資源簡介

專題04 預備知識四：充分條件與必要條件
1、初步理解充分條件、必要條件的含義
2、通過對初中定理的再認識，理解充分條件與判定定理、必要條件與性質定理之間的關系
3、體會常用邏輯用語在表達數學內容中的作用，逐步提升邏輯推理的素養
1、充分條件、必要條件與充要條件的概念
（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；
（2）若且，則是的充分不必要條件；
（3）若且，則是的必要不充分條件；
（4） 若，則是的充要條件；
（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.
2、集合判斷法判斷充分條件、必要條件
若以集合的形式出現，以集合的形式出現，即：，：，則
（1）若，則是的充分條件；
（2）若，則是的必要條件；
（3）若，則是的充分不必要條件；
（4）若，則是的必要不充分條件；
（5）若，則是的充要條件；
（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.
3、充分性必要性高考高頻考點結構
（1）是的充分不必要條件且（注意標志性詞：“是”，此時與正常順序）
（2）的充分不必要條件是且（注意標志性詞：“的”，此時與倒裝順序）
對點特性一：充分條件與必要條件的判斷
典型例題
例題1．（23-24高一下·河北保定·開學考試）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用集合的包含關系可得正確的選項.
【詳解】由，解得或，
因為為或的真子集，
則“”是“”的充分不必要條件．
故選：A.
例題2．（23-24高一上·浙江·期中）設或，或，則是的（ ）條件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要條件 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根據條件的充分性必要性判斷即可.
【詳解】取，此時條件成立，條件不成立，所以，不是的充分條件；
對任意或者，都滿足或者，所以，是的必要條件，
故是的必要不充分條件，
故選：B
精練
1．（23-24高一下·湖南株洲·開學考試）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據集合的包含關系即可判斷.
【詳解】因為，
所以是的充分而不必要條件.
故選：A.
2．（2024高一上·湖南邵陽·競賽）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先解不等式，再結合充分、必要條件的概念即可判斷.
【詳解】由可得或，
所以是的必要不充分條件，
故選：B.
對點特訓二：充分條件與必要條件的應用
典型例題
例題1．（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化簡條件，利用充分不必要條件列出不等關系，求解即可.
【詳解】，因為是的充分不必要條件，所以.
故選：C.
例題2．（23-24高二下·四川廣元·階段練習）若“”是“”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據分式的性質、解一元二次不等式的方法、解絕對值不等式的公式法，結合充分不必要條件的性質進行求解即可.
【詳解】因為，則，
因為，則，
即是的充分而不必要條件，
所以，
故選：B
精練
1．（23-24高一·全國·課后作業）若“”是“”充分不必要條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解出絕對值不等式，再根據充分不必要條件得到集合的包含關系，即可得到不等式組，解得即可.
【詳解】由，即，解得，
因為“”是“”充分不必要條件，
所以真包含于，所以（等號不能同時取得），解得，
所以實數的取值范圍為.
故選：C
2．（2024·云南昆明·模擬預測）已知集合，，若是的必要不充分條件，則實數的所有可能取值構成的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，對集合分等于空集和不等于空集兩種情況討論，分別求出符合題意的的值即可．
【詳解】由題，， ，
當時，有，符合題意；
當時，有，此時，所以或，所以.
綜上，實數的所有可能的取值組成的集合為.
故選：A.
對點特訓三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結構對比
角度1：“是”標志詞
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解出絕對值不等式，根據充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】因為，所以或，
易得“”是“或”的充分不必要條件，
故選：A.
例題2．（23-24高一下·吉林白山·階段練習）“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龍”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷得解.
【詳解】若甲和乙的生肖相同，則甲和乙的生肖不一定都是龍；
若甲和乙的生肖都是龍，則甲和乙的生肖肯定相同，
所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龍”的必要不充分條件.
故選：A
精練
1．（2024·山東·二模）已知，若集合，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由，可得或，再由充分不必要條件的定義即可得答案.
【詳解】因為，
則或，
所以，
由推不出.
故選:A．
2．（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·開學考試）對于實數，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由可解得且，即可判斷得出結論.
【詳解】“”等價于“且”，
只知道時無法保證，但且時必然有，
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
角度2：“的”標志詞
典型例題
例題1．（多選）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要條件是，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【分析】化簡得，由充分與必要條件判斷的取值范圍即可.
【詳解】由得，因為不等式成立的必要條件是，所以，解得，符合題意的選項有：A，B，C.
故選：ABC
例題2．（23-24高一上·江西撫州·階段練習）已知，（a為實數）．若q的一個充分不必要條件是p，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用小范圍是大范圍的充分不必要條件轉換成集合的包含關系求解.
【詳解】因為q的一個充分不必要條件是p，
所以是的一個真子集，
則，即實數a的取值范圍是.
精練
1．（23-24高一上·上海·期末）的一個充要條件是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】A
【分析】根據不等式的基本性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，即，所以A符合題意；
由，可得或，所以選項B是的充分不必要條件；
選項C和D都為的既不充分也不必要條件.
故選：A.
2．（2024高三·全國·專題練習）已知不等式m－1【答案】
【詳解】
解析：由題意得（，） （m－1，m＋1），所以且等號不能同時成立，解得－≤m≤.
一、單選題
1．（2024·天津·二模）已知，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據題意可直接判斷充分性，舉例說明必要性不成立即可.
【詳解】若，則，即充分性成立；
若，例如，滿足條件，但不成立，即必要性不成立；
綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2024·廣東梅州·二模）常言道：“不經歷風雨，怎么見彩虹”．就此話而言，“經歷風雨”是“見彩虹”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據必要不充分條件的定義求解
【詳解】由題意，經歷風雨不一定會見彩虹，但見彩虹一定是經歷風雨，
所以“經歷風雨”是“見彩虹”的必要不充分條件．
故選：B．
3．（23-24高一下·河北保定·開學考試）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用集合的包含關系可得正確的選項.
【詳解】由，解得或，
因為為或的真子集，
則“”是“”的充分不必要條件．
故選：A.
4．（23-24高一下·湖南株洲·開學考試）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據集合的包含關系即可判斷.
【詳解】因為，
所以是的充分而不必要條件.
故選：A.
5．（2024高三·全國·專題練習）若關于x的不等式成立的充分條件是，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出不等式的解集，利用充分條件的定義，結合集合的包含關系列式求解即得.
【詳解】依題意，，解不等式，得，
由不等式成立的充分條件是，得，
于是，解得，
所以實數a的取值范圍是.
故選：D
6．（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·開學考試）對于實數，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由可解得且，即可判斷得出結論.
【詳解】“”等價于“且”，
只知道時無法保證，但且時必然有，
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
7．（23-24高一上·浙江溫州·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據 ，利用充分條件和必要條件的定義判斷.
【詳解】解：因為 ，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：C
8．（23-24高一上·四川雅安·期末）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】A
【分析】由充分條件與必要條件的性質即可得.
【詳解】當時，，
當時，有、，可使，但不符合甲，
故甲是乙的充分條件但不是必要條件.
故選：A.
二、多選題
9．（23-24高一上·陜西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分條件，則實數的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】AD
【分析】根據必要不充分條件列不等式，由此求得正確答案.
【詳解】若“或”是“”的必要不充分條件，
則或，解得或，
所以AD選項符合，BC選項不符合.
故選：AD
10．（23-24高一上·四川成都·階段練習）下列條件中，是“”成立的必要條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根據必要條件的定義求解.
【詳解】“”成立的必要條件即不能比范圍小，
觀察選項，BCD符合，
故選：BCD.
三、填空題
11．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知：是：的充分不必要條件，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】
根據題意結合充分、必要條件分析求解.
【詳解】由題意可知：是的真子集，
可得，所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
12．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一個充分不必要條件是 ，則實數 的取值范圍為
【答案】
【分析】根據絕對值不等式的解法，結合充分不必要條件的性質進行求解即可.
【詳解】由，
因為不等式 成立的一個充分不必要條件是 ，
所以有，等號不同時成立，解得.
故答案為：
四、解答題
13．（23-24高一下·云南大理·開學考試）已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用集合間的基本關系及必要不充分條件的定義計算即可；
（2）利用集合間的基本關系計算即可.
【詳解】（1）∵是的必要不充分條件，
∴是A的真子集.
①當時，，
②當時，∴，解得.
∴實數的取值范圍為.
（2）由，
則①當時，，
②當時，可得或，
解得或.
∴實數的取值范圍為.
14．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題．
問題：已知集合．
(1)當時，求和；
(2)若________，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)答案見解析
【分析】（1）先求出集合，再求出，進而可得集合；
（2）分情況處理，若選擇①，考慮的情形即可，要分和兩種情況分析；若選擇②，考慮且的情形即可；若選擇③，考慮的情形即可，要分和兩種情況分析.
【詳解】（1）當時，集合，
所以，
又因為，所以.
（2）若選擇①，，則，
當時，，解得：，
當時，又，
所以，得，
所以實數a的取值范圍是．
若選擇②，““是“”的充分不必要條件，
則且，
因為，
或，解得：，
由于無解，不成立，
所以實數a的取值范圍是．（不檢驗扣1分）
若選擇③，，
當時，，解得：，
當時，又，則，
解得：或，
所以實數a的取值范圍是．專題04 預備知識四：充分條件與必要條件
1、初步理解充分條件、必要條件的含義
2、通過對初中定理的再認識，理解充分條件與判定定理、必要條件與性質定理之間的關系
3、體會常用邏輯用語在表達數學內容中的作用，逐步提升邏輯推理的素養
1、充分條件、必要條件與充要條件的概念
（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；
（2）若且，則是的充分不必要條件；
（3）若且，則是的必要不充分條件；
（4） 若，則是的充要條件；
（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.
2、集合判斷法判斷充分條件、必要條件
若以集合的形式出現，以集合的形式出現，即：，：，則
（1）若，則是的充分條件；
（2）若，則是的必要條件；
（3）若，則是的充分不必要條件；
（4）若，則是的必要不充分條件；
（5）若，則是的充要條件；
（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.
3、充分性必要性高考高頻考點結構
（1）是的充分不必要條件且（注意標志性詞：“是”，此時與正常順序）
（2）的充分不必要條件是且（注意標志性詞：“的”，此時與倒裝順序）
對點特性一：充分條件與必要條件的判斷
典型例題
例題1．（23-24高一下·河北保定·開學考試）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例題2．（23-24高一上·浙江·期中）設或，或，則是的（ ）條件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要條件 D．既不充分也不必要
精練
1．（23-24高一下·湖南株洲·開學考試）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024高一上·湖南邵陽·競賽）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
對點特訓二：充分條件與必要條件的應用
典型例題
例題1．（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高二下·四川廣元·階段練習）若“”是“”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
精練
1．（23-24高一·全國·課后作業）若“”是“”充分不必要條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南昆明·模擬預測）已知集合，，若是的必要不充分條件，則實數的所有可能取值構成的集合為（ ）
A． B． C． D．
對點特訓三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結構對比
角度1：“是”標志詞
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例題2．（23-24高一下·吉林白山·階段練習）“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龍”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
精練
1．（2024·山東·二模）已知，若集合，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·開學考試）對于實數，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
角度2：“的”標志詞
典型例題
例題1．（多選）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要條件是，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
例題2．（23-24高一上·江西撫州·階段練習）已知，（a為實數）．若q的一個充分不必要條件是p，則實數a的取值范圍是 .
精練
1．（23-24高一上·上海·期末）的一個充要條件是（ ）
A． B．
C．， D．，
2．（2024高三·全國·專題練習）已知不等式m－1一、單選題
1．（2024·天津·二模）已知，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·廣東梅州·二模）常言道：“不經歷風雨，怎么見彩虹”．就此話而言，“經歷風雨”是“見彩虹”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（23-24高一下·河北保定·開學考試）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（23-24高一下·湖南株洲·開學考試）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（2024高三·全國·專題練習）若關于x的不等式成立的充分條件是，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·開學考試）對于實數，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（23-24高一上·浙江溫州·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
8．（23-24高一上·四川雅安·期末）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
二、多選題
9．（23-24高一上·陜西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分條件，則實數的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
10．（23-24高一上·四川成都·階段練習）下列條件中，是“”成立的必要條件的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
11．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知：是：的充分不必要條件，則實數的取值范圍為 ．
12．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一個充分不必要條件是 ，則實數 的取值范圍為
四、解答題
13．（23-24高一下·云南大理·開學考試）已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍；
(2)若，求實數的取值范圍.
14．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題．
問題：已知集合．
(1)當時，求和；
(2)若________，求實數的取值范圍．

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