一個解，則，解得，
所以或.
故選：.
例題2．（2022高一上·全國·專題練習）已知集合．
(1)若A是空集，求的取值范圍；
(2)若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一個元素，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)當時，集合，當時，集合；
(3)
【分析】（1）利用是空集，則即可求出的取值范圍；
（2）對分情況討論，分別求出符合題意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一個元素和有2個元素兩種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得解．
【詳解】（1）解： 是空集，
且，
，解得，
所以的取值范圍為：；
（2）：①當時，集合，
②當時，，
，解得，此時集合，
綜上所述，當時，集合，當時，集合；
（3）中至少有一個元素，則當中只有一個元素時，或；
當中有2個元素時，則且，即，解得且；
綜上可得，時中至少有一個元素，即.
精練
1．（2024高一上·全國·專題練習）若集合中有兩個元素，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用一元二次方程及根的判別式列式求解即得.
【詳解】依題意，方程有兩個不等的實根，則且，解得且，
所以實數(shù)m的取值范圍為且.
故選：C
2．（21-22高一上·西藏林芝·期末）集合中只有一個元素，則實數(shù)的值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件可得出，即可解得實數(shù)的值.
【詳解】因為集合中只有一個元素，
則，解得.
故答案為：.
3．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知集合，其中.
(1)若集合中有且僅有一個元素，求實數(shù)組成的集合.
(2)若集合中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）分類討論當、時方程根的個數(shù)，即可求解；
（2）由（1）可得或，再討論當時的情況即可.
【詳解】（1）若，方程化為，此時方程有且僅有一個根；
若，則當且僅當方程的判別式，即時，
方程有兩個相等的實根，此時集合A中有且僅有一個元素，
∴所求集合；
（2）集合A中至多有一個元素包括有兩種情況，
①A中有且僅有一個元素，由（1）可知此時或，
②A中一個元素也沒有，即，此時，且，解得，
綜合①②知的取值范圍為或.
一、單選題
1．（23-24高三下·四川雅安·階段練習）若集合，，則B中元素的最小值為（ ）
A． B． C． D．32
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由集合的概念，代入計算即可得到結果.
【詳解】由題意可得，，
所以B中元素的最小值為.
故選：A
2．（2024·全國·模擬預測）已知集合，則下列表示正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令分別為選項中不同值，求出的值進行判定.
【詳解】當時，，所以，故A正確；
當時，，所以，故B錯誤；
當或時，，所以，故C錯誤；
當時，，所以，故D錯誤.
故選：A
3．（2022高一上·全國·專題練習）設集合，，，則中元素的個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
根據(jù)給定條件計算出所有的值，再借助集合中元素的性質(zhì)即可作答.
【詳解】
，時，的值依次為，有4個不同值，即，因此中有4個元素．
故選：B．
4．（2022高一上·全國·專題練習）下列命題中正確的（ ）
①與表示同一個集合；
②由組成的集合可表示為或；
③方程的所有解的集合可表示為；
④集合可以用列舉法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上語句都不對
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的定義和表示方法分別進行判斷．
【詳解】
①{0}表示元素為0的集合，而0只表示一個元素，故①錯誤；
②符合集合中元素的無序性，正確；
③不符合集合中元素的互異性，錯誤；
④中元素有無窮多個，不能一一列舉，故不能用列舉法表示，錯．
故選：C
5．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又則（ ）
A． B．
C． D．任一個
【答案】B
【分析】根據(jù)元素與集合的關系求得正確答案.
【詳解】集合的元素是所有的偶數(shù)、集合的元素是所有的奇數(shù)，
奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，所以，，
如，但.所以B選項正確.
故選：B
6．（22-23高一上·全國·期中）已知集合，則的元素個數(shù)是（ ）
A．16 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】分別在集合中取，由此可求得所有可能的取值，進而得到結果.
【詳解】因為，
所以，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，所以.
故選：C.
7．（23-24高一上·重慶·期末）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得，運算求解即可.
【詳解】由題意可知：，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
8．（23-24高一上·河南鄭州·期中）設集合，若且，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)元素與集合的關系列不等式組求參數(shù)范圍.
【詳解】由題意.
故選：D
二、多選題
9．（23-24高一上·江蘇常州·階段練習）下列各組中表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【分析】根據(jù)集合相等的概念依次分析各選項即可得答案.
【詳解】選項A中，是數(shù)集，是點集，二者不是同一集合,故；
選項B中，與表示不同的點，故；
選項C中，，，故；
選項D中，是二次函數(shù)的所有組成的集合，而集合是二次函數(shù)圖象上所有點組成的集合，故.
故選：ABD.
10．（23-24高一上·重慶璧山·階段練習）已知集合，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用元素與集合的關系以及元素特性即可判斷.
【詳解】由題知，或或，
即或或.
當時，（舍）；
當時，，符合題意；
當時，，符合題意.
故選：BD
三、填空題
11．（23-24高一上·全國·期末）定義運算，若集合，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定運算，利用列舉法計算即得.
【詳解】依題意，由，當時，，則，
當時，，則，當時，，則，
所以.
故答案為：
12．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，則實數(shù)a的值為 .
【答案】0或
【分析】根據(jù)元素與集合關系得到方程，解出即可.
【詳解】因為，則，解得或.
故答案為：0或.
四、解答題
13．（2024高一上·全國·專題練習）用列舉法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整數(shù)；
(2)；
(3)．
(4)．
(5)由＋ （a， b∈R）所確定的實數(shù)組成的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）寫出大于1且小于6的整數(shù)即可；（2）求出方程的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）寫出符合條件的坐標即可；（5）分類討論即可.
【詳解】（1）大于1且小于6的整數(shù)組成的集合為；
（2）
（3）
（4）
（5）由題意，
當時，＋；
當時，＋；
當時，＋；
當時，＋，
故由＋ （a， b∈R）所確定的實數(shù)組成的集合為.
14．（23-24高一上·福建泉州·階段練習）已知集合.
(1)若A是空集，求a的取值范圍；
(2)若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；
(3)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)的值為或，當時，元素為，當時，元素為
(3)
【分析】（1）A是空集，則方程為二次方程，且方程無實根；
（2）（3）討論、，結合集合元素個數(shù)及一元二次方程判別式求集合或參數(shù)范圍.
【詳解】（1）A是空集，且，，解得，
的取值范圍為：；
（2）當時，集合，
當時，，，解得，此時集合，
綜上所求，的值為或，當時，元素為，當時，元素為；
（3）當時，，符合題意；
當時，要使關于x的方程有實數(shù)根，則，得.
綜上，若集合A中至少有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍為.專題01 預備知識一：集合的概念
1、通過具體的實例，能根據(jù)集合中元素的確定性、互異性和無序性判斷某些元素的全體是否能組成集合，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).
2、知道元素與集合之間的關系，會用符號“”“ ”表示元素與集合的關系，能用常用數(shù)集的符號表示有關集合.
3、會根據(jù)具體問題的條件，用列舉法表示給定的集合；能概括給定數(shù)學對象的一般特征，并用描述法表示集合，提高語言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力，增強用集合表示數(shù)學對象的意識，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).
1．元素與集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母…表示．
(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母…表示．
(3)集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．
2．元素的特性
(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．
(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．
(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．
3．元素與集合的關系
(1)屬于：如果是集合的元素，就說屬于集合，記作．
(2)不屬于：如果不是集合的元素，就說不屬于集合，記作．
4．常用的數(shù)集及其記法
常用數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
數(shù)學符合 或
5．列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
6．描述法
(1)定義：一般地，設表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．
(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
對點特訓一：集合的基本概念
典型例題
例題1．（23-24高一上·新疆·階段練習）下列對象中不能構成一個集合的是（ ）
A．某校比較出名的教師 B．方程的根
C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形
例題2．（23-24高一上·廣東深圳·階段練習）給出下列表述：①聯(lián)合國常任理事國；②坪高全體游泳健將；③方程的實數(shù)根；④全國著名的歌手，以上能構成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
精練
1．（23-24高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）下列元素的全體不能組成集合的是（ ）
A．中國古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流
C．方程的實數(shù)解 D．周長為的三角形
2．（23-24高一上·云南保山·階段練習）下列各組對象能構成集合的是（ ）
A．著名的數(shù)學家 B．很大的數(shù)
C．聰明的學生 D．年保山市參加高考的學生
對點特訓二： 判斷元素與集合的關系
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習）用符號“”或“”填空：
（1）若，則-1 A；
（2）若，則3 B；
（3）若，則8 C，9.1 C.
（4） ；
（5） ；
（6）2017 .
（7） ， ， ， ．
例題2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）已知由實數(shù)組成的集合，，又滿足：若，則.
(1)能否是僅含一個元素的單元素集，試說明理由；
(2)中含元素個數(shù)一定是個嗎？若是，給出證明，若不是，說明理由.
精練
1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）給出下列關系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（23-24高一上·河南南陽·階段練習）已知集合中的元素滿足，則下列選項正確的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
對點特訓三：利用集合中元素的互異性求參數(shù)
典型例題
例題1．（多選）（23-24高一上·海南省直轄縣級單位·期中）若，則實數(shù)的可能取值為（ ）
A．3 B． C．1 D．
例題2．（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）已知集合中有三個元素：，，，集合中也有三個元素：0，1，．
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的值．
精練
1．（23-24高一上·山東煙臺·期中）若集合，且，則m的值為（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）由，4組成一個集合A，且A中含有3個元素，則實數(shù)a的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．2
對點特訓四：用列舉法表示集合
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽蕪湖·階段練習）方程組的解構成的集合是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高二下·遼寧阜新·期末）集合用列舉法表示為 .
精練
1．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,則 （用列舉法表示）.
2．（23-24高一上·陜西延安·階段練習）已知集合，且，則M等于 （用列舉法）
對點特訓五： 用描述法表示集合
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習）用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解組成的集合；
(2)被除余的正整數(shù)的集合；
(3)；
(4)平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的點組成的集合．
例題2．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合；
(2)所有奇數(shù)組成的集合；
(3)平面直角坐標系中，拋物線上的點組成的集合；
(4)；
精練
1．（2024高一上·全國·專題練習）用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)奇數(shù)的集合；
(2)正偶數(shù)的集合；
(3)；
(4)不等式的解集．
2．（2024高一上·全國·專題練習）用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)一年中有31天的月份的全體；
(2)大于小于12.8的整數(shù)的全體；
(3)所有能被3整除的數(shù)的集合；
(4)方程的解集；
(5)不等式的解集；
(6)拋物線上的點組成的集合．
對點特訓六：集合中的含參問題
角度1：已知集合相等求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·江西·模擬預測）已知實數(shù)集合，若， 則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
例題2．（23-24高一上·江蘇無錫·期中）已知，，若集合，則的值為 ．
同類題型歸類練
1．（23-24高一上·重慶渝中·階段練習）已知集合，其中，則實數(shù) .
2．（23-24高一上·河南鄭州·期中）含有三個實數(shù)的集合既可表示為，也可表示為，則的值為 ．
角度2：已知集合元素個數(shù)求參數(shù)
典型例題
例題1．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知集合只有一個元素，則實數(shù)的值為（ ）
A．1或0 B．0 C．1 D．1或2
例題2．（2022高一上·全國·專題練習）已知集合．
(1)若A是空集，求的取值范圍；
(2)若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一個元素，求的取值范圍．
精練
1．（2024高一上·全國·專題練習）若集合中有兩個元素，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（21-22高一上·西藏林芝·期末）集合中只有一個元素，則實數(shù)的值是 .
3．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知集合，其中.
(1)若集合中有且僅有一個元素，求實數(shù)組成的集合.
(2)若集合中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.
一、單選題
1．（23-24高三下·四川雅安·階段練習）若集合，，則B中元素的最小值為（ ）
A． B． C． D．32
2．（2024·全國·模擬預測）已知集合，則下列表示正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
3．（2022高一上·全國·專題練習）設集合，，，則中元素的個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022高一上·全國·專題練習）下列命題中正確的（ ）
①與表示同一個集合；
②由組成的集合可表示為或；
③方程的所有解的集合可表示為；
④集合可以用列舉法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上語句都不對
5．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又則（ ）
A． B．
C． D．任一個
6．（22-23高一上·全國·期中）已知集合，則的元素個數(shù)是（ ）
A．16 B．8 C．6 D．4
7．（23-24高一上·重慶·期末）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·河南鄭州·期中）設集合，若且，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高一上·江蘇常州·階段練習）下列各組中表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．（23-24高一上·重慶璧山·階段練習）已知集合，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
11．（23-24高一上·全國·期末）定義運算，若集合，則 .
12．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，則實數(shù)a的值為 .
四、解答題
13．（2024高一上·全國·專題練習）用列舉法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整數(shù)；
(2)；
(3)．
(4)．
(5)由＋ （a， b∈R）所確定的實數(shù)組成的集合.
14．（23-24高一上·福建泉州·階段練習）已知集合.
(1)若A是空集，求a的取值范圍；
(2)若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；
(3)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.

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